Exposé 45 : Recherche des isométries du plan conservant un polygone régulier, exemple (triangle équilatéral, carré, hexagone, octogone. Pré requis : - définition d un polygone. - Isométries fixant un point O - Notion de groupe - Conservation du barycentre par une isométrie On se place dans le plan affine euclidien orienté E. Soient A0, A2,..., An 1 n points distincts de E ( n, n 3 l, n \ 1, 0, n 1, A nl = A Par convention, on pose { } A A A et = {,,..., } On note O l isobarycentre de 0, 2,..., n 1 1 Généralité. a Polygone régulier Sn A0 A2 An 1 Théorème : Soit Pn : = A0, A2,..., An 1 un polygone à n sommets. Il y a équivalence entre : - n 0, n 1, A A = A A P est inscrit dans un cercle C et 0 1 1 0, n 1, r( A = r( A - Il existe une rotation r tq 1 Preuve : 2 1 : Soit r une rotation de centre Ω. On a r ( A0 = A et r ( A1 = A 1 pour tout r est une rotation donc conserve les distances. D où OA = OA0 et A A = 1 A0 A1 pour tout. Le cercle de centre O et de rayon OA 0 convient. uuuur uuuuur 1 2 : Notons Ω le centre du cercle C, R son rayon et θ = ( ΩA, ΩA 1 Ω existe si et seulement si θ ne dépend pas de. 2 2 2 2 2 R ( A A 1 2 R ( A0 A1 Par AL-KASHI, cos( θ = = = cos( θ 2 2 0 2R 2R θ = ± θ π. D où [ 2 0 ] Si au moins un indice vérifie θ 0 [ 2 θ π ] j = inf { 0, n 1 θ = θ 0} =. Alors on pose uuuur uuuuur ( ΩAj, Ω Aj 1 = θ Alors j 1 et uuuuur uuuur Aj 1 = Aj 1 impossible. ( Ω Aj 1, Ω Aj = θ
Définition : Un polygone P n vérifiant l une des conditions du théorème est appelé polygone régulier à n sommets. Exemple : Hexagone régulier convexe Pentagone régulier croisé Désormais, Pn désigne le polygone régulier A0, A2,..., An 1 à n sommets. b Propriétés des isométries conservant un polygone régulier. Définition : On dit qu une isométrie f conserve un polygone P n si l image de tout coté est un coté. Notation : ( n Is P (resp. Is ( P n déplacement, antidéplacements conservant n, Is ( P n désigne l ensemble des isométries (resp. P. Théorème : - ( Is( Pn, o est un groupe et Is ( P n est un sous groupe de ( Is( Pn, o - Si Is ( P n est non vide et si s Is ( P n, alors Is ( Pn = Is ( Pn os
Preuve : - immédiat Is ( Pn Is ( Pn - Soit Ψ : f a f os Im Ψ Is ( P n f déplacement et s anti-déplacement. Donc f o s est un antidéplacement conservant P n. Ψ surjective, pour tout g Is ( P n, g = s o ( { s og deplacement ayant 1 pt fixe rotation Ψ injective, par l absurde f os = g os... f = g Donc Ψ bijective. Propriété : Une isométrie conserve Pn si et seulement si elle conserve Sn Preuve : soit f une isométrie si f conserve Sn alors f ([ A A ] = [ f ( A f ( A ] car f est affine. i i 1 i i 1 i i 1 = j f ([ A A ] [ A A ] Aj A = Ai Ai 1 = A0 A1 car Pn est régulier. = j 1 ou = j 1 On a f ( M = Propriété : Si une isométrie f conserve P n, alors O est invariant par f. Preuve : f est affine donc l image de l isobarycentre est l isobarycentre des images qui est l isobarycentre de P n. Conséquence : les isométries recherchées sont soit des rotations de centre O, soient des réflexions d axe passant par O. 2 Isométrie conservant un polygone régulier. a Recherche de Is ( P n. On note r la rotation telle que 0, n 1, r( A = r( A 1 avec A 0 = A 1. R conserve P n donc r a pour centre le point O. Soit m 0, n 1, 0, n 1, r m ( A = r m ( r ( A = r m ( A = A. 0 0 m Donc r Is ( P n. m
On obtient ainsi n rotations conservant P n. Ce sont les seules. En effet, si p Is ( P n, p est une rotation de centre O et il existe un entier m tel que p( A0 = Am. m Or il existe une unique rotation de centre O transformant A0 en A m donc p = r. n1 Conclusion : Is ( Pn : = { Id, r,..., r } b Recherche de Is ( P n On remarque que si r est une rotation de centre O et s une réflexion d axe passant par O, alors s o r est un anti-déplacement laissant O invariant, donc une réflexion. 2 1 On en déduis que ( s o r = Id et donc que s or = r o s. l l l 0, n 1, s ( A = s or ( A = r ( A = A Soit Donc soa Is ( P 0 n. Is ( P n OA0 l OA0 0 0 l Est non vide. Le théorème prétendent montre que Is ( P n Is ( Pn = { r soa, 0, n 1 } 0 Si s = r soa n médiatrice de [ 0 ] o., 0, 1 o alors s( A 0 0 = r ( A0 = A donc s est la réflexion d axe D la A A. Si est pair, D est la droite ( OA Sinon, D est la médiatrice de A A 2 2 2 2 On note D la médiatrice de [ A A 1 ] pour tout 0, n 1 Conclusion : -Si n est pair, Is ( P n est formé de n réflexions par rapport aux droites ( OA,...,( OA et aux médiatrices D0,..., Dn 1 0 n 1 -Si n est impair, Is ( P n ( OA,...,( OA. 0 n 1 2 est formé de n réflexions par rapport aux droites
c Groupe diédral Définition : Is( Pn est un groupe à 2n éléments engendré par r et s OA et est appelé groupe 0 diédral d ordre n et noté D. 3 Exemple 2n a Triangle équilatéral 3 { 2π 4π } Is ( P3 = Id, r( O,, r( O, 3 3 { OA OA OA } Is ( P = s, s, s 0 1 2 b Carré { π π 3π } Is ( P3 = Id, r( O,, r( O,, r( O, 2 2 { OA OA OA OA } Is ( P = s, s, s, s, D, D 3 0 1 2 3 1 2 c Hexagone
d Pentagone