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Leçon 1 Nombres enters En lsant avec attenton le lvre Le calcul et la géométre au temps des pharaons de M. ROUSSELET, Thomas apprend que «Les premers nombres qu ont été écrts en Égypte datent de 5 000 ans. La numératon égyptenne utlse sept symboles pour écrre les nombres : pour 1 2 pour 10 3 pour 100 5 pour 10 000 6 pour 100 000 4 pour 1 000 7 pour 1 000 000 Ces héroglyphes représentent, dans l ordre, un bâton, une voûte, une corde enroulée, une fleur de lotus, une dogt ponté, un têtard et un deu qu lève les bras vers le cel. Lorsqu on écrt un nombre, les héroglyphes sont juxtaposés dans n mporte quel ordre mas le même héroglyphe ne peut être dessné plus de neuf fos. Pour lre un nombre, on addtonne les valeurs de tous les héroglyphes qu ont été utlsés dans son écrture. Par exemple, 665555544332 252 214 223334455 22 324 3 4 1101.» Il s amuse alors à écrre des nombres à l ade de ces héroglyphes : 5

66 3 22 2 002 123 Il remarque qu on peut mettre les symboles dans n mporte quel sens. «Tens», se dt-l, «ce n est pas comme avec nos chffres». Pour écrre les nombres, on utlse dx chffres : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5;6;7;8;9. Dans l écrture d un nombre, chaque chffre a une seule sgnfcaton et changer la poston d un chffre change sa sgnfcaton. 123 1 centane 2 dzanes 3 untés (1 100) + (2 10) + (3 1) 231 2 centanes 3 dzanes 1 unté (2 100) + (3 10) + (1 1) 312 3 centanes 1 dzane 2 untés (3 100) + (1 10) + (2 1) La numératon arabe donna un apport révolutonnare aux mathématques : le zéro. D alleurs, voc les chffres «vértablement» arabes de 0à9: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Exercce 1 Dans les nombres suvants, chaque chffre a été remplacé par un symbole. Indquer le sens du chffre caché derrère le carré. 1. 2. 3. 4. 5. Compléter : Exercce 2 (5 10 000) + (9 1 000) + (8 100) + (4 10) + (1 1) =... (2 10) + (5 1) + (3 100) + (9 1 000) =... (3 10 000) + (5 1 000) + (7 10) + (5 1) =... (7 100) + (4 1 000) + (6 1) =... 6

Addton de nombres enters Exercce 3 Ce matn, j avas 1 315 tmbres. J en a obtenu 79 nouveaux par mon grand-père. Comben en a-je ce sor? Dans une addton, les nombres s appellent les termes et le résultat s appelle la somme. + 1 345 9473 9818 La somme de 345 et 9 473 est 9 818. 345 et 9 473 sont les termes de cette somme. Exercce 4 Poser et effectuer les addtons suvantes : 1. 3014+ 12 587 3. 123 547 + 98 536 2. 12 577 + 259 4. 256 897 + 57 498 L addton des nombres enters est une opératon qu possède de nombreuses proprétés : Proprété Dans un calcul ne comportant que des addtons, on peut regrouper des termes ou les échanger. On utlse prncpalement cette proprété pour le calcul mental : 125 + } 17 {{ + 8} = 125 + 25 = 150 32 + 14 + 8 + 26 = 32 }{{ + 8} +26 }{{ + 14} = 40 + 40 = 80 Ces proprétés sont également utles pour prévor ou vérfer rapdement la vrasemblance d un résultat. Pour cela, on utlse des nombres enters proches 7

de ceux que l on souhate addtonner. Par exemple, la somme 1 185 + 3604va êtreprochede1200+ 3600= 4 800. La somme exacte est 1 185 + 3604= 4 789. 1185 + 3604 4789 Exercce 5 On consdère les nombres pars à deux chffres (10 ; 12 ; 14...). Quelle est la somme de tous ces nombres? Explquer la réponse. Soustracton Exercce 6 Un transporteur part de Pars avec 5 500 kg de marchandses. À Djon, l dépose 750 kg de marchandses. Il ne s arrête plus jusqu à Besançon. Quelle masse de marchandses a-t-l à son arrvée à Besançon? Sot m et n deux nombres tels que m sot plus grand que n. Pour trouver le nombre que l on dot ajouter à n pour obtenr m, on effectue la dfférence m n. n+? = m? = m n? }{{} n }{{} m 9473 1 345 1 9128 La dfférence de 9 473 et de 345 est 9 128. 345 et 9 473 sont les termes de cette dfférence. La soustracton est donc étrotement lée à l addton. 8 175 + 38 = 213 213 38 = 175 213 175 = 38

Exercce 7 Poser et effectuer les soustractons suvantes : 1. 12 475 5748 3. 123 547 98 536 2. 7428 5649 4. 256 897 57 498 Attenton à ne pas échanger l ordre des calculs dans une soustracton Multplcaton Exercce 8 Un fermer élève 78 vaches qu lu donnent chacune 16 ltres de lat par jour. Comben obtent-l de lat par jour? Dans une multplcaton, les nombres s appellent les facteurs et le résultat s appelle le produt. 19 48 152 76 912 Le produt de 19 par 48 est 912. 19 et 48 sont les facteurs de ce produt. Exercce 9 Poser et effectuer les multplcatons suvantes : 1. 304 57 3. 725 206 2. 78 259 4. 429 578 La multplcaton des nombres enters, tout comme l addton, est une opératon qu possède de nombreuses proprétés : Proprété Dans un calcul ne comportant que des multplcatons, on peut regrouper des facteurs ou les échanger. 9

On utlse prncpalement cette proprété pour le calcul mental : 2 8 5 = 2 5 8 = 10 8 = 80 35 8 = 35 2 4 = 70 4 = 280 Lorsqu on multple un nombre enter par 0, le produt obtenu est 0. Exercce 10 Compléter les égaltés suvantes : 120 =... 40 250 = 5... 14000= 70... 1600= 4... 360 = 90... 720 = 8... 2700= 90... 3000= 15... 2 100 = 30... Dvson eucldenne Exercce 11 Dans un collège, l y a 162 élèves. On souhate consttuer des équpes de 13 joueurs. Comben peut-on fare d équpes? Y-at-l des élèves sans équpe? Un nombre non nul est un nombre dfférent de 0. Sot a un nombre enter et b un nombre enter non nul. La dvson eucldenne de a par b permet de trouver le nombre enter q de paquets de b untés que l on peut mettre dans la quantté a et s l exste éventuellement un reste r. a = q b + r (r < b) Le nombre q s appelle le quotent enter de a par b. 10 172 9 82 81 1 9 19 * 172 est le dvdende ; * 9 est le dvseur. 172 = 19 9 + 1 et 19 9 < 172 < 20 9

Attenton au reste : l faut toujours penser à vérfer s l est ben plus pett que le dvseur. Exercce 12 Poser et effectuer les dvsons eucldennes suvantes : 1. 728 5 2. 1247 9 3. 4257 7. Parfos, lorsqu on effectue une dvson eucldenne, l arrve que le reste sot nul. Par exemple, c est le cas de 4 665 15 : 4665 45 16 15 15 15 0 15 311 On peut alors écrre que 4 665 = 311 15 et dre que 4 665 est dans la table de multplcaton de 15. C est pourquo on utlse le vocabulare suvant : Sot a un nombre enter et b un nombre enter non nul. Lorsqu on fat la dvson eucldenne de a par b, s le reste est nul alors on dt que : * a est un multple de b ; * b dvse a ; * b est un dvseur de a. Avec la dvson eucldenne c-dessus, on peut également affrmer que 4 665 est un multple de 311. Exercce 13 Est-ce que 399 est un multple de 19? Est-ce que 421 est un multple de 34? 11

Parfos, l y a plus smple pour savor s un nombre enter est un multple d un autre nombre enter. Par exemple, 0 ; 14 ; 28 ; 42 ; 56 ; 70 sont des multples de 14, car ls sont dans la table de multplcaton de 14. Ic, l n y a pas beson de poser des dvsons eucldennes. De plus, l exste des méthodes rapdes pour savor s un nombre enter est un multple de 2 ; de 3 ; de 4 ; de 5 ou de 9. On les appelle crtères de dvsblté. Proprété Pour savor s un nombre enter est dvsble par 2, on regarde son chffre des untés : s celu-c est 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8, alors ce nombre est dvsble par 2, snon l ne l est pas. Comme 2 est le chffre des untés de 342, alors 342 est dvsble par 2. 325 n est pas dvsble par 2 car son chffre des untés n est n 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8. On dt auss que l on repère les nombres pars avec cette méthode. Proprété Pour savor s un nombre enter est dvsble par 5, on regarde son chffre des untés : s celu-c est 0 ou 5, alors ce nombre est dvsble par 5, snon l ne l est pas. Comme 325 a 5 comme chffre des untés, alors 325 est dvsble par 5. 342 n est pas dvsble par 5 car son chffre des untés n est n 0 n 5. En regroupant les deux proprétés précédentes, on obtent un crtère de dvsblté smple et ben connu : pour savor s un nombre enter est dvsble par 10, on regarde son chffre des untés : s c est 0, alors ce nombre est dvsble par 10, snon l ne l est pas. Savor s un nombre est un multple de 4 est tout auss smple... Consdérons le nombre 2 532. On peut l écrre sous la forme 2532= 2500+ 32. 12 Or, 2 500 = 25 100 = 25 25 4. C est déjà un multple de 4. Est-ce que 32 est un multple de 4? Évdemment ou Donc 2 532 est un multple de 4. Seul 32 a posé problème : on peut étendre cette méthode à tous les nombres et donner la proprété suvante :