Théorie de la Mesure et Intégration

Uiversité Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licece de Mathématiques L3 U 3M263 Itégratio Aée 2016 2017 Théorie de la Mesure et Itégratio Fraçois Bolley et Romai Dujardi Notes de cours d Amaury Lambert

Table des matières 1 Suites, esembles 4 1.1 La droite achevée............................... 4 1.2 Suites et séries umériques.......................... 4 1.3 sembles................................... 5 1.3.1 Opératios classiques......................... 6 1.3.2 Suites de parties d u esemble................... 6 1.3.3 Foctios idicatrices......................... 7 1.3.4 Foctios et esembles........................ 8 1.3.5 Cardiaux, équipotece....................... 9 1.3.6 Déombrabilité............................ 9 2 Tribus 12 2.1 Défiitios et exemples............................ 12 2.2 Tribu egedrée. Tribu boréliee sur R.................. 13 2.3 Tribus image et image réciproque...................... 14 3 Tribu boréliee sur u espace topologique 16 3.1 Topologie................................... 16 3.2 Tribu boréliee et foctios boréliees.................. 18 3.3 Complémet hors programme : l esemble triadique de Cator...... 19 3.4 Complémet hors programme : ue partie de R o boréliee...... 20 4 Mesures 22 4.1 Défiitios et propriétés........................... 22 4.2 Mesure de Lebesgue.............................. 26 4.3 Théorème de la classe mootoe....................... 27 4.3.1 Classe mootoe........................... 27 4.3.2 Théorème de la classe mootoe et corollaires........... 28 4.3.3 Applicatios.............................. 30 4.4 Théorème de Caratheodory......................... 31 5 Applicatios mesurables 33 5.1 Défiitios................................... 33 5.2 xemples et opératios stables pour la mesurabilité............ 33 2

TABL DS MATIÈRS 3 5.3 Applicatios boréliees etre espaces topologiques............ 34 5.4 Foctios étagées, e escalier......................... 35 6 Itégrale des foctios positives 38 6.1 Itégrale des foctios étagées positives................... 38 6.2 Itégrale des foctios mesurables positives................. 40 7 Itégrale des foctios de sige quelcoque 46 7.1 Itégrale des foctios mesurables de sige quelcoque.......... 46 7.2 Le théorème de covergece domiée de Lebesgue............. 48 7.3 Itégrale des foctios à valeurs complexes................. 48 8 Applicatios 50 8.1 Itégrale de Lebesgue et itégrale de Riema............... 50 8.2 Dérivées et primitives............................. 52 8.3 Itégrales dépedat d u paramètre.................... 54 8.4 Applicatios.................................. 55 8.4.1 Dérivatio sous le sige somme................... 55 8.4.2 Covolutio.............................. 56 8.4.3 Trasformée de Fourier........................ 56 9 Tribu produit et mesure produit 57 9.1 Tribu produit................................. 57 9.1.1 Cas gééral.............................. 57 9.1.2 Le cas borélie............................ 59 9.1.3 Sectios................................ 60 9.2 Mesure produit................................ 61 9.3 Théorèmes de Fubii............................. 63 10 Mesure image et chagemet de variable 66 10.1 Mesure image................................. 66 10.2 Formule du chagemet de variable..................... 69

Chapitre 1 Suites, esembles 1.1 La droite achevée Défiitio 1.1 O appelle droite achevée l esemble R := R { } {+ }. O cosidérera toujours la droite achevée comme l espace métrique associé à ue distace du type d(x, y) := f(x) f(y) où f(x) = si x R et f(± ) = ±1. Autremet x x 2 +1 dit, R est mui de la topologie usuelle de R, complétée avec les otios usuelles de covergece vers + et vers. La droite achevée est muie d u ordre total : pour tous x y R, < x y < +. La droite achevée est égalemet muie des opératios algébriques usuelles, avec les covetios suivates : + + = +, =, a + = +, a =, pour tout a R, aisi que et 0 = 0, a ]0, ] a = +, a [, 0[ a =. Remarque 1.2 Tout au log de ce cours, il faudra acquérir le réflexe de e jamais écrire les opératios iterdites (+ ) (+ ), ( ) ( ) et (± )/(± ). 1.2 Suites et séries umériques Ue suite umérique est ue suite à valeurs das R ou das R. Défiitio 1.3 O dit que a R est ue valeur d adhérece de la suite (u ) s il existe ue suite extraite (u ϕ() ) qui coverge vers a. 4

CHAPITR 1. SUITS, NSMBLS 5 xemple 1.4 Les valeurs d adhérece de la suite (cos(π/2)) sot 1, 0 et 1. Celles de la suite (( 1) + 1 ) sot 1 et +1. Notatio 1.5 (importate) Lorsqu ue suite (u ) est croissate (resp. décroissate), o otera souvet lim u (resp. lim u ) sa limite, pour rappeler que la suite est mootoe, et surtout pour idiquer que cette limite existe doc toujours (das R). Défiitio 1.6 La bore supérieure ( R) de l esemble des valeurs d adhérece de la suite (u ) est aussi ue valeur d adhérece de (u ). O la ote lim u ou lim sup u. C est doc la plus grade valeur d adhérece de (u ) et elle vérifie lim u = lim (sup u k ) = if (sup u k ). k k De même, la plus petite valeur d adhérece de (u ) est otée lim u ou lim if u, etc. Défiitio 1.7 O dit que la série de terme gééral (u ) est absolumet covergete si la suite des sommes partielles ( k=0 u k ) coverge das R, ce que l o ote égalemet u <. Théorème 1.8 Si la série de terme gééral (u ) est absolumet covergete, alors elle est covergete, c est-à-dire que la suite des sommes partielles ( k=0 u k) coverge das R. Propositio 1.9 La somme de la série de terme gééral u 0 (c est-à-dire la limite de la suite des sommes partielles, qui existe toujours das R + ) e déped pas de l ordre de sommatio. Démostratio. Soit ue bijectio ϕ : N N. O veut motrer que la suite S := k=0 u ϕ(k) a même limite das R + que S := k=0 u k. Soit 0 et N := max{ϕ(0),..., ϕ()}. Alors S = u ϕ(0) + + u ϕ() N j=0 u j = S N, doc S S N S. Faisat tedre o obtiet S S. L iégalité opposée s obtiet par symétrie. 1.3 sembles Soit u esemble. A sera appelé sous-esemble ou partie de ; o ote P() la famille (l esemble) des parties de ; A P() sera appelé famille de parties de ou classe de parties de ; ous seros ameés à cosidérer des esembles de familles de parties, que l o appellera alors collectios de familles de parties de.

CHAPITR 1. SUITS, NSMBLS 6 1.3.1 Opératios classiques Soiet A 1 et A 2 deux parties d u esemble. La réuio de A 1 et A 2, otée A 1 A 2 : x, x A 1 A 2 i {1, 2}, x A i L itersectio de A 1 et A 2, otée A 1 A 2 : x, x A 1 A 2 i {1, 2}, x A i Le complémetaire de A 1, oté c A 1 : x, x c A 1 x / A 1 La différece de A 1 avec A 2, otée A 1 \ A 2 et dite différece propre das le cas où A 2 A 1 : x, x A 1 \ A 2 x A 1 et x / A 2 La différece symétrique de A 1 et A 2, otée A 1 A 2 : x, x A 1 A 2 x A 1 A 2 et x / A 1 A 2. Remarque 1.10 Remarquer l associatio de la réuio avec le quatificateur, de l itersectio avec le quatificateur, aisi que l associatio du passage au complémetaire avec la égatio et de l iclusio avec l implicatio : A 1 A 2 ssi x, x A 1 x A 2. xercice 1.11 Motrer les idetités suivates : c (A 1 A 2 ) = c A 1 c A 2 c (A 1 A 2 ) = c A 1 c A 2 A 1 \ A 2 = A 1 c A 2 A 1 A 2 = (A 1 A 2 ) \ (A 1 A 2 ) = (A 1 \ A 2 ) (A 2 \ A 1 ). 1.3.2 Suites de parties d u esemble Soit (A ) ue suite de parties de. Défiitio 1.12 La suite (A ) est dite croissate (resp. décroissate) lorsque pour tout etier, A A +1 (resp. A +1 A ). Das ce cas, la limite de la suite (A ) est défiie aturellemet comme la réuio (resp. l itersectio) de tous les A : lim A := A (resp. A ). Par aalogie avec le cas réel, o otera cette limite lim (resp. lim ) pour faire référece au fait que la suite (A ) est croissate et que la limite est doc la réuio (resp. l itersectio) de tous ses élémets.

CHAPITR 1. SUITS, NSMBLS 7 Défiitio 1.13 O défiit les deux parties de suivates : lim sup A (ou lim A ) := lim A k = k A k, où la otatio lim fait référece au fait que la suite ( k A ) k est décroissate, si bie que sa limite existe toujours (et est l itersectio de tous ses élémets, ce qu idique la derière égalité) ; lim if A (ou lim A ) := lim A k = A k, k où la otatio lim fait référece au fait que la suite ( k A ) k est croissate, si bie que sa limite existe toujours (et est la réuio de tous ses élémets, ce qu idique la derière égalité). Remarque 1.14 O peut aussi caractériser la limite supérieure et la limite iférieure par les assertios suivates : pour tout x, x lim sup A k, x A k { : x A } est ifii. x lim if k, x A k { : x / A } est fii. Noter que lim if A lim sup A. Défiitio 1.15 O dit que la suite (A ) coverge si lim if A = lim sup A. Lorsque c est le cas o défiit lim A := lim if A = lim sup A. Remarque 1.16 La limite A d ue suite (A ) covergete est caractérisée par : { x A 0 0 x A x / A 1 1 x / A. xercice 1.17 Motrer les égalités lim sup c A = c (lim if A ) lim if 1.3.3 Foctios idicatrices c A = c (lim sup A ). Défiitio 1.18 O appelle idicatrice ou foctio idicatrice de la partie A la foctio Remarque 1.19 Noter que 1c A = 1 1 A. 1 A : {0, 1} { 0 si x / A x 1 si x A. Propositio 1.20 Au ses de la covergece simple, k k lim 1 A = 1 lim et lim 1 A = 1 lim A A.

CHAPITR 1. SUITS, NSMBLS 8 Dém. Pour tout x, lim 1 A (x) = 1 k, 1 Ak (x) = 1 k, x A k x lim A 1 lim A (x) = 1. L autre assertio se démotre de la même maière, ou e se servat de l assertio précédete : lim 1 A = lim(1 1c A ) = 1 lim 1c A = 1 1 lim = 1 c A 1c (lim A ) = 1 lim A, ce qui achève la démostratio. Remarque 1.21 Coséquece de cette propositio : la suite de parties (A ) coverge ssi la suite de foctios (1 A ) coverge simplemet (et lorsque c est le cas, la covergece a lieu vers 1 lim A ). 1.3.4 Foctios et esembles Défiitio 1.22 Soiet, F deux esembles et f : F. pour tout A, o ote f(a) l image directe de A par f : f(a) := {y F : x A, f(x) = y}. pour tout B F, o ote f 1 (B) l image réciproque de B par f : f 1 (B) := {x : f(x) B}. Remarque 1.23 La otatio f 1 (B) e fera que très raremet, sio jamais, référece à l applicatio iverse ou réciproque de l applicatio f das les cas où elle serait par hasard bijective. Néamois, oter la cohérece de ces otatios, au ses où si f est bijective, alors o a bie égalité etre l image réciproque f 1 (B) de B par f et l image directe f 1 (B) de B par l iverse f 1 de f. xercice 1.24 Motrer les formules de Hausdorff (cf feuille de TD) : pour tous I et J esembles d idices o vides, pour toutes familles (A i ) i I de parties de et (B j ) j J de parties de F, tout B F et toute foctio f : F, ( ) f A i = f(a i ), i i ( ) f A i f(a i ) i i avec égalité si f est ijective ; ( ) f 1 B j = ( ) f 1 (B j ), f 1 B j = f 1 (B j ), ( c f 1 (B) ) = f 1 ( c B). j j j j

CHAPITR 1. SUITS, NSMBLS 9 1.3.5 Cardiaux, équipotece Défiitio 1.25 Deux esembles et F sot dits équipotets, ou avoir même cardial, ou ecore même puissace, s il existe ue bijectio de l u sur l autre. O ote alors Card() = Card(F ). Défiitio 1.26 O otera Card() Card(F ) s il existe ue ijectio de das F, c est-à-dire si a même cardial qu ue partie de F. Si de plus et F ot pas même cardial, o otera Card() < Card(F ). xemple 1.27 L esemble P() et l esemble {0, 1} des applicatios : {0, 1} sot équipotets car l applicatio A 1 A est ue bijectio de l u sur l autre ; les esembles N et 2N (etiers pairs) sot équipotets car l applicatio 2 est ue bijectio de l u sur l autre ; les esembles N et N N sot équipotets car o peut bie éumérer de maière ijective les couples d etiers (par exemple e suivat les poits des droites d équatio y = x + c, lorsque c croît das N) ; par récurrece, N est équipotet avec tous les produits cartésies N p (p N ). Théorème 1.28 (théorème de Cator Berstei, admis) Si Card( 1 ) Card( 2 ) et Card( 2 ) Card( 1 ), alors Card( 1 ) = Card( 2 ). Propositio 1.29 Card() < Card(P()). Dém. D ue part il existe ue ijectio de das P(), par exemple celle qui à x associe {x}. Soit d autre part f : P() et motros que f e peut être surjective (et doc e peut être bijective). Soit pour cela Ω := {x : x / f(x)}. Motros que par l absurde que Ω e peut avoir d atécédet par f. S il existe z tel que f(z) = Ω alors soit z Ω, et alors z / f(z), c est-à-dire z / Ω ; soit z / Ω, et alors z f(z), c est-à-dire z Ω, ce qui costitue ue cotradictio. 1.3.6 Déombrabilité Défiitio 1.30 est dit déombrable (ou : au plus déombrable) si Card() Card(N). est dit o déombrable si Card() > Card(N). Propositio 1.31 Les esembles Z, N p (p N ) et Q sot déombrables.

CHAPITR 1. SUITS, NSMBLS 10 Dém. O a déjà vu que N p était équipotet à N. Pour ce qui est de Z, la foctio f : Z N { 2 si 0 2 1 si > 0 est ue bijectio. fi, rappelos que pour tout x Q, il existe u uique couple (p, q) Z N tel que x = p/q et p q = 1. Aisi la foctio qui à 0 associe (0, 1) et qui est défiie sur Q par f : Q Z N p/q (p, q) est ue ijectio de Q das Z N, doc Card(Q) Card(Z N ). Or il existe ue ijectio g : Z N, doc l applicatio qui à (x, y) associe (g(x), y) est ue ijectio de Z N das N 2, ce qui motre que Card(Z N ) Card(N 2 ) = Card(N). Doc Card(Q) Card(N). Propositio 1.32 Toute réuio déombrable d esembles déombrables est déombrable. Dém. Soit = N, où pour tout N, est déombrable. Alors par défiitio, pour tout N il existe ue ijectio ϕ : N. Pour tout x o défiit alors Alors la foctio N(x) := mi{ 0 : x } <. φ : N 2 x (N(x), ϕ N(x) (x)) est ue ijectio car pour tous x, y tels que φ(x) = φ(y), o a N(x) = N(y) =: puis ϕ N(x) (x) = ϕ N(y) (y), c est-à-dire ϕ (x) = ϕ (y), doc x = y, puisque ϕ est ijective. Par coséquet, Card() Card(N 2 ) = Card(N). Propositio 1.33 Tout produit cartésie fii d esembles déombrables est déombrable. Dém. Pour i = 1,...,, soit i déombrable et ue ijectio ϕ i : i N. Alors la foctio φ : Π i=1 i N (x 1,..., x ) (ϕ 1 (x 1 ),..., ϕ (x )) est ijective doc Card(Π i i ) Card(N ) = Card(N). Propositio 1.34 U produit cartésie ifii déombrable d esembles o vides (même fiis) est o déombrable dès qu ue ifiité d etre eux e sot pas réduits à u sigleto.

CHAPITR 1. SUITS, NSMBLS 11 Dém. Admettos pour simplifier que pour tout i N, Card( i ) 2. Alors pour tout i, il existe ue ijectio ϕ i : {0, 1} i. Doc l applicatio φ : {0, 1} N 0 1 (x 0, x 1,...) (ϕ 0 (x 0 ), ϕ 1 (x 1 ),...) est ijective, doc Card(Π i i ) Card({0, 1} N ) = CardP(N) > Card(N). Théorème 1.35 Les esembles R et P(N) sot équipotets. Dém. Première étape : motros que toute partie de R coteat u itervalle ouvert est équipotete à R. Soit A R coteat u itervalle I qu o écrira sous la forme I =]b a, b + a[ : alors A s ijecte bie sûr das R, mais R s ijecte aussi das A par exemple par l applicatio φ : R A x x a x2 + 1 + b. Deuxième étape : motros que Card(P(N)) Card([0, 1/2]). O sait d après l étape précédete que ce cardial vaut Card(R). Soit l applicatio φ : {0, 1} N [0, 1/2] x = (x ) x 3. +1 0 Motros que φ est bie ijective. Pour tous x y, soit := mi{k 0 : x k y k } <. Alors x y φ(x) φ(y) = + x k y k 3 +1 3 k+1 k +1 x y y k x k 3 +1 3 k+1 1 3 +1 k +1 k +1 1 3 = 1 k+1 3 1 1 +1 3 +2 1 1/3 = 1 > 0, 2 3+1 ce qui prouve que φ(x) φ(y). Troisième étape : motros que Card({0, 1} N ) Card([0, 1[), ce qui équivaut à Card(P(N)) Card(R). Soit ψ : [0, 1[ {0, 1} N l applicatio qui à x [0, 1[ associe so développemet dyadique propre, c est-à-dire la suite (x ) de 0 et de 1 défiie récursivemet par x 0 := [2x], et O a x = k 0 x := [2 +1 ( x 1 k=0 x k 2 k+1 x k 2 k+1. La foctio ψ est alors ijective (car x = y si ψ(x) = ψ(y)). )].

Chapitre 2 Tribus 2.1 Défiitios et exemples Défiitio 2.1 Ue classe A de parties d u esemble est appelée tribu ou σ-algèbre (sur ) si (i) elle cotiet : A ; (ii) elle est stable par passage au complémetaire : c A A pour tout A, A A ; (iii) elle est stable par réuio déombrable : si (A ) est ue famille déombrable d élémets de A, alors A A. O dit alors que (, A ) est u espace mesurable. Remarque 2.2 Cette défiitio a quelques coséqueces immédiates : A car = c ; stabilité par itersectio déombrable car A = c ( c A ) ; stabilité par différece car A \ B = A c B ; stabilité par différece symétrique car A B = (A \ B) (B \ A) ; stabilité par limite supérieure car lim A = k A k ; stabilité par limite iférieure. xercice 2.3 Il est équivalet de défiir ue tribu comme ue classe A de parties de vérifiat les propriétés suivates : A cotiet, est stable par passage au complémetaire et est stable par itersectio déombrable. xemple 2.4 Quelques exemples de tribus : {, } est ue tribu (parfois appelée la tribu grossière) ; P() est ue tribu (parfois appelée la tribu triviale) ; si (A ) N est ue partitio de déombrable (fiie ou ifiie), alors A := { i I A i : I N} est ue tribu sur ; si A, la plus petite (voir sectio suivate) tribu coteat A est {,, A, c A} ; efi, A := {A : A ou c A est déombrable} est ue tribu, ce que ous démotros ci-dessous. 12

CHAPITR 2. TRIBUS 13 Dém. Nous démotreros uiquemet la stabilité par réuio déombrable. Soiet (A ) A. Alors ou bie pour tout, A est déombrable et alors A est déombrable ; ou bie il existe 0 tel que A 0 est o déombrable, et alors c A 0 est déombrable, doc c A c A 0 est déombrable, et par coséquet A est de complémetaire c A déombrable ; Das les deux cas A A. 2.2 Tribu egedrée. Tribu boréliee sur R Propositio 2.5 (et défiitio) a) L itersectio d ue collectio o vide quelcoque 1 de tribus de parties de est elle-même ue tribu. b) Pour toute classe C de parties de, l itersectio de toutes les tribus coteat 2 C est (doc 3 ) ue tribu : elle est appelée la plus petite tribu coteat C, ou tribu egedrée par C, et otée σ(c ) : σ(c ) := A. A tribu,c A Remarque 2.6 O rappelle que le terme collectio désige u esemble de famille de parties ; il faut garder à l esprit que si A et B sot des familles de parties de alors C A B ssi C A et C B (o itersecte pas ici les parties de ) ; le terme de plus petite tribu a de ses qu à la lumière de la défiitio précédete, car il existe pas d ordre total sur les tribus. Remarque 2.7 Pour toute classe B de parties de, B σ(b), par défiitio ; si C est ue classe de parties de et A est ue tribu de parties de telle que C A, alors A est élémet de la collectio des tribus coteat C, doc cotiet so itersectio σ(c ), autremet dit σ(c ) A ; première coséquece : si A est ue tribu de parties de, alors σ(a ) = A ; deuxième coséquece : si C B alors B σ(b) implique C σ(b), et comme σ(b) est ue tribu, σ(c ) σ(b). Remarque 2.8 (méthodologie) Si A est ue tribu, pour motrer que A = σ(c ), o motre que A σ(c ) et que C A ; pour motrer que σ(c 1 ) = σ(c 2 ), o motre que C 1 σ(c 2 ) et que C 2 σ(c 1 ). Défiitio 2.9 O ote B(R), ou Bor(R), et o appelle tribu de Borel sur R la tribu egedrée par les itervalles ouverts de R. La tribu de Borel sur R est l esemble des parties de R preat l ue des formes A, A {+ }, A { } ou A {, + }, où A Bor(R). Propositio 2.10 Soit S ue partie dese de R 4. Alors Bor(R) est la tribu egedrée 1. quelcoque au ses de «pas forcémet déombrable» 2. au ses de l iclusio 3. cette collectio est o vide car u de ses élémets est P() 4. c est-à-dire telle que tout ombre réel est limite d ue suite à valeurs das S ; par exemple S = Q

CHAPITR 2. TRIBUS 14 par les itervalles du type a) [a, + [, a S; b) ]b, + [, b S; c) ], c[, c S; d) ], d], d S. Il e est de même pour Bor( R) avec les itervalles du type [a, + ], etc. Dém. [de a)] Soit I S l esemble des itervalles de la forme [a, + [ pour a S. Tout d abord, B(R) cotiet tous les itervalles fermés de R car est stable par passage au complémetaire ; o a doc l iclusio σ(i S ) B(R). Soit maiteat a [, + [. Comme S est dese, il existe ue suite décroissate (a ) d élémets de S tels que a a pour tout, et lim a = a. Comme [a, + [ I S, o a [a, + [ σ(i S ), doc par stabilité par réuio déombrable de la tribu σ(i S ), ]a, + [= [a, + [ σ(i S ). O démotre avec ue suite croissate que [a, + [ σ(i S ). De plus, pour tous a, b [, + [, l itervalle ]a, b[ s écrit ]a, + [\[b, + [ σ(i S ). Par coséquet I σ(i S ), où I est l esemble des itervalles ouverts de R et B(R) = σ(i ) σ(i S ). 2.3 Tribus image et image réciproque Soit f : 1 2. Propositio 2.11 Si A 2 est ue tribu sur 2, alors f 1 (A 2 ) := {f 1 (Y ), Y A 2 } est ue tribu sur 1, appelée tribu image réciproque (de A 2 par f). Dém. Par les formules de Hausdorff : i) f 1 ( 2 ) = 1 f 1 (A 2 ) ; ii) pour tout Y A 2, c (f 1 (Y )) = f 1 ( c Y ) f 1 (A 2 ) ; iii) pour toute suite (Y ) A 2, f 1 (Y ) = f 1 ( Y ) f 1 (A 2 ) car Y A 2. Propositio 2.12 Si A 1 est ue tribu sur 1, B = {Y 2 : f 1 (Y ) A 1 } est ue tribu sur 2, appelée tribu image (de A 1 par f). Remarque 2.13 La tribu image est PAS f(a 1 ) qui e gééral est pas ue tribu. Dém. Par les formules de Hausdorff égalemet. Défiitio 2.14 (et propositio) Soit (, A ) u esemble mesurable et X ue partie de. La classe C = {A X : A A } de parties de X est ue tribu sur X appelée tribu trace de A sur X. Remarque 2.15 Cette défiitio a surtout de l itérêt das le cas où X / A.

CHAPITR 2. TRIBUS 15 Dém. La classe C est la tribu image réciproque de A par l ijectio caoique i : X : e effet pour tout A A, i 1 (A) = A X. Théorème 2.16 (lemme de trasport) Soit f : 1 2 et C ue classe de parties de 2. Alors σ(f 1 (C )) = f 1 (σ(c )). Dém. Motros l iclusio. Tout d abord C σ(c ), doc f 1 (C ) f 1 (σ(c )). Aisi f 1 (σ(c )) est ue tribu coteat f 1 (C ) doc σ(f 1 (C )) f 1 (σ(c )). Iversemet, soit B la tribu image de σ(f 1 (C )) par f, c est-à-dire B := {Y 2 : f 1 (Y ) σ(f 1 (C ))}. Alors C B, et B est ue tribu, doc σ(c ) B, puis f 1 (σ(c )) f 1 (B). Mais par défiitio de B, f 1 (B) σ(f 1 (C )) doc f 1 (σ(c )) σ(f 1 (C )).

Chapitre 3 Tribu boréliee sur u espace topologique 3.1 Topologie Défiitio 3.1 Ue famille O() de parties d u esemble est appelée topologie, et ses élémets des ouverts, si i) elle cotiet et : O() et O() ; ii) elle est stable par itersectio fiie : U V O() pour tous U, V O(), ; iii) elle est stable par réuio quelcoque 1 : pour tout I esemble d idices et pour toute famille d ouverts (O i, i I), i I O i est u ouvert. Les complémetaires des ouverts sot appelés des fermés. Remarque 3.2 Les ouverts et sot aussi des fermés ; les fermés sot stables par réuios fiies et par itersectios quelcoques. Défiitio 3.3 Das u espace métrique (, d), la topologie dite relative à la distace d est costituée des réuios quelcoques de parties du type B(x, r) := {y : d(x, y) < r} appelée boule ouverte de cetre x et de rayo r. Remarque 3.4 Ue partie O de l espace métrique (, d) est ouverte ssi pour tout x O il existe r > 0, B(x, r) O (u ouvert O d u espace métrique est la réuio des boules ouvertes coteues das O). Ue partie A de l espace métrique (, d) est fermée ssi pour toute suite (x ) à valeurs das A et covergeat vers ue limite x, x A. Défiitio 3.5 Soiet et F deux espaces topologiques. Ue foctio f : F est dite cotiue si l image réciproque par f de tout ouvert est u ouvert (ce qui est équivalet à dire que l image réciproque par f de tout fermé est u fermé). 1. au ses où l o e fait pas d hypothèse sur le cardial de I 16

CHAPITR 3. TRIBU BORÉLINN SUR UN SPAC TOPOLOGIQU 17 Propositio 3.6 Soiet et F deux espaces métriques. Ue foctio f : F est dite cotiue ssi pour toute suite (x ) de covergeat vers x, la suite (f(x )) est aussi covergete et lim f(x ) = f(x). Défiitio 3.7 Soit X. La topologie trace 2 de O() sur X est costituée des itersectios des ouverts de avec X. Das le cas métrique, la topologie trace est la topologie relative à la restrictio de la distace à X X. Défiitio 3.8 La topologie produit de F est costituée des réuios quelcoques de pavés à côtés ouverts : O( F ) := { i I U i V i, U i O(), V i O(F ), I esemble d idices quelcoque}. Propositio 3.9 La topologie produit est aussi la plus petite topologie qui redet les projectios caoiques et π : F (x, y) x π F : F F (x, y) y cotiues. Das le cas métrique, la topologie produit est la topologie relative à toute distace classique du type d((x, y), (x, y )) := d (x, x ) + d F (y, y ) ou d (x, x ) 2 + d F (y, y ) 2 ou d (x, x ) d F (y, y ). Défiitio 3.10 O dit qu ue famille déombrable d ouverts (ω ) N de est ue base déombrable d ouverts si tout ouvert de s écrit comme réuio d élémets de cette famille, autremet dit : O O(), I N : O = i I ω i ; ou de maière équivalete : O O(), x O, N : x ω O. Propositio 3.11 U espace métrique (, d) est à base déombrable d ouverts ssi il cotiet ue suite dese 3. O dit alors que est séparable. Dém. Ses : soit (ω ) N ue famille déombrable d ouverts de, et (x ) ue suite de telle que pour tout, x ω. Alors la suite (x ) est dese, e effet : pour tout x, l ouvert B(x, 1/) s écrit comme réuio d ouverts du type ω i, doc il existe i() tel que ω i() B(x, 1/). Soit y := x i(), alors d(y, x) 1/, doc y x. 2. dite aussi topologie iduite 3. autremet dit : il existe u esemble déombrable A tel que Ā = (A est alors dit dese das )

CHAPITR 3. TRIBU BORÉLINN SUR UN SPAC TOPOLOGIQU 18 Ses : si (x ) est ue suite dese, alors la famille {B(x, r), N, r Q +} est ue base déombrable d ouverts car elle s ijecte das N Q (qui est déombrable) et pour tout O O(), O = B(x, r), ce qui achève la démostratio.,r:b(x,r) O Remarque 3.12 R d est séparable car Q d est ue suite dese. Les rectagles ouverts (produits d itervalles ouverts) à extrémités ratioelles formet ue base déombrable d ouverts de R d. Remarque 3.13 Le cadre usuel pour les applicatios e probabilités est celui des espaces poloais, qui sot les espaces métriques complets et séparables. Les fermés des espaces vectoriels ormés de dimesio fiie et la plupart des espaces de Baach usuels sot des espaces poloais. 3.2 Tribu boréliee et foctios boréliees Défiitio 3.14 Si est u espace topologique, o ote Bor() ou B() et o appelle tribu de Borel ou tribu boréliee, la tribu egedrée par les ouverts de : autremet dit, B() := σ(o()). Les élémets de B() sot appelés parties boréliees ou borélies de. Remarque 3.15 La tribu de Borel est aussi la tribu egedrée par la classe C des fermés de, e effet : d ue part C B(), doc σ(c ) B() car tout fermé est le complémetaire d u ouvert, qui appartiet à B(), doc appartiet aussi à B() ; d autre part O() σ(c ), doc (B() =)σ(o()) σ(c )) car tout ouvert est le complémetaire d u fermé, qui appartiet à σ(c ), doc appartiet aussi à σ(c ) (même raisoemet). Remarque 3.16 Il existe des parties de R o boréliees (voir derière sectio de ce chapitre). revache, si est déombrable, mui de la topologie discrète : toute partie est ouverte (et fermée), doc boréliee : B() = P(). Propositio 3.17 Si admet ue base déombrable d ouverts (ω ) N, alors Bor() = σ({ω ; N}). Dém. Par double iclusio : {ω ; N} O() B(), doc σ({ω ; N}) B(). Das l autre ses, o sait que tout ouvert O s écrit comme réuio d élémets de {ω ; N}. Comme ue telle réuio est forcémet déombrable, O est u élémet de σ({ω ; N}). O a doc O() σ({ω ; N}), ce qui implique B() σ({ω ; N}).

CHAPITR 3. TRIBU BORÉLINN SUR UN SPAC TOPOLOGIQU 19 Corollaire 3.18 La tribu Bor(R d ) est la tribu egedrée par la classe des rectagles ouverts 4, mais est aussi la tribu egedrée par les rectagles ouverts à extrémités à coordoées das Q ou das toute autre partie dese de R. Propositio 3.19 La tribu trace de Bor() sur ue partie X de est la tribu egedrée par la topologie trace de X. Dém. Soit i : X l ijectio caoique. La tribu trace est i 1 (B()) = i 1 (σ(o()) = σ(i 1 (O()), par le lemme de trasport. Mais i 1 (O() est autre que la topologie trace, c est-à-dire {A X, A O()}. 3.3 Complémet hors programme : l esemble triadique de Cator L esemble triadique de Cator est u sous-esemble de l itervalle [0, 1]. C est u exemple de partie de R qui e cotiet aucu poit isolé mais e cotiet pas o plus d itervalle ouvert. Il est défii comme la limite d ue suite décroissate de réuios fiies d itervalles fermés, ce qui e fait u fermé (comme itersectio de fermés). Plus précisémet, soit A 0 l itervalle [0, 1], A 1 la réuio de l itervalle [0, 1/3] et de l itervalle [2/3, 1], et plus gééralemet A +1 la partie de A obteue e divisat chaque composate coexe de A e trois sous-itervalles de tailles égales et e lui e ôtat le sous-itervalle cetral. Plus rigoureusemet, A +1 := 1 3 A 1 3 (2 + A ). Défiitio 3.20 Le fermé K := lim A est appelé esemble triadique de Cator. Das la propositio suivate, o appelle (provisoiremet sas précautios mathématiques) «mesure de Lebesgue» d ue partie de R, sa logueur totale. Ue défiitio rigoureuse de cette «mesure» sera doée das le chapitre suivat. Propositio 3.21 L esemble triadique de Cator peut s écrire sous la forme { } x K = 3, x {0, 2}. 1 Il est compact, d itérieur vide, équipotet à R, de mesure de Lebesgue ulle. Remarque 3.22 Tout esemble déombrable est de mesure de Lebesgue ulle, comme réuio déombrable d esembles de mesure ulle (les sigletos le costituat). O voit ici que la réciproque est fausse : K est u exemple d esemble de mesure de Lebesgue ulle mais o déombrable. 4. rectagle = produit d itervalles ; rectagle ouvert = produit d itervalles ouverts

CHAPITR 3. TRIBU BORÉLINN SUR UN SPAC TOPOLOGIQU 20 Dém. K est fermé boré das R doc compact. Par récurrece, o voit que les composates coexes de A sot des itervalles fermés de logueur 3 dot les extrémités x () k sot les ombres réels de la forme k=1 + ε, où x () 3 3 k {0, 2} et ε {0, 1} : pour chaque itervalle, ε = 0 correspod à l extrémité gauche, et ε = 1 correspod à l extrémité droite. Motros l égalité aocée par double iclusio : : pour toute suite (x k ) à valeurs das {0, 2}, pour tout etier, x k k=1 A 3 K ; par suite la limite k=1 x k 3 K puisque K est fermé. : soit x K et soit x () l extrémité gauche de la composate coexe de A qui cotiet x. particulier x () x 3. Cherchos ue relatio etre x () et x (+1). Lorsqu o passe de A à A +1, soit x est das le sous-itervalle de gauche, auquel cas x (+1) = x (), soit x est das le sous-itervalle de droite, auquel cas x (+1) = x () + 2 3 +1. O peut doc écrire x (+1) = x () + x +1, où x 3 +1 +1 {0, 2}, et comme x (0) = 0, cela doe x () = x k k=1, qui coverge e croissat vers y := x k 3 k k=1. Or x () x 3 doc 3 k la suite (x () ) coverge vers x, ce qui implique y = x. Motros que K est d itérieur vide. Soit x K et ε > 0. La boule B(x, ε) itersecte c A pour tout dès que 3 < ε. Doc B(x, ε) itersecte c A, qui est autre que le complémetaire de A = K. Aisi, K e cotiet aucue boule ouverte cetrée sur x, c est-à-dire que x est pas itérieur à K. Motros que K est équipotet à R. L applicatio f : {0, 2} N K (x ) 1 est ue ijectio doc Card(K) Card({0, 2} N ) = Card(R). D autre part Card(R) Card(K) puisque K R. fi K est de mesure de Lebesgue ulle car K = lim A doc 5 λ(k) = lim λ(a ) = lim ( 2 3) = 0. 3.4 Complémet hors programme : ue partie de R o boréliee Les tribus sot des familles de parties qui sot destiées à être mesurées. Pour pouvoir mesurer des parties suffisammet compliquées comme celles qui e peuvet être défiies que par des passages à la limite (comme l esemble triadique de Cator), les tribus doivet être assez fies pour être stables par des opératios relativemet géérales comme le passage au complémetaire, les réuios et itersectios déombrables. Néamois, elles e doivet pas être si fies qu elles cotieet des parties o mesurables, comme l exemple qui va suivre. O défiit la relatio d équivalece sur R : x 3 x y x y Q. 5. Propriété de cotiuité de la mesure pour les suites décroissates dot u élémet est de mesure fiie, ce que ous verros das le chapitre suivat

CHAPITR 3. TRIBU BORÉLINN SUR UN SPAC TOPOLOGIQU 21 se servat de l axiome du choix, o peut supposer l existece d ue partie A de ]0, 1[ qui cotiet exactemet u représetat et u seul de chaque classe d équivalece de la relatio. particulier, A est pas déombrable, mais surtout ous allos motrer que A e peut admettre de mesure de Lebesgue. Cette assertio implique l assertio suivate : A est pas boréliee. effet, ous verros (plus tard) que tout borélie admet ue mesure de Lebesgue. Motros par l absurde que A e peut admettre de mesure de Lebesgue : soit λ(a) [0, + ] la mesure de A (ous verros que λ est la otatio usuelle de la mesure de Lebesgue). Soit L := (r + A), r Q ] 1,1[ où r + A = {r + x, x A}. Comme A admet ue mesure, alors chaque partie r + A e admet ue aussi, qui vaut d ailleurs λ(a) par ivariace par traslatio de la mesure de Lebesgue. Comme L est réuio déombrable de parties admettat ue mesure, ce doit être égalemet so cas. Motros que ]0, 1[ L. Pour tout x ]0, 1[, désigos par a = a(x) le représetat de sa classe d équivalece coteu das A. Alors e particulier, x a Q, et x a ] 1, 1[, doc r := x a Q ] 1, 1[, et comme x r + A, x L. O a aussi L ] 1, 2[, doc o e déduit 1 λ(l) 3. Motros que les parties r + A (r Q) sot deux à deux disjoites. Soiet r, s Q. Si (r + A) (s + A), alors il existe a, b A tels que z = r + a = s + b, doc b a = r s Q. Par coséquet a b, mais comme a, b A qui e cotiet qu u représetat de chaque classe d équivalece, a = b, doc r = s. Par σ-additivité, ous e déduisos λ(l) = λ( r (r + A)) = r λ(r + A) = r λ(a). Cette somme e peut être qu ifiie (si λ(a) 0) ou ulle (si λ(a) = 0), ce qui cotredit l iégalité 1 λ(l) 3.

Chapitre 4 Mesures 4.1 Défiitios et propriétés Défiitio 4.1 Ue mesure 1 sur l espace mesurable (, A ) est ue applicatio µ : A [0, + ] qui : (i) associe la valeur 0 à l esemble vide : µ( ) = 0 ; (ii) est σ-additive : pour toute suite (A ) d élémets de A deux à deux disjoits, µ( A ) = µ(a ). O dit que (, A, µ) est u espace mesuré, et pour tout A A, o appelle µ(a) la mesure de A. Remarque 4.2 O a besoi de la σ-additivité pour pouvoir calculer la mesure de parties compliquées costruites comme limites d esembles plus simples que l o sait mesurer. Remarque 4.3 Das l égalité µ( A ) = µ(a ), o remarque que l ordre de sommatio (membre de droite) iterviet pas car la série est à termes positifs, ce qui est cohéret avec le membre de gauche. O remarque égalemet que la σ-additivité implique l additivité fiie grâce à (i) : si l o défiit A i = pour tout i + 1, alors µ( i=1a i ) = µ( i=1a i ) = i 1 µ(a i) = i=1 µ(a i). Propositio 4.4 Ue mesure µ sur u (, A ) vérifie pour tous A, B A : (i) Additivité fiie : µ(a) = µ(a \ B) + µ(a B) ; (ii) Additivité forte : µ(a B) + µ(a B) = µ(a) + µ(b) ; (iii) Sous-additivité : µ(a B) µ(a) + µ(b) ; (iv) Croissace : si A B, µ(a) µ(b). Remarque 4.5 (ii), predre garde de e pas écrire µ(a B) = µ(a)+µ(b) µ(a B), qui pourrait être ue forme idétermiée, si µ(a B) = +. 1. Das ce cours ous e cosidéreros que des mesures positives 22

CHAPITR 4. MSURS 23 Dém. (i) A \ B et A B sot disjoits et leur réuio est A. (ii) A \ B, A B et B \ A sot disjoits et leur réuio est A B, doc µ(a \ B) + µ(a B) + µ(b \ A) = µ(a B), doc e ajoutat µ(a B) à chaque membre o obtiet µ(a \ B) + µ(a B) + µ(b \ A) + µ(a B) = µ(a B) + µ(a B), mais das le premier membre, grâce à (i), la somme des deux premiers termes vaut µ(a) et la somme des deux deriers termes vaut µ(b). (iii) Coséquece de (ii). (iv) D après (ii) si A B, alors µ(b) = µ(b \ A) + µ(b A) = µ(b \ A) + µ(a) µ(a), qui est l iégalité souhaitée. Propositio 4.6 Ue applicatio µ : A [0, + ] est ue mesure ssi : (i) µ( ) = 0 ; (ii) µ est fiimet additive : pour tous élémets A i (i I) deux à deux disjoits de la tribu A, si I est fii, alors µ( i I A i ) = i I µ(a i). (iii) µ est cotiue à gauche 2 : pour toute suite croissate (A ) N d élémets de A, µ(lim A ) = lim µ(a ). Remarque 4.7 La suite (A ) N état croissate, lim A est autre que A. Dém. Motros d abord le ses et supposos doc que µ est ue mesure. O a déjà vu que (i) et (ii) sot vraies. Motros la cotiuité à gauche. Soit (A ) ue suite croissate de parties mesurables et soiet B 0 := A 0, et pour tout etier aturel o ul, B := A \ A 1. Alors les (B ) sot des élémets de A deux à deux disjoits, doc µ( B ) = µ(b ). Mais d ue part, B = A = lim A et d autre part, µ(b ) = lim µ(b k ) = lim µ( k=0b k ) = lim µ(a ). k=0 Motros maiteat. Soit doc µ vérifiat les trois propriétés de la propositio. Il ous suffit de motrer que µ est bie σ-additive. Soiet (A ) mesurables et deux à deux disjoites. Soit B := k=0 A k, alors (B ) est ue suite croissate doc µ( B ) = 2. il s agit d ue expressio figurée qui sigifie cotiue pour les suites croissates et est utilisée par aalogie avec les foctios : R R pour qui ces deux expressios sot syoymes

CHAPITR 4. MSURS 24 lim µ(b ). Mais d ue part µ( B ) = µ( k=0 A k) = µ( A ), et d autre part, comme µ est fiimet additive, µ(b ) = µ( k=0 A k) = k=0 µ(a k). Aisi µ( A ) = µ( B ) = lim µ(b ) = lim ce qui motre la σ-additivité de µ. k=0 µ(a k ) = µ(a ), Corollaire 4.8 Toute mesure µ est sous σ-additive, au ses où pour toute suite (A ) d élémets de A, µ( A ) µ(a ). Dém. Soit B := k=0 A k. Par sous-additivité, µ(b ) k=0 µ(a k). Mais comme la suite (B ) croît et coverge vers A, e passat à la limite das l iégalité précédete, o obtiet µ( A ) = µ( B ) = lim µ(b ) lim k=0 µ(a k ) = où la deuxième égalité est due à la cotiuité à gauche des mesures. µ(a ), xemple 4.9 Quelques exemples de mesures : la mesure ulle est défiie sur P() (et doc sur toute autre tribu) par µ(a) := 0 pour tout A ; la mesure grossière sur P() : µ(a) := + dès que A (et µ( ) = 0) ; pour tout a, la mesure de Dirac au poit a est défiie pour tout A P() par { 1 si a A µ(a) := 0 sio. Cette mesure est souvet otée δ a ; la mesure de comptage sur P() : { Card(A) si A est fii µ(a) := + sio, où Card(A) désige ici le ombre d élémets de l esemble A. soit u espace mesuré (, A, µ) et X ue partie de. SI X A, alors o peut défiir la mesure trace µ X de µ sur X par µ X (A) := µ(a X) pour tout A A. xercice 4.10 Motrer que la mesure de comptage est bie ue mesure e prouvat qu elle vérifie les trois propriétés de la Propositio 4.6. Défiitio 4.11 Ue mesure µ sur u espace mesurable (, A ) : est dite fiie, ou borée, si µ() < (ce qui équivaut à : µ(a) < pour tout A A ). Le ombre réel µ() est alors appelé masse totale de µ ; est appelée (mesure de) probabilité si sa masse totale vaut 1 ;

CHAPITR 4. MSURS 25 est dite σ-fiie s il existe ue suite ( ) de parties mesurables de telles que µ( ) < et = ; Propositio 4.12 (Cotiuité pour les suites décroissates de mesure fiie) Si (A ) est ue suite décroissate de A telle que µ(a ) < à partir d u certai rag, alors lim µ(a ) = µ(lim A ), qui est autre que µ( A ). Remarque 4.13 U corollaire immédiat de la propositio précédete est que les mesures fiies sot cotiues à droite. La mesure de Lebesgue est u exemple de mesure o cotiue à droite : si A := [, + [, alors (A ) est ue suite décroissate de limite, mais comme (λ(a )) est idetiquemet égale à +, elle coverge vers +, et o pas vers λ( ) = 0. Dém. Par hypothèse, il existe 0 tel que pour tout 0, µ(a ) <. Soit alors B := A 0 \ A. La suite (B ) est croissate et coverge vers A 0 \ A, doc µ(a 0 ) µ( A ) = µ(lim B ) = lim µ(b ) = lim (µ(a 0 ) µ(a )) = µ(a 0 ) lim µ(a ), ce qui doe bie µ( A ) = lim µ(a ). Propositio 4.14 Pour toute suite (A ) d élémets de la tribu A, si µ est ue mesure fiie (ou s il existe B de mesure fiie tel que A B à partir d u certai rag), alors ( ) ( ) µ lim if A lim if µ(a ) lim sup µ(a ) µ lim sup A. La première iégalité reste valable sas les hypothèses qui précèdet. Dém. Soit B := k A k. Alors (B ) est ue suite croissate qui coverge vers lim if A, doc µ(lim if A ) = lim µ(b ). Or B A doc µ(b ) µ(a ) et par coséquet lim µ(b ) = lim if µ(b ) lim if µ(a ), ce qui assure la première iégalité. Cocerat les limites supérieures, supposos que µ est fiie (mais sous l hypothèse plus faible de l éocé, la démostratio est la même ). Alors ( µ ) lim sup A = µ() µ = µ() lim if où l iégalité est due à la coclusio précédete. ( ) lim if c A µ() lim if µ( c A ) (µ() µ(a )) = lim sup µ(a ), Propositio 4.15 a) Si (µ ) est ue suite croissate de mesures, au ses où pour tout A A, µ (A) µ +1 (A), alors l égalité µ(a) := lim µ (A) [0, + ] défiit ue mesure µ sur A. b) Tout combiaiso liéaire déombrable, à coefficiets positifs, de mesures, est ue mesure.

CHAPITR 4. MSURS 26 Dém. Pour b), il suffit de motrer qu ue combiaiso liéaire fiie, à coefficiets positifs, de mesures, soit k=0 α kµ k, est toujours ue mesure, car alors a) impliquera b). effet, ue combiaiso liéaire à coefficiets positifs déombrable est simplemet la limite croissate d ue suite de sommes partielles. La démostratio se fait (par exemple) sur le même modèle que celle qui suit. Démotros a) grâce à la Propositio 4.6. (i) comme µ ( ) = 0, µ( ) = lim µ ( ) = 0. (ii) pour tout esemble d idices fii I, pour toutes parties mesurables (A i ) i I deux à deux disjoites, l additivité fiie de chaque µ s écrit µ ( i I A i ) = i I µ (A i ). L additivité fiie de µ s obtiet e faisat tedre das chaque membre (car le membre de droite est ue somme fiie). (iii) soit maiteat ue suite croissate (A k ) d élémets de la tribu A. La suite doublemet idicée (µ (A k )) est croissate e k T e, ce qui garatit que l o peut itervertir les limites e et e k, d où : ) ) µ (lim A k = lim µ (lim A k = lim lim µ (A k ) = lim lim µ (A k ) = lim µ(a k ), k k k k k où la deuxième égalité est due à la cotiuité à gauche de chaque mesure µ. Corollaire 4.16 Pour toute suite (x ) d élémets d u esemble, pour toute suite (α ) de ombre réels positifs, α δ x est ue mesure sur P(). 4.2 Mesure de Lebesgue La mesure de Lebesgue est ue mesure défiie sur la tribu de Borel de R d. lle doe u ses mathématique à la otio physique de volume (de surface si d = 2, de logueur si d = 1). Théorème 4.17 Il existe ue uique mesure sur les borélies de R d telle que la mesure de tout rectagle d i=1 ]a i, b i [ soit égale au produit d i=1 (b i a i ). Cette mesure est appelée mesure de Lebesgue et est ordiairemet otée λ d, voire λ s il y a pas d ambiguïté sur la dimesio. La démostratio requiert le théorème de la classe mootoe pour l uicité et le théorème de Caratheodory pour l existece, que ous verros das les paragraphes suivats. xercice 4.18 Motrer que si A est u borélie de R d alors tous les traslatés de A sot des borélies (se servir du fait qu ue traslatio est ue applicatio bijective et cotiue). Propositio 4.19 Soit µ ue mesure sur Bor(R d ) vérifiat les propriétés (i) ivariace par traslatio : pour tout borélie A et toute traslatio f, µ(f(a)) = µ(a) ; (ii) le rectagle uité est de mesure 1 : µ ( [0, 1] d) = 1. Alors µ est la mesure de Lebesgue.

CHAPITR 4. MSURS 27 Dém. Nous e détaillos ici que le cas d = 1. a) Motros d abord par l absurde que µ est ulle sur les sigletos. S il existe x R tel que µ({x}) = ε > 0, alors par ivariace par traslatio, µ({y}) = ε pour tout y R. Par coséquet, µ(q [0, 1]) = y Q [0,1] ε = +, ce qui costitue ue cotradictio puisque µ(q [0, 1]) µ([0, 1]) = 1. b) D après ce qui précède, pour tout etier aturel 1, 1 = µ([0, 1]) = k=1 (] k 1 µ, k [) = k=1 d où µ(]0, 1/[) = 1/. Par suite, pour tous etiers k 1 k 2, (] k1 µ, k [) 2 = k 2 j=k 1 +1 (] j 1 µ, j [) = (] µ 0, 1 [) (] = µ 0, 1 [), k 2 j=k 1 +1 (] µ 0, 1 [) = k 2 k 1. c) Soiet r < r deux ratioels, que l o peut écrire sous la forme r = p/q et r = p /q, où p, p, q, q sot des etiers. Alors d après ce qui précède, (] [) (] [) p µ (]r, r [) = µ q, p pq = µ q qq, p q = p q pq = r r. qq qq d) Passos maiteat à la limite sur les ratioels. Soiet a < b deux ombres réels. Alors il existe ue suite décroissate (a ) et ue suite croissate (b ), toutes deux costituées de ombres ratioels, dot les limites sot resp. a et b. Alors la suite d itervalles (]a, b [) est ue suite croissate qui coverge vers ]a, b[, doc par cotiuité à gauche des mesures, µ(]a, b[) = µ(lim ]a, b [) = lim µ(]a, b [) = lim (b a ) = b a, ce qui motre que la mesure de tout itervalle est sa logueur, et garatit aisi que µ est la mesure de Lebesgue sur R. 4.3 Théorème de la classe mootoe 4.3.1 Classe mootoe Défiitio 4.20 Ue classe M de parties d u esemble est appelée classe mootoe si (i) elle cotiet ; (ii) elle est stable par différece propre : pour tous A, B M, A B B\A M ; (iii) elle est stable par réuio déombrable croissate : si (A ) est ue suite croissate d élémets de M, alors A M. Propositio 4.21 a) L itersectio d ue collectio quelcoque o vide de classes mootoes est ue classe mootoe.

CHAPITR 4. MSURS 28 b) Pour toute classe C de parties de, l itersectio 3 de toutes les classes mootoes coteat tous les élémets de C est doc ue classe mootoe, oté M (C ), et appelée classe mootoe egedrée par C ou plus petite classe mootoe coteat C. Propositio 4.22 a) Ue tribu est ue classe mootoe. b) Ue classe mootoe stable par itersectios fiies est ue tribu. Dém. Motros b). Soit M ue telle classe mootoe et vérifios les trois propriétés caractéristiques des tribus. (i) M puisque M est ue classe mootoe. (ii) Comme M, pour tout A M, le complémetaire de A est la différece propre \ A, qui appartiet doc à M. (iii) Soit (A ) ue suite d élémets de M. Pour tout etier, soit B := k=0 A k. Comme A = B et que (B ) est ue suite croissate, la propriété (iii) des classes mootoes assure qu il suffit de motrer que B M pour tout. Autremet dit, il suffit de motrer que M est stable par réuios fiies. Or M est stable par passage au complémetaire d après (ii) et, par hypothèse, stable par itersectios fiies : aisi A B = c ( c A c B) M pour tous A, B M, ce qui assure que M est stable par réuios fiies. 4.3.2 Théorème de la classe mootoe et corollaires Théorème 4.23 (Théorème de la classe mootoe) Si C P() est stable par itersectios fiies, alors M (C ) = σ(c ). Dém. De maière géérale, comme σ(c ) est ue tribu coteat C, c est ue classe mootoe coteat C, et doc coteat M (C ) puisque M (C ) est la plus petite classe mootoe coteat C. Supposos à préset avoir motré que M (C ) est ue tribu. Alors M (C ) est ue tribu coteat C, doc coteat σ(c ) puisque σ(c ) est la plus petite tribu coteat C. Motros à préset que M (C ) est ue tribu. D après la propositio qui précède, il suffit de motrer que M (C ) est stable par itersectios fiies, e utilisat le fait que C l est. 1. Soit M 1 := {A M (C ); A C M (C ) C C } et motros que M 1 = M (C ). C est ue coséquece des trois poits suivats : 1.1. M 1 M (C ) par défiitio. 1.2. M 1 est ue classe mootoe, comme o le voit e vérifiat les trois propriétés caractéristiques : (i) M 1 puisque pour tout C C o a C = C C M (C ) ; (ii) soit A, B M 1 avec A B et motros que B \ A M 1. effet, pour tout C C, (B \ A) C = (B C) \ (A C) appartiet à la classe mootoe M (C ) comme différece de deux élémets de M (C ), iclus l u das l autre ; 3. o vide puisque P() est ue classe mootoe

CHAPITR 4. MSURS 29 (iii) soit (A ) M 1 croissate et motros que A M 1. effet, pour tout C C, ( A ) C = (A C) appartiet à la classe mootoe M (C ) comme uio croissate d élémets de M (C ). 1.3. M 1 cotiet C. effet, si A C, alors pour tout C C o a A C C car C est stable par itersectios fiies. Doc A C M (C ), puis A M 1. 2. O motre de même que M 2 = {A M (C ); A C M (C ) C M (C )} est ue classe mootoe, puis est égale à M (C ). 3. Autremet dit, pour tout A M (C ), o a A M 2, c est-à-dire que pour tout C M (C ) o a A C M (C ). Aisi M (C ) est stable par itersectio de deux élémets, puis par itersectios fiies, ce que l o cherchait à motrer. O e déduit les deux résultats d uicité suivats : Corollaire 4.24 Soiet µ et ν deux mesures fiies sur u espace mesurable (, A ), telles que µ() = ν() et qui coïcidet 4 sur ue classe C A stable par itersectios fiies et egedrat 5 A. Alors µ et ν coïcidet sur A. Corollaire 4.25 Soiet µ et ν deux mesures σ-fiies sur u espace mesurable (, A ) telles que : a) il existe ue suite croissate ( ) d esembles mesurable telle que = ; b) pour tout etier, µ( ) = ν( ) < ; c) µ et ν coïcidet sur ue classe C A stable par itersectios fiies, egedrat A et coteat chaque. Alors µ et ν coïcidet sur A. Remarque 4.26 Le fait que µ et ν sot σ-fiies est ue coséquece des coditios (a) et (b). Démostratio du Corollaire 4.24. Soit M := {A A : µ(a) = ν(a)} et motros que M = A. M cotiet C par hypothèse et est ue classe mootoe comme o le voit e vérifiat les trois propriétés caractéristiques. Par coséquet M cotiet la classe mootoe egedrée M (C ). Or C est stable par itersectios fiies, doc M (C ) = σ(c ) par le théorème de la classe mootoe, qui est A par hypothèse. Aisi M cotiet A, et est doc égal à A. Démostratio du Corollaire 4.25. O applique le corollaire 4.24 aux mesures traces µ := µ( ) et ν := ν( ) qui sot fiies grâce à l hypothèse (b). lles coïcidet bie sur C par l hypothèse (c) : e effet, pour tout C C, o a C C car C et C est stable par itersectio, puis 4. c est-à-dire que pour tout A C, µ(a) = ν(a) 5. c est-à-dire que A = σ(c ) µ (C) = µ(c ) = ν(c ) = ν (C).

CHAPITR 4. MSURS 30 Doc µ et ν coïcidet sur A d après le corollaire 4.24. Maiteat l hypothèse (a) permet de coclure e utilisat la cotiuité à gauche de la mesure, car pour tout A A, ( ) ( ) µ(a) = µ ( A) = µ lim ( A) = lim µ( A) = lim µ (A), et de même pour ν. Or µ (A) = ν (A), doc µ(a) = lim µ (A) = lim ν (A) = ν(a), ce qui motre que µ et ν coïcidet sur A. 4.3.3 Applicatios Uicité de la mesure de Lebesgue Supposos qu il existe deux mesures µ et ν sur B(R d ) telles que pour tout rectagle ouvert R = d k=1 ]a k, b k [, avec a k b k + o ait µ(r) = d (b k a k ) = ν(r), k=1 avec la covetio habituelle 0 = 0. Motros qu alors µ et ν coïcidet sur B(R d ). Ceci prouvera l uicité de la mesure de Lebesgue (dot ous motreros l existece à la sectio suivate). Soit C l esemble des rectagles ouverts de R d (produits d itervalles ouverts pouvat être ifiis, doc e particulier pouvat être égaux à R tout etier). Alors C cotiet R d, est stable par itersectios fiies et de tribu egedrée égale à B(R d ). Soit le ], [. Alors les propriétés du corollaire 4.25 sot bie vérifiées : a) = R d ; b) pour tout etier, µ( ) = ν( ) = (2) d < ; c) C, et σ(c ) = B(R d ). O peut doc coclure que µ et ν coïcidet sur B(R d ). produit des itervalles ], [, c est-à-dire := d k=1 Caractérisatio d ue mesure par sa foctio de répartitio Défiitio 4.27 Si µ est ue mesure fiie sur (R, B(R)), o appelle foctio de répartitio de µ la foctio F : R R + défiie par F (x) := µ(], x]). Propositio 4.28 La foctio de répartitio F d ue mesure fiie est cotiue à droite, croissate, et vérifie De plus, pour tous réels a < b lim F (x) = 0 et lim F (x) = µ(r). x x + i) µ(]a, b]) = F (b) F (a) ii) µ([a, b]) = F (b) F (a ) iii) µ(]a, b[) = F (b ) F (a) iv) µ([a, b[) = F (b ) F (a ).

CHAPITR 4. MSURS 31 Dém. À faire e exercice. xemple 4.29 Si µ = δ a, alors F = 1 [a,+ [. De maière géérale, si µ = α δ x, alors F est discotiue e tout poit x tel que α > 0 et cotiue partout ailleurs F (x) = α 1 [x,+ [. Théorème 4.30 Deux mesures fiies sur (R, B(R)) de même foctio de répartitio sot égales. Dém. Soit µ et ν ces deux mesures, et soit C := {], x] : x R} {R}. Alors C est stable par itersectio fiie et egedre B(R). De plus µ et ν coïcidet sur C car µ(], x]) = ν(], x]) pour tout x, l égalité µ(r) = ν(r) s obteat par passage à la limite. Le corollaire 4.24 permet de coclure que µ et ν coïcidet sur B(R). 4.4 Théorème de Caratheodory Défiitio 4.31 Ue classe B de parties d u esemble est appelée algèbre ou algèbre de Boole si (i) elle cotiet : B ; (ii) elle est stable par passage au complémetaire : c A B pour tout A, A B ; (iii) elle est stable par réuios fiies : A B B pour tous A, B B. Remarque 4.32 Ue tribu est ue algèbre de Boole stable par réuio déombrable, d où le om de σ-algèbre. Remarque 4.33 Das R d, l esemble des réuios fiies de rectagles formet ue algèbre, aisi que l esemble des réuios fiies de rectagles disjoits. Théorème de Caratheodory Défiitio 4.34 Soit B ue algèbre de Boole sur u esemble. Ue mesure d algèbre sur (, B) est ue applicatio m : B [0, + ] qui : (i) associe la valeur 0 à l esemble vide : m( ) = 0 ; (ii) est fiimet additive : pour tous A, B B tels que A B =, m(a B) = m(a) + m(b) ; (iii) satisfait la popriété suivate : il existe ue suite croissate ( ) d élémets de B covergeat vers telle que m( ) < pour chaque etier et telle que pour tout A B, lim m(a ) = m(a) ; (iv) satisfait la propriété de Caratheodory : pour toute suite décroissate (A ) d élémets de B covergeat vers et telle que m(a 0 ) <, lim m(a ) = 0.