Trigonométrie 1. Savoir 1.1. Cercle trigonométrique et valeurs d angles 1.1.1. Cercle trigonométrique 0 π Sin 0 1 0 Cos 1 0-1 Tan 0 1 Χ 0 1.1.2. Angles associés -a π-a π+a - a + a Sin -sin a sin a -sin a cos a cos a Cos cos a -cos a -cos a sin a -sin a 1.1.3. Formules d addition a - b a + b Cos cos a cos b + sin a sin b cos a cos b sin a sin b Sin sin a cos b sin b cos a sin a cos b + sin b cos a Yves Romani yves.romani@live.fr Page 1 sur 7
1.1.4. Formules de duplication cos2a = cos²a sin²a = 2cos²a 1 = 1 2sin²a sin2a = 2sin a cos a cos²a = (cos2a + 1) ; sin²a = (1 cos2a) 1.2. Relations métriques dans un triangle b a c R 1.2.1. Formules d Al-Kashi a² = b² + c² - 2bc.cos b² = a² + c² - 2ac.cos c² = a² + b² - 2ab.cos 1.2.2. Aire du triangle S = bc.sin = ac.sin = ab.sin = 1.2.3. Formule des sinus Page 2 sur 7 Yves Romani yves.romani@live.fr
2. Savoir-faire 2.1. Utiliser les angles associés Calculer les valeurs de cos et sin. cos = cos = cos = -cos = - sin = sin = sin = sin = Démontrer que cos = sin cos = cos = cos = cos = sin Conseil : cherchez à extraire π ou π de la valeur de l angle pour appliquer les formules des angles associés. 2.2. Utiliser les Formules d addition o e t α et β, calculez cos π π et sin π π. cos = cos + sin sin = + = sin = sin - sin = - = 2.3. Utiliser les Formules de duplication Calculer cos et sin. cos² = (cos + 1) = + = cos = sin = 2sin sin = + + + 2.4. Utiliser les Formules d Al-Kashi Soit ABC, un triangle, tel que AB = 5, AC = et BÂC = 30. Calculez BC. BC² = AB² + AC² - 2.AB.AC cos = 25 + 3-2 5 cos = 28-10. = 13 2.5. Calculer l aire du triangle BC = Soit ABC, un triangle, tel que AB = 5, AC = et  0. l ulez l re de e triangle. S = AB.AC.sin BÂC = 5..sin = UA Yves Romani yves.romani@live.fr Page 3 sur 7
3. Démonstrations cos et sin M B M Soit M tel que M =, alors M =. Soit OBM le symétrique du triangle OBM par rapport à OB, il est clair que M = et M M = M + M =. Le tr gle M M e t do u tr gle équ l tér l ve M M MM, o lor : MB = donc sin = Comme BM = et OM = 1, par le théorème de Pythagore il vient : OB =. On en déduit donc cos = cos et sin Si M = alors que le triangle OBM est rectangle en B alors M également et le triangle est isocèle donc OB = BM. Comme OM = 1 alors, par pythagore, il vient : OB = BM = cos et sin M B M Soit M tel que M =, alors M =. Soit M M le symétrique du triangle OBM par rapport à MB, il est clair que MM = et MM = M + MM =. Le tr gle M M e t do u tr gle équ l tér l ve M MM OM, o lor : OB = donc cos = Comme OB = et OM = 1, par le théorème de Pythagore il vient : MB =. On en déduit donc sin = Page 4 sur 7 Yves Romani yves.romani@live.fr
3.1. Formules d addition Nous utiliserons le cercle trigonométrique suivant dans la plupart de nos démonstrations et nous poserons : M, M et M =, = b M M A 3.1.1. cos (a-b) = cos a cos b + sin a sin b 1 ère étape : Il est clair que M, M = a-b. De plus : M. M = OM M cos(a- ) or M M, do : M. M = cos(a-b) 2 nde étape Egalement, on a clairement : M o ) et M o ), donc : M. M = cos a cos b + sin a sin b Conclusion : cos(a-b) = cos a cos b + sin a sin b 3.1.2. Cos (a+b) = Cos a Cos b - Sin a Sin b 3.1.3. sin (a-b) = sin a cos b - sin b cos a cos (a+b) = cos (a-(-b)) = cos a cos (-b) + sin a sin (-b) or cos (-a) = cos a et sin (-b) = -sin b De là : cos (a+b) = cos a cos b - sin a sin b Comme cos = sin x et sin = cos x, alors : sin(a-b) = cos ) = cos + = cos cos b - sin sin b = sin a cos b sin b cos a 3.1.4. sin (a+b) = sin a cos b + sin b cos a sin(a+b) = sin ) = sin a cos (-b) sin(-b) cos a = sin a cos b + sin b cos a Yves Romani yves.romani@live.fr Page 5 sur 7
3.1.5. cos 2a = cos²a sin²a = 2cos²a 1 = 1 2sin²a On a démontré que cos (a+b) = cos a cos b - sin a sin b, en remplaçant b par a on obtient : cos 2a = cos a cos a sin a sin a = cos²a sin²a Comme cos²a + sin²a = 1 alors sin²a = 1 cos²a et : cos²a sin²a = cos²a (1-cos²a) = cos²a 1 + cos²a = 2cos²a - 1 De la meme façon que précedemment, cos²a = 1 sin²a et : cos²a sin²a = 1 sin²a sin²a = 1 2sin²a 3.1.6. sin 2a = 2 sin a cos a On a démontré que sin(a+b) = sin a cos b + sin b cos a, en remplaçant b par a on obtient : sin 2a = sin a cos a + sin a cos a = 2 sin a cos a 3.1.7. cos²α = (cos2α + 1) On a démontré : cos 2a = 2 cos²a - do o ² o +, d où : cos²a = (cos2a + 1) 3.1.8. sin²α = (1 cos2α) On a démontré : cos 2a = 1 2sin²a donc 2sin²a = 1 o, d où : Sin²α = (1 Cos2α) 3.2. Formules d Al-Kashi a² = BC² = = = + - 2 = AC² + AB² - 2 cos, = b² + c² - 2bc cos Note : il faudra faire de même pour démontrer b² = a² + c² - 2ac cos et c² = a² + b² - 2ab cos 3.3. Aire du triangle Soit ABC un triangle et CH la hauteur issue de C et coupant AB en H. Soit AB = c, AC = b et BC = a. La même démonstration doit être utilisée pour prouver les autres formules en utilisant successivement la hauteur issue de A puis de B. 1 er cas : Â est aigu Il e t l r que H. Â d où S = bc.sin Page 6 sur 7 Yves Romani yves.romani@live.fr
2 ème cas :  est droit On a S = bc, or sin  = 1 d où : S = bc.sin 3 ème cas :  est obtus La h uteur ue de e t à l e tér eur du tr gle et o : CH = b.sin H =. π-â).  d où S = bc.sin 3.4. Formule des sinus On a démontré précédemment que : S = bc.sin = ac.sin = ab.sin, on a donc : 2S = bc.sin = ac.sin = ab.sin Yves Romani yves.romani@live.fr Page 7 sur 7