Clcul intégrl Ctherine Decyeux Ctherine Decyeux () Clcul intégrl 1 / 23
I-Introduction Le clcul intégrl s est développé u XVIIe siècle vec les trvux de Bonvntur Cvlieri, Isc Newton, Leibniz... mis les prémices remontent à l Antiquité, vec deux résultts dus à Archimède portnt l un sur l ire du disque et l utre sur l ire du segment de prbole. Source : Article de Gilles Dowek sur le site http ://www.futur-sciences.com. Ctherine Decyeux () Clcul intégrl 2 / 23
Dns tout ce qui suit : le pln est rpporté à un repère orthogonl. [;b] désigne un intervlle de Ê vec et b réels tels que < b. f désigne l courbe représenttive de l fonction f Ctherine Decyeux () Clcul intégrl 3 / 23
II-Clculs d ire A-Intégrle d une fonction positive Définition Soit f une fonction continue et positive sur [;b]. On ppelle intégrle de f sur [;b] l ire, exprimée en unités d ire, de l prtie du pln délimitée pr l courbe f, l xe des bscisses et les droites d équtions x = et x = b. Nottion L intégrle de f sur [;b] est notée f(x)dx et se lit «intégrle de à b de f(x) dx». Ctherine Decyeux () Clcul intégrl 4 / 23
II-Clculs d ire A-Intégrle d une fonction positive 10 8 6 4 2 2 1 2 1 2 3 Ctherine Decyeux () Clcul intégrl 5 / 23
II-Clculs d ire A-Intégrle d une fonction positive Remrques : f(x) dx = 0. Dns l nottion f(x) dx l lettre x désigne une vrible muette : on urit pu ussi bien écrire f(t) dt ou f(u) du. Ctherine Decyeux () Clcul intégrl 6 / 23
II-Clculs d ire A-Intégrle d une fonction positive Remrques : Si f est une ppliction continue négtive sur [;b] (vec < b), l ire de l ensemble des points M(x;y) du pln vérifint x b et f(x) y 0) (domine «u-dessus de l courbe de f» entre et b) est pour des risons évidentes de symétrie f(x) dx L unité d ire (brégé en u..) est implicitement définie comme l ire du rectngle formé pr les vecteurs de bse du repère. Pr exemple, si le repère utilisé pour unités 2 cm sur l xe des bscisses et 3 cm sur l xe des ordonnées, l unité d ire ser de 2 3 = 6 cm 2. Ctherine Decyeux () Clcul intégrl 6 / 23
II-Clculs d ire A-Intégrle d une fonction positive Exemple 1 : Clculer pour m > 0, Clculer 3 1 x dx, 4 3 m dx. x dx puis 4 1 x dx Ctherine Decyeux () Clcul intégrl 7 / 23
II-Clculs d ire B-Encdrement de l intégrle d une fonction monotone et positive Soit une fonction f continue, positive et monotone sur un intervlle [; b]. On prtge l intervlle [;b] en n sous-intervlles de même mplitude h = b n. L ire «sous l courbe f» est comprise entre l somme des ires des rectngles «inférieurs» et l somme des ires des rectngles «supérieurs». Ctherine Decyeux () Clcul intégrl 8 / 23
II-Clculs d ire B-Encdrement de l intégrle d une fonction monotone et positive Avec Géogebr : 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Ctherine Decyeux () Clcul intégrl 9 / 23
II-Clculs d ire B-Encdrement de l intégrle d une fonction monotone et positive Avec un lgorithme : Ctherine Decyeux () Clcul intégrl 10 / 23
II-Clculs d ire C-Vleur moyenne Soit f une fonction définie, continue et positive sur [,b]. Géométriquement, l vleur moyenne µ de f sur [,b] est l huteur du rectngle de bse [;b] ynt l même ire que celle «sous l courbe f». µ b O Ctherine Decyeux () Clcul intégrl 11 / 23
II-Clculs d ire C-Vleur moyenne Définition Soit f une fonction continue et positive sur [;b]. L vleur moyenne µ de l fonction f sur l intervlle [,b] est le réel µ défini pr : µ = 1 f(x) dx b Ctherine Decyeux () Clcul intégrl 12 / 23
II-Clculs d ire D-Fonction définie pr une intégrle Théorème Si f est une fonction continue et positive sur [,b], l fonction F définie sur [,b] pr F(x) = Preuve : x f(t)dt est dérivble sur [,b] et pour dérivée f. Ctherine Decyeux () Clcul intégrl 13 / 23
III-Intégrle et primitives A-Primitive d une fonction continue Définition Soit f une fonction définie sur un intervlle I. On ppelle primitive de f sur I toute fonction F est dérivble sur I telle que pour tout x ¾ I, F ¼ (x) = f(x). Exemple 2-A : Montrer que l fonction F : x x lnx x est une primitive de l fonction logrithme népérien sur ]0;+ [. Puis trouver une utre primitive de l fonction logrithme népérien. Ctherine Decyeux () Clcul intégrl 14 / 23
III-Intégrle et primitives A-Primitive d une fonction continue Théorèmes (Admis) Toute fonction f continue sur un intervlle I dmet des primitives sur I. Soit F une primitive de f sur I. L ensemble des primitives de F sur I est l ensemble des fonctions de l forme F + k où k est une constnte réelle. Ctherine Decyeux () Clcul intégrl 15 / 23
III-Intégrle et primitives B-Primitive et intégrle Théorème f est une fonction continue sur un intervlle I et F une primitive de f sur I. Alors quels que soient les réels et b dns l intervlle I on : f(t) dt = F(b) F() Preuve (pour le cs où f est positive sur [;b] vec < b) : F et t x f(t) dt sont deux primitives de f sur I. Il existe donc un réel k tel que pour tout x ¾ I, F(x) = On lors F(b) F() = x f(t) dt + k f(t) dt + k. f(t) dt k = f(t) dt Ctherine Decyeux () Clcul intégrl 16 / 23
III-Intégrle et primitives B-Primitive et intégrle Remrques : Pour des risons prtiques, le réel F(b) F() est souvent noté [F(x)] b L notion de vleur moyenne est étendue à toute fonction continue sur [;b]. Exemple 2-B : Clculer l intégrle I = e fonction logrithme népérien sur l intervlle [1; e]. 1 lnx dx puis en déduire l vleur moyenne de l Ctherine Decyeux () Clcul intégrl 17 / 23
III-Intégrle et primitives C-Clcul de primitives Voir les tbleux p. 176 Ctherine Decyeux () Clcul intégrl 18 / 23
IV-Propriétés de l intégrle A-Reltion de Chsles Reltion de Chsles f est une fonction continue sur un intervlle I. Quels que soient les réels, b et c dns I, f(x) dx + c b Conséquence : f(x) dx + b f(x) dx = c f(x) dx f(x) dx = 0 donc f(x) dx = f(x) dx b Ctherine Decyeux () Clcul intégrl 19 / 23
IV-Propriétés de l intégrle A-Reltion de Chsles Reltion de Chsles f est une fonction continue sur un intervlle I. Quels que soient les réels, b et c dns I, f(x) dx + Exemple 3-A : c b f(x) dx = c f(x) dx Pour tout entier n non nul, on pose u n = n 1 sin 2 x Montrer que pour tout entier n non nul, u n+1 u n = x 2 dx n+1 n sin 2 x x 2 dx Ctherine Decyeux () Clcul intégrl 19 / 23
IV-Propriétés de l intégrle B-Linérité Linérité f et g sont deux fonctions continues sur un intervlle I, α et β sont des réels quelconques. Quels que soient les réels et b dns l intervlle I : Exemple 2-C : Clculer l intégrle J = (αf(x)+βg(x))dx = α f(x)dx +β g(x)dx e 1 (3x 2 6lnx) dx. Ctherine Decyeux () Clcul intégrl 20 / 23
IV-Propriétés de l intégrle C-Positivité et ordre Linérité f et g sont deux fonctions continues sur un intervlle I ; et b sont deux réels de I : 1 Lorsque b et f 0 sur [;b], lors 2 Lorsque b et f g sur [;b], lors f(x)dx 0. f(x)dx g(x)dx. Les propriétés ci-dessus ne sont vries que pour b. L réciproque de l propriété 1 comme celle de l propriété 2 est FAUSSE! Ctherine Decyeux () Clcul intégrl 21 / 23
IV-Propriétés de l intégrle C-Positivité et ordre Exemple 3-B : 1 Montrer que l suite (u n ) est croissnte. 2 Montrer que pour tout entier n non nul, 0 u n 1 n 0 u n 1 3 Que peut-on en déduire pour l suite (u n )? + 1 puis que Ctherine Decyeux () Clcul intégrl 22 / 23
V-Appliction ux clculs d ires Voir pge 178 Ctherine Decyeux () Clcul intégrl 23 / 23