Compléments mathématiques : Vecteurs et Torseurs 1 Rappels et compléments sur les vecteurs 1.1 Grandeurs physiques et vecteurs Les théories de la mécanique utilisent des grandeurs mécaniques qui peuvent être mathématiquement représentées par des vecteurs (vitesse, position, accélération, force...). Ces vecteurs sont généralement des éléments d espaces vectoriels euclidiens sur R de dimension 3 noté E, par conséquent munis d une forme bilinéaire symétrique définie positive appelée produit scalaire et d une application bilinéaire appelée produit vectoriel notés : Produit scalaire : E E R ( u, v) u. v Remarque : on définit alors la norme d un vecteur u : u = u. u. Produit vectoriel : E E E ( u, v) u v Remarque : on peut montrer que : u v = v u et que u (α. v+β. w) = α. u v+β. u w. D autre part, si u et v sont normés et orthogonaux ( u. v = 0), alors ( u, v, u v) forme une base orthonormal directe. L association de trois vecteurs non liés forme une base de E. On utilisera en SI uniquement des bases orthonormales directes ( x, y, z) telles que : x. y = x. z = z. y = 0 (orthogonalité) x = y = z = 1 (vecteurs normés) x y = z (orientation directe) Ces bases proposent un grand nombre de bonnes propriétés mathématiques. Tout vecteur V de E est alors une combinaison linéaire des vecteurs de base : V = V x. x + V y. y + V z. z = ( x, y, z) V x V y V z V x, V y et V z sont les composantes de V dans la base ( x, y, z). On remarque pour une base orthonormale : V x = V. x V y = V. y V z = V. z On peut définir, pour tout couple de vecteurs ( u, v) de E E un angle θ = ( u, v) orienté par un vecteur z normal au plan ( u, v). L orientation directe conduit à un angle θ [0; 2π] positif dans le sens trigonométrique (figure 1).
z Sens positif autour de z θ v u z θ v Sens positif autour de z u FIGURE 1 Orientation d un angle dans E 1.2 Produit scalaire Le produit scalaire est défini par la relation entre les composantes : Soit : u z 1, v z 1 u..v = (. x +. y + z 1. z).(x 2. x + y 2. y + z 2. z) u. v =.x 2 +.y 2 + z 1.z 2 Le produit scalaire permet de définir l angle θ = ( u, v) par la relation : u. v = u. v. cos( u, v) Remarque : cette relation est inutile en SI car on utilisera toujours les relations entre composantes. Notons tout de même : Si u / v, u. v = ε. u. v Si u v, u. v = 0 où ε = 1 si les vecteurs sont de même sens et ε = 1 si les vecteurs sont de sens opposés. 1.3 Produit vectoriel Le produit vectoriel est défini par la relation : u v = z 1 x 2 y 2 z 2 =.z 2 y 2.z 1 z 1.x 2 z 2..y 2 x 2. Pour éviter de poser les calculs en colonne, on utilisera régulièrement les propriétés : x y = z, y x = z y z = x, z y = x z x = y, x z = y Ces propriétés se retrouvent vite en observant le sens direct : x, y, z, x, y, z Le produit vectoriel permet de définir l orientation directe de l angle θ = ( u, v) autour d un vecteur n normal à u et v par la relation : u v = u. v. sin( u, v). n où n est un vecteur unitaire directement perpendiculaire à ( u, v). Cette définition sera inutile en SI. page 2
1.4 Produit mixte et double produit vectoriel 1.4.1 Produit mixte Le produit mixte est une forme tri-linéaire alternée : E E E R ( u, v, w) u.( v w) = ( u v). w = det( u, v, w) Propriété : le produit mixte est invariant par permutation circulaire des vecteurs : ( u, v, w) = ( v, w, u) = ( w, u, v) 1.4.2 Double produit vectoriel Le double produit vectoriel se calcule par une formule à retenir : soient trois vecteurs, et C, ( C) = (. C) C (. ) On remarque que le résultat est dans le plan (, C), perpendiculaire à ( C). 1.5 Changement de base Soient deux bases 1 et 2 de E mobiles l une par rapport à l autre et V un vecteur de E. Soit V les composantes de V dans 1. Changer V de base consiste à déterminer les 1 z 1 composantes de V dans 2 : V x 2 y 2 2 z 2 Le mouvement de 2 par rapport à 1 est caractérisé par trois rotations élémentaires. En SI, on décompose toujours les rotations en rotations élémentaires autour d un vecteur de la base. Ex : 2 en rotation d angle θ autour de z 1 par rapport à 1. Cette définition est toujours traduite par une figure de projection telle que sur la figure 2, où l on commence par placer les repères comme sur la figure, puis l axe de rotation, l angle et enfin on complète les bases dans le sens direct. y 2 θ z 1 = z 2 x 2 FIGURE 2 Figure de projection. Écriture de x 2 dans la base 1 : x 2 = Écriture de y 2 dans la base 1 : y 2 = Écriture de dans la base 2 : = page 3
1.6 Dérivation d un vecteur par rapport au temps La dérivation des vecteurs en fonction du temps nécessite une base de dérivation. Si u(t) un vecteur fonction du temps, sa dérivée par rapport à une base 0 s écrit : d u dt/ 0 (t). En exprimant les composantes de u dans 0 (chacune étant une fonction du temps), on calcule la dérivée de u dans 0 en dérivant chacune des composantes par rapport au temps : u = 0 x 0 (t) y 0 (t) z 0 (t) d u dt/ 0 (t) = 0 ẋ 0 (t) ẏ 0 (t) ż 0 (t) Ce type de calcul nécessite cependant de projeter u dans la base 0 avant de dériver. Cette opération peut être lourde en calculs lorsqu il y a plusieurs bases. Pour cette raison, on n utilisera jamais en SI cette méthode pour dériver. Lorsqu un système présente plusieurs bases mobiles les unes par rapport aux autres, il est souvent très intéressant de changer la base de dérivation (par exemple pour se déplacer dans une base où le vecteur est fixe). On peut montrer la relation de changement de base dans la dérivation : Soit deux bases 0 et 1. Pour tout u(t) vecteur de l espace, d u (t) = d u (t) + Ω dt/ 0 dt/ 1 / 0 u(t) 1 où Ω 1 / 0 est le vecteur vitesse de rotation de 1 par rapport à 0. 2 Les torseurs 2.1 Définition. On appelle Torseur T l ensemble d un champ de vecteurs anti-symétrique M et d un vecteur R associé. R est appelée la résultante et M le moment en. Pour définir complétement un torseur, il suffit de préciser sa résultante et son moment en un point quelconque de l espace. Ces deux vecteurs sont alors appelés les éléments de réduction du torseur en. On note le torseur T comme suit : T = R M = R 1. e 1 + R 2. e 2 + R 3. e 3 M,1. e 1 + M,2. e 2 + M,3. e 3 où R est la base de vecteurs R( e 1, e 2, e 3 ). Les coordonnées R i et M,i sont les coordonnées pluckériennes du torseur T. Le torseur nul est un torseur dont la résultante et le moment sont nuls en au moins un point M de l espace. 2.2 Propriétés Relation de changement de point. 2.2.1 Champ antisymétrique. Un champ de vecteurs M est antisymétrique si, et seulement si, pour une application L antisymétrique de R 3 dans R 3, et deux points P et Q quelconques de l espace E(R 3 ), on a : page 4
M P = M Q + L( QP ) Dans R 3, cette relation s écrit à l aide d un produit vectoriel car pour toute application antisymétrique de R 3 dans R 3, il existe un vecteur R tel que L( U) = R U, d où : M P = M Q + R QP C est cette propriété des champs antisymétriques qui nous permettra de calculer les coordonnées du torseur en différents points. Cette relation est à connaître absolument. 2.2.2 Champ équiprojectif. Un champ de vecteurs M est équiprojectif si, et seulement si, pour tous points P et Q de E(R 3 ), on a : M P. P Q = M Q. P Q Le théoréme de Delassus nous dit alors que : Tout champ antisymétrique est équiprojectif et réciproquement. 2.3 Somme de deux torseurs. Soient deux torseurs T 1 et T 2 tels que : Soit T S R1 R2 T 1 = et M T 2 =,1 M,2 la somme des deux torseurs. lors la résultante R S est égale à la somme des résultantes R 1 et R 2 et le moment M,S exprimé en est égal à la somme des moments M,1 et M,2 exprimés en. R S = R 1 + R 2 M,S = M,1 + M,2 ttention! jouter deux torseurs dont les éléments de réduction sont exprimés en des points différents n a aucun sens! 2.4 Multiplication d un torseur par un scalaire. Soit T 1 un torseur et α un réel. lors : T 2 = α. T 1 = α. R1 α. M,1 page 5
2.5 Comoment de deux torseurs. On appelle comoment de deux torseurs T 1 et T 1 T 2 = R 1. M,2 + R 2. M,1 T 2, la quantité scalaire : Comme pour la somme, les moments des torseurs doivent être exprimées au même point. Le résultat ne dépend pas du point choisi. 2.6 utomoment d un torseur. On appelle automoment d un torseur T la moitié du comoment de ce torseur par lui même : 2.7 xe central d un torseur. = 1 2. T T = R. M On appelle axe central d un torseur T l ensemble des points I pour lesquels le champ M est colinéaire à R. Soit : MI = α. R, α R On remarque que l axe central est toujours une droite paralléle à R. 2.8 Décomposition d un torseur. 2.8.1 Glisseur. Un glisseur est un torseur dont l automoment est nul avec R 0. Le moment est donc toujours perpendiculaire à la résultante et il est nul sur l axe central. 2.8.2 Couple. Un couple est un torseur dont la résultante est nulle : R = 0. Le moment est donc constant en tout point de l espace et il n y a pas d axe central pour ce torseur. 2.8.3 Décomposition d un torseur en un glisseur et un couple. Tout torseur T peut se décomposer en la somme d un glisseur G et d un couple C : T = G + C Soit : R M = R + M,Glisseur 0 C Cette décomposition n est pas unique. Elle l est si on impose la condition supplémentaire C colinéaire à R. On appelle parfois "décomposition canonique" cette décomposition unique. Dans le cas d une décomposition canonique, l axe central du torseur est le même que l axe central du glisseur issu de la décomposition. Le moment du glisseur est bien sûr nul sur l axe central. Le moment du torseur sur l axe central, colinéaire à la résultante, est égal au moment C du couple issu de la décomposition. page 6
3 Tableau des liaisons. page 7