Notes de cours d analyse Préparation au CAPES. Raphaël Danchin

Notes de cours d analyse Préparation au CAPES Raphaël Danchin Année 2006 2007

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3 Table des matières 1 Espaces vectoriels normés 5 1.1 Normes et distances.................................. 5 1.1.1 Définitions................................... 5 1.1.2 Normes produits................................ 6 1.1.3 Exemples de normes.............................. 7 1.2 Topologie sur les espaces vectoriels normés...................... 8 1.2.1 Voisinages, ouverts, fermés.......................... 8 1.2.2 Autres notions élémentaires de topologie................... 10 1.2.3 Topologie induite sur une partie d un espace vectoriel normé....... 12 1.2.4 Suites dans les espaces vectoriels normés................... 13 1.2.5 Parties compactes............................... 14 2 Continuité 17 2.1 Continuité des applications d un e.v.n dans un e.v.n................ 17 2.2 Continuité et compacité................................ 19 2.2.1 Théorèmes généraux.............................. 19 2.2.2 Le cas de la dimension finie.......................... 21 2.3 Continuité et connexité................................ 22 2.3.1 Généralités................................... 22 2.3.2 Parties connexes de R............................. 24 2.3.3 Connexité par arcs............................... 24 2.4 Applications linéaires continues............................ 25 2.5 Applications multilinéaires continues......................... 27 3 Espaces de Banach 29 3.1 Complétude....................................... 29 3.1.1 Suites de Cauchy et complétude....................... 29 3.1.2 Critère de Cauchy pour les fonctions..................... 31 3.1.3 Séries dans un e.v.n.............................. 31 3.1.4 Le théorème du point fixe........................... 32 3.2 Suites et séries de fonctions à valeurs dans un e.v.n................. 33 3.2.1 Convergence des suites et séries de fonctions................. 33 3.2.2 Le théorème d interversion des limites et ses conséquences......... 35 3.2.3 Exemples.................................... 36 4 Espaces préhilbertiens 37 4.1 Le cas réel........................................ 37 4.2 Le cas complexe.................................... 39 4.3 Orthogonalité...................................... 40 4.4 Projections orthogonales................................ 43

4 TABLE DES MATIÈRES 5 Séries de Fourier 45 5.1 Polynômes trigonométriques.............................. 45 5.2 Séries de Fourier.................................... 46 5.2.1 Coefficients d une fonction 2π-périodique et continue par morceaux.... 46 5.2.2 Convergence en moyenne quadratique.................... 47 5.2.3 Convergence des séries de Fourier....................... 48 5.2.4 Preuve de l égalité de Parseval pour les fonctions de E........... 50 6 Séries entières 53 6.1 Définitions........................................ 53 6.2 Détermination du rayon de convergence....................... 54 6.3 Intégration et dérivation terme à terme....................... 56 6.4 Quelques développements classiques......................... 56 Index 59

5 Chapitre 1 Espaces vectoriels normés Dans tout ce chapitre, le symbole K désigne R ou C, et E est un espace vectoriel sur K. 1.1 Normes et distances 1.1.1 Définitions Définition 1.1.1 On dit qu une application N : E R est une norme si elle vérifie (i) x E, N(x) 0 et N(x) = 0 si et seulement si x = 0, (ii) x E, λ K, N(λx) = λ N(x), (iii) x E, y E, N(x + y) N(x) + N(y). Remarque : La condition (iii) est appelée inégalité triangulaire. Définition 1.1.2 Le couple (E, N) où E est un K-espace vectoriel et N, une norme sur E, est appelé espace vectoriel normé, ou e.v.n en abrégé. Définition 1.1.3 Soit (E, N) un e.v.n. On appelle distance associée à N l application { E E R + d : (x, y) N(x y). Remarque : La distance associée à une norme vérifie pour tout (x, y, z) E 3 : (i) Positivité : d(x, y) 0 avec égalité si et seulement si x = y, (ii) Propriété de symétrie : d(x, y) = d(y, x). (iii) Inégalité triangulaire : d(x, y) d(x, z) + d(z, y). Il s agit donc bien d une distance au sens usuel (cf le cours de licence). Proposition 1.1.4 (Deuxième inégalité triangulaire) Toute norme vérifie ou en terme de distance associée, (x, y) E 2, N(x y) N(x) N(y), (x, y, z) E 3, d(x, y) d(x, z) d(y, z). Preuve : On a, d après la première inégalité triangulaire : N(x) = N(y + (x y)) N(y) + N(x y) donc N(x) N(y) N(x y), N(y) = N(x + (y x)) N(x) + N(y x) donc N(y) N(x) N(y x) =N(x y), d où le premier résultat. La preuve de la deuxième inégalité triangulaire pour la fonction distance est analogue.

6 CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS NORMÉS Définition 1.1.5 Soit x 0 E et r R +. On appelle boule ouverte de centre x 0 et de rayon r l ensemble B N (x 0, r) déf = {x E N(x x 0 ) < r}. On appelle boule fermée de centre x 0 et de rayon r l ensemble B N (x 0, r) déf = {x E N(x x 0 ) r}. Remarque : En l absence d ambiguïté, on note simplement B(x 0, r) la boule ouverte et B(x 0, r) la boule fermée. Définition 1.1.6 On dit qu une partie non vide A de (E, N) est bornée s il existe M R + tel que x A, N(x) M. Définition 1.1.7 Soit A une partie non vide de (E, N). On appelle diamètre de A l élément δ(a) de [0, + ] suivant : δ(a) déf = sup N(y x). (x,y) A 2 Définition 1.1.8 Soit A une partie non vide de E. On définit alors la distance d(x 0, A) de x 0 à A par la formule d(x 0, A) déf = inf N(x x 0). x A Si B est une autre partie non vide de E, on définit la distance de A à B, notée d(a, B) par la formule : d(a, B) déf = inf d(y, A) = inf d(x, B) = inf d(x, y). y B x A x A, y B Définition 1.1.9 On dit que deux normes N 1 et N 2 sur E sont équivalentes s il existe une constante C > 0 telle que x E, C 1 N 1 (x) N 2 (x) CN 1 (x). Proposition 1.1.10 Si N 1 et N 2 sont deux normes équivalentes de E alors (i) Les parties bornées de (E, N 1 ) sont les parties bornées de (E, N 2 ). (ii) Il existe une constante C > 0 telle que pour tout x 0 E et r > 0 on ait Exercice : Prouver la proposition ci-dessus. 1.1.2 Normes produits B N1 (x 0, C 1 r) B N2 (x 0, r) B N1 (x 0, Cr). Soit (E 1, N 1 ) et (E 2, N 2 ) deux espaces vectoriels normés. Alors il existe une infinité de façons de munir E 1 E 2 d une norme produit construite à partir de N 1 et N 2. En notant (u 1, u 2 ) les éléments de E 1 E 2, les exemples les plus courants sont : déf La norme uniforme : (u 1, u 2 ) = max(n 1 (u 1 ), N 2 (u 2 )), déf La norme quadratique : (u 1, u 2 ) 2 = (N 1 (u 1 )) 2 + (N 2 (u 2 )) 2, La norme L 1 déf : (u 1, u 2 ) 1 = N 1 (u 1 ) + N 2 (u 2 ). Exercice : Vérifier qu il s agit bien de normes sur E 1 E 2 et qu elles sont équivalentes. On peut généraliser la notion de norme produit à un nombre fini d espaces vectoriels normés (E 1, N 1 ), (E 2, N 2 ),, (E p, N p ). Nous laissons le soin au lecteur de vérifier que les fonctions définies ci-dessous sont des normes (équivalentes) sur E 1 E p :

1.1. NORMES ET DISTANCES 7 déf Norme uniforme : (u 1,, u p ) = max(n 1 (u 1 ),, N p (u p )), déf Norme quadratique : (u 1,, u p ) 2 = (N 1 (u 1 )) 2 + + (N p (u p )) 2, Norme L 1 déf : (u 1,, u p ) 1 = N 1 (u 1 ) + + N p (u p ). 1.1.3 Exemples de normes Normes sur R ou C Il n y a guère le choix : les normes sur R ou C sont toutes de la forme N(x) = κ x avec κ > 0 et x désignant la valeur absolue de x dans le cas réel, et le module de x dans le cas complexe. En pratique, on prend toujours κ = 1. Normes sur R n ou sur C n Les plus courantes sont : La norme L 1 : N 1 (x) = n i=1 x i, La norme euclidienne : N 2 (x) = n i=1 x i 2 La norme sup : N (x) = max i {1,,n} x i. Plus généralement, pour tout p [1, + [, on peut définir N p (x) déf = ( n i=1 x i p ) 1 p. Proposition 1.1.11 Pour tout p [1, + ], les fonctions N p sont des normes sur R n. Toutes ces normes sont équivalentes. Plus précisément, on a x K n, N (x) N p (x) n 1 p N (x). Preuve : Il est immédiat que N p vérifie les propriétés (i) et (ii) de la définition 1.1.1. Dans le cas p = 1 ou p =, l inégalité triangulaire est évidente. Lorsque p = 2, elle résulte de l inégalité de Cauchy-Schwarz. Plus généralement, si p 1 est fini, elle résulte de l inégalité de Minkowski : i=1 m i=1 n p x ij j=1 1 p ( n m ) 1 p x ij p. Pour montrer l équivalence des normes, on utilise le fait que pour p [1, + [, on a ( n ) 1 ( p n ) 1 p N p (x) max x i p = max x i 1 = n 1 p N (x). i {1,,n} i {1,,n} L inégalité N (x) N p (x) est triviale. Remarque : Pour x fixé, l inégalité de Minkowski permet de montrer que p N p (x) est une fonction décroissante. On en déduit que, si p q, la boule unité pour la norme N q est plus grosse que la boule unité pour la norme N p. Normes sur M n (R) ou M n (C) Si l on considère les matrices comme des tableaux de nombres, les normes les plus couramment utilisées sont N 1 (A) = n i,j=1 a ij, ( ) 1 n N 2 (A) = i,j=1 a ij 2 2 ( = tr A t A ) 1 2, N (A) = max 1 i,j n a ij. Si l on identifie M n (K) à l ensemble des applications linéaires de K n dans K n, il existe d autres choix naturels de normes. On en verra des exemples à la section 2.4. j=1 i=1 i=1

8 CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS NORMÉS Normes sur l ensemble des suites de K N L ensemble l (N) des suites bornées d éléments de K peut être muni de la norme N (u) déf = sup u n. L ensemble l 2 (N) des suites de carrés sommables peut être muni de la norme N 2 (u) déf = n N ( n N u n 2 ) 1 2. L ensemble l 1 (N) des suites sommables peut être muni de la norme N 1 (u) déf = u n. n N Exercice : 1. Établir que l 1 (N) l 2 (N) l (N) et que pour tout u l 1 (N), on a N (u) N 2 (u) N 1 (u). 2. Montrer que ces trois normes ne sont pas équivalentes. Normes sur l ensemble des fonctions continues de [a, b] dans K Les plus courantes sont : La norme uniforme : N (f) = sup x [a,b] f(x), La norme quadratique : N 2 (f) = ( b a f(x) 2 dx La norme L 1 : N 1 (f) = b a f(x) dx. Exercice : Montrer que les trois fonctions définies ci-dessus sont des normes sur C([a, b]; K) et vérifient f C([a, b]; K), N 1 (f) b a N 2 (f) (b a)n (f). En considérant la suite de fonctions f n (x) = (x a) n, montrer qu elles ne sont pas équivalentes. 1.2 Topologie sur les espaces vectoriels normés ) 1 2 Dans toute cette section, E désigne un e.v.n. sur K. 1.2.1 Voisinages, ouverts, fermés Définition 1.2.1 Soit A une partie de E. On dit que a E est un point intérieur à A s il existe r > 0 tel que B(a, r) A. Définition 1.2.2 On dit qu une partie V de E est un voisinage du point a de E si a est intérieur à V. Exemple : Pour tout r > 0, les boules B(a, r) et B(a, r) sont des voisinages de a. Remarque : Un e.v.n E vérifie toujours la propriété suivante : Si a et b sont deux points distincts de E alors il existe un voisinage V a de a et un voisinage V b de b tels que V a V b =. On dit que les e.v.n sont séparés. Le lemme suivant (dont la preuve est immédiate) est fort utile :,

1.2. TOPOLOGIE SUR LES ESPACES VECTORIELS NORMÉS 9 Lemme 1.2.3 Considérons une famille (r i ) i {1,,n} de n réels strictement positifs. Alors on a n i=1 On en déduit en particulier le résultat suivant : ( ) B(a, r i ) = B a, min r i. 1 i n Proposition 1.2.4 L intersection d un nombre fini de voisinages de a est un voisinage de a. Preuve : Considérons V 1,, V n, n voisinages de a. Par définition, chaque voisinage V i contient une boule non vide B(a, r i ). En appliquant le lemme 1.2.3, on en déduit que ( ) B a, min r i = 1 i n n B(a, r i ) i=1 n V i. La boule de gauche est non vide ce qui montre que n i=1 V i est bien un voisinage de a. Attention : L intersection d un nombre infini (même dénombrable) de voisinages de a n est pas forcément un voisinage de a. Par exemple les boules B(a, 2 n ) sont toutes des voisinages de a, mais leur intersection (qui est réduite à {a}) n est pas un voisinage de a. Définition 1.2.5 On dit que Ω E est un ouvert de E (ou une partie ouverte de E) si Ω est vide ou si tous les points de Ω sont intérieurs à Ω. Remarque : Autrement dit Ω non vide est ouvert si et seulement si Ω est voisinage de tous ses points. Définition 1.2.6 On dit que F E est un fermé de E (ou une partie fermée de E) si E\F est un ouvert de E. Proposition 1.2.7 Toute boule ouverte de E est un ouvert et toute boule fermée de E est un fermé. Preuve : Soit B(a, r) une boule ouverte de E avec r > 0. Alors pour tout point b de B(a, r), la deuxième inégalité triangulaire assure que i=1 B(b, r N(b a)) B(a, r). Comme par définition, r > N(b a), l inclusion ci-dessus montre que B(a, r) est voisinage de b. Si r = 0 le résultat est trivial car la boule est vide. De façon analogue, si b E\B(a, r) alors N(b a) > r et la deuxième inégalité triangulaire assure que B(b, N(b a) r) E\B(a, r). Donc E\B(a, r) est ouvert. Proposition 1.2.8 On a les propriétés suivantes : (i) L union de toute famille d ouverts est un ouvert. (ii) L intersection d un nombre fini d ouverts est un ouvert. (iii) L intersection de toute famille de fermés est fermée. (iv) L union d un nombre fini de fermés est un fermé.

10 CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS NORMÉS Preuve : Pour prouver (i), on considère une famille quelconque (Ω i ) i I d ouverts. Si a i I Ω i alors il existe i 0 I tel que a Ω i0. Donc il existe r > 0 tel que B(a, r) Ω i0. Donc a fortiori, B(a, r) i I Ω i, et a est intérieur à i I Ω i. Pour prouver (ii), considérons une famille de n ouverts (Ω i ) 1 i n et un point a n i=1 Ω i. Comma a est intérieur à chaque Ω i, pour tout i {1,, n}, il existe r i > 0 tel que ) B(a, r i ) Ω i. Le lemme 1.2.3 permet de conclure que B (a, min 1 i n r i a est intérieur à n i=1 Ω i. déf Pour prouver (iii), considérons une famille quelconque (F i ) i I de fermés, et notons Ω i = n i=1 Ω i. Donc E\F i. Alors d après (i), i I Ω i est ouvert. Mais i I F i = E\ ( i I Ω ) i donc i I F i est fermé. De même, la propriété (iv) découle de (ii) par passage au complémentaire. Attention : L intersection d une famille quelconque d ouverts n est pas toujours un ouvert (considérer à nouveau la famille {B(a, 2 n )} n N ). Par passage au complémentaire, on en déduit que l union d une famille quelconque de fermés n est pas toujours un fermé. Une bonne façon de retenir la proposition ci-dessus est de considérer les deux exemples élémentaires suivants (dans R) : La réunion de la famille d intervalles fermés [2 n, 1 2 n ] est l intervalle ]0, 1[ qui n est pas fermé. L intersection de la famille d intervalles ouverts ] 2 n, 2 n [ est le singleton {0} qui n est pas ouvert. Remarque : E et sont les seules parties de E qui soient à la fois ouvertes et fermées. 1.2.2 Autres notions élémentaires de topologie Définition 1.2.9 Soit A une partie de E. On appelle intérieur de A l ensemble, noté Å, des points a de E qui sont intérieurs à A, c est-à-dire tels qu il existe r > 0 vérifiant B(a, r) A. Proposition 1.2.10 Å est le plus grand ouvert inclus dans A. En particulier, si A est ouvert, on a simplement Å = A. Preuve : Montrons d abord que Å est ouvert. Pour cela, considérons a Å et r > 0 tel que B(a, r) A. Pour tout point b de B(a, r), on a r N(b a) > 0 et B(b, r N(b a)) B(a, r) A. Donc b Å puis B(a, r) Å ce qui montre que Å est bien un ouvert. Si Ω est un autre ouvert inclus dans A alors pour tout a Ω, il existe r > 0 tel que B(a, r) Ω A. Donc a Å. Définition 1.2.11 Soit A E. On appelle adhérence de A, notée A, le complémentaire de l intérieur de E\A : A déf = E\( E\A). Proposition 1.2.12 A est le plus petit fermé contenant A. Si A est fermé, on a simplement A = A. Preuve : Puisque E\A est ouvert et inclus dans E\A, l ensemble A = E\( E\A) est fermé et contient E\(E\A), c est-à-dire A. Considérons maintenant un autre fermé F contenant A. Alors E\F E\A est ouvert, et donc est inclus dans E\A. En passant aux complémentaires, on en déduit que A F.

1.2. TOPOLOGIE SUR LES ESPACES VECTORIELS NORMÉS 11 Proposition 1.2.13 Soit A une partie de E. On a les relations suivantes : (i) E\A = E\A, (ii) E\Å = E\A. Exercice : Démontrer la proposition ci-dessus. Définition 1.2.14 On dit que le point a de E est adhérent à la partie A de E si tout voisinage de a rencontre A. Le résultat suivant explique l origine de l appellation adhérence. Proposition 1.2.15 Pour toute partie A de E, A est l ensemble des points de E qui sont adhérents à A. Preuve : Soit a A. Montrons que a est adhérent à A. Pour cela, considérons un voisinage arbitraire V de a. Ce voisinage contient une boule ouverte non vide B(a, r). Supposons par l absurde que B(a, r) A =. Alors B(a, r) E\A. Donc a est intérieur à l ensemble E\A, i.e a E\A, ce qui contredit l hypothèse sur a. Pour montrer la réciproque, considérons un point a n appartenant pas à A. Alors a E\A = E\A. Donc il existe un r > 0 tel que B(a, r) E\A. En conséquence, a n est pas adhérent à A. Définition 1.2.16 On appelle frontière de A l ensemble Fr A déf = A \ Å. Proposition 1.2.17 Soit A une partie de E. On a les relations suivantes : ( (i) Fr A = E\ Å E ) \ A, (ii) Fr A = A E \ A. Exercice : Démontrer la proposition ci-dessus. Proposition 1.2.18 Soit E un e.v.n arbitraire. Pour tout r > 0 et a E, on a : L adhérence de la boule ouverte B(a, r) est la boule fermée B(a, r), L intérieur de la boule fermée B(a, r) est la boule ouverte B(a, r), La frontière de B(a, r) ou de B(a, r) est la sphère S(a, r) déf = {y E N(y a) = r}. Preuve : Prouvons juste le premier point. On sait déjà que B(a, r) est fermé, et il est clair que B(a, r) B(a, r). Soit maintenant F un fermé arbitraire contenant B(a, r). Alors l ouvert E\F est contenu dans E\B(a, r). Donc pour tout x E\F il existe ρ > 0 tel que B(x, ρ) E\F E\B(a, r). On en déduit que N(x a) > r (exercice : justifier cette inégalité) et donc x appartient également à E\B(a, r). En passant au complémentaire, on conclut que B(a, r) F. Donc B(a, r) est bien le plus petit fermé contenant B(a, r). Exercice : Prouver les autres points de la proposition 1.2.18. Définition 1.2.19 On dit que A E est dense dans E si A = E. Proposition 1.2.20 La partie A de E est dense si et seulement si tout ouvert non vide de E rencontre A.

12 CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS NORMÉS Preuve : = Supposons A dense et considérons Ω un ouvert non vide de E. Soit a Ω et r > 0 tel que B(a, r) Ω. Par hypothèse a est adhérent à A donc B(a, r) A n est pas vide. A fortiori, Ω A n est pas vide non plus. = Si A n est pas dense dans E, l ensemble E \ A n est pas vide et donc contient une boule non vide B(a, r). A fortiori B(a, r) ne rencontre donc pas l ensemble A. Exemple : L ensemble Q est dense dans R. En effet, D déf = {k10 n k Z, n N} est luimême dense dans R car tout intervalle ]α i, β i [ est d intersection non vide avec D (considérer le développement décimal de α i et β i ). Définition 1.2.21 On dit que a E est un point isolé de A E s il existe un voisinage V de a (ou de façon équivalente une boule ouverte centrée en a) tel que V A = {a}. Exemple : Tous les points de N sont isolés dans R. Définition 1.2.22 On dit que A E est une partie discrète de E si tous ses points sont isolés. Exemple : N est une partie discrète de R. Définition 1.2.23 On dit que a E est un point d accumulation de A E si tout voisinage V de a vérifie V \{a} A. Exemple : Prenons E = R et A déf = { 1 n n N }. Alors tous les points de A sont isolés, A = A {0} et 0 est point d accumulation de A. Proposition 1.2.24 Pour toute partie A de E, l ensemble A est la réunion disjointe des points isolés et des points d accumulation de A. Preuve : Notons I l ensemble des points isolés de A, et J l ensemble de ses points d accumulation. Vu les définitions, un point ne peut pas être à la fois point isolé et point d accumulation. Donc I J =. Soit a A tel que a J. Alors il existe un voisinage V de a tel que V\{a} A =. Mais comme a est dans l adhérence de A, l ensemble V A ne peut pas être vide. On conclut que V A = {a} et donc a I. 1.2.3 Topologie induite sur une partie d un espace vectoriel normé Définition 1.2.25 Soit A E et a A. On dit que B A est un ouvert de A pour la topologie induite s il existe un ouvert Ω de E tel que A Ω = B, fermé de A pour la topologie induite s il existe un fermé F de E tel que A F = B, voisinage de a pour la topologie induite s il existe un voisinage V de a dans E tel que A V = B. Exemples : On prend E = R et A = [0, 1[. Alors [0, 1 2 [ est un ouvert de A pour la topologie induite car [0, 1 2 [= A ] 1 2, 1 2 [ (par exemple). C est aussi un voisinage de 0. De même, [ 1 2, 1[ est un fermé pour la topologie induite car [ 1 2, 1[= A [ 1 2, 1]. En revanche, il est clair que [0, 1 2 [ n est pas un ouvert de R, et que [ 1 2, 1[ n est pas un fermé de R. Proposition 1.2.26 Soit A E et B A. (i) L ensemble B est un ouvert de A pour la topologie induite si et seulement si A\B est un fermé de A. (ii) L ensemble B est un fermé de A pour la topologie induite si et seulement si A\B est un ouvert de A.

1.2. TOPOLOGIE SUR LES ESPACES VECTORIELS NORMÉS 13 Preuve : Prouvons juste le premier point. Si B est un ouvert de A, il existe un ouvert Ω de E tel que B = A Ω. On a donc A\B = A (E\Ω). Comme E\Ω est un fermé de E, l ensemble A\B est fermé dans A. La réciproque est similaire. Proposition 1.2.27 Soit A une partie de E, et B A. (i) Si A est un ouvert de E alors B est un ouvert de A pour la topologie induite si et seulement si B est un ouvert de E. (ii) Si A est un fermé de E alors B est un fermé de A pour la topologie induite si et seulement si B est un fermé de E. Preuve : Montrons seulement (i). La preuve de (ii) est très semblable. Supposons A ouvert. Si B est un ouvert de A alors il existe un ouvert Ω de E tel que B = A Ω. L intersection de deux ouverts de E étant un ouvert, on conclut que B est un ouvert de E. Réciproquement, si B A est un ouvert de E, il est immédiat que B est un ouvert de A puisque B = A B. Attention : Soit A une partie quelconque de E. Si B est ouvert dans E et B A alors B est ouvert dans A. La réciproque est fausse. Si B est fermé dans E et B A alors B est fermé dans A. La réciproque est fausse. Remarque 1.2.28 Toutes les parties de N sont à la fois ouvertes et fermées pour la topologie induite par R. En effet, pour tout point n N, on peut écrire {n} = N ] 1 2 + n, 1 2 + n[= N [ 1 2 + n, 1 2 + n]. Donc tout singleton de N est à la fois ouvert et fermé pour la topologie induite. Toute partie de N peut s écrire comme réunion de singletons. Donc toute partie de N est ouverte. Par passage au complémentaire, on en déduit que toute partie de N est également fermée. Exercice : Montrer plus généralement que toute partie d un ensemble discret est à la fois ouverte et fermée. 1.2.4 Suites dans les espaces vectoriels normés Dans cette partie, on s intéresse aux suites dont le terme général appartient à un e.v.n E. Définition 1.2.29 On dit qu une suite (u n ) n N de l e.v.n (E, N) est bornée s il existe M R + tel que n N, N(u n ) M. Définition 1.2.30 On dit qu une suite (u n ) n N de l e.v.n (E, N) est convergente s il existe un élément l de E tel que ɛ > 0, N N, ( n N, n N) = N(u n l) ɛ. L élément l est appelé limite de la suite (u n ) n N. Comme pour les suites réelles, on a les propriétés suivantes : Proposition 1.2.31 (i) Il y a unicité de la limite. (ii) Toute suite convergente est bornée. Réciproque fausse.

14 CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS NORMÉS Définition 1.2.32 On dit qu une suite (u n ) n N est divergente si elle n est pas convergente, c est-à-dire si l E, ɛ > 0, N N, n N, (n N et N(u n l) > ɛ). Les suites permettent de donner une caractérisation de l adhérence des parties de E : Proposition 1.2.33 Soit A une partie de E, et x E. Alors on a x A (x n ) n N A N, Preuve : On écarte le cas A = qui est trivial. lim x n = x. n + = Soit x A. Alors tout voisinage V de x rencontre A. En particulier, pour tout n N, l ensemble B(x, 2 n ) A n est pas vide et contient donc un élément que l on note x n. Il est clair que (x n ) n N converge vers x. = Par contraposition. On considère x E\A. Alors x est dans l intérieur de E\A. Donc il existe r > 0 tel que B(x, r) A =. On ne peut donc pas trouver de point y de A tel que N(y x) < r. On conclut qu aucune suite de points de A ne peut converger vers x. Corollaire 1.2.34 Une partie A de E est fermée si et seulement si toute suite convergente de points de A a sa limite dans A. 1.2.5 Parties compactes Commençons par étendre la définition de valeur d adhérence au cas des suites dans un e.v.n. Définition 1.2.35 On dit que a E est valeur d adhérence de la suite (a n ) n N s il existe une sous-suite (ou une suite extraite) de (a n ) n N qui converge vers a. Remarque 1.2.36 Soit (a n ) n N une suite de E N. Dire que a est valeur d adhérence de (a n ) n N se traduit par : ɛ > 0, N N, n N, N(a n a) ɛ. Dire que a est limite de (a n ) n N se traduit par : ɛ > 0, N N, n N, N(a n a) ɛ. Proposition 1.2.37 L ensemble A des valeurs d adhérence d une suite est donné par la formule : A = n N {a p p n}. Définition 1.2.38 On dit qu une partie K de E est compacte (ou est un compact de E) si toute suite d éléments de K a au moins une valeur d adhérence dans K. Attention : Une suite convergente a une seule valeur d adhérence : sa limite. En revanche, une suite ayant une seule valeur d adhérence n est pas forcément convergente. Exercice : Donner un exemple de suite divergente ayant une seule valeur d adhérence. Proposition 1.2.39 Dans un compact, une suite converge si et seulement si elle a une unique valeur d adhérence.

1.2. TOPOLOGIE SUR LES ESPACES VECTORIELS NORMÉS 15 Preuve : La partie directe de la proposition est triviale. Montrons la réciproque. Soit donc (a n ) n N une suite d éléments de K n ayant qu une seule valeur d adhérence a K. Supposons par l absurde que (a n ) n N ne converge pas vers a. Alors il existe un ɛ > 0 et une suite extraite (a ϕ(n) ) n N tels que (1.1) n N, N(a ϕ(n) a) > ɛ. Comme K est compact, on peut extraire de (a ϕ(n) ) n N une nouvelle sous-suite (a ϕ ψ(n) ) n N qui converge dans K. D après (1.1), sa limite b doit satisfaire N(b a) ɛ. Donc b a ce qui contredit l unicité de la valeur d adhérence. Proposition 1.2.40 Un compact d un e.v.n est toujours fermé borné. Preuve : Montrons d abord le caractère fermé. Pour cela, considérons a K. Alors il existe une suite (a n ) n N d éléments de K qui converge vers a. Cette suite doit avoir au moins une valeur d adhérence dans K donc a K. Supposons par l absurde que K n est pas borné. Dans ce cas, on peut construire une suite (a n ) n N telle que N(a n+1 ) 1 + N(a n ) pour tout n (exercice : le faire). Une telle suite ne saurait avoir de valeur d adhérence puisque pour i j, on a N(a i a j ) 1. Attention : Dans un e.v.n général, les fermés bornés ne sont pas tous compacts. Cette propriété n est vraie que si E est de dimension finie (voir le chapitre 2). Proposition 1.2.41 Tout fermé F d un ensemble compact K est compact. Preuve : Soit (a n ) n N une suite de F N. Alors cette suite admet une valeur d adhérence a dans K qui est compact, c est-à-dire qu il existe une sous-suite (a ϕ(n) ) n N dont la limite est a. Cette sous-suite est une suite d éléments de F. Donc sa limite a se trouve dans F. Proposition 1.2.42 Le produit K 1 K p d un nombre fini de compacts K i est compact. Preuve : Soit (a 1 n,, a p n) n N une suite d éléments de K 1 K p. La suite (a 1 n) n N est une suite d éléments de K 1 qui est compact. Donc il existe une soussuite (a 1 ϕ 1 (n) ) n N de (a 1 n) n N qui converge dans K 1. La suite (a 2 ϕ 1 (n) ) n N est une suite d éléments de K 2 qui est compact. On peut donc lui extraire une sous-suite (a 2 ϕ 1 ϕ 2 (n) ) n N convergente dans K 2. Bien sûr la suite (a 1 ϕ 1 ϕ 2 (n) ) n N est également convergente en tant que sous-suite d une suite convergente. En itérant le procédé d extraction, on montre finalement que (a 1 n,, a p n) n N admet une sous-suite convergente dans K 1 K p.

16 CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS NORME S

17 Chapitre 2 Continuité Dans tout ce chapitre, E et F désignent deux espaces vectoriels normés sur K. On note N E (resp. N F ) la norme de E (resp. F ). Si x 0 E (resp. y 0 E), et r R +, on désigne par B E (x 0, r) (resp. B F (x 0, r)) la boule de E (resp. F ) de centre x 0 (resp. y 0 ) et de rayon r. 2.1 Continuité des applications d un e.v.n dans un e.v.n Définition 2.1.1 Soit A E, B F, x 0 A, l B et f F(A, B). On dit que f admet la limite l en x 0 (suivant la partie A) si ɛ > 0, η > 0, (x A B E (x 0, η)) = N F (f(x) l) < ɛ. La limite, lorsqu elle existe, est unique, et l on note l = lim f(x). x x 0 x A Enfin, on dit que f est continue en x 0 si de plus x 0 A et f(x 0 ) = l. Remarque 2.1.2 Si x 0 est un point isolé de A, f est nécessairement continue en x 0. En effet, pour η assez petit, B(x 0, η) A = {x 0 }. Remarque 2.1.3 La notion de limite est locale : si x 0 A et V est un voisinage de x 0 alors lim x x 0 x A f(x) existe et vaut l si et seulement si lim x x 0 x A V f(x) existe et vaut l. Théorème 2.1.4 (de composition des limites) Soit E, F et G trois e.v.n et A E, B F, C G. Soit x 0 A, y 0 B et l C. Soit enfin f F(A, B) et g F(B, C). Supposons que f(x) = y 0 et g(y) = l. Alors la limite de g f en x 0 existe et vaut l : lim x x 0 x A lim y y 0 y B lim g f(x) = l. x x 0 x A Preuve : Fixons ɛ > 0. Par définition de la limite, il existe η > 0 tel que (en notant N G la norme sur G) (2.1) y B B F (y 0, η), N G (g(y) l) < ɛ. Mais il existe η > 0 tel que x A B E (x 0, η ), N F (f(x) y 0 ) < η.

18 CHAPITRE 2. CONTINUITÉ Comme par hypothèse f est à valeurs dans B, on peut prendre y = f(x) dans (2.1) et conclure que x A B E (x 0, η ), N G (g f(x) l) < ɛ. Corollaire 2.1.5 Soit f F(A, E), g F(A, E) On suppose que f (resp. g) a pour limite l (resp. m) en x 0 A. Soit Φ une loi interne sur E continue en (l, m) pour la topologie produit sur E E. Alors on a lim Φ(f(x), g(x)) = Φ(l, m). x x 0 x A Preuve : Il suffit d appliquer le théorème de composition des limites à Φ et à la fonction (f, g) : A E E. Définition 2.1.6 Soit A E et B F. On dit que f F(A; B) est continue sur A si f est continue en tout point de A. On note C(A; B) l ensemble des fonctions continues de A à valeurs dans B. Définition 2.1.7 Soit Ω un ouvert de E et Ω un ouvert de F. On dit que f F(Ω; Ω ) est un homéomorphisme de Ω sur Ω si les conditions suivantes sont satisfaites : (i) f est continue sur Ω, (ii) f est bijective de Ω dans Ω, (iii) la bijection réciproque f 1 de f est continue sur Ω. Proposition 2.1.8 Soit A E et B F, et f F(A, B). Les trois propositions suivantes sont équivalentes : (i) f est continue sur A, (ii) pour tout ouvert Ω de B, l ensemble f 1 (Ω) est un ouvert de A, (iii) pour tout fermé F de B, l ensemble f 1 (F ) est un fermé de A. Preuve : Remarquons que pour tout ensemble C B, on a f 1 (B\C) = A\f 1 (C). Comme le complémentaire d un ouvert est un fermé et vice versa, on conclut que (ii) est équivalent à (iii). (i) (ii) : Soit Ω un ouvert de B, et x 0 f 1 (Ω). Comme f(x 0 ) Ω, il existe un ɛ > 0 tel que B F (f(x 0 ), ɛ) B Ω. Par continuité de f en x 0, il existe η > 0 tel que f(b E (x 0, η) A) B F (f(x 0 ), ɛ) B Ω. Donc B E (x 0, η) A f 1 (Ω). Donc f 1 (Ω) est bien un ouvert de A. (ii) (i) : Soit x 0 A et ɛ > 0. On sait que f 1 (B F (f(x 0 ), ɛ) B) est un ouvert de A contenant x 0. Donc il existe η > 0 tel que B E (x 0, η) A f 1 (B F (f(x 0 ), ɛ) B). D où la continuité de f en x 0. Attention : Dans la proposition ci-dessus, il s agit d ouverts et de fermés pour la topologie induite! Proposition 2.1.9 Soit E, F et G trois e.v.n. Soit A E, B F et C G. Supposons que f C(A; B) et g C(B; C). Alors g f C(A; C). Preuve : Soit Ω un ouvert de C. Alors la proposition 2.1.8 assure que g 1 (Ω) est un ouvert de B, puis que (g f) 1 (Ω) = f 1 (g 1 (Ω)) est un ouvert de A. En appliquant une nouvelle fois la proposition 2.1.8, on conclut que g f est continue sur A.

2.2. CONTINUITÉ ET COMPACITÉ 19 Proposition 2.1.10 (Caractérisation séquentielle de la continuité) Soit A E, x A, B F, l B et f F(A; B). Alors f admet la limite l en x si et seulement si pour toute suite (x n ) n N de A N tendant vers x, on a lim n + f(x n ) = l. En particulier, f est continue en x si et seulement si pour toute suite (x n ) n N de A N tendant vers x, on a lim n + f(x n ) = f(x). Preuve : Supposons d abord que f ait une limite l en x. Soit (x n ) n N A N tendant vers x. Soit ɛ > 0. Il existe η > 0 tel que pour tout y B(x, η) A on ait f(x) B(l, ɛ). Par ailleurs, il existe un rang N N tel que x n B(x, η) A pour tout n N. On conclut que n N = N F (f(x n ) l) < ɛ, et donc (f(x n )) n N converge vers l. On raisonne par contraposition en supposant que f n admet pas la limite 1 l en x. En prenant la négation de la définition de limite, on peut alors construire une suite (x n ) n N A N qui converge vers x mais telle que (f(x n )) n N ne tende pas vers l. Exemple : En appliquant le théorème ci-dessus à l homothétie de rapport λ de E dans E, on en déduit que si la suite (x n ) n N converge vers x E alors (λx n ) n N converge vers λx. Plus généralement, la caractérisation séquentielle combinée avec le corollaire 2.1.5 permet de montrer le résultat suivant : Théorème 2.1.11 Soit (E, N) un e.v.n. On munit E E de la norme produit N. Soit Φ une loi interne sur E continue de (E E, N ) vers (E, N). Alors pour tout couple de suites (u n ) n N et (v n ) n N de E N tendant respectivement vers l et vers m, on a lim Φ(u n, v n ) = Φ(l, m). n + Exemples : Soit (u n ) n N et (v n ) n N deux suites convergentes d éléments de E. Alors on a lim (u n + v n ) = lim u n + lim v n. n + n + n + Si E = R ou C : lim u nv n = lim u n lim v n. n + n + n + Si E = M n (K) : lim u nv n = lim u n lim v n. n + n + n + Remarque générale : Dans un e.v.n (E, N), toutes les notions topologiques sont indépendantes par changement de la norme en une norme équivalente N. Par exemple les fermés (resp. ouverts, compacts) de E au sens de la norme N sont les mêmes que les fermés (resp. ouverts, compacts) de (E, N ), une suite (ou une fonction) converge dans (E, N) si et seulement si elle converge dans (E, N ), etc. 2.2 Continuité et compacité 2.2.1 Théorèmes généraux Théorème 2.2.1 Soit K un compact de E et f C(K; F ). Alors f(k) est un compact de F. Preuve : Soit (y n ) n N une suite d éléments de f(k). Alors pour tout n N, il existe x n K tel que y n = f(x n ). Comme K est compact, la suite x admet une sous-suite (x ϕ(n) ) n N convergente dans K. Notons l sa limite. Comme f est continue, il est clair que la suite (f(x ϕ(n) )) n N = (y ϕ(n) ) n N converge vers f(l). Donc (y n ) n N a une valeur d adhérence dans f(k). 1 Ce qui signifie ou bien que f n a pas de limite du tout ou bien que f a une limite autre que l.

20 CHAPITRE 2. CONTINUITÉ Mémento : L image directe d un compact par une application continue est compacte. L image réciproque d un ouvert par une application continue est ouverte. L image réciproque d un fermé par une application continue est fermée. Attention : Il est faux en général que l image réciproque d un compact soit compacte ou que l image directe d un ouvert (resp. fermé) soit ouverte (resp. fermée). Exercice : Trouver des contre-exemples. Avant de donner une caractérisation des compacts de R, rappelons le théorème de Bolzano- Weierstrass. Théorème 2.2.2 (de Bolzano-Weierstrass) Toute suite bornée de R admet au moins une valeur d adhérence. D après la proposition 1.2.40, tout compact est fermé et é. Réciproquement, si K est un ensemble borné de R, le théorème de Bolzano-Weierstrass assure que toute suite de K a au moins une valeur d adhérence. Si de plus K est fermé, cette valeur d adhérence se trouve dans K. On a donc obtenu le Corollaire 2.2.3 Les compacts de R sont les ensembles fermés bornés. Cela entraîne le très important résultat suivant : Corollaire 2.2.4 Soit K un compact d un e.v.n quelconque (E, N) et f une fonction continue de K dans R. Alors f est bornée et atteint ses bornes. Plus précisément, il existe deux points x et x de K tels que f(x ) = inf f(x) et x K f(x ) = sup f(x). x K Preuve : Comme f est continue et K est compact, le théorème 2.2.1 montre que f(k) est un compact de R donc est fermé borné. Le caractère borné permet d ores et déjà d affirmer que inf x K f(x) >. Considérons une suite (x n ) n N telle que lim f(x n) = inf f(x). n + x K Comme f(k) est fermé, la limite de la suite (f(x n )) n N est dans f(k). En d autres termes, il existe x E tel que f(x ) = inf x K f(x). La preuve de l existence de x est similaire. Définition 2.2.5 Soit (E, N E ) et (F, N F ) deux e.v.n, A E et B F. On dit que f F(A, F ) est uniformément continue si ɛ > 0, η > 0, x A, (y A B E (x, η)) = N F (f(y) f(x)) < ɛ. Définition 2.2.6 Soit (E, N E ) et (F, N F ) deux e.v.n, A E, B F et k 0. On dit que f F(A, B) est k-lipschitzienne si (x, y) A A, N F (f(y) f(x)) kn E (y x). En revenant aux définitions, on montre facilement le résultat suivant : Proposition 2.2.7 Une application k-lipschitzienne est toujours uniformément continue, et une application uniformément continue est toujours continue. Donnons un exemple de fonction lipschitzienne :

2.2. CONTINUITÉ ET COMPACITÉ 21 Proposition 2.2.8 Dans un e.v.n (E, N), l application N est 1-lipschitzienne de (E, N) dans (R, ). Preuve : D après la deuxième inégalité triangulaire, on a (x, y) R 2, N(y) N(x) N(x y). Théorème 2.2.9 (de Heine) Une application continue de K dans F avec K compact de E est toujours uniformément continue. Preuve : On raisonne par contraposition. Supposons que f F(K; F ) avec K compact ne soit pas uniformément continue. Alors en prenant la négation de la définition de l uniforme continuité, on obtient un ɛ > 0 tel que pour tout η > 0 on puisse trouver un couple (x, y) K 2 vérifiant N E (y x) < η et N F (f(y) f(x)) ɛ. En choisissant η = 2 n avec n N, on obtient donc deux points x n et y n de K tels que (2.2) N E (y n x n ) < 2 n et N F (f(y n ) f(x n )) ɛ. Comme K est compact, K K l est aussi, et donc (x n, y n ) n N a une valeur d adhérence dans K K. Plus précisément, il existe (x, y) K K et une suite extraite (x ϕ(n), y ϕ(n) ) n N tels que lim n + (x ϕ(n), y ϕ(n) ) = (x, y). En passant à la limite dans (2.2), on trouve x = y. Mais l inégalité N F (f(y ϕ(n) ) f(x ϕ(n) )) ɛ pour tout n N montre que f ne peut pas être continue en x. 2.2.2 Le cas de la dimension finie Donnons pour commencer une généralisation du corollaire 2.2.3 au cas de R p. On munit R p de la norme N 1 (x 1,, x p ) déf = p i=1 x i. Lemme 2.2.10 Les compact de l e.v.n (R p, N 1 ) sont les fermés bornés. Preuve : Le fait que K compact soit fermé borné est vrai dans n importe quel e.v.n. Réciproquement, considérons un fermé borné K de (R p, N 1 ) et une suite (x n ) n N d éléments de K. Notons x n = (x n 1,, xn p ). Le caractère borné de K assure l existence d un réel positif M tel que pour tout n N et i {1,, p}, on ait x i n M. Donc (x n ) n N est à valeurs dans [ M, M] p qui est compact car produit de compacts (cf prop. 1.2.42). On en déduit que (x n ) n N admet une sous-suite convergente. La limite de cette sous-suite se trouve dans K car K est fermé. Remarque 2.2.11 En identifiant C p à R 2p, on en déduit que dans C p muni de la norme p Ň 1 (x) = Re x i + Im x i, i=1 les compacts sont les fermés bornés. Mais la norme N 1 : x p i=1 x i est équivalente à Ň1. Donc dans (C p, N 1 ) aussi, les compacts sont les fermés bornés. Lemme 2.2.12 Soit (E, N) un K-e.v.n de dimension finie p, et (e 1,, e p ) une base de E. Alors { E R + Ñ 1 : x = p i=1 x ie i p i=1 x i est une norme sur E et les compacts de (E, Ñ1) sont les fermés bornés.

22 CHAPITRE 2. CONTINUITÉ Preuve : Considérons l application { (K Ψ : p, N 1 ) (E, Ñ1) (x i,, x p ) p i=1 x ie i Manifestement, Ψ est lipschitzienne de rapport 1 (en fait c est même un isomorphisme isométrique puisque Ñ1(Ψ(x)) = N 1 (x) pour tout x K p ). Soit K un fermé borné de (E, Ñ1). La continuité de Ψ assure que Ψ 1 (K) est fermé dans (K p, N 1 ), et comme Ψ conserve la norme, Ψ 1 (K) est également borné dans (K p, N 1 ). Le lemme 2.2.10 et la remarque qui suit permettent de conclure que Ψ 1 (K) est compact. Enfin, K = Ψ(Ψ 1 (K)) donc, d après le théorème 2.2.1, K est également compact. Théorème 2.2.13 Dans un e.v.n de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes. Preuve : Soit (E, N) un e.v.n de dimension finie p. Fixons une base (e 1,, e p ) de E. Pour prouver le théorème, il suffit de montrer que N est une norme équivalente à la norme Ñ1 définie par Ñ1(x) = p i=1 x i pour x = p i=1 x ie i. En utilisant l inégalité triangulaire, on a pour tout x E, Par ailleurs, l application est continue puisque ( p ) N(x) = N x i e i N : i=1 { (E, Ñ 1 ) R + ( ) max N(e i) Ñ1 (x). 1 i p x N(x) (x, y) E 2, N(y) N(x) N(y x) ( ) max N(e i) Ñ1 (y x). 1 i p La sphère S = {x E Ñ1(x) = 1} est un fermé borné de (E, Ñ1) donc c est un compact (cf lemme 2.2.12). Donc l application N restreinte à S atteint son minimum α en un point que l on note x 0. Comme x 0 n est pas nul, on a α = N(x 0 ) > 0. Enfin, pour tout x 0 de E, le point x/ñ1(x) se trouve dans S. On conclut donc que N(x) αñ1(x). Les normes N et Ñ1 sont donc bien équivalentes. Corollaire 2.2.14 Dans un e.v.n de dimension finie, les ensembles compacts sont les ensembles fermés bornés. Preuve : Soit (E, N) un e.v.n de dimension finie. D après le théorème précédent, N et Ñ1 sont des normes équivalentes donc dire qu une suite converge au sens de la norme N équivaut à dire qu elle converge au sens de la norme N 1. Comme la définition de la compacité repose sur la notion de limite, les compacts de (E, N) sont ceux de (E, Ñ1), c est-à-dire les fermés bornés. 2.3 Continuité et connexité 2.3.1 Généralités Une autre notion très importante en topologie est celle de connexité. Si l on cherche à se représenter un ensemble connexe, on retiendra l image d un ensemble ne comportant qu un seul morceau. Venons-en maintenant à la définition mathématique de la connexité (qui au premier abord peu sembler assez éloignée de la définition heuristique que nous venons d en donner) :

2.3. CONTINUITÉ ET CONNEXITÉ 23 Proposition 2.3.1 Soit A une partie de E. Les trois propriétés suivantes sont équivalentes 2 : (i) A et sont les seules parties ouvertes et fermées de A, (ii) Il n existe pas de couple d ouverts de A non vides, disjoints et de réunion égale à A, (iii) Il n existe pas de couple de fermés de A non vides, disjoints et de réunion égale à A. Si l une de ces trois propriétés est vérifiée, on dit que A est une partie connexe de E. Exemples : (i) Les parties discrètes ayant plus d un élément ne sont pas connexes. En effet, on a vu que tous les singletons de telles parties étaient à la fois ouverts et fermés. (ii) L ensemble E lui-même est connexe ainsi que. Proposition 2.3.2 L image d une partie connexe par une application continue est connexe. Preuve : Soit f C(A, B) avec A partie connexe de E et B = f(a). Soit U une partie ouverte et fermée de B. Alors d après la prop. 2.1.8, f 1 (U) est ouverte et fermée dans A. Puisque A est connexe, on a donc f 1 (U) = (auquel cas U = ) ou bien f 1 (U) = A (et alors U = B). Corollaire 2.3.3 Une partie A de E est connexe si et seulement si toute application continue de A dans {0, 1} est constante. Preuve : Soit A connexe et f une application continue de A dans {0, 1}. Alors f(a) doit être une partie connexe de {0, 1}. Or les parties discrètes ayant plus d un élément ne sont pas connexes donc f(a) ne doit comporter qu un seul élément. Pour montrer la réciproque, on suppose qu il existe f continue de A dans {0, 1} telle que f(a) = {0, 1}. Les deux ensembles f 1 ({0}) et f 1 ({1}) sont disjoints, non vides par hypothèse et fermés car f est continue. Leur réunion vaut A. On conclut que A n est pas connexe. Corollaire 2.3.4 La réunion d une famille d ensembles connexes d intersection non vide est connexe. Preuve : Soit (A i ) i I une famille d ensembles connexes d intersection B non vide et f une application continue de i I A i dans {0, 1}. Par connexité de A i, f est constante sur chaque A i. Si l on note a i la valeur de cette constante, on en déduit que f restreinte à B (qui n est pas vide) doit être constante et égale à a i pour tout i. En conséquence, tous les a i sont égaux entre eux, et f est donc constante sur i I A i. On conclut grâce au corollaire précédent. Attention : La réunion d une famille quelconque de connexes n est pas connexe en général. De même, l intersection de deux connexes n est pas toujours connexe (dans R 2, considérer par exemple l intersection d un anneau et d un rectangle). Proposition 2.3.5 Soit A E connexe. Alors tout ensemble B E tel que A B A est connexe. Preuve : Soit f une application continue de B à valeurs dans {0, 1} et b un point de B. Alors b est limite d une suite (a n ) n N de points de A. Par continuité de f en b, on a f(b) = lim f(a n). n + Or f restreinte à A est continue de l ensemble connexe A dans {0, 1}. Donc f est constante sur A, et f(b) est égal à la valeur de f sur A. On conclut que f est constante sur B. 2 Ci-dessous, quand on parle d ouverts ou de fermés, c est au sens de la topologie induite sur A

24 CHAPITRE 2. CONTINUITÉ 2.3.2 Parties connexes de R Théorème 2.3.6 Les parties connexes de R sont les intervalles de R. Preuve : Considérons d abord le cas d un intervalle fermé borné de R : I = [a, b]. Soit F 1 et F 2 deux fermés disjoints de [a, b]. Comme [a, b] est fermé dans R, F 1 et F 2 sont en fait deux fermés de R, et comme ils sont bornés, ils sont compacts. Supposons par l absurde que ces deux compacts soient non vides. Comme ils sont disjoints, on a d(f 1, F 2 ) > 0, et il existe x 1 F 1 et x 2 F 2 tels que d(f 1, F 2 ) = x 1 x 2 (exercice : le prouver). Le point (x 1 + x 2 )/2 appartient aussi à l intervalle [a, b] et doit donc appartenir à l un des deux fermés, par exemple F 1. Mais ( x1 + x ) 2 d, x 2 2 = x 1 x 2 2 = d(f 1, F 2 ), 2 ce qui est absurde. Donc F 1 ou F 2 est vide et [a, b] est bien connexe. Comme tout intervalle de R est réunion croissante d intervalles fermés bornés, le corollaire 2.3.4 permet de conclure que tout intervalle de R est connexe. Si A R n est pas intervalle il existe deux points x et y de A tels que x < y et [x, y] A. En prenant y 0 [x, y] \ A, on constate que A ], y 0 ] et A [y 0, + [ sont deux fermés non vides et disjoints de A dont la réunion vaut A. Donc A n est pas connexe. Théorème 2.3.7 (des valeurs intermédiaires) Soit E un e.v.n, A une partie connexe de E et f une application continue de A dans R. Alors f(a) est un intervalle de R. Preuve : On sait que f(a) est un ensemble connexe de R. Il ne reste plus qu à appliquer le théorème précédent. Remarque : Si f est continue de A dans R avec A à la fois compact et connexe, l ensemble f(a) est donc du type [a, b]. 2.3.3 Connexité par arcs Définition 2.3.8 On dit que la partie A de E est connexe par arcs si pour tout couple (a, b) de A 2 il existe une application ϕ C([0, 1]; A) telle que ϕ(0) = a et ϕ(1) = b. Une telle application est appelée chemin continu de A allant de a vers b. L image de [0, 1] par ϕ est une courbe continue d extrémités a et b. Proposition 2.3.9 Toute partie connexe par arcs est connexe. Preuve : On va utiliser la caractérisation de la connexité donnée par le corollaire 2.3.3. Soit donc A connexe par arcs et f C(A; {0, 1}). Soit a et b deux points quelconques de A. Il existe un chemin ϕ C([0, 1]; A) tel que ϕ(0) = a, ϕ(1) = b. L application f ϕ est continue de [0, 1] (partie connexe de R) dans {0, 1} et est donc constante. En particulier Donc f est constante. f(a) = f ϕ(0) = f ϕ(1) = f(b). Théorème 2.3.10 Pour les parties ouvertes des espaces vectoriels normés, la connexité est équivalente à la connexité par arcs. Preuve : Soit A une partie connexe non vide et ouverte de E. Fixons a A et considérons l ensemble B déf = {b A il existe un chemin continu de A joignant a et b}. Par définition même, l ensemble B est connexe par arcs. Reste à montrer que B = A.

2.4. APPLICATIONS LINÉAIRES CONTINUES 25 B n est pas vide car contient le point a. L ensemble B est ouvert. En effet, si b B, il existe un chemin de A allant de a vers b et, puisque A est ouvert, une boule non vide B(b, r) incluse dans A. Pour tout point c de B(b, r), le segment [b, c] est inclus dans B(b, r) donc dans A. C est donc un chemin de A. Enfin, la réunion du chemin allant de a à b avec le segment [b, c] est un chemin allant de a vers c, et l on conclut donc que c B, puis que B(b, r) B. L ensemble B est fermé. Soit b B A. Choisissons r > 0 tel que B(b, r) A. Comme b B, l ensemble B(b, r) B n est pas vide et contient donc un point c. Par définition de l ensemble B, il existe un chemin de A joignant a à c. Par ailleurs, le segment [b, c] appartient à B(b, r) donc est inclus dans A, et l on en déduit finalement que b B. Comme l ensemble A est connexe, on conclut que B = A. Remarque : Les notions de connexité et de connexité par arc sont invariantes par changement de norme en une norme équivalente. Un exemple important de connexité : la convexité Définition 2.3.11 On dit qu une partie A E est convexe si pour tout couple (x, y) de A 2, le segment [x, y] déf = {tx + (1 t)y t [0, 1]} est inclus dans A. Le lecteur établira facilement le résultat suivant : Proposition 2.3.12 Les parties convexes de E sont connexes par arc. 2.4 Applications linéaires continues Proposition 2.4.1 Soit (E, N E ) et (F, N F ) deux e.v.n sur K, et u L(E; F ). Les six propriétés suivantes sont équivalentes. (i) u est lipschitzienne, (ii) M 0, x E, N F (u(x)) MN E (x), (iii) u est continue sur E, (iv) u est continue en 0, (v) u est bornée sur la boule unité, (vi) u est bornée sur la sphère unité. Preuve : Il suffit de prouver (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (i). (i) (ii) Immédiat car u(0) = 0. (ii) (iii) Par linéarité de u, on a u(y) u(x) = u(y x). Donc, (x, y) E 2, N F (u(y) u(x)) MN E (y x). Donc u est continue. (iii) (iv) Trivial. (iv) (v) De la continuité en 0 de u, on déduit l existence d un η > 0 tel que N F (u(x)) 1 dès que x B(0, η). Or x B(0, η) si et seulement si η 1 x B(0, 1). Par linéarité de u, on conclut que N F (u(x)) η 1 pour tout x B(0, 1). Donc u est bornée sur la boule unité.

26 CHAPITRE 2. CONTINUITÉ (v) (vi) Trivial. (vi) (i) Notons M une borne de u restreinte à la sphère unité. Si x y, le point (y x)/n E (y x) appartient à la sphère unité. En utilisant la linéarité de u et le fait que u est bornée par M sur la sphère unité, on obtient donc ( y x ) N F (u(y) u(x)) = N F (u(y x)) = N E (y x)n F (u ) MN E (y x). N E (y x) Donc u est lipschitzienne de rapport M. Définition 2.4.2 On note L (E, F ) l ensemble des applications linéaires continues de E dans F. Pour f L (E, F ), on définit alors la quantité f déf = sup x E\{0} N F (f(x)). N E (x) Proposition 2.4.3 L espace (L (E, F ); ) est un espace vectoriel normé. De plus, on a pour tout f L (E, F ), (2.3) f = sup N F (f(x)). x E N E (x)=1 Preuve : Vérifions rapidement que est une norme. La proposition 2.4.1 assure que pour tout f L (E, F ), la quantité f est finie (et positive). Il est de plus immédiat que λf = λ f pour tout λ K et que f = 0 si et seulement si f = 0. Si f et g sont deux éléments de L (E, F ), on a pour tout x E, N F ((f + g)(x)) = N F (f(x) + g(x)) N F (f(x)) + N F (g(x)) ( f + g )N E (x). Donc f + g est linéaire continue et vérifie f + g f + g. Donc est bien une norme. La preuve de l égalité (2.3) est laissée au lecteur à titre d exercice. Proposition 2.4.4 Sur L (E) déf = L (E, E) la norme vérifie l inégalité suivante : u L (E), v L (E), u v u v. On dit que (L (E); ) est une algèbre normée et que est une norme d algèbre. Preuve : Pour tout couple (u, v) d éléments de L (E), on a u v = d où le résultat. sup N E (u(v(x)) x E N E (x)=1 sup u N E (v(x)) u v, x E N E (x)=1 Théorème 2.4.5 Si (E, N E ) est un e.v.n de dimension finie et (F, N F ) est un e.v.n quelconque, toute application linéaire de E dans F est continue : L(E, F ) = L (E, F ). Preuve : Fixons (e 1,, e n ) une base de E. Soit f L(E, F ). Comme toutes les normes sont équivalentes sur E, on peut supposer que E est muni de la norme N 1 (x) déf = sup 1 i n x i où (x 1,, x n ) désigne les coordonnées de x par rapport à la base (e 1,, e n ). On a alors grâce à la linéarité de f et à l inégalité triangulaire, N F (f(x)) = N F ( i=1 x if(e i )), n i=1 x i N F (f(e i )), (max 1 i n N F (f(e i ))) N 1 (x). Donc, d après la proposition 2.4.1, f est continue.

2.5. APPLICATIONS MULTILINÉAIRES CONTINUES 27 Remarque sur les normes de M n (K) : Sur M n (K), on a déjà défini trois normes (équivalentes) N 1, N 2 et N (voir le chapitre 1). Fixons une norme sur K n. En identifiant chaque matrice A de M n (K) à l élément f de L(K n ) de matrice A par rapport à la base canonique de K n, on peut définir A = Ax sup x K n \{0} x. C est une norme sur M n (K) appelée norme matricielle subordonnée à la norme. 2.5 Applications multilinéaires continues Nous laissons au lecteur le soin d établir le résultat suivant : Proposition 2.5.1 Soit (E 1, N 1 ),, (E p, N p ) et (F, N F ) des espaces vectoriels normeś sur K. Soit u L(E 1 E p ; F ) une application p-linéaire de E 1 E p dans F. Les quatre propriétés suivantes sont équivalentes. (i) u est continue, (ii) u est continue en (0,, 0), (iii) u est bornée sur B E1 (0, 1) B Ep (0, 1), (iv) Il existe M R + tel que (x 1,, x p ) E 1 E p, N F (u(x 1,, x p )) MN 1 (x 1 ) N p (x p ). L ensemble des applications multilinéaires continues de L(E 1 E p ; F ) se note L (E 1 E p ; F ). Le résultat suivant est une généralisation du théorème 2.4.5 au cas des applications multilinéaires. Théorème 2.5.2 Considérons (E 1, N 1 ),, (E p, N p ) des e.v.n de dimension finie, et (F, N F ) un e.v.n quelconque. Alors toute application multilinéaire de E 1 E p dans F est continue : L(E 1 E p, F ) = L (E 1 E p, F ).

28 CHAPITRE 2. CONTINUITÉ

29 Chapitre 3 Espaces de Banach 3.1 Complétude 3.1.1 Suites de Cauchy et complétude Définition 3.1.1 On dit que la suite (u n ) n N d éléments de l e.v.n (E, N) est une suite de Cauchy si ɛ > 0, M N, (n M et p M) = N(u n u p ) ɛ. Remarque : Être une suite de Cauchy est une notion invariante par changement de la norme en une norme équivalente. Proposition 3.1.2 Toute suite convergente est de Cauchy, et toute suite de Cauchy est bornée. Attention : La réciproque de chaque implication est fausse en général. Définition 3.1.3 On dit que l e.v.n (E, N) est un espace vectoriel normé complet ou encore un espace de Banach si toute suite de Cauchy de E est convergente dans E. La notion de complétude est encore une notion topologique : Proposition 3.1.4 Si N 1 et N 2 sont deux normes équivalentes sur E alors (E, N 1 ) est complet si et seulement si (E, N 2 ) l est. Exemple fondamental : (R, ) est complet alors que (Q, ) ne l est pas. En munissant R p de la norme N définie au chapitre 1, il est facile d établir la Proposition 3.1.5 Une suite (u n ) n N de R p est de Cauchy si et seulement si pour tout i {1,, p}, la suite (u i n) n N correspondant à la composante i de u n est de Cauchy dans R. Comme R est complet, on en déduit immédiatement le résultat suivant : Corollaire 3.1.6 Pour tout p N les e.v.n R p et C p sont complets 1. Preuve : Si (u n ) n N est une suite de Cauchy de R p chaque suite (u i n) est de Cauchy dans R donc converge vers une limite x i R. Donc (u n ) n N converge vers (x 1,, x p ). Si (u n ) n N est une suite de Cauchy de C p, chaque suite (Re u i n) n N et (Im u i n) n N est de Cauchy dans R donc converge, et l on est ramené au cas précédent. Des résultats similaires demeurent pour le produit d espaces complets : 1 munis d une norme quelconque puisqu en dimension finie toutes les normes sont équivalentes.

30 CHAPITRE 3. ESPACES DE BANACH Proposition 3.1.7 Soit (E 1, N 1 ),, (E p, N p ) des e.v.n et (u n ) n N = (u 1 n,, u p n) une suite de E 1 E p. Notons N la norme uniforme sur E 1 E p. Alors (u n ) n N est de Cauchy dans (E 1 E p, N ) si et seulement si chaque suite (u i n) n N est de Cauchy dans (E i, N i ). Corollaire 3.1.8 Soit (E 1, N 1 ),, (E p, N p ) des e.v.n complets. Alors (E 1 E p, N ) est également complet. Proposition 3.1.9 Soit (E, N E ) et (F, N F ) deux e.v.n tels qu il existe un isomorphisme bicontinu u L(E, F ) 2. Alors (E, N E ) est complet si et seulement si (F, N F ) est complet. Exercice : Prouver la proposition ci-dessus. Corollaire 3.1.10 Tout e.v.n de dimension finie est complet. Preuve : Fixons (e 1,, e n ) une base de E et munissons E de la norme suivante : N(x) = n i=1 x i où (x 1,, x n ) sont les coordonnées de x sur la base (e 1,, e n ). L application Φ : { (K n, N 1 ) (E, N) (x 1,, x n ) n i=1 x ie i est un isomorphisme de K n dans E. Il est forcément bicontinu car K n et E sont de dimension finie. La proposition 3.1.9 permet de conclure. Corollaire 3.1.11 Tout sous-espace vectoriel de dimension finie d un e.v.n quelconque est complet. Définition 3.1.12 On dit que A E est une partie complète de E si toute suite de Cauchy à terme général dans A converge dans A. Proposition 3.1.13 Si E est un espace de Banach et A E alors A est complète si et seulement si A est fermée. Preuve : Supposons A complète. Soit (u n ) n N une suite de A N qui converge dans E. Cette suite est donc une suite de Cauchy de E à terme général dans A. Comme A est complet, elle converge dans A. Donc A est bien fermé. Supposons A fermé et considérons une suite (u n ) n N A N qui est de Cauchy. Alors cette suite a une limite l dans E. Comme A est fermé, cette limite doit appartenir à A. Théorème 3.1.14 (des fermés emboîtés) Soit (E, N) un Banach et (F n ) n N une suite décroissante de fermés non vides 3 dont le diamètre tend vers 0. Alors n N F n est un singleton {l}. De plus, toute suite (x n ) n N vérifiant x n F n pour tout n N converge vers l. Preuve : Supposons que n N F n contienne deux points l et m. Notons δ n le diamètre de F n. Comme l et m appartiennent à chaque F n, on a n N, N(l m) δ n. En faisant tendre n vers l infini dans l inégalité ci-dessus, on conclut que l = m. Reste à montrer que n N F n n est pas vide. Pour ce faire, on considère une suite (x n ) n N telle que x n F n. Soit ɛ > 0. Il existe un rang M N à partir duquel δ n < ɛ. Donc pour n, p M, on a N(x p x n ) < ɛ. Donc (x n ) n N est de Cauchy. Comme (E, N) est complet cette suite converge vers une limite l. Comme de plus pour p n, x p appartient au fermé F n, la limite l appartient à F n. 2 i.e u et u 1 sont continus 3 i.e F n+1 F n pour tout n N

3.1. COMPLÉTUDE 31 3.1.2 Critère de Cauchy pour les fonctions Définition 3.1.15 Soit E et F deux Banach. Soit A E, x 0 A, B F et f F(A; B). On dit que f vérifie le critère de Cauchy en x 0 si ɛ > 0, η > 0, ( x A B E (x 0, η) et y A B E (x 0, η) ) = N F (f(x) f(y)) < ɛ. Remarque 3.1.16 Une fonction f vérifie le critère de Cauchy en x A si et seulement si pour toute suite (x n ) n N A N tendant vers x la suite (f(x n )) n N est de Cauchy. Proposition 3.1.17 Soit f F(A; B) et x 0 A. (i) Si f a une limite en x 0 alors f vérifie le critère de Cauchy en x 0. (ii) Si f vérifie le critère de Cauchy en x 0 et F est complet alors f a une limite en x 0. Preuve : Le (i) découle de la définition de la limite en x 0 et de l inégalité triangulaire. Pour prouver (ii), on considère une suite quelconque (u n ) n N de A N tendant vers x 0. Comme f vérifie le critère de Cauchy en x 0, la suite (f(u n )) n N est de Cauchy. Puisque F est complet, elle converge. Proposition 3.1.18 Soit (E, N) un e.v.n et (F, N) un Banach. Soit A une partie de E et D A dense dans A. Soit enfin f F(D; F ) une application uniformément continue. Alors f admet un unique prolongement f sur A qui soit continu de A dans F. Ce prolongement est de plus uniformément continu. Preuve : Pour x appartenant à D, on pose simplement f(x) = f(x). Pour x A \ D, on sait quand même que x D (puisque D est dense dans A), et l uniforme continuité de f combinée à l inégalité triangulaire assure que f vérifie le critère de Cauchy en x. Comme F est complet, on en déduit que f admet une limite en x, que l on note f(x). En passant à la limite dans la définition de l uniforme continuité pour f, il est facile de vérifier que f est uniformément continue sur A. Enfin, si f est un autre prolongement continu de f sur A, on a bien sûr f(x) = f(x) = f(x) pour tout x D. Soit maintenant x A arbitraire et (x n ) n N une suite de points de D tendant vers x. Il est clair que f(x n ) = f(x n ) pour tout n N. En passant à la limite, on conclut que f(x) = f(x). 3.1.3 Séries dans un e.v.n Définition 3.1.19 Soit (u n ) n N une suite d éléments de E. On dit que la série u n est convergente si la suite des sommes partielles ( n k=0 u k) n N converge dans E. Définition 3.1.20 Soit (u n ) n N une suite d éléments de E. On dit que la série u n vérifie le critère de Cauchy pour les séries si ɛ > 0, N N, (n N, p N) = N ( n+p ) u k ɛ. Proposition 3.1.21 Toute série convergente vérifie le critère de Cauchy. La réciproque est vraie si E est complet. Définition 3.1.22 On dit qu une série u n est absolument convergente (ou normalement convergente) si + n=0 N(u n) < +. Proposition 3.1.23 Dans un Banach, toute série absolument convergente est convergente. k=n

32 CHAPITRE 3. ESPACES DE BANACH Preuve : Soit u n une série absolument convergente. Comme la suite n k=0 N(u k) est convergente, elle vérifie le critère de Cauchy : n+p ɛ > 0, m N, (n m, p N) = N(u k ) ɛ. En vertu de l inégalité triangulaire, on a a fortiori ɛ > 0, m N, (n m, p N) = N k=n ( n+p ) u k ɛ. Donc u n vérifie le critère de Cauchy. Comme E est complet, cette série est convergente. k=n Attention : Une série convergente n est pas nécessairement absolument convergente. Ce résultat est d ailleurs déjà faux pour les séries réelles (considérer par exemple ( 1) n n ). 3.1.4 Le théorème du point fixe Définition 3.1.24 Soit E un e.v.n et A, B deux parties de E. On dit qu une application f de A dans B est k-contractante si elle est lipschitzienne de rapport k avec k < 1, c est-à-dire : (x, y) A 2, N(f(y) f(x)) kn(y x). Définition 3.1.25 Soit f F(A; A). On dit que x A est un point fixe de f si f(x) = x. Théorème 3.1.26 (du point fixe ou de Picard) Soit A une partie fermée d un Banach E et f F(A; A) contractante. Alors f admet un unique point fixe x. De plus, pour tout x 0 A, la suite de premier terme x 0 et définie par la relation de récurrence x n+1 = f(x n ) tend vers x. Preuve : Unicité : Considérons x et x deux points fixes de f. On a d une part x x = f(x) f(x ) et d autre part N(f(x) f(x )) kn(x x ). Par conséquent, N(x x ) kn(x x ), d où x = x. Existence : Soit x 0 A et (x n ) n N définie par x n+1 = f(x n ). Nous allons montrer que cette suite est de Cauchy. De la définition de la suite, on déduit que pour tout n N, on a N(x n+2 x n+1 ) = N(f(x n+1 ) f(x n )) kn(x n+1 x n ). Une récurrence descendante élémentaire permet d en déduire que n N, N(x n+1 x n ) k n N(x 1 x 0 ). En utilisant l inégalité triangulaire, on obtient donc p 1 n N, p N, N(x n+p x n ) k n+j N(x 1 x 0 ) j=0 kn 1 k N(x 1 x 0 ). Cette dernière inégalité montre que la suite considérée est de Cauchy. Comme A est un fermé d un Banach, A est lui-même complet et la suite (x n ) n N tend donc vers une limite x A. En passant à la limite dans la relation x n+1 = f(x n ), on trouve x = f(x). Donnons une généralisation immédiate du théorème du point fixe :

3.2. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS À VALEURS DANS UN E.V.N 33 Théorème 3.1.27 Soit A une partie fermée d un Banach E et f F(A; A). On suppose qu il existe p N tel que f (p) déf = f f soit k-contractante. Alors f admet un unique point fixe. }{{} p fois Preuve : On sait déjà que f (p) admet un unique point fixe x. Comme f (p+1) (x) = f (p) (f(x)) = f(f (p) (x)) = f(x), f(x) est aussi un point fixe de f (p). Comme le point fixe de f (p) est unique, on doit avoir f(x) = x. Enfin, il est clair que tout point fixe de f est aussi point fixe de f (p). Donc f a au plus un point fixe. 3.2 Suites et séries de fonctions à valeurs dans un e.v.n 3.2.1 Convergence des suites et séries de fonctions a) Différentes notions de convergence Indiquons comment adapter les différents types de convergence au cas de suites ou séries de fonctions définies sur une partie A d un e.v.n (E, N E ) et à valeurs dans un fermé B d un e.v.n (F, N F ). Convergence simple d une suite de fonctions : On dit que la suite (f n ) n N de (F(A; B)) N converge simplement vers la fonction f F(A; B) si x A, lim f n(x) = f(x). n + c.s On note alors f n f. Convergence uniforme d une suite de fonctions : On dit que la suite (f n ) n N de (F(A; B)) N converge uniformément vers f F(A; B) si ɛ > 0, m N, n m = sup N F (f n (x) f(x)) < ɛ. x A c.u On note alors f n f. Remarque 3.2.1 En munissant l ensemble des fonctions bornées de A vers B de la norme g L déf = sup N F (g(x)), x A on constate que (f n ) n N converge uniformément vers f si et seulement si lim f n f n + L = 0. Remarque 3.2.2 La convergence uniforme entraîne la convergence simple. Convergence simple d une série de fonctions : Soit (f n ) n N une suite de fonctions de A dans B. On dit que la série f n converge simplement vers la fonction f F(A; B) si la suite des sommes partielles ( n k=0 f k) n N converge simplement vers f : x A, + n=0 f n (x) = f(x). Convergence uniforme d une série de fonctions : On dit que f n converge uniformément vers f si la suite des sommes partielles ( n k=0 f k) n N converge uniformément vers f.

34 CHAPITRE 3. ESPACES DE BANACH Convergence absolue d une série de fonctions : On dit que f n converge absolument si la série N F (f n (x)) converge pour tout x A. Convergence normale d une série de fonctions : On dit que f n converge normalement s il existe une suite (a n ) n N telle que n N, f n L a n et a n < +. Remarque : Pour établir la convergence normale d une série de fonctions, on peut choisir a n = f n L. b) Critère de Cauchy pour la convergence uniforme d une suite de fonctions n N Définition 3.2.3 On dit que la suite (f n ) n N Cauchy pour la convergence uniforme si de fonctions de F(A; B) vérifie le critère de ɛ > 0, m N, (n m et p m) = f n f p L < ɛ. Remarque : Si (f n ) n N vérifie le critère de Cauchy pour la convergence uniforme, chaque suite (f n (x)) n N vérifie le critère de Cauchy en tant que suite d éléments de F. Proposition 3.2.4 Soit (f n ) n N une suite de fonctions de F(A; F ). (i) Si f n c.u f alors (f n ) n N vérifie le critère de Cauchy uniforme. (ii) Réciproquement, si (f n ) n N vérifie le critère de Cauchy uniforme et si F est complet alors c.u il existe f F(A; F ) telle que f n f. Preuve : Le premier point découle de la définition de la limite uniforme et de l inégalité triangulaire. Pour prouver le second point, considérons une suite (f n ) n N de (F(A; F )) N vérifiant le critère de Cauchy uniforme. Alors pour tout x A, la suite (f n (x)) n N est de Cauchy (en tant que suite d éléments de F ). Comme F est complet, elle converge vers un élément f(x) de F. Par ailleurs, le critère de Cauchy uniforme se récrit : ɛ > 0, m N, (n m et p m) = ( x A, N F (f n (x) f p (x)) < ɛ). En fixant n et en faisant tendre p vers + ci-dessus, on conclut que f n c.u f. c) Critère de Cauchy pour la convergence uniforme d une série de fonctions Définition 3.2.5 On dit que la série f n de fonctions de F(A; F ) vérifie le critère de Cauchy pour la convergence uniforme si la suite des sommes partielles ( n k=0 f k) n N vérifie le critère de Cauchy uniforme pour les suites de fonctions, c est-à-dire q L ɛ > 0, m N, q p m = f k < ɛ. k=p Nous laissons au lecteur le soin d établir le résultat suivant : Proposition 3.2.6 Soit f n une série de fonctions de F(A; F ). Alors on a (i) f n converge simplement = f n c.s 0. (ii) f n converge uniformément = f n vérifie le critère de Cauchy uniforme = f n (iii) f n converge uniformément = R n c.u 0 avec R n déf = + k=n f k. c.u 0.

3.2. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS À VALEURS DANS UN E.V.N 35 Lorsque de plus F est complet, on peut classifier et comparer les différents types de convergence : Proposition 3.2.7 Soit (f n ) n N (F(A; F )) N avec F complet. Alors on a : fn conv. normalement f n conv. uniformément f n conv. absolument fn conv. simplement. Preuve : Il est clair que la convergence uniforme entraîne la convergence simple. Si f n est normalement convergente alors on a en particulier + n=0 f n L < +. D après l inégalité triangulaire, on a pour p q, q q f k f k L. k=p L Le terme de droite tend vers 0 quand p tend vers l infini. Donc f n vérifie le critère de Cauchy uniforme. Si F est complet, on en déduit que f n converge uniformément. Bien sûr, la convergence normale entraîne la convergence absolue puisque pour tout x E, on a N F (f n (x)) f n L. Enfin, la convergence absolue entraîne la convergence simple (voir la proposition 3.1.23). k=p Remarque : Les notions de convergence uniforme et de convergence absolue ne sont pas comparables. 3.2.2 Le théorème d interversion des limites et ses conséquences Théorème 3.2.8 (d interversion des limites) Soit (f n ) n N une suite de fonctions de F(A; F ) et x 0 un point de A. On suppose que (i) La suite (f n ) n N converge uniformément vers une fonction f de F(A; F ), (ii) Pour tout n N, la fonction f n a une limite l n en x 0, (iii) La suite (l n ) n N converge vers une limite l. Alors f a pour limite l en x 0. Autrement dit, ( ) lim x x 0 x A lim f n(x) n + c.u = lim n + ( ) lim f x x n (x). 0 x A Preuve : Soit ɛ > 0. Comme f n f et l n l, il existe N N tel que ( n N = f n f L < ɛ et N F (l n l) < ɛ ). 3 3 Fixons un n N. On a alors en vertu de l inégalité triangulaire, x A, N F (f(x) l) N F (f(x) f n (x)) + N F (f n (x) l n ) + N F (l n l), 2 3 ɛ + N F (f n (x) l n ). Comme par hypothèse f n a pour limite l n en x 0, il existe η > 0 tel que pour tout x A B(x 0, η) on ait N F (f n (x) l n ) < ɛ/3. On revenant à l inégalité ci-dessus, on conclut que x A B(x 0, η), N F (f(x) l) < ɛ. Comme ɛ > 0 était arbitraire, on conclut que f a pour limite l en x 0.

36 CHAPITRE 3. ESPACES DE BANACH Corollaire 3.2.9 Soit (f n ) n N une suite de fonctions de F(A; F ), et f F(A; F ). On suppose c.u qu il existe une suite croissante (Ω p ) p N d ouverts de A telle que f n f sur Ω p pour tout p N et p N Ω p = A. Alors la fonction f est continue sur A. Preuve : Le théorème d interversion des limites assure que f est continue sur tous les ouverts Ω p. Comme p N Ω p = A avec Ω p Ω p+1, on conclut que f est continue sur A. Exemple : Soit (f n ) n N une suite de fonctions de C(]a, b[; F ) avec F e.v.n quelconque. Si l on suppose que cette suite converge uniformément vers une fonction f sur tout intervalle [a, b ] tel que a < a < b < b alors la fonction f est continue sur ]a, b[. Corollaire 3.2.10 Si une suite d applications continues converge simplement vers une fonction f qui n est pas continue alors la convergence n est pas uniforme. Preuve : On prend la contraposée du corollaire précédent appliqué à la suite constante Ω p = A pour tout p N. Donnons maintenant le théorème d interversion des limites pour les séries de fonctions : Théorème 3.2.11 Soit (f n ) n N une suite de fonctions de F(A; F ) et x 0 un point de A. On suppose que (i) La série f n converge uniformément vers une fonction f de F(A; F ), (ii) Pour tout n N, la fonction f n a une limite l n en x 0, (iii) La série l n converge. Alors + n=0 f n(x) a une limite en x 0. Plus précisément, 3.2.3 Exemples ( + ) lim f x x n (x) = 0 x A n=0 + n=0 ( ) lim f x x n (x). 0 x A Théorème 3.2.12 Si F est un e.v.n complet et A E, l ensemble B(A; F ) des fonctions bornées sur A muni de la norme uniforme est complet. Preuve : En exercice. Théorème 3.2.13 Si F est un Banach, l espace vectoriel normé (L (E, F ); ) est complet. Preuve : On sait déjà que (L (E, F ); ) est un e.v.n (cf section 2.4). Soit (f n ) n N une suite de Cauchy de (L (E, F ); ). Pour tout x E, n N et m N, on a (3.1) N F (f n (x) f m (x)) f n f m N E (x). Donc la suite (f n (x)) n N est une suite de Cauchy de F. Comme F est complet, on conclut c.s que (f n (x)) n N converge vers un élément f(x) de F. Par construction, on a donc f n f. Comme chaque terme de la suite (f n ) n N est une application linéaire, on montre aisément que f est linéaire. Reste à vérifier la continuité de f et la convergence de (f n ) n N vers f au sens de la norme. Remarquons tout d abord qu il existe N N tel que pour n N, on ait f n f N 1. Comme f n f n f N + f N, on en déduit que (f n ) n N est bornée par M déf = 1 + f N. Ainsi, on a n N, x E, N F (f n (x)) f n N E (x) MN E (x). En passant à la limite dans cette inégalité, on conclut que f est bien continue (voir la prop. 2.4.1). Enfin, en fixant n dans (3.1) et en faisant tendre m vers +, on constate que (f n ) n N converge vers f au sens de la norme.

37 Chapitre 4 Espaces préhilbertiens 4.1 Le cas réel Dans toute cette section, on suppose que E est un R-espace vectoriel. Définition 4.1.1 Une forme bilinéaire a b sur E est un produit scalaire si elle est symétrique : (x, y) E 2, b(y, x) = b(x, y), définie positive : x E \ {0}, b(x, x) > 0. a Rappelons que, par définition, une forme bilinéaire sur un espace vectoriel réel est une application bilinéaire de E E dans R. Exemples : 1. Sur R n, l application (x, y) canonique de R n. n x i y i est un produit scalaire, appelé produit scalaire i=1 2. Sur l ensemble l 2 (R) des suites réelles de carrés sommables, l application (x, y) est un produit scalaire. 3. Sur l ensemble C([0, 1]; R), l application (f, g) 1 0 x k y k k=1 f(t)g(t) dt est un produit scalaire. Définition 4.1.2 Un espace vectoriel réel muni d un produit scalaire est appelé espace préhilbertien réel. S il est de dimension finie, on parle d espace euclidien. Notation : Désormais le produit scalaire b(x, y) sera noté 1 (x y), et l on posera x déf = (x x). Proposition 4.1.3 Soit E un espace préhilbertien réel. Alors l inégalité de Cauchy-Schwarz est vérifiée : (x, y) E 2, (x y) x y. Preuve : Fixons x et y dans E. Éliminons d emblée le cas y = 0 qui est trivial. Pour λ R, on pose alors f(λ) = (x + λy x + λy). En développant l expression de f, on trouve (4.1) f(λ) = λ 2 y 2 + 2λ(x y) + x 2. Comme (y y) > 0 (puisque l on a supposé que y 0), la fonction f est un polynôme de degré 2 en λ qui reste positif pour tout λ R. Son discriminant réduit = (x y) 2 x 2 y 2 1 Dans certains ouvrages, le produit scalaire est noté < x y > ou < x, y >.

38 CHAPITRE 4. ESPACES PRÉHILBERTIENS est donc négatif, ce qui montre l inégalité voulue. Les cas d égalité correspondent à = 0 ce qui revient à dire que f peut s annuler sur R, i.e il existe λ 0 R tel que x + λ 0 y = 0. Corollaire 4.1.4 L application de E dans R qui à x E associe x est une norme sur E, appelée norme préhilbertienne 2. Preuve : Il est clair que la fonction x x est bien positive et ne s annule que si x = 0. Il est aussi immédiat que λx = λ x. Reste à prouver l inégalité triangulaire. Pour ce, on calcule x + y 2 = x 2 + 2(x y) + y 2. Par l inégalité de Cauchy-Schwarz, on a (x y) x y. Donc x + y 2 x 2 + 2 x y + y 2 = ( x + y ) 2. D où le résultat en prenant la racine carrée. Remarque 4.1.5 L inégalité triangulaire pour la norme associée à un produit scalaire est aussi appelée inégalité de Minkowski. Remarque : Si E muni de la norme hilbertienne est complet, on dit que E est un espace de Hilbert. Proposition 4.1.6 Dans tout espace préhilbertien, l identité du parallélogramme suivante est vérifiée : (x, y) E 2, x + y 2 + x y 2 = 2 x 2 + 2 y 2 ainsi que l identité de polarisation : (x, y) E 2, (x y) = 1 4 ( x + y 2 x y 2). Preuve : Il suffit de remarquer que, par définition de la norme préhilbertienne, on a x + y 2 = x 2 + 2(x y) + y 2, x y 2 = x 2 2(x y) + y 2. Il est clair qu additionner les deux égalités donne l identité du parallélogramme, et que retrancher la deuxième à la première permet d obtenir l identité de polarisation. Rappel : Le dual E d un espace vectoriel E est l ensemble des formes linéaires sur E. Théorème 4.1.7 (de Riesz) Soit E un espace euclidien. Pour x E, on définit { E R L x : y (x y). Alors L x est une forme linéaire sur E. De plus, l application Φ : x L x est un isomorphisme de E dans E. Preuve : Il est évident que L x appartient à E pour tout x E, et que l application Φ est linéaire. Supposons que Φ(x) = 0. Alors on a y E, (x y) = 0. En prenant y = x, on en conclut que x = 0. Cela montre que Ker Φ = {0}, donc l injectivité de Φ. Par ailleurs, dim E = dim E donc le théorème du rang assure que Φ est aussi surjective. Remarque : L isomorphisme construit ci-dessus est appelé isomorphisme canonique entre E et E. 2 Dans le cas de la dimension finie, on parle de norme euclidienne.

4.2. LE CAS COMPLEXE 39 4.2 Le cas complexe Dans toute cette section, on suppose que E est un C-espace vectoriel. Définition 4.2.1 Soit h une application de E E dans C. L application h est appelée forme sesquilinéaire si elle est : antilinéaire par rapport à la première variable : (x, x, y) E 3, λ C, h(x + λx, y) = h(x, y) + λh(x, y), linéaire par rapport à la deuxième variable : (x, y, y ) E 3, λ C, h(x, y + λy ) = h(x, y) + λh(x, y ). On dit que h est une forme hermitienne si de plus (x, y) E 2, h(y, x) = h(x, y). Remarque : Dans certains ouvrages, on demande la linéarité par rapport à la première variable, et l antilinéarité par rapport à la seconde. Nous adoptons ici la convention qui est au programme du concours. Définition 4.2.2 Soit h une forme hermitienne sur E. On dit que h est un produit scalaire hermitien sur E si h est définie positive c est-à-dire si Exemples : 1. Sur C n, l application (x, y) scalaire canonique de C n. x E \ {0}, h(x, x) > 0. n x i y i est un produit scalaire hermitien, appelé produit i=1 2. Sur l ensemble l 2 (C) des suites complexes de carrés sommables, (x, y) produit scalaire hermitien. 3. Sur C([0, 1]; C), l application (f, g) 1 0 x k y k est un k=1 f(t)g(t) dt est un produit scalaire hermitien. Définition 4.2.3 Un espace vectoriel complexe muni d un produit scalaire hermitien est appelé espace préhilbertien complexe. S il est de dimension finie, on parle d espace hermitien. Notation : Le produit scalaire hermitien sera noté (x y) et l on posera x déf = (x x). Proposition 4.2.4 Dans tout espace préhilbertien complexe, on dispose des relations suivantes : inégalité de Minkowski : x + y x + y. inégalité de Cauchy-Schwarz : (x y) x y avec égalité si et seulement si x et y sont colinéaires. identité du parallélogramme : x + y 2 + x y 2 = 2 x 2 + 2 y 2. identité de polarisation : (x y) = 1 ( x + y 2 x y 2 i x + iy 2 + i x iy 2). 4 Preuve : Nous justifions seulement l inégalité de Cauchy-Schwarz et l identité de polarisation qui diffèrent un peu du cas réel.

40 CHAPITRE 4. ESPACES PRÉHILBERTIENS Le cas (x y) = 0 étant trivial, on suppose désormais que (x y) 0 (ce qui entraîne que y 0). On pose alors f(λ) = x + λy 2 pour λ C et l on constate que f(λ) = x 2 + λ 2 y 2 + 2Re (λ(x y)). Pour ρ R, posons g(ρ) = f(ρe iθ 0 ) où θ 0 est un argument de (x y). On a donc ρ R, g(ρ) = ρ 2 y 2 + 2ρ (x y) + x 2. Comme g est une fonction positive, on peut conclure comme dans le cas réel à l inégalité de Cauchy-Schwarz. Les cas d égalité sont laissés au lecteur. Pour démontrer l identité de polarisation, il suffit de remarquer que En conséquence, x + y 2 = x 2 + 2Re (x y) + y 2, x y 2 = x 2 2Re (x y) + y 2, x + iy 2 = x 2 2Im (x y) + y 2, x iy 2 = x 2 + 2Im (x y) + y 2. x + y 2 x y 2 = 4Re (x y) et x iy 2 x + iy 2 = 4Im (x y), ce qui permet d obtenir l identité de polarisation. En s inspirant du cas réel, on montre facilement le résultat suivant : Définition 4.2.5 Sur un espace préhilbertien complexe, l application est une norme. Remarque : Si E muni de la norme hermitienne est complet, on dit que E est un espace de Hilbert. Enfin, dans le cas de la dimension finie, on dispose comme dans le cas réel d un isomorphisme canonique entre E et son dual E. Du fait de l antilinéarité du produit scalaire hermitien par rapport à la première variable, cet isomorphisme est antilinéaire. Théorème 4.2.6 (de Riesz) Soit E un espace hermitien. Pour x E, on définit L x : { E R y (x y). Alors L x est une forme linéaire sur E. De plus, l application Φ : x L x est un isomorphisme (antilinéaire) de E dans E. 4.3 Orthogonalité Dans toute cette partie, E désigne un espace préhilbertien réel ou complexe. Définition 4.3.1 On dit que deux éléments x et y de E sont orthogonaux si (x y) = 0. On note alors x y. Théorème 4.3.2 (de Pythagore) Supposons que x y. Alors on a x + y 2 = x 2 + y 2. Preuve : On a x + y 2 = x 2 + 2Re (x y) + y 2. Or (x y) = 0 d où le résultat.

4.3. ORTHOGONALITÉ 41 Définition 4.3.3 Pour tout x E, on définit l orthogonal de x par la formule x déf = {y E (x y) = 0}. Si x 0, on dit que x est l hyperplan vectoriel normal à x, et que x est un vecteur normal à x. Plus généralement, pour tout sous-ensemble A non vide de E, on définit l orthogonal de A par A déf = {y E x A, (x y) = 0}. Proposition 4.3.4 Pour tout A E non vide, l orthogonal de A est un sous-espace vectoriel fermé de E. Preuve : Le caractère fermé résulte de la continuité du produit scalaire par rapport à chacune de ses variables. De plus, A contient 0 et est stable par combinaisons linéaires (c est une conséquence de la linéarité ou de l antilinéarité du produit scalaire par rapport à chaque variable). Donc A est un sous-espace vectoriel de E. Remarque : Il est immédiat que F (F ). En fait, comme un orthogonal est toujours fermé, on a même F (F ). En dimension infinie, l inclusion F (F ) peut être stricte. Proposition 4.3.5 Pour tout sous-espace vectoriel F de E, on a F F = {0}. Si E est de dimension finie, on a de plus dim F + dim F = dim E, E = F F et F = F = (F ). Preuve : Soit x F F. Alors on a en particulier (x x) = 0, ce qui montre que x = 0. Réciproquement, il est clair que 0 F F. Supposons que E soit de dimension finie. En reprenant les notations du théorème de Riesz, on constate que x F si et seulement si Ker F Ker L x. En conséquence, on a Φ(F ) = { L E / F Ker L }. Soit (e 1,, e p ) une base de F que l on complète en une base (e 1,, e n ) de E. Notons (e 1,, e n) la base duale correspondante. Un calcul immédiat montre que { L E / F Ker L } = Vect (e p+1,, e n). Comme Φ est un isomorphisme, on en déduit que dim F = dim Φ(F ) = n p. On a donc dim F + dim F = dim E comme annoncé. Comme F et F sont en somme directe, on conclut que E = F F. On a donc également E = F (F ) ce qui, combiné à F (F ) permet d affirmer que F = (F ). Notations : Pour souligner le caractère orthogonal des sous-espaces vectoriels F et F, on utilise parfois la notation F F au lieu de F F. Définition 4.3.6 On dit qu une famille (x i ) i I d éléments de E est orthogonale si l on a (i, j) I 2, (i j) = (x i x j ) = 0. On dit que (x i ) i I est orthonormale si elle est orthogonale et x i = 1 pour tout i I.

42 CHAPITRE 4. ESPACES PRÉHILBERTIENS Proposition 4.3.7 Soit (x 1,, x p ) une famille orthogonale constituée de vecteurs non nuls. Alors cette famille est libre. Preuve : Supposons donc que p i=1 λ ix i = 0. En prenant le produit scalaire de cette égalité avec x j, tous les termes disparaissent, sauf celui correspondant à i = j. On obtient donc λ j x j 2 = 0. Mais comme x j 0, on conclut que λ j = 0. Donc finalement tous les λ i sont nuls, ce qui donne le résultat voulu. Proposition 4.3.8 Soit (e 1,, e n ) une famille orthonormale de E et v un élément de Vect (e 1,, e n ). Alors on a n v = (e i v)e i. i=1 Preuve : Par hypothèse, il existe un n-uplet (v 1,, v n ) tel que v = n i=1 v ie i. Donc (e j v) = n v i (e j e i ) = v j. i=1 Corollaire 4.3.9 Soit B = (e 1,, e n ) une famille orthonormale de E et (x, y) un couple d éléments de Vect (e 1,, e n ). Alors on a (x, y) E 2, (x y) = n (e i x)(e i y). Preuve : Si l on note x = n i=1 x ie i et y = n i=1 y ie i, un calcul immédiat donne (x y) = i=1 n x i y i. Mais d après la proposition précédente, on a x i = (e i x) et y i = (e i y) d où le résultat. Théorème 4.3.10 (Orthonormalisation de Gram Schmidt) Soit (a 1,, a p ) une famille libre de E. Alors il existe une unique famille orthonormale (e 1,, e p ) telle que i=1 i) j {1,, p}, Vect (e 1,, e j ) = Vect (a 1,, a j ), ii) j {1,, p}, (e j a j ) > 0. Preuve : On va construire explicitement (e 1,, e p ) à l aide d une récurrence limitée. On pose e 1 = a 1 / a 1. Ce vecteur est de norme 1, son produit scalaire avec a 1 vaut a 1 donc est strictement positif. Bien sûr e 1 et a 1 engendrent la même droite vectorielle. Supposons que l on ait construit une famille orthonormale (e 1,, e k ) vérifiant i) et ii) pour j {1,, k}. Si k = p, la preuve est terminée. Sinon, on cherche e k+1 sous la forme ( e k+1 = λ a k+1 + k ) α i e i i=1 avec λ 0. Prenons le produit scalaire de e i avec cette égalité (pour i {1,, k}). Pour que e k+1 soit orthogonal à e i, il faut et il suffit que (e i a k+1 ) + α i = 0. Donc ( e k+1 = λ a k+1 k (e i a k+1 )e i ). i=1

4.4. PROJECTIONS ORTHOGONALES 43 Comme a k+1 Vect (e 1,, e k ) car (a 1,, a k+1 ) est libre, le terme entre parenthèses n est pas nul. Pour avoir e k+1 = 1, il suffit donc de choisir λ = a k+1 k i=1 (e i a k+1 ) e i 1. En conséquence, e k+1 = a k+1 k i=1 (e i a k+1 )e i a k+1 k i=1 (e i a k+1 ) e i En prenant le produit scalaire de e k+1 avec cette égalité, on trouve 1 = (e k+1 a k+1 ) a k+1, k i=1 (a k+1 e i ) e i ce qui montre que (e k+1 a k+1 ) > 0. Ceci achève la preuve de l existence. L unicité se démontre en reprenant la construction précédente et en vérifiant qu à chaque étape il n y a pas d autre choix possible que celui que l on a fait ci-dessus. Corollaire 4.3.11 En dimension finie, toute famille orthonormale peut être complétée en une base orthonormale. En particulier, tout espace euclidien (ou hermitien) admet une base orthonormale. s Preuve : Soit (f 1,, f p ) une famille orthonormale de E (avec éventuellement p = 0). On commence par compléter cette famille en une base (f 1,, f p, f p+1,, f n ) de E. Le procédé d orthonormalisation de Gram Schmidt permet alors de transformer cette base en une base orthonormale de E ; les p premiers vecteurs de la base resteront inchangés. Remarque : En dimension infinie, le procédé d orthonormalisation de Schmidt s énonce ainsi : Soit (a p ) p N une famille libre de E. Alors il existe une famille orthonormale unique (e p ) p N de E telle que (i) j N, Vect (e 1,, e j ) = Vect (a 1,, a j ), (ii) j N, (e j a j ) > 0. 4.4 Projections orthogonales Rappel : Soit E un espace préhilbertien et F un sous-espace vectoriel de E. On a toujours F F = {0}. Si E est de dimension finie alors E = F F. Dans le cas général, il se peut que E F F. Définition 4.4.1 Soit F un s.e.v de E tel que E = F F. On appelle projection orthogonale sur F la projection d image F et de noyau F, c est-àdire l application p définie pour tout x E par p(x) = y avec x = y + z et (y, z) F F. On appelle symétrie orthogonale par rapport à F l application s définie pour tout x E par s(x) = y z avec x = y + z et (y, z) F F. Remarque : Comme toutes les projections, les projections orthogonales vérifient p 2 = p. Comme toutes les symétries, les symétries orthogonales vérifient s 2 = Id. Il y a un lien très simple entre projections et symétries orthogonales : Proposition 4.4.2 Soit p (resp. s) la projection (resp. symétrie) orthogonale par rapport à F. Alors on a la relation s = 2p Id. De ce fait, nous nous limiterons à l étude des projections.

44 CHAPITRE 4. ESPACES PRÉHILBERTIENS Proposition 4.4.3 Soit F un s.e.v tel que E = F F et p la projection orthogonale sur F. Alors (i) F = (F ) (et donc F est fermé) et la projection orthogonale q sur F vérifie p + q = Id, (ii) pour tout point x de E, on a d(x, F ) = x p(x). De plus p(x) est l unique point de F tel que x p(x) = d(x, F ). Preuve : On sait déjà que F (F ). Réciproquement, soit x (F ). On écrit x = y + z avec y F et z F. Clairement, on a 0 = (x z) = (y + z z) = z 2. Donc z = 0 puis x F. Soit maintenant un point x quelconque de E. On peut alors écrire x = p(x) + x p(x), }{{}}{{} F F d où q(x) = x p(x). Pour montrer (ii), considérons x E et y F. On a donc, d après le théorème de Pythagore, x y = x p(x) + p(x) y, }{{}}{{} F F x y 2 = x p(x) 2 + p(x) y 2 x p(x) 2 avec égalité si et seulement si y = p(x). Remarque : Dans le cas où E est un complet, on peut montrer que réciproquement si F est un s.e.v fermé de E alors on a E = F F. Proposition 4.4.4 Si F est un s.e.v de dimension finie alors E = F F. De plus, pour toute base orthonormale (e 1,, e n ) de F, la projection orthogonale p sur F est donné par la formule : (4.2) x E, p(x) = n (e i x)e i. Preuve : Définissons p conformément à (4.2). Il est clair que Im p = F et que Ker p = F. De plus, pour tout x E, la formule (4.2) montre que x p(x) F. En écrivant x = p(x) + (x p(x)), on en déduit que E = F + F. Comme F et F sont en somme directe orthogonale, on a E = F F, et p est donc la projection orthogonale sur F. En combinant ce résultat avec la proposition (4.4.3), on obtient le Corollaire 4.4.5 Soit F un s.e.v de E de dimension finie. Soit (e 1,, e n ) une base de F. Alors on a n x E, d(x, F ) = x (e i x)e i. De plus cette distance est atteinte en un unique point p F (x) défini par p F (x) = i=1 i=1 n (e i x)e i. i=1

45 Chapitre 5 Séries de Fourier 5.1 Polynômes trigonométriques Définition 5.1.1 On appelle polynôme trigonométrique complexe toute fonction f F(R; C) du type f(x) = c k e ikx avec c k C pour k { n,, n}. k n Le nombre n est appelé degré du polynôme trigonométrique. On appelle polynôme trigonométrique réel toute fonction f F(R; R) du type n ( ) f(x) = c 0 + a k cos(kx)+b k sin(kx) avec c 0, a k et b k réels pour k {1,, n}. k=1 Remarque 5.1.2 Si f(x) = c 0 + n ( ) a k cos(kx) + b k sin(kx) = c k e ikx, on a les relations k=1 k n k N, c k = a k ib k et c k = a k + ib k, 2 2 ) a k = c k + c k et b k = i (c k c k. Une expression du type k Z c ke ikx ou c 0 + ( + k=1 trigonométrique On note alors S n (x) = k n c ke ikx ou c 0 + n k=1 les sommes partielles associées. ) a k cos(kx) + b k sin(kx) est appelée série ( ) a k cos(kx) + b k sin(kx) Définition 5.1.3 Soit I un intervalle de R. On dit qu une série trigonométrique converge simplement (resp. uniformément) sur I si S n converge simplement (resp. uniformément) sur I. Exemple : Si a n et b n sont deux séries absolument convergentes alors la série de fonctions c 0 + ( ) + k=1 a k cos(kx) + b k sin(kx) est normalement convergente donc a fortiori uniformément convergente sur R. Définition 5.1.4 On note E l ensemble des fonctions 2π-périodiques de R dans C et continues par morceaux. Pour f et g dans E, on définit alors (f g) déf = 1 2π π π f(t)g(t) dt. On note E 0 l ensemble des fonctions f de E telles que x R, f(x) = 1 ( ) lim f(y) + lim f(y). 2 y x < y x >

46 CHAPITRE 5. SÉRIES DE FOURIER Proposition 5.1.5 L ensemble E 0 muni de la forme bilinéaire définie ci-dessus est un espace préhilbertien (complexe). Si l on pose e n (x) = e inx, la famille (e n ) n Z est une famille orthonormale de (E, ( )). Remarque : Sur E, la forme bilinéaire ( ) est positive mais non définie positive. Cependant, pour tout élément f de E, on peut trouver f 0 E 0 coïncidant avec f sauf en un nombre fini de points. Changer f en f 0 ne modifie pas (f g) pour g E, ce qui permet de procéder comme si ( ) était vraiment un produit scalaire sur E. 5.2 Séries de Fourier 5.2.1 Coefficients d une fonction 2π-périodique et continue par morceaux À toute fonction f de E, on associe la suite (c n (f)) n Z de ses coefficients de Fourier complexes définis par la formule : c n (f) = (e n f) = 1 2π π π e int f(t) dt. Lorsque f E est à valeurs réelles, on peut également lui associer ses coefficients de Fourier réels a n (f) et b n (f) définis pour tout n N par Remarques : a n (f) = 1 π π π cos(nt)f(t) dt. et b n (f) = 1 π π π sin(nt)f(t) dt. (i) Pour une fonction de E à valeurs réelles, on peut donc définir deux types de coefficients de Fourier : d une part les c n (f), et d autre part les a n (f) et b n (f). Il est facile de voir que les relations entre ces coefficients sont exactement les mêmes que celles que l on a entre a n, b n et c n (voir l encadré de la page précédente). (ii) Pour toute fonction h de E et tout α R, on a (exercice : le prouver) π π h(t) dt = π+α π+α h(t) dt. Dans les définitions du produit scalaire ou des coefficients de Fourier, on peut donc impunément remplacer l intervalle d intégration [ π, π] par n importe quel autre intervalle d amplitude 2π. À toute fonction f de E, on peut associer sa somme partielle d ordre n définie par : Cas complexe : S n (f)(x) = c k (f)e ikx. Cas réel : S n (f)(x) = c 0 (f) + sa série de Fourier : Cas complexe : k Z c k (f)e ikx. Cas réel : c 0 (f) + + k=1 k n n ( ) a k (f) cos(kx) + b k (f) sin(kx). k=1 ( ) a k (f) cos(kx) + b k (f) sin(kx). En conclusion, à toute fonction f continue par morceaux et 2π-périodique, on peut associer une suite de polynômes trigonométriques (S n (f)) n N et une série trigonométrique c n (f)e inx. La question centrale du cours sur les séries de Fourier consiste à étudier dans quels cas S n (f) converge vers f (on dit alors que f est somme de sa série de Fourier), et en quel sens.

5.2. SÉRIES DE FOURIER 47 5.2.2 Convergence en moyenne quadratique Proposition 5.2.1 Pour tout f E et n N, le polynôme trigonométrique S n (f) est la projection orthogonale de f sur Vect (e n,, e 0,, e n ) au sens du produit scalaire ( ). Preuve : C est une conséquence immédiate de l égalité (4.2). Corollaire 5.2.2 Pour tout f E et n N, on a S n (f) f, ou encore k n c k (f) 2 1 2π π π f(t) 2 dt. (Inégalité de Bessel) Preuve : La première inégalité découle du fait que S n (f) est une projection orthogonale (celle de f sur Vect (e n,, e 0,, e n )). Quant à l inégalité de Bessel, elle s obtient en utilisant le théorème de Pythagore et la définition de S n (f). Remarque : Comme le membre de droite de l inégalité de Bessel est fini pour f appartenant à E, on conclut que la suite (c k ) k Z est de carrés sommables. Grâce au théorème de Pythagore, il est également facile de montrer que pour m n, on a S m (f) S n (f) 2 = m k =n+1 c k (f) 2. Donc la suite de fonctions (S n (f)) n N vérifie le critère de Cauchy. Si l espace E était complet pour la norme du produit scalaire, on pourrait immédiatement conclure que (S n (f)) n N converge vers une fonction de E. Malheureusement, l espace (E, ) n est pas complet... Pour étudier la convergence de cette suite, nous allons utiliser l égalité de Parseval (qui sera prouvée à la section 5.2.4). Égalité de Parseval : f E, k Z c k (f) 2 = 1 π f(t) 2 dt. 2π π Dans le cas où f est de plus à valeurs réelles, on a aussi c 0 (f) 2 + 1 2 + k=1 ( (a k (f)) 2 + (b k (f)) 2) = 1 2π π π f(t) 2 dt. L égalité de Parseval va nous permettre de montrer le résultat de convergence suivant : Corollaire 5.2.3 Pour toute fonction f de E, la suite (S n (f)) n N tend vers f au sens de la norme. On dit que (S n (f)) n N converge vers f au sens de la moyenne quadratique. Preuve : La fonction g = f S n (f) appartient clairement à E. De plus, en exploitant l orthogonalité de la famille (e k ) k Z, il est aisé de vérifier que c k (g) = c k (f) pour k > n et que c k (g) = 0 pour k n. En appliquant l égalité de Parseval à g, on obtient donc 1 2π π π f(t) S n (f)(t) 2 dt = c k (f) 2. k >n Le membre de droite est le reste d une série convergente d où le résultat.

48 CHAPITRE 5. SÉRIES DE FOURIER 5.2.3 Convergence des séries de Fourier Commençons par rappeler un résultat classique de la théorie de l intégration. Lemme 5.2.4 (de Lebesgue) Soit f une fonction continue par morceaux sur l intervalle [a, b]. Alors on a lim λ + b a f(t)e itλ dt = 0. Preuve : 1ère étape : Cas où f constante. Un calcul explicite montre que le résultat est vrai pour n importe quelle fonction f constante. 2ème étape : Cas où f est en escalier. En utilisant la relation de Chasles, on étend le résultat au cas des fonctions en escalier (i.e constantes par morceaux). 3ème étape : Conclusion de la preuve. Soit f continue par morceaux sur [a, b] et ɛ > 0. Alors on peut trouver g en escalier telle que 1 b a f(t) g(t) dt ɛ/2. D autre part, d après la deuxième étape, il existe Λ > 0 tel que, b λ Λ, g(t)e itλ dt ɛ 2. On en déduit que, pour tout λ Λ, b f(t)e itλ b dt g(t)e itλ b dt + f(t) g(t) dt ɛ. a a a a En appliquant ce résultat au cas où f appartient à E, on en déduit le Corollaire 5.2.5 Pour tout f E la suite (c n (f)) n Z tend vers 0 quand n tend vers +. Si f est réelle, les suites (a n (f)) n N et (b n (f)) n N tendent aussi vers 0 quand n tend vers +. Nous cherchons maintenant des conditions suffisantes pour lesquelles S n (f) converge vers f. Voici un premier résultat : Lemme 5.2.6 Soit f une fonction de E telle que n Z c n(f) < +. Alors la série de Fourier n Z c n(f)e n de f converge normalement vers f. Preuve : Pour tout t R, on a c n (f)e int c n (f), et par hypothèse n Z c n(f) converge. Théorème 5.2.7 (de Dirichlet) Soit f une fonction 2π-périodique dérivable par morceaux a Alors pour tout x R, on a lim S n(f)(x) = 1 ( ) f(x ) + f(x + ), avec f(x ) déf = lim f(y) et f(x + ) déf = lim f(y). n + 2 y x < y x > En particulier (S n (f)(x)) n N converge vers f(x) en tout point de continuité de f. a C est-à-dire qu il existe une subdivision π = a 0 < a 1 < < a p 1 < a p = π de [ π, π] telle que f soit dérivable sur chaque intervalle ]a i, a i+1[, prolongeable par continuité en a i et a i+1 avec prolongement dérivable sur [a i, a i+1]. 1 Exercice : prouver ce résultat classique de la théorie de l intégration.

5.2. SÉRIES DE FOURIER 49 Preuve : Considérons une fonction f dérivable par morceaux et 2π-périodique et fixons un x R. 1ère étape : Preuve de la formule de Dirichlet (voir la feuille d exercices) : x R, S n (f)(x) = 1 π π 2 2ème étape : Utilisation de la formule de Dirichlet. 0 ( ) sin(2n + 1)u f(x+2u) + f(x 2u) du. sin u En appliquant la formule de Dirichlet à la fonction constante égale à 1, on obtient π 2 2 π 0 On en déduit que pour tout x R, on a sin(2n + 1)u sin u du = 1. S n (f)(x) 1 ( ) f(x )+f(x + ) 2 = 1 π [( ) ( )] 2 f(x+2u) f(x+ ) f(x 2u) f(x ) sin(2n+1)u + du. π 0 sin u sin u }{{}}{{} g x + (u) gx (u) 3ème étape : Preuve de la convergence. Les hypothèses sur f assurent que les fonctions gx et g x + sont continues par morceaux sur [0, π 2 ]. Le lemme de Lebesgue s applique donc. Comme sin(2n+1)u est la partie imaginaire de e i(2n+1)u, on en déduit que l intégrale ci-dessus tend vers 0 quand n tend vers +. Pour les fonctions 2π-périodiques plus régulières, on dispose d une meilleure convergence. Théorème 5.2.8 Soit f une fonction 2π-périodique continue et C 1 par morceaux. Alors la série de Fourier de f converge normalement vers f. Preuve : Comme f est continue et 2π-périodique, le théorème de Dirichlet assure la convergence simple vers f de la série de Fourier de f. Pour montrer la convergence normale, on utilise le lemme suivant (voir la feuille d exercices) : Lemme 5.2.9 Si f est 2π-périodique, continue et C 1 par morceaux alors f est 2πpériodique continue par morceaux, et l on a n Z, c n (f ) = inc n (f). On en déduit immédiatement que n Z, c n (f) = c n(f ) n 1 2 ( ) 1 n 2 + c n(f ) 2. D après l inégalité de Bessel, la suite (c n (f )) n Z est de carrés sommables. Donc finalement n Z c n(f) est absolument convergente. Le lemme 5.2.6 permet de conclure. Corollaire 5.2.10 Toute fonction f continue, 2π-périodique et C 1 par morceaux vérifie l égalité de Parseval.

50 CHAPITRE 5. SÉRIES DE FOURIER Preuve : On calcule : 1 2π π π f(t) 2 dt = 1 2π = 1 2π π π π π n Z c n(f)e int 2 ( dt, ) n Z m Z c n(f)c m (f)e i(n m)t dt. Or d après le théorème 5.2.8, la série de Fourier de f converge normalement. On peut donc intervertir la double somme et l intégrale dans l égalité ci-dessus. Un calcul très simple donne de plus π π e i(n m)t dt = 2πδ nm, où le symbole de Kronecker δ nm vaut 0 si n m, et 1 si n = m. On en déduit l égalité de Parseval. 5.2.4 Preuve de l égalité de Parseval pour les fonctions de E Elle repose sur le corollaire 5.2.10 et sur le lemme suivant qui montre que toute fonction de E admet une approximation continue affine par morceaux et 2π-périodique arbitrairement précise. Lemme 5.2.11 Soit f continue par morceaux et 2π-périodique. Alors pour tout ɛ > 0, il existe une fonction ϕ continue, 2π-périodique et affine par morceaux telle que ϕ f ɛ. Preuve : 1ère étape : Approximation des fonctions continues. Soit g une fonction continue sur l intervalle [α, β]. Cherchons à approcher g par une fonction ϕ affine par morceaux. Fixons ɛ > 0. Comme l intervalle [α, β] est compact, la fonction g est en fait uniformément continue sur [α, β] (th. de Heine). On peut donc trouver un η > 0 tel que g(y) g(y ) ɛ/2 pour tout couple (y, y ) [α, β] 2 tel que y y η. On choisit alors une subdivision α = y 0 < y 1 < < y n = β de [α, β] de pas inférieur ou égal à η (i.e telle que y i+1 y i η pour tout i {0,, n 1}) et l on prend pour ϕ la fonction continue, affine sur chaque intervalle [y i, y i+1 ] et telle que ϕ(y i ) = g(y i ). Soit x [α, β]. Notons i un élément de {0,, n 1} tel que x [y i, y i+1 ]. On a g(x) ϕ(x) g(x) g(x i ) + g(x i ) ϕ(x i ) + ϕ(x i ) ϕ(x) ɛ/2 + 0 + ɛ/2 ɛ. 2ème étape : Recollement. Soit maintenant f E et ɛ > 0. Il existe une subdivision π = x 0 < x 1 < < x p = π de [ π, π] telle que f soit continue sur chaque intervalle ]x i, x i+1 [. Notons f i la fonction de C([x i, x i+1 ]; C) obtenue en prolongeant f par continuité sur [x i, x i+1 ]. D après la première étape, il existe une fonction ϕ i continue et affine par morceaux sur [x i, x i+1 ] telle que (5.1) sup f i ϕ i ɛ. y [x i,x i+1 ] Soit α ( 0, 1 2 min i {0,p 1}(x i+1 x i ) ). Sur [x i + α, x i+1 α], on définit alors la fonction ϕ par ϕ(x) = ϕ i (x), et l on prolonge ϕ sur [ π + α, π + α] en demandant de plus que ϕ(π + α) = ϕ( π + α) et que ϕ soit affine sur chaque intervalle [x i α, x i + α] pour i {1,, p 1} et sur [π α, π + α]. Par construction, ϕ est continue et affine par morceaux sur [ π + α, π + α]. De plus ϕ(π + α) = ϕ( π + α). Donc on peut prolonger ϕ sur R par 2π-périodicité en une fonction de E continue et affine par morceaux. Reste à évaluer ϕ f. En utilisant la relation de Chasles, on obtient 2π ϕ f 2 = p i=1 xi α x i 1 +α ϕ(x) f(x) 2 dx+ π+α π α ϕ(x) f(x) 2 dx+ p 1 xi +α i=1 x i α ϕ(x) f(x) 2 dx.

5.2. SÉRIES DE FOURIER 51 En utilisant (5.1) et des majorations immédiates, on trouve donc ( 2. 2π ϕ f 2 (2π 2pα)ɛ 2 + 2pα 2 f ) 2 Si on impose à α de vérifier en plus α ɛ 2 (2 f ) 2, on obtient bien ϕ f ɛ. Preuve de l égalité de Parseval : Soit f E. L inégalité de Bessel assure que c n (f) 2 f. n Z Il s agit maintenant de montrer l inégalité inverse. Pour cela, considérons un ɛ > 0. D après le lemme précédent, on peut trouver une fonction ϕ de E continue et affine par morceaux telle que f ϕ ɛ/2. La fonction ϕ satisfait les hypothèses du corollaire 5.2.10. Elle vérifie donc l égalité de Parseval. On en déduit que f ϕ + ɛ 2 = n Z c n (ϕ) 2 + ɛ 2. Puis en appliquant l inégalité triangulaire pour la norme de l 2 (Z), f c n (ϕ f) 2 + c n (f) 2 + ɛ 2. n Z n Z D après l inégalité de Bessel, on a c n (ϕ f) 2 f ϕ ɛ/2, n Z d où f c n (f) 2 + ɛ. n Z Comme ɛ était arbitraire, on a bien f c n (f) 2, ce qui était le but recherché. n Z

52 CHAPITRE 5. SÉRIES DE FOURIER

53 Chapitre 6 Séries entières 6.1 Définitions Définition 6.1.1 Soit (a n ) n N une suite de nombres complexes. On appelle série entière de coefficients (a n ) n N la série de fonctions d une variable complexe et de terme général z a n z n. Notation : La série entière de coefficients (a n ) n N se note a n z n. On se restreint parfois à des fonctions d une variable réelle. Dans ce cas, la série entière correspondante se note plutôt a n x n. Proposition 6.1.2 Soit a n z n une série entière. L ensemble { I = r R + } a n r n < + n N est un intervalle non vide de R +. Le nombre (éventuellement infini) R = sup I est appelé rayon de convergence de la série entière a n z n. Preuve : L ensemble I contient clairement 0. De plus, si I contient un réel r > 0 et si r [0, r] alors on a n N, a n r n a n r n, donc la série a n r n est également convergente. Donc r I. La proposition ci-dessus permet de justifier la définition qui suit : Définition 6.1.3 Soit a n z n une série entière de rayon de convergence R fini. Le disque ouvert D(0, R) du plan complexe C s appelle disque ouvert de convergence. Dans le cas réel, l intervalle ] R, R[ s appelle intervalle ouvert de convergence. Pour minorer le rayon de convergence d une série entière, on fait souvent appel au Lemme 6.1.4 (d Abel) Soit a n z n une série entière de rayon de convergence R. Supposons qu il existe z 0 C tel que la suite (a n z n 0 ) n N soit bornée. Alors le rayon de convergence de la série entière est supérieur ou égal à z 0. Preuve : Notons M = sup n N a n z0 n. Par hypothèse, M est fini. Pour tout z 0, on a a n z n M z n. Donc la série a n z n est absolument convergente pour tout z C tel que z < z 0, donc convergente puisque C est complet. z 0

54 CHAPITRE 6. SÉRIES ENTIÈRES Proposition 6.1.5 Soit a n z n une série entière de rayon de convergence R, et z 0 C. (i) Si z 0 > R alors la suite (a n z0 n) n N n est pas bornée. En particulier la série a n z0 n est divergente. (ii) Si z 0 < R alors la série a n z0 n est absolument convergente et on a convergence normale sur le disque fermé D(0, z 0 ). Preuve : Le premier point se montre en prenant la contraposée du lemme d Abel. Quant au deuxième point, il se montre en choisissant z 1 C tel que z 0 < z 1 < R. Comme z 1 < R, la suite (a n z1 n) n N est bornée. Le lemme d Abel assure donc que a n z0 n est convergente. Comme pour tout z D(0, z 0 ), on a a n z n z n z0 n, on a bien convergence normale sur D(0, z 0 ). Du lemme d Abel, on déduit également l important résultat suivant : Proposition 6.1.6 Deux séries entières a n z n et b n z n telles que a n b n ont même rayon de convergence. Attention : Soit a n z n une série entière de rayon de convergence R. 1. Il n y a pas convergence normale sur D(0, R) en général, ni même convergence absolue de an z n pour z = R. En fait, pour un tel z, il se peut même que la suite (a n z n ) n N ne soit pas bornée. Par exemple, la série entière nz n a pour rayon de convergence 1, mais clairement (nz n ) n N n est pas bornée pour z = 1. 2. Lorsque R = +, la série a n z n converge absolument pour tout nombre complexe z. En revanche, il n y a jamais convergence normale sur C tout entier à moins que la série ne soit une constante. 6.2 Détermination du rayon de convergence Lorsque l on cherche à déterminer le rayon de convergence d une série entière, il faut garder à l esprit le résultat suivant : Théorème 6.2.1 Soit a n z n une série entière de rayon de convergence R, et z 0 C. (i) Si a n z n 0 est divergente alors R z 0. (ii) Si a n z n 0 converge ou même si simplement (a nz n 0 ) n N est bornée alors R z 0. Pour déterminer le rayon de convergence, on dispose également de différents critères ne portant que sur les coefficients de la série. Les plus connus sont la règle de d Alembert et la règle de Cauchy. Règle de d Alembert : Soit a n z n une série entière telle que a n ne s annule pas à partir d un certain rang. Supposons de plus que lim n + a n+1 a n = l avec l éventuellement infini. Alors le rayon de convergence est R = 1/l 1. 1 avec la convention 1/ = 0.

6.2. DÉTERMINATION DU RAYON DE CONVERGENCE 55 Preuve : Soit a n z n une série entière vérifiant les hypothèses de l énoncé. Traitons uniquement le cas où l est fini non nul. Soit ɛ ]0, l[. Il existe N N tel que Pour tout p N, on a donc n N = a n+1 a n l ɛ. a N+p z N+p a N z N = a N+p z N+p a N+p 1 z N+p 1 a N+1 z N+1 p. a N z N ((l + ɛ) z ) On en déduit la convergence de la série a n z n pourvu que (l + ɛ) z < 1. ( p Par un argument similaire, on montre que a n z n C z (l ɛ)) à partir d un certain rang. Donc R 1/l. Le théorème 6.2.1 permet de conclure que pour tout ɛ ]0, l[, on a 1 l+ɛ R 1 l ɛ. En faisant tendre ɛ vers 0, on obtient finalement R = 1/l. Règle de Cauchy : Soit a n z n une série entière telle que lim n + n an = l avec l éventuellement infini. Alors le rayon de convergence est R = 1/l. Preuve : Vu les hypothèses, on a z C, lim n + n an z n = z l. La règle de Cauchy pour les séries ordinaires s applique et montre que la série a n z n converge dès que z l < 1, et qu elle diverge si z l > 1. À titre d exercice, le lecteur pourra prouver les deux résultats classiques suivants : Proposition 6.2.2 Soit a n z n et b n z n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R et S. (i) Le rayon de convergence T de (a n +b n )z n vérifie avec égalité si R S. T min(r, S) (ii) Notons c n z n le produit de Cauchy de a n z n et de b n z n. Le rayon de convergence P de c n z n vérifie De plus, pour z < P, on a + n=0 c n z n = + n=0 ( p+q=n P min(r, S). ( + )( + a p b q )z n = a p z p b q z ). q p=0 q=0

56 CHAPITRE 6. SÉRIES ENTIÈRES 6.3 Intégration et dérivation terme à terme Théorème 6.3.1 Soit a n z n une série entière de rayon de convergence R non nul. Alors la fonction { ] R, R[ C S : x + n=0 a nx n est de classe C. De plus, pour tout k N, on a (6.1) x ] R, R[, S (k) (x) = + n=0 (n + 1) (n + k)a n+k x n. Preuve : On montre facilement que le rayon de convergence de la série entière + n=0 (n + 1)a n+1 x n est au moins égal à R. La convergence de cette série est donc uniforme sur tout compact de ] R, R[ et l on peut appliquer le théorème de dérivation terme à terme. On en déduit que f est dérivable sur ] R, R[ et que son expression est donnée par la formule (6.1) (avec k = 1). Il s agit encore d une série entière de rayon de convergence au moins égal à R, on peut donc à nouveau dériver terme à terme. Une récurrence élémentaire donne alors le résultat voulu. Remarque 6.3.2 Le théorème ci-dessus montre que pour une série entière de rayon de convergence non nul, on a en particulier, k N, k! a k = S (k) (0). On en déduit que si a n z n et b n z n sont deux séries entières de rayon de convergence non nul et telles que pour x dans un voisinage de 0, on ait alors (a n ) n N = (b n ) n N. + n=0 a n x n = Théorème 6.3.3 Soit a n z n une série entière de rayon de convergence R non nul. Alors pour tout x ] R, R[, on a x 0 ( + ) a n t n dt = n=0 + n=0 + n=0 b n x n t n+1 + a n n + 1 = t n a n 1 n. Preuve : Sachant que la convergence est uniforme sur tout compact de ] R, R[, le théorème est une conséquence immédiate du théorème d intégration terme à terme. n=1 6.4 Quelques développements classiques Définition 6.4.1 On dit qu une fonction f F(I; R) est développable en série entière s il existe une série entière a n x n de rayon de convergence R > 0 telle que x ] R, R[, f(x) = a n x n. n=0 Remarque : Soit f une fonction développable en série entière.

6.4. QUELQUES DÉVELOPPEMENTS CLASSIQUES 57 1. D après la formule (6.1) et la remarque 6.3.2, toute fonction f développable en série entière est de classe C. De plus, il y a unicité du développement en série entière a n x n de f et les coefficients a n peuvent être calculés par la formule : a n = f (n) (0). n! 2. En général le domaine de définition de la série entière de f est strictement inclus dans celui de f. Les exemples de développement en série entière ci-dessous permettent de s en persuader. Quelques développements en série entière à connaître e x x n =, rayon de convergence : R = +, n! n=0 n+1 xn ln(1 + x) = ( 1), rayon de convergence : R = 1, n n=1 [ x (1 + x) α n n 1 ] = (α k), rayon de convergence : R = 1 (sauf si α N), n! n=0 k=0 cos x = ( 1) k x2k (2k)!, rayon de convergence : R = +, k=0 sin x = ( 1) k x 2k+1, rayon de convergence : R = +, (2k + 1)! k=0 Les formules ci-dessus permettent d étendre la définition des fonctions exp, sin et cos à C entier en définissant exp z, sin z et cos z comme somme de la série entière correspondante (qui est de rayon de convergence infini). Plus précisément, on pose pour tout z C, e z z k = k!, cos z = k=0 k=0 ( 1) k z2k (2k)! et sin z = ( 1) k z 2k+1 (2k + 1)!. k=0 On peut également étendre les fonctions ch et sh à C entier en posant : ch z = k=0 z 2k (2k)! et sh z = k=0 z 2k+1 (2k + 1)!. Proposition 6.4.2 La fonction exponentielle étendue à C est un morphisme de groupe de (C, +) dans (C, ). Preuve : Il est clair que e 0 = 1. Par ailleurs, pour tout (z, z ) C 2, on a e z e z = ( + p=0 zp p! = + n=0 = + n=0 = e z+z. ) ( + q=0 z q q! ), ( p+q=n zp z q n! (z+z ) n n!, En prenant z = z, on trouve en particulier e z e z = 1. p! q!) 1 n!,

58 CHAPITRE 6. SÉRIES ENTIÈRES Remarques : En prenant z = iθ avec θ réel, on constate que e iθ = + θn n=0 (i)n n!, = k=0 = cos θ + i sin θ, ( 1)k θ2k (2k)! + i k=0 et l on retrouve donc la définition de e iθ donnée au lycée. Plus généralement, en utilisant que e x+iy = e x e iy, on obtient Donc, arg e z = Im z et e z = e Re z. Formules de trigonométrie étendue ( 1)k θ2k+1 (2k)!, (x, y) R 2, e x+iy = e x cos y + ie x sin y. cos z = eiz + e iz, ch z = ez + e z, 2 2 sin z = eiz e iz, sh z = ez e z, 2i 2 cos z = ch (iz), sin z = ish (iz), cos 2 z + sin 2 z = 1, ch 2 z sh 2 z = 1.

59 Index Algèbre normée, 26 Antilinéaire, 39 Application contractante, 32 Bornée, 6 Boule fermée, 6 ouverte, 6 Chemin, 24 Coefficients de Fourier, 46 Compact, 14 Connexe, 23 par arcs, 24 Continuité, 18 en un point, 17 uniforme, 20 Convergence absolue, 31, 34 normale, 34 simple, 33 uniforme, 33 Convexe, 25 Critère de Cauchy, 31, 34 Définie positive, 37, 39 Dense, 11 Diamètre, 6 Discret, 12 Disque ouvert de convergence, 53 Distance, 5 Dual, 38 Égalité de Parseval, 47 Espace complet, 29 de Banach, 29 de Hilbert, 38, 40 euclidien, 37 hermitien, 39 préhilbertien complexe, 39 réel, 37 séparé, 8 vectoriel normé, 5 Famille orthogonale, 41 orthonormale, 41 Fermé, 9 Forme bilinéaire, 37 hermitienne, 39 sesquilinéaire, 39 Formule de Dirichlet, 49 Gram Schmidt, 42 Homéomorphisme, 18 Hyperplan vectoriel normal, 41 Identité de polarisation, 38, 39 du parallélogramme, 38, 39 Inégalité de Bessel, 47 de Cauchy-Schwarz, 37, 39 de Minkowski, 7, 38, 39 triangulaire, 5 Intérieur, 10 Isomorphisme, 38, 40 canonique, 38, 40 Lemme d Abel, 53 de Lebesgue, 48 Limite d une fonction, 17 d une suite, 13 Linéaire, 39 Lipschitzien, 20 Norme, 5 d algèbre, 26 euclidienne, 7, 38 L 1, 6, 7

60 INDEX préhilbertienne, 38 produit, 6 quadratique, 6 triple, 26 uniforme, 6 Ouvert, 9 Partie bornée, 6 compacte, 14 complète, 30 connexe, 23 discrète, 12 fermée, 9 ouverte, 9 Point adhérent, 11 d accumulation, 12 fixe, 32 intérieur, 8 isolé, 12 Polynôme trigonométrique, 45 Produit scalaire, 37 canonique, 37, 39 hermitien, 39 Projection orthogonale, 43 des fermés emboîtés, 30 des valeurs intermédiaires, 24 du point fixe, 32 Topologie induite, 12 Valeur d adhérence, 14 Vecteur normal, 41 Voisinage, 8 Rayon de convergence, 53 Règle de Cauchy, 55 Règle de d Alembert, 54 Série de Fourier, 46 entière, 53 trigonométrique., 45 Sphère, 11 Suite bornée, 13 convergente, 13 de Cauchy, 29 divergente, 14 Symétrie orthogonale, 43 Symétrique, 37 Théorème d interversion des limites, 35, 36 de Bolzano Weierstrass, 20 de composition des limites, 17 de Heine, 21 de Picard, 32 de Pythagore, 40