Formules Mathématiques essentielles 1 Fonctions exponentielles et fonctions logarithmiques e ln x = x, ln e = 1, ln e a = a, ln x a = a ln x. e a e b = e a+b, ln(xy) = ln x + ln y, ln(x/y) = ln x ln y. Nombres complexes Le nombre imaginaire i est défini par : i = 1 ; j est parfois utilisé. Un nombre complexe peut être écrit en fonction d une partie réelle et d une partie imaginaire, ou en fonction d un module r et d un argument θ. z = x + iy = re iθ = r[cos θ + i sin θ]. Pour obtenir le nombre conjugué on remplace i i : z = x iy = re iθ = r[cos θ i sin θ] Le module carée de z est le nombre réel z = z z = x + y = r. Notez également que : cos θ = 1 [eiθ + e iθ ], sin θ = 1 i [eiθ e iθ ]. 3 Trigonométrie sin x + cos x = 1 sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y cos(x ± y) = cos x cos y sin x sin y sin x cos y = 1 [sin(x + y) + sin(x y)] cos x cos y = 1 [cos(x + y) + cos(x y)] sin x sin y = 1 [cos(x y) cos(x + y)] sin x ± sin y = sin x ± y cos x y cos x + cos y = cos x + y cos x y cos x cos y = sin x + y sin x y sin x = sin x cos x cos x = cos x sin x = cos x 1 = 1 sin x.
4 Fonctions hyperboliques cosh x = 1 [ex + e x ], sinh x = 1 [ex e x ]. Notez aussi que : cosh(iθ) = cos θ sinh(iθ) = i sin θ cosh x sinh x = 1 sinh x = cosh x sinh x cosh x = cosh x + sinh x = 1 + sinh x = cosh x 1. 5 Séries entières Série géométrique : 1 + x + x + + x n 1 = 1 xn 1 x n (1 x) 1, 1 < x < 1, Formule du binôme de Newton : (1 + x) n = 1 + nx + n(n 1) x +! n(n 1)(n ) x 3 +, 3! Si n est un entier positif, la série se termine après n + 1 termes, sinon il s agit d une série infini. Série de Taylor en x = x 0 : = f(x 0 ) + (x x 0 ) df dx + 1 x=x0! (x x 0) d f dx +. x=x0 La série de Maclaurin est la série de Taylor en x = 0. Les séries de Maclaurin suivantes sont fréquemment rencontrés : e x = 1 + x + x! + x3 +, toutes les valeurs de x 3! cos x = 1 x! + x4, toutes les valeurs de x 4! sin x = x x3 3! + x5, toutes les valeurs de x 5! ln(1 ± x) = ±x x ± x3 3, 1 < x < 1 (1 x) 1 = 1 ± x + x ± x 3 +, 1 < x < 1 La règle de L Hôpital résulte de série Maclaurin : Si f(0) = g(0) = 0 : lim x 0 g(x) = lim df/dx x 0 dg/dx par exemple, lim x 0 sin x x = 1.
6 La dérivation et l intégration x n e ax df/dx nx n 1 ae ax ln x 1/x sin x cos x sinh x cosh x cos x sin x cosh x sinh x df/dx arcsin(x/a) a x arccos(x/a) a x arctan(x/a) a a +x arcsinh(x/a) a +x arccosh(x/a) x a où a est une constante. Ce tableau fonctionne également en sens inverse pour donner un tableau d intégrales, sauf que : (1/x)dx = ln x + c. N oubliez pas d ajouter de la constante de l intégration. Règle du produit et de l intégration par parties : d d [g(x)] = g(x) + dg(x) dx dx dx dg(x) dx Règle de dérivation en chaîne (dérivation des fonctions composées) : 7 Les dérivées partielles d df dg f[g(x)] = dx dg dx. dx = g(x) g(x) d dx + c. dx Étant donné une fonction f de plus d une variable. Lorsque les variables sont infinitésiment modifiées, le changement infinitésimal de f est noté df. Pour f = f(x, y), df = f f dx + x y dy. Si x et y sont des fonctions d autres variables, par example r et θ, la règle de dérivation en chaîne donne : 8 Les équations différentielles f θ = f x x θ + f y y θ. Équations différentielles importants et leurs solutions. Soit y = y(t) : ẏ λy = 0 ÿ + ω y = 0 ÿ + γẏ + ω 0 y = 0 y = Ae λt y = A cos(ωt + φ) ou y = B cos(ωt) + C sin(ωt) y = Ae 1 γt cos(ωt + φ), où A, B et C sont des constantes. Pour la dernière équation ω = ω 0 > γ. ω 0 1 4 γ, et cette solution est correcte si 3
9 Les vecteurs Un vecteur peut être exprimé en fonction de 3 vecteurs de base qui sont orthogonal, normé et habituellement noté par i, j, et k (ou ˆx, ŷ et ẑ) : a = a x i+a y j+a z k, ou représenté par un triplet de ses éléments : a = (a x, a y, a z ). Le module d un vecteur a et a = a x + a y + a z = a.a. Le Produit scalaire : si θ est l angle entre deux vecteurs a et b, le produit scalaire est : a.b = a x b x + a y b y + a z b z = a b cos θ. Produit vectoriel : a b = i j k a x a y a z b x b y b z = (a y b z a z b y )i + (a z b x a x b z )j + (a x b y a y b x )k = a b sin θ n, où n est un vecteur unitaire perpendiculaire à a et b dans une direction telle que a, b et n forment une ensemble qui satisfait la règle de la main-droite. Produit mixte : a.(b c) = b.(c a) = c.(a b). Double produit vectoriel : a (b c) = b(a.c) c(a.b). 10 Coordonnées cartésiennes et polaires Le vecteur du position et généralement appelé r. Donc r = xi + yj + zk, où x, y et z sont le coordonnées cartésiennes du point. La distance de l origine est r = r = x + y + z, et il est souvent utile de définir le vecteur de l unité : ˆr = r/r. Coordonnées polaires du plan : (ρ, φ) ρ = x + y ; φ = arctan(y/x) ; x = ρ cos θ ; y = ρ sin θ ; Forme d aire : da = ρdρdφ. Coordonnées cylindriques : (ρ, φ, z) Coordonnées défini comme dans le plan polaires, avec le coordonner z. Forme volume : dv = ρdρdφdz. Coordonnées sphériques : (r, θ, φ) r = x + y + z ; θ = arctan( x + y /z) ; φ = arctan(y/x) ; x = r sin θ cos φ ; y = r sin θ sin φ ; z = r cos θ. Forme volume : dv = r sin θdrdθdφ Forme d aire sur la surface de la sphère : da = r sin θdθdφ ˆr 4
11 Calcul vectorielle grad(φ) φ = φ x i + φ y j + φ z k div(a).a = a x x + a y y + a z z i j k rot(a) a = x y z a x a y a z ( az = y a ) ( y ax i + z z a ) ( z ay j + x x a ) x k y φ = φ x + φ y + φ z. 5