Chpitre 8. L loi normle Ce chpitre v vous prître difficile en première lecture cr les notions eposées, les différentes formules ou epressions mthémtiques rencontrées ont un spect rebutnt. Rssurez-vous. Ce que vous devrez effectivement svoir fire u bout du compte est simple. Les principles ctivités issues de ce chpitre consistent en l utilistion de l clcultrice et ps grnd chose de plus. I. Le théorème de Moivre-Lplce Pour chque n entier nturel non nul et p réel de],[, on considère une vrible létoire que l on note X n suivnt une loi binomile de prmètres n et p. On rppelle que l espérnce de X n est E(X n )=np, l vrince de X n est V(X n )=np( p) et l écrt-type de X n est (X n )= np( p). Y n X n np Considérons les vribles létoires Y n =X n np puis Z n = =. np( p) np( p) Pour lléger les nottions, on peut poser µ n =np=e(x n ) et n = np( p)=(x n ). On lors Y n =X n µ n et Z n = X n µ n n. On sit que de mnière générle, si X est une vrible létoire et et b sont deu réels, l espérnce de X+b est E(X+b)=E(X)+b, l vrince de X+b est V(X+b)= V(X) et l écrt-type de X+b est (X+b)=(X). Donc l espérnce de Y n est E(Y n )=E(X n µ n )=E(X n ) µ n =. En retrnchnt à X n son espérnce, on obtenu une vrible létoire Y n d espérnce nulle. On dit que l on centré l vrible X n. D utre prt, l vrince ou l écrt-type n ont ps chngé ou encore V(Y n )=V(X n )= n et (Y n)=(x n )= n. Pssons à l vrible létoire Z n. L espérnce de Z n est toujours nulle cr E(Z n )= n E(Y n )=. Pr contre, l vrince et l écrt-type ont chngé : V(Z n )= V(Y n )=et(z n )= (Y n )= n n et donc l vrince de Z n est égle à puis l écrt-type de Z n est égl à. En divisnt Y n pr son écrt-type, on obtenu une vrible létoire d écrt-type égl à. On dit que l on réduit l vrible Y n =X n µ n. Au totl, qund on retrnché à X n son espérnce puis que l on divisé l vrible obtenue pr l écrt-type, on centré et réduit l vrible X n. L vrible Z n est ppelée : l vrible centrée réduite ssociée à l vrible X n. Considérons pr eemple le cs n= et p=. On rppelle que pour tout entier k tel que k, 3 P(X n =k)=( n k )pk ( p) n k =( k )( 3 ) k ( 3 ) k. D utre prt, X n =k Y n =k µ n Z n = k µ n n. Les vleurs prises pr les vribles Y n ou Z n ne sont plus les mêmes que les vleurs prises pr l vrible X n mis les probbilités elles n ont ps chngé : P(X n =k)=( n k )pk ( p) n k =P(Y n =k np)=p Z n= On note z, z,..., z les vleurs prises pr l vrible Z. Donc, z = 3 k np np( p)., z = 3 et de mnière générle, pour k n, 3 3 3 3 z k = k µ n n. On donne les vleurs de X, Y et Z et des p(x =k) dns un tbleu. Les vleurs ci-dessous sont des vleurs pprochées.
X 3 4 5 6 7 8 9 p(x =k),7,86,95,6,7,36,56,6,3,3, Y 3,33,33,33,33,66,66,66 3,66 4,66 5,66 6,66 Z,3,56,89,,44,,7,45 3,3 3,8 4,47 On représente grphiquement les lois de probbilités. En bscisse, on plce les vleurs prises pr X (ou Y ou Z ) et en ordonnée, on plce les probbilités corresondntes. Loi de probbilité de X 3 4 5 6 7 8 9 Loi de probbilité de Y 3 3 4 5 6 7 L espérnce est mintennt nulle et l écrt-type est toujours égl à 3 3 = 9 =,49... Loi de probbilité de Z 3 3 4 5 6 7 L moyenne est nulle et l écrt-type est mintennt égl à. Puisque l écrt-type diminué, les vleurs se sont resserrées utour de l moyenne. L vrible Z prend un nombre fini de vleurs z, z,..., z. C est une vrible discrète. Entre deu vleurs consécutives, l distnce est
z k+ z k = k+ µ n k µ n =. n n n Plus précisément, l distnce entre deu vleurs de l vrible Z est =,67... Le milieu du segment[z k,z k+ ] est z k + n ou ussi z k+ n. 9 z k / z k + =z k+ z k z k z k+ / On note lors que l seule vleur prise pr l vrible Z n dns l intervlle[z k,z k + ] est l vleur z k. n n Pr suite, P(Z k =z k )=P(z k n Z k z k + n ). On sit que les probbilités du type P(z k Z k z k + ) peuvent se représenter pr un histogrmme où n n les probbilités sont les ires des rectngles dessinés. C est ce qu on v fire. L lrgeur de chque rectngle est =,67... Pour que l ire d un rectngle soit P(z k Z k z k + ) n n n ou encore P(Z n =z k ), il fut et il suffit que l longueur du rectngle soit n P(Z n =z k ). On construit donc un rectngle dont l bse est centrée sur z k de lrgeur et de longueur n P(Z n =z k ). n On donne dns un tbleu les vleurs des z k pour k et les vleurs des P(Z =z k ). k 3 4 5 6 7 8 9 Z,3,56,89,,44,,7,45 3,3 3,8 4,47 P(Z =z k ),5,9,9,387,339,3,84,4,4,5, On peut lors construire l histogrmme. z z 3 z 5 z 8 z 9 3 z z z 4 z 6 z 7 3 4 z 5 6 7 Notons que qund on dditionne les ires de tous les rectngles, on trouve. Plus générlement, qund on dditionne les ires d un certin nombre de rectngles consécutifs mis ps tous, on trouve une probbilité du type P( Z n b) où et b sont deu réels. Fisons mintennt vrier n puis fisons tendre n vers+. Puisque n = np( p)= n 3 3, n tend vers + puis n tend vers. Ainsi, l lrgeur des rectngles de l histogrmme tend vers et les rectngles «deviennent 3
des trits». On peut démontrer grâce à des techniques dépssnt lrgement le cdre du progrmme de Terminle S que l histogrmme «tend» vers le grphe de l fonction f e. Ci-dessous, nous vons construit le grphe de l fonction f et reproduit l histogrmme ssocié à Z. 3 3 4 5 6 7 Puisque l histogrmme tend vers l courbe représenttive de f, les sommes d ires de certins rectngles tendent vers une ire délimitée pr l courbe de f. A prtir d une remrque fite plus hut, cel revient à dire que P( Z n b) tend vers l ire du domine délimité pr l e des bscisses, l courbe de f et les droites d équtions b respectives = et =b. Puisque f est positive, on sit que cette ire est e d. On peut mintennt énoncer le théorème de Moivre-Lplce : Théorème (théorème de Moivre-Lplce). Soit X n une vrible létoire suivnt une loi binomile de prmètres n et p où n est un entier nturel non nul et p est un réel de],[. Soient µ n =E(X n ) et n =(X n ). Soit Z n = X n µ n l vrible centrée réduite ssociée à X n. n Alors, pour tous réels et b, lim P( Z b n b)= e d n + ou ussi lim P(np+ np( p) X n np+b np( p))= n + b e d. Commentire. C est vri, l formule est horrible. Mis si vous ne comprenez ps l significtion du théorème de Moivre-Lplce, ce n est vriment ps grve. Vous serez tout de même cpbles le moment venu de fire les différents eercices sur l loi normle et en prticulier ceu du bc. Commentire. On rppelle que toute fonction continue sur un intervlle dmet des primitives sur cet intervlle. L fonction f e est continue sur R et dmet donc des primitives sur R. Cependnt, on peut démontrer que l fonction f e n dmet ps de primitive s eprimnt à l ide des fonctions usuelles. Dit utrement, ne cherchez ps à dériver une fonction que vous connissez déjà cr vous n en trouverez ucune dont l dérivée soit f. Pr eemple, l dérivée de l fonction f elle-même est l fonction ( ) e et n est ps l fonction f. Dns l prtique, les vleurs des intégles du type tbleur ou même pr une tble de vleurs. Nous reviendrons plus loin sur ce sujet. b e d seront fournies pr l clcultrice ou pr un Commentire 3. Si on recommence un grnd nombre de fois de mnière indépendnte une même epérience à deu éventulités, on est en présence d un schém de Bernoulli vec n grnd. C est pr eemple le cs si on lnce fois un dé équilibré et que l on s intéresse u nombre de fois où sort le n o. Si on note X n l vrible létoire insi définie, l formule de Moivre-Lplce dit qu une probbilité du type P( n X n b n ) où n =np+ np( p) et b n =np+b b np( p) vut environ e d où = n np n np et b=. np( p) np( p) 4
Pr eemple, l probbilité d obtenir entre 5 et 7 fois un en lnçnt fois un dé équilibré est P(5 X 7). Ici, n=, p= 6, n=5, b n =7 puis = 5 6 6 5 6 = 4,47... etb= 7 6 6 5 6 =,89... L probbilité d obtenir entre 5 et 7 fois un en lnçnt fois un dé équilibré est donc environ,89... 4,47... e d. L clcultrice pr eemple donne l vleur de cette intégrle (nous verrons plus loin comment). Elle est égle à,8 à près et est ussi, on le rppelle, une bonne pproimtion de l probbilité d obtenir entre 5 et 7 fois un en lnçnt fois un dé équilibré. II. L loi normle ) L loi normle centrée réduite : N(,) ) Définition de l loi normle centrée réduite Définition. L loi normle centrée réduite N(,) est l loi continue de densité l fonction f définie sur R pr : pour tout réel, f()= e. Voici le grphe de l fonction f e dns le pln rpporté à un repère orthogonl. Cette courbe s ppelle prfois «l courbe en cloche» ou ussi «l courbe de Guss». On note que pour tout réel, f( )=f() et donc l fonction f est pire ou encore l e des ordonnées est un e de symétrie de s courbe représenttive. 5 4 3 3 4 5 b) Clculs de probbilités vec l loi normle centrée réduite Pr définition d une densité, on imméditement Théorème. Soit X une vrible létoire suivnt une loi normle centrée réduite. b ) Pour tous réels et b, p( X b)= e t dt. ) Pour tout réel, p(x )= e t dt. 5
ire=p( X b)= b e t dt 5 4 3 b 3 4 5 ire=p(x )= e t dt 5 4 3 3 4 5 Remrque. L fonction F p(x )= centrée réduite. Remrque. L ire totle est égle à ou encore e t dt est l fonction de réprtition de l loi normle + e t dt=. Comme on l déjà signlé, l vleur des différentes intégrles ne peut s obtenir qu à prtir de l clcultrice ou vec un tbleur. Nous donnons ici les procédures pour TI 83 plus, Csio Grph 35+ et Ecel. Avec l TI 83 plus. Pour clculer p( X b) : On choisit le menu des distributions de probbilités : nd + DISTR On sélectionne le choi : :normlcdf (norml cumultive density function) ou normlfrep (fonction de réprtition de l loi normle) suivnt le cs. On tombe sur normlcdf( On doit donner l vleur de qutre prmètres suivnt le schém : normlcdf(,b,[moyenne,écrt-type]). Les deu derniers prmètres sont optionnels. Ce sont l moyenne et l écrt-type de l loi normle. Leurs vleurs pr défut sont respectivement et. Pr eemple, normlcdf(-.5,.7,,)+ ENTER ou plus simplement normlcdf(-.5,.7)+ ENTER ffiche.64689736. Donc si X est une vrible létoire suivnt une loi normle centrée réduite, on p( X,7)=,64689736... Pour clculer p(x ) : Le principe est le même cr p(x )=p( <X ). Pour l clcultrice est 99 et donc p(x ) est obtenu en tpnt normlcdf( 99,,[moyenne,écrt-type]). 6
Pr eemple, normlcdf( 99,.7,,)+ ENTER ou plus simplement normlcdf( 99,.7)+ ENTER ffiche.9554345683. Donc si X est une vrible létoire suivnt une loi normle centrée réduite, on Pour clculer p(x > b) : On tpe p(x,7)=,9554345683... Pour clculer tel que p(x )=p : normlcdf(b, 99,[moyenne,écrt-type]). On se donne une probbilité p [,] et on cherche tel que p(x )=p. On choisit le menu des distributions de probbilités : nd + DISTR On sélectionne le choi 3 vec les flèches de défilement : 3 :invnorm (inverse norml cumultive density function). On tombe sur invnorm( On doit donner l vleur de trois prmètres suivnt le schém : invnorm(p,[moyenne,écrt-type]). Les deu derniers prmètres sont optionnels. Leurs vleurs pr défut sont respectivement et. Pr eemple, invnorm(.85,,)+ ENTER ou plus simplement normlcdf(.85)+ ENTER ffiche.3643338. Donc si X est une vrible létoire suivnt une loi normle centrée réduite, le réel tel que p(x )=,85 est =,3643338... Avec l Csio Grph 35+. Pour clculer p( X b) : p(x,3643338...)=,85. On choisit le menu STAT puis DIST (F5) puis NORM (F). On choisit ensuite Ncd (norml cumultive density) On complète les prmètres : Pr défut = et µ=. Pour clculer p(x ) : Norml C.D Lower : Upper : b : écrt-type µ : moyenne On prtique comme précédemment vec = 99. Pour clculer p(x > b) : On prtique comme précédemment vec b= 99. Pour clculer tel que p(x )=p : On choisit le menu STAT puis DIST (F5) puis NORM (F). On choisit InvN puis on complète Inverse Norml Til : Left Are : p : écrt-type µ : moyenne L ire Are est l probbilité p. Si on choisit Til : Left, l clcultrice répond le réel tel que p(x )=p et si on choisit Til : Right, l clcultrice répond le réel tel que p(x )=p. Avec Ecel. Pour clculer p(x ) : Dns une cellule on tpe 7
=LOI.NORMALE( On qutre prmètres à remplir suivnt le schém : =LOI.NORMALE( ;moyenne ;écrt-type ;cumultive) Le premier est, le deuième est l moyenne µ et le troisième l écrt-type c est-à-dire respectivement et pour l loi normle centrée réduite. Le qutrième prend l vleur VRAI ou FAUX suivnt que l on veuille cumuler ou ps ou encore suivnt que l on veuille p(x ) ou f() où f est l fonction densité de l loi normle. Pr eemple, si X suit une loi centrée réduite, pour obtenir p(x,7), on tpe =LOI.NORMALE(,7 ; ; ;VRAI) Pour clculer p( X b) : On utilise p( X b)=p(x b) p(x ). Pr eemple, pour obtenir p( X,7), on tpe Pour clculer p(x > ) : =LOI.NORMALE(,7 ; ; ;VRAI)-LOI.NORMALE(- ; ; ;VRAI) On utilise p(x>)= p(x ). Pr eemple, pour obtenir p(x>,7), on tpe Pour clculer tel que p(x )=p : Dns une cellule on tpe =-LOI.NORMALE(,7 ; ; ;VRAI) =LOI.NORMALE.INVERSE( On trois prmètres à remplir suivnt le schém : =LOI.NORMALE.INVERSE(p ;moyenne ;écrt-type) Pr eemple, si X est une vrible létoire suivnt une loi normle centrée réduite, le réel tel que p(x )=,85 est obtenu pr =LOI.NORMALE.INVERSE(,85 ; ;) c) Espérnce, vrince et écrt-type de l loi normle centrée réduite Soit X une vrible létoire suivnt l loi normle centrée réduite. On rppelle que son espérnce est E(X)= + tf(t)dt= lim + tf(t)dt+ lim y + y tf(t) dt, où f est l fonction densité de l loi normle centrée réduite. On rppelle ussi que l vrince de X et l écrt-type de X sont respectivement V(X)=E((X E(X)) ) et(x)= V(X). Ce n est ps pour rien que l loi normle centrée réduite s ppelle insi cr : Théorème 3. Soit X une vrible létoire suivnt une loi normle centrée réduite. L espérnce de X est E(X) =, l vrince de X est V(X) = et l écrt-type de X est (X) =. Démonstrtion. Soit X une vrible létoire suivnt une loi normle centrée réduite. Pour tout réel t, posons u(t)= t. u est dérivble sur R et pour tout réel t, u (t)= t puis tf(t)=t e t = ( t)e t = u (t)e u(t). On sit lors qu une primitive sur R de l fonction t tf(t) est l fonction t e u(t) = e t. Soit un réel négtif. 8
Mintennt, lim e tf(t)dt=[ e t ] = lim X ex = et donc lim De même, pour tout réel positif y, =( e ) ( e )= + e. tf(t)dt= lim ( + e )=. puis Finlement, y tf(t)dt=[ e t ] y y lim y + =( e y ) ( e )= e y +, tf(t)dt= lim ( e y + )= y +. E(X)= lim tf(t)dt+ lim y + y On dmet que l vrince et l écrt-type de X sont égu à. tf(t)dt= + =. d) Définition du frctile u α Théorème 4. Soit X une vrible létoire suivnt une loi normle centrée réduite. Pour tout réel α de],], il eiste un réel positif u α et un seul tel que p( u α X u α )= α. Démonstrtion. On note toujours f l densité de l loi normle centrée réduite. Soit α un réel de],]. Puisque f est une fonction pire ou encore puisque son grphe est symétrique pr rpport à l e des ordonnées, pour tout réel positif, Pr suite, p( X )= f(t)dt= f(t)dt=p( X ). p( X )= α p( X )= α p( X )= α. Pour tout réel positif, posonsg()=p( X )= f(t)dt de sorte quep( X )= α G()= α. L fonction f est continue sur R +. On sit lors que l fonction G est dérivble sur R et que G =f (G est une primitive de l fonction f sur R + ). L fonction f est strictement positive sur R + et donc l fonction G est strictement croissnte sur R +. L fonction G est continue et strictement croissnte sur R +. D utre prt, G() = et lim G()= + puisque des bscisses et l courbe de f, ire qui est égle à. + f(t)dt est l moitié de l ire du domine situé entre l e D près un corollire du théorème des vleurs intermédiires, pour tout réel k de[g(), lim G()[=[, + [, il eiste un réel positif et un seul tel que G( )=k. Enfin <α α< α< α <. Comme α est dns[, [, il eiste un réel positif u α et un seul tel que G(u α )= α ou encore tel que p( u α X u α )= α. On doit connître eplicitement u α dns deu situtions précises, qund α=,5 de sorte α=,95 et qund α=, de sorte que α=,99. 9
u,5,96 u,,58 p(,96 X,96),95 p(,58 X,58),99 Pour toute utre vleur de α, le réel u α est obtenu à l clcultrice à prtir de l fonction inverse de l loi normle qui, on le rppelle, répond à l question : quel est le réel tel que p(x )=p où p est un réel donné dns[,[? On doit pour cel voir conscience que, pour des risons de symétrie, l églité p( u α X u α )= α fournit ussi p(x u α )= α et p(x u α)= α. Donc p(x u α )= p(x u α )= α. ire=p( u α X u α )= α ire=p(x u α )= α ire=p(x u α )= α u α u α On peut énoncer Théorème 5. Pour tout réel α de],], u α est le réel tel que p(x u α )= α. Pr eemple, déterminons grâce à l clcultrice le réel u. Pr définition de u, Pour des risons de symétrie, p(x u )= ou ussi p( u X u )= =,75. = et p(x u )= p(x u )= =,875, = puis p(x u )=p(x u )+p( u X u )=,75+=,875. Grâce à l «fonction inverse» de l fonction de réprtition de l loi normle, l clcultrice fournit u =,5...
e) Approimtion d une loi binomile pr l loi normle centrée réduite Revenons mintennt sur le théorème de Moivre-Lplce. Soient X n une vrible létoire suivnt une loi binomile de prmètres n N et p ],[ puis Z n = l vrible létoire centrée réduite ssociée à X n. Soient et b deu réels. On rppelle tout d bord que X n np np( p) puis que Z n b X n np np( p) b np( p) X n np b np( p) np+ np( p) X n np+b np( p), P( Z n b)=p(np+ np( p) X n np+b np( p)). Le théorème de Moivre-Lplce ffirme lors que lim P( Z n b)= lim P(np+ np( p) X n np+b np( p))= n + n + où Z suit une loi normle centrée réduite. b e d=p( Z b), Si on pplique ce résultt u cs prticulier où = u α et b=u α pour un α donné dns],[, puisque pr définition de u α, on obtient u α u α e d=p( uα Z u α )= α, Théorème 6. Pour tout réel α de],], lim P( u α Z n u α )= lim P(np u α np( p) Xn np+u α np( p))= α. n + n + Ainsi, P( u α Z n u α ) peut être pproché d ussi près qu on veut pr u α u α e d= α pourvu que l on choisisse n suffisment grnd c est-à-dire pourvu que l on choisisse n supérieur à un certin entier n. On doit voir conscience que l entier n dépend de l probbilité p. Pr eemple, qund p est proche des bords de l intervlle],[, l convergence vers α est beucoup plus lente et il fut choisir n beucoup plus grnd que si p est proche de. Dns l prtique, il est communément reconnu que l on peut effectuer l pproimtion P( u α Z n u α ) est à peu près égl à α qund n 3, np 5 et n( p) 5. ) L loi normle de prmètres µ et : N(µ, ) ) Définition de l loi normle de prmètre µ et Définition. Soit X une vrible létoire. Soient µ un réel et un réel strictement positif. X suit une loi normle de prmètres µ et si et seulement si l loi Z= X µ suit une loi normle centrée réduite. On peut démontrer que Théorème 7. Soit X une vrible létoire suivnt une loi normle de prmètres µ et. L espérnce de X est E(X)=µ, l vrince de X est V(X)= et l écrt-type de X est (X)=. Nottion. L loi normle de prmètres µ et se note trditionnellement N(µ, ). On peut être surpris de trouver dns l prenthèse le crré de l écrt-type c est-à-dire l vrince. Ce choi vient du fit qu on peut démontrer que l vrince d une loi normle des propriétés de clculs plus grébles que les propriétés de l écrt-type. Les mthémticiens préfèrent donc décrire une loi normle pr les prmètres µ et. Ainsi, N( 3;) désigne l loi normle d espérnce 3 et d écrt-type = cr =. Nénmoins,
ttention! Qund vous utiliserez l clcultrice, les prmètres que vous indiquerez seront l moyenne µ et l écrt-type et ps l moyenne µ et l vrince. Commentire. On peut démontrer que l loi normle de prmètres µ et est l loi de densité l fonction ( µ) e mis on n ps à le svoir en terminle S. Qund on trville vec une loi normle quelconque, on revient toujours à s définition à prtir de l loi normle centrée réduite ssociée Z= X µ. Commentire. L moyenne µ est un prmètre de position. Pour l loi normle, il indique l bscisse du sommet de l courbe en cloche. Qund on fit grndir µ, on déplce le sommet vers l droite sns modifier l forme de l courbe. µ= et = µ= et = µ=,5 et = L écrt-type est un prmètre de dispersion. Qund on fit grndir, on ugmente l dispersion des vleurs et donc on élrgit et on ppltit l cloche et qund on diminue, on ressere les vleurs utour de µ. µ= et =,6 µ= et = µ= et = b) Un, deu ou trois écrts-types Soit X une vrible létoire suivnt une loi normle de prmètres µ et. On doit connître une bonne fois pour toutes les probbilités que X pprtienne respectivement à[µ,µ+],[µ,µ+] et[µ 3,µ+3]. On note que ces probbilités peuvent ussi être obtenues grâce à l clcultrice. On note enfin que si Z= X µ est l loi centrée réduite ssociée à X, on p(µ X µ+)=p( Z ) et p(µ X µ+)=p( Z ) et p(µ 3 X µ+3)=p( 3 Z 3). Les vleurs fournies ci-dessous sont des vleurs pprochées.
µ µ µ+ µ µ µ+ µ 3 µ µ+3 p(µ X µ+),68 p(µ X µ+),95 p(µ 3 X µ+3),99 Donc, on environ 68% de chnces de tomber entre l moyenne moins un écrt-type et l moyenne plus un écrt-type, environ 95% de chnces de tomber entre l moyenne moins deu écrts-types et l moyenne plus deu écrts-types et environ 99% de chnces de tomber entre l moyenne moins trois écrts-types et l moyenne plus trois écrts-types. Pour finir ce chpitre, on donne mintennt trois eercices. Le premier se plce à un niveu théorique et nlyse à peu près toutes les situtions de clcul. Les deu utres reposent pproimtivement les mêmes questions dns un cdre concret. Eercice. Dns cette eercice, X est une vrible létoire suivnt une loi normle de prmètres µ et. ) Dns cette question µ= et =5. Donc, X suit l loi N(). ) Clculer p(85 X 5). b) Clculer p(3 X 95). c) Clculer p(x ). d) Clculer p(x ). e) Clculer tel que p(x )=,85. f) Clculer tel que p( X +)=,85. ) Dns cette question =55. On sit d utre prt que p(x 675)=,9. Clculer µ. 3) Dns cette question µ = 4, 7. On sit d utre prt que p(x 7, 5) =, 97. Clculer. 4) Dns cette question µ = 9. On sit d utre prt que p(88 X 9) =, 97. Clculer. Solution. ) ) L probbilité demndée est p(µ X µ + ). D près le cours, cette probbilité est directement, 68 à près. b) On utilise l fonction de réprtition de l loi normle prédéfinie dns l clcultrice (normlcdf ou normlfrep pour TI et Ncd pour CASIO). On remplit =3, b=95, µ= et =5. On obtient rrondie u centième. p(3 X 95)=,37 c) On utilise l fonction de réprtition de l loi normle prédéfinie dns l clcultrice. On remplit = 99, b=, µ= et =5. On obtient p(x )=,75 rrondie u centième. d) On utilise l fonction de réprtition de l loi normle prédéfinie dns l clcultrice. On remplit =, b= 99, µ= et =5. On obtient p(x )=,9 rrondie u centième. e) On utilise l fonction invnorm sur TI et InvN sur Csio. On remplit p=,85, µ= et =5. On obtient = 55, 4 rrondi u diième ou encore p(x 55,4...)=,85. f) On trnsforme d bord le problème pour se rmener à l sitution précédente. p( X +)=,85 fournit p(x oux +)=,85= puis, pour des risons de symétrie, p(x )=p(x +)=,85 =,75. Enfin, 3
p(x +)=p(x )+p( X +)=,75+,85=,95. n utilise ensuite l fonction invnorm sur TI et InvN sur Csio. On remplit p=,95, µ= et =5. On obtient +=5,9... et donc =5,9... ) Puisqu on ne connit ps l un des deu prmètres µ ou, on se rmène à l loi normle centrée réduite. Soit Z= X µ = X µ l vrible centrée réduite ssociée à X. 55 X 675 X µ 675 µ X µ 675 µ Z 675 µ. 55 55 55 L énoncé donne p(z 675 µ )=,9. L clcultrice fournit 675 µ =,45... grâce à l «fonction inverse» de 55 55 l loi normle vec p =, 95, moyenne = et écrt-type =. On en déduit que µ=675 55,45...=597,7... 3) On se rmène à l loi normle centrée réduite. Soit Z= X µ = X 4,7 l vrible centrée réduite ssociée à X. X 7,5 X 4,7 7,5 4,7 X 4,7,8,8 Z. L énoncé donne p(z,8,8 )=,97. L clcultrice fournit =,88... grâce à l «fonction inverse» de l loi normle vec p =, 97, moyenne = et écrt-type =. On en déduit que,8 =,88... =,48... 4) On se rmène à l loi normle centrée réduite. Soit Z= X µ = X 9 l vrible centrée réduite ssociée à X. 88 X 9 X 9 X 9 Z. L énoncé donne p( Z )=,97. Pour des rions de symétrie, p(z )=p(z )=,97 =,5 puis p(z )=p(z )+p( Z )=,97+,5=,985. L clcultrice fournit =,7... grâce à l «fonction inverse» de l loi normle vec p=,985, moyenne= et écrt-type=. On en déduit que =,7... =9,... Eercice. Réglge d une mchine d embouteillge. ) Sur une chîne d embouteillge dns une brsserie, l quntité X (en cl) de liquide fourni pr l mchine pour remplir chque bouteille de contennce cl peut être modélisée pr une vrible létoire suivnt une loi normle de moyenne µ et d écrt-type =. L législtion impose qu il y it moins de,% de bouteilles contennt moins d un litre. A quelle vleur de l moyenne µ doit-on régler l mchine pour respecter cette législtion? ) L contennce des bouteilles étnt de cl, quelle est lors l probbilité qu une bouteille déborde lors du remplissge. 3) Le directeur de l coopértive veut qu il y it moins de % de bouteilles qui débordent u risque de ne plus suivre l législtion. ) Quelles sont les vleurs possibles de µ? b) Le directeur choisit de prendre µ=5,3. Quelle est lors l probbilité que l bouteille contienne moins d un litre? Solution. On note Z l vrible centrée réduite ssociée à X c est-à-dire Z= X µ. 4
) L énoncé donne p(x ),. Or X X µ µ X µ µ Z µ et donc p(x ), p(z µ ),. Déterminons d bord le réel µ tel que p(z µ )=,. L clcultrice fournit µ = 3,9... et donc µ =6,... Ensuite, on rppelle que l fonction de réprtition p(z ) est une fonction strictement croissnte sur R et donc p(z µ ), p(z µ ) p(z µ ) µ µ µ µ µ µ µ. µ En réglnt l mchine sur une moyenne µ=6, cl ou dvntge, l législtion ser respectée. ) On choisit µ=µ =6, (et =). L probbilité demndée est p(x ). L clcultrice fournit p(z )=,5... En prennt µ=6,, on environ,5% de chnces qu une bouteille déborde u remplissge. 3) ) µ est de nouveu quelconque. L condition s écrit p(x ), ou encore p(x ),99 ou enfin p(z µ ),99. L mchine fournit le réel tel que p(z ) =, 99 : =, 3... puis, comme à l question ), p(z µ ),99 p(z µ ) p(z ) µ µ µ µ 5,3... b) L probbilité demndée est p(x ). L clcultrice fournit En prticulier, l législtion n est ps respectée. p(x )=,3... Eercice 3. Durée de vie d un ppreil. L durée de vie d un certin type d ppreil est modélisée pr une vrible létoire suivnt une loi normle de moyenne et d écrt-type inconnus. Les spécifictions impliquent que 8% de l production des ppreils it une durée de vie entre et jours et que 5% de l production it une durée de vie inférieure à jours. ) Quelles sont les vleurs de µ et. ) Quelle est l probbilité d voir un ppreil dont l durée de vie est comprise entre et 3 jours? Solution. Soit X l vrible létoire égle à l durée de vie d un ppreil. X suit une loi normle de prmètres et µ. On note Z l vrible létoire centrée réduite ssociée à X à svoir Z= X µ. L énoncé donne p( X )=,8 et p(x )=,5. En dditionnnt ces deu églités, on obtient En pssnt à l loi centrée réduite, on obtient p(x )=p( X )+p(x )=,8+,5=,85. p(z µ )=,85 et p(z µ )=,5. 5
L clcultrice fournit lors µ =,36... et µ système =, 644... On rrondit u centième et on obtient le Résolvons-le. µ =,4 µ =,64. µ =,4 µ =,64 On rrondit u jour : { µ=,4 µ=,64 = 8,68 µ=,4 8,68 { µ=,4 (,4)=,64 { 8=,8 µ=,4 { =9,85... µ=68,95... µ=69 et =3. ) L probbilité demndée est p( X 3). L clcultrice fournit p( X 3)=,3 rrondi u centième. 6