CALCUL 1. (x), g (x i ) = f x i

CALCUL 1 LEÇON 3 : DÉRIVÉES PARTIELLES Dans cette leçon, nous généralisons la notion de dérivée aux fonctions de plusieurs variables. Nous obtenons ainsi un outil très puissant pour l analyse locale de ces fonctions mais aussi pour décrire la géométrie du graphe d une surface. 1. Dérivées partielles et différentielle Définition 1.1. Soit f : D R n R définie sur l ouvert D. Soient x = (x 1,..., x n ) un point de R n et i {1,..., n}. Comme D est ouvert, il existe un intervalle ouvert I R tel que pour tout t I, le point x t = (x 1,..., x i 1, t, x i+1,..., x n ) est dans D. On dit que la i ième dérivée partielle de f au point x existe si la fonction g(t) = f(x 1,..., t,..., x n ) est dérivable en x i. On note g (x i ) = (x), (x) est la i ième dérivée partielle de f en x. Exemple 1. Soit f(x 1,..., x n ) = n i=1 a ix i + b. Alors f est affine par rapport à chaque variable, donc ses dérivées partielles existent et on a (x) = a i pour tout i. Lorsque b = 0, alors f est linéaire et on dira parfois que f est une forme linéaire. Exercice 1. Calculer les dérivées partielles des fonctions suivantes : f(x, y) = cos(xy) + (x + y) 8. f(x, y, z) = e xyz. f(x) = x. Exercice 2. Résoudre les équations d inconnues x et y suivantes : x = y = 0, lorsque f est la fonction 1

2 LEÇON 3 : DÉRIVÉES PARTIELLES f(x, y) = x 2 + y 2. f(x, y) = x 2 y 2. f(x, y) = x 2 + yx + 3y 2. Définition 1.2. Soient D un ouvert de R n, f : D R et a D. La fonction f est différentiable en a si il existe une forme linéaire L : R n R telle que f(x) f L(x a) x a x a = 0. On dit que L est la différentielle de f en a et on la note L = d a f : R n R. La fonction f est différentiable sur D si f est différentiable en tout point de D. Exemple 2. Soient f : R R et a R. Si f est dérivable en a, alors f(x) f f = 0 x a x a donc en mettant au même dénominateur, on obtient f(x) f f (x a) x a x a = 0, i.e. f est différentiable et sa différentielle est d a f(x) = f x. De même, si f est différentiable en a, alors f est dérivable en a et d a f(x) = f x. Supposons que f soit différentiable en a = (a 1,..., a n ) et notons n d a f(h) = b i h i. Prenant x = (a 1,..., a i +h,..., a n ) et faisant tendre h vers 0, on obtient i=1 f(a 1,..., a i + h,..., a n ) f h 0 h i = b i donc la i ième dérivée partielle de f en a existe et vaut b i. On a obtenu : Proposition 1.1. Si f est différentiable en a existe alors les dérivées partielles de f en a existent et la différentielle de f en a est l application linéaire n d a f(h) = h i. i=1

CALCUL 1 3 Remarque 1. Si l une des dérivée partielle de f en a n existe pas, alors f n est pas différentiable en a! Exemple 3. Considérons la fonction f(x, y) = xy. Nous avons f(x + h, y + k) = (x + h)(y + k) = xy + yh + xk + hk, c est-à-dire si nous posons L(h, k) = yh + xk, f(x + h, y + k) f(x, y) L(h, k) = hk. La fonction L est linéaire et f(x + h, y + k) f(x, y) L(h, k) h2 + k 2 h 2 + k 2 car hk 1 2 (h2 + k 2 ). On obtient f(x + h, y + k) f(x, y) L(h, k) = 0 (h,k) (0,0) h2 + k 2 c est-à-dire que f est différentiable en (x, y) et sa différentielle est L. Remarque 2. Dans la pratique, pour étudier la différentiabilité d une fonction en a, nous calculons ses dérivées partielles en a puis nous étudions la ite en 0 de f(a + h) f i h i h i. h Remarque 3. On voit que si f est différentiable en a alors f(x) f lorsque x a, c est-à-dire que f est continue en a. Posons maintenant f(a + h) f d a f(h) = h ε(h) où ε est une fonction continue en a telle que ε(0) = 0. On écrit alors f(a + h) = f + d a f(h) + h ε(h) et on voit que h ε(h) est très petit quand h tend vers 0 et donc que f + d a f(h) constitue une approximation de f(a + h) pour h petit. Remarque 4. Supposons que f soit différentiable en a et prenons v = (v 1,..., v n ) un vecteur de R n de norme 1. Nous avons grâce à la linéarité de d a f, f(a + tv) f d a f(tv) = f(a + tv) f td a f(v) et par hypothèse f(a + tv) f t 0 t = v d a f(v) = d a f(v)

4 LEÇON 3 : DÉRIVÉES PARTIELLES donc la fonction g(t) = f(a + tv) est dérivable en t = 0 et sa dérivée est d a f(v). Définition 1.3. Soient f : D R, a D et v R n de norme 1. On dit que f est dérivable en a dans la direction de v si la fonction g(t) = f(a + tv) est dérivable en 0. Le réel g (0) est la dérivé de f dans la direction de v. Exemple 4. Considérons l exemple suivant déjà étudié dans la leçon précédente : f(x, y) = x 2 y/(x 4 + y 2 ) si y 0, et f(x, 0) = 0. On a vu que cette fonction n était pas continue en (0, 0). On va voir maintenant que cette fonctions admet pourtant des dérivées directionnelles dans toutes les directions. Prenons v = (1, 0). Dans ce cas, f(tv) = f(t, 0) = 0, donc f est dérivable dans la direction de v et sa dérivée directionnelle est nulle. Si maintenant nous regardons f(ta, tb) avec b 0, nous obtenons f(ta, tb) = ta 2 b/(t 2 a 4 + b 2 ), donc f est dérivable dans la direction de (a, b), c est-à-dire que f est dérivable dans toutes les directions. Et pourtant, f n est pas continue! On retiendra l implication suivante : { en a, f est continue et les dérivées f différentiable en a dans toutes les directions existent, en se souvenant que la réciproque est fausse. La proposition suivante est le principal outil à notre disposition pour montrer qu une fonction est différentiable sur son ensemble de définition. Proposition 1.2. Soit D un ouvert et f : D R. Si les dérivées partielles de f existent et sont continues, alors f est différentiable en tout point de D. On dit que f est de classe C 1. Exercice 3. La fonction déterminant det : M 2 (R) R est polynomiale en les coefficients de la matrice, donc ses dérivées partielles existent et sont continues, i.e. det est de classe C 1. Montrez que d I2 det = tr, où I 2 est la matrice identité de taille 2 2. Exercice 4. Etudiez la continuité, la différentiabilité et l existence des dérivées partielles des fonctions suivantes : f(x, y) = xy/ x 2 + y 2 si (x, y) (0, 0) et f(0, 0) = 0.

CALCUL 1 5 f(x, y) = (x 3 y 3 )/(x 2 + y 2 ) si (x, y) (0, 0) et f(0, 0) = 0. f(x, y) = xy 4 /(4x 4 + 6y 6 ) si (x, y) (0, 0) et f(0, 0) = 0. Exercice 5. Etudiez la continuité des dérivées partielles de la fonction f(x, y) = x 2 y/(x 4 + y 2 ) si (x, y) (0, 0) et f(0, 0) = 0. ( ) 1+xy Exercice 6 (*). Soient f(x, y) = arcsin et g(x, y) = (1+x 2 )(1+y 2 ) arctan x arctan y. Vérifiez que f est définie sur R 2 et en calculant les dérivées partielles de f et g, simplifiez f à l aide de g. 2. Dérivées successives et EDP Soit f : D R n R. Supposons que la dérivée partielle existe sur D. C est donc une fonction définie sur D et à valeurs dans R. On peut se poser la question de savoir si en un point a D, la dérivée partielle x j ( ) existe. Si c est le cas, on la note 2 f x j ou encore 2 f dans le cas i où i = j. Par récurrence, on peut définir si elles existent les dérivées d ordre quelconque k au point a et on les note 1 k lorsque i 1,..., i k {1,..., n}. Définition 2.1. On dit que f : D R est de classe C k si toutes ses dérivées d ordre k existent et sont continues. Exercice 7. Soit f(x 1,..., x n ) = ax α 1 1... x αn n Montrez que 2 f = 2 f x j x j pour tout i, j {1,..., n}. où a est un réel fixé. Exercice 8. Soit f la fonction polynomiale f(x, y) = y 2 + 4xy 2 + x 3. Calculez les dérivées partielles de f à tous les ordres. Exercice 9. Soit f(x, y) = x 3 y/(x 2 + y 2 ) si (x, y) 0 et f(0, 0) = 0. Etudiez la continuité de f et de ses dérivées partielles sur R 2.

6 LEÇON 3 : DÉRIVÉES PARTIELLES (b) Montrez que 2 f (0, 0) 2 f (0, 0). x y y x Exercice 10. Comparez 2 f (0, 0) et 2 f (0, 0) dans le cas des fonctions f définies par f(0, 0) = 0 et si (x 1, x 2 ) (0, 0), f(x 1, x 2 ) = x 1 x 2 (x 2 1 x 2 2)/(x 2 1 + x 2 2). (b) f(x 1, x 2 ) = x 2 x 4 1 sin(1/x 1 ). Nous avons néanmoins le résultat suivant : Théorème 2.1. Si f est de classe C 2 alors on a les égalités x j = x j. Exercice 11. Utilisez ce résultat pour calculer les dérivées partielles de f(x, y) = e xy à tous les ordres. Exercice 12. Vérifiez le théorème précédent dans le cas des fonctions f(x, y) = cos(ax p y q ) + sin(bx r y s ), où a, b sont des nombres réels et p, q, r, s des entiers positifs. Définition 2.2. On appelle équation aux dérivées partielles (EDP) une équation faisant intervenir les dérivées partielles de la fonction inconnue. Exemple 5. Dans ces exemples, f est une fonction de deux variables. L équation des ondes 2 f = 2 f y 2. L équation de la chaleur t = 2 f. En général, on ne sait pas résoudre une EDP, pourtant l immense majorité des phénomènes physiques sont modélisés par des EDP! C est aussi le cas de beaucoup de problèmes en biologie, économie, etc. Exemple 6. On se propose de résoudre l équation aux dérivées partielles 2 f x y = 0. Si f est une solution, nous avons ( x y ) = 0, donc y est une fonction ne dépendant pas de x, c est-à-dire = g(y) pour une certaine y fonction g : R R. Soit G une primitive de g. En intégrant par rapport à y, nous obtenons que f est la somme de G et d une fonction ne dépendant pas de y, i.e. f(x, y) = G(y) + F (x).

CALCUL 1 7 Vous avez vu que dans le cas des équations différentielles, la solution dépend d une condition initiale. Ici, l ensemble des solutions est paramétré par deux fonctions d une variable réelles et à valeurs réelles. Il est en général beaucoup plus difficile de savoir de quoi dépendent les solutions d une EDP donnée. Exercice 13. Résoudre l EDP 2 f = 0. Exemple 7. Si f : R n R admet des dérivées partielles d ordre 2, on note n 2 f f =. i=1 i La forme de la peau d un tambour au repos est modélisé par une fonction f vérifiant f = 0. Exercice 14. Chercher les solutions des équations des ondes et de la chaleur qui s écrivent sous la forme f(x, y) = g(x)h(y) et f(t, x) = g(t)h(x) respectivement. Exercice 15. Vérifiez que si c est une constante et si f et g sont deux solutions de l équation des ondes (resp. de la chaleur), alors f + cg est aussi une solution de l équation des ondes (resp. de la chaleur). On dit que ces équations sont linéaires. Exercice 16. Chercher les solutions de l équation f = 0 qui s écrivent f(x) = g( x 2 ). Exercice 17. Soit P (x, y) = ax 2 +bxy +cy 2. A quelle condition a-t-on P = 0? Exercice 18 (*). L équation aux dérivées partielles u t + 3 u x + u u 3 x = 0 est appelée équation de Korteweg-de Vries (mouvement des vagues dans un canal peu profond). Montrez que la fonction suivante est une solution de cette équation : où on a sech(x) = 2 e x +e x. u(x, t) = 3c sech 2 ( 1 2 (x ct) c),

8 LEÇON 3 : DÉRIVÉES PARTIELLES Nous allons introduire la règle de chaînes (que je n appelerai pratiquement jamais ainsi, on parlera plutôt de dérivation des fonctions composées), cette règle sera très utile pour trouver des solutions à certaines EDP. Théorème 2.2. Soient f : D f R m R, y = (y 1,..., y m ) D f, x R n et u = (u 1,..., u n ) : D u R n D f telle que u(x) = y. Supposons que f et chaque u i soient des fonctions de classe C 1. Alors f u est de classe C 1 et on a (f u) (x) = m j=1 u j (x) (y). y j Exercice 19. Résoudre l équation des ondes (exemple 4) en posant x = φ(u, v) = u + v et y = ψ(u, v) = u v. Exercice 20. Soit l équation x x + y y = 0 (E). Déterminer toutes les fonctions f : D R ayant des dérivées partielles d ordre 1 continues et solutions sur D = {(x, y) R 2, x 0} en utilisant les nouvelles coordonnées u = x et v = y/x. Parmi toutes ces solutions f, quelles sont celles ayant des dérivées partielles d ordre 2 sur D et qui vérifient l équation 2 f + 2 f y 2 = y x 3? Exercice 21. Soit f : R 2 R et g(ρ, θ) = f(ρ cos θ, ρ sin θ). Calculez les dérivées partielles de g jusqu à l ordre 2 en fonction de celles de f puis exprimez f en fonction des dérivées partielles de g. Exercice 22. Soient a, b et c trois réels non tous nuls. On considère l équation aux dérivées partielles : a 2 f + b 2 f x y + c 2 f y 2 = 0 (E) où f est une fonction de classe C 2. Soient α et β fixés. On fait le changement de variable u = x + αy et v = x + βy. Ecrire l équation obtenue puis en déduire que l on peut ramener (E) à l une des équations suivantes : (1) : 2 g u v = 0, (2) : 2 g u 2 = 0, (3) : 2 g u 2 + 2 g v 2 = 0.

CALCUL 1 9 Exercice 23. Pour (x, y) R 2, on pose u = x 2 y 2, v = 2xy. Soient f et F deux fonctions reliées par la relation F (u, v) = f(x, y). Montrer que si F = 0 alors f = 0. 3. Géométrie des surfaces Bien que l on sache maintenant dessiner les surfaces à l aide d un ordinateur, il est important d être capable de trouver soit-même l allure d une surface {(x, f(x)}. Soit f : R 2 R une fonction différentiable en a. On a vu que f(a + h) f + h 1 + h 2 pour h = (h 1, h 2 ) petit, c està-dire que lorsque x est proche de a, la surface (x, f(x)) est proche du plan affine d équation x 3 x 1 x 2 = f. Définition 3.1. Le gradient d une fonction f : D R n R qui est différentiable en a D est le vecteur f = (,..., x n ). Si f : R 2 R est différentiable en a, et si par exemple 0, alors on a f(a 1 h 2 + h 1, a 2 + h 2 ) f + h 1. Donc, si h 1 0, f + h 1 f tandis que si h 1 = 0, f(a 1 h 2, a 2 + h 2 ) f On obtient que la courbe de niveau a est proche de la droite en a. {(a 1 h 2, a 2 + h 2 )} Remarque 5. On peut faire un raisonnement analogue si intervertissant les rôles de h 1 et h 2. 0 en

10 LEÇON 3 : DÉRIVÉES PARTIELLES Notons Les vecteurs v 1 = v v et v 2 = f f v = (, ). sont orthonormaux, et nous avons f(a + h 1 v 1 + h 2 v 2 ) f + h 2 f, c est-à-dire que f est presque constante quand on se déplace dans la direction de v 1 tandis que c est dans la direction de f qu elle croît le plus rapidement. Exercice 24. Montrez que la fonction x x 2 est différentiable sur R n. Calculez son gradient. On a vu que la courbe de niveau f ressemble à une droite si f 0, le théorème suivant précise cette intuition et montre qu en général, une courbe de niveau est... une courbe! Théorème 3.1. Soient f : D R 2 R une fonction de classe C 1 et a D tels que d a f 0. Supposons par exemple que 0. Alors il existe ε > 0 et une fonction φ :]a 1 ε, a 1 + ε[ R tel que {x 2 ]a i ε, a i + ε[, f(x) = f} = {(x 1, φ(x 1 )), x 1 a 1 < ε}. i=1 De plus, φ est de classe C 1 et si f est de classe C k alors φ est de classe C k. On a en fait un théorème analogue en toute dimension, je donne ici le cas des surfaces de niveau. Théorème 3.2. Soient f : D R 3 R une fonction de classe C 1 et a D tels que d a f 0. Supposons par exemple que x 3 0. Alors il existe ε > 0 et une fonction φ : 2 i=1 ]a i ε, a i + ε[ R tel que 3 {x ]a i ε, a i + ε[, f(x) = f} = i=1 {(x 1, x 2, φ(x 1, x 2 )), (x 1, x 2 ) 2 ]a i ε, a i + ε[}. De plus, φ est de classe C 1 et si f est de classe C k alors φ est de classe C k. i=1

CALCUL 1 11 On dit que l équation f(x, y) = f (resp. f(x, y, z) = f) définit implicitement une fonction y = φ(x) (resp. z = φ(x, y)). On se place sous les hypothèses du théorème 3.1 et on va utiliser la règle de chaîne pour calculer φ (a 1 ). La fonction f(x, φ(x)) est constante, donc sa dérivée est nulle, i.e. en a 1, + φ (a 1 ) = 0. Donc près de a, la courbe de niveau est proche de la droite x {(a 1 + h, a 2 1 h, h R}. Comparez avec la première partie de cette section! Remarque 6. Le vecteur gradient est orthogonal à la courbe de niveau ou à la surface de niveau. Exercice 25. Donnez une formule pour la dérivée seconde de φ en a 1. Exercice 26. On considère l équation e x + e y + x + y 2 = 0. En considérant la fonction f(y) = e y + y, montrez que pour chaque x R, il existe un unique réel φ(x) tel que e x + e φ(x) + x + φ(x) 2 = 0. On obtient ainsi une fonction φ. Montrez que φ est de classe C. Exercice 27 (*). On continue l exercice précédent. Montrez que φ est strictement décroissante et que sa dérivée seconde est strictement négative. (b) Montrez que x + φ(x) = et que x φ(x) = +. (c) Dessinez le graphe de la fonction f(x, y) = e x + e y + x + y. Exercice 28. Montrez que la relation x 3 + y 3 + z 3 2z(x + y) 2x + y 2z 1 = 0 définit au voisinage de (0, 0, 1) une fonction implicite z = φ(x, y). Calculez les dérivées partielles de φ en (0, 0).