Nombres complexes Exercice 1 1 Ecrire sous forme algébrique et trigonométrique les nombres suivants : i 0, i 1, i, i et i a Pour tout n IN, on note S n i 0 + i 1 + i +... + i n. Calculer S n - i S n, puis en déduire S n. b Déterminer la forme algébrique de S, pour n + k k IN n Exercice Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants: 7i 1 i 1 z,, + i i + i 1 z et z z 1 i 1 + i i Exercice Pour tout nombre complexe z, on pose : z z z + z + i z où z désigne le conjugué de z. 1 Calculer z pour a z 1 + i. b z - i. c z - - i. On pose z x + i y et z x + i y où x, y, x et y sont des réels. Exprimer en fonction de x et de y la partie réelle et la partie imaginaire de z. Déterminer l ensemble E des nombres complexes z tel que z 0 Le plan est muni d un repère orthonormé O ; u, v. On appelle M le point d affixe z. a Déterminer l ensemble F des point M tels que z soit réel. b Déterminer l ensemble G des points M tels que z soit imaginaire pur. c Quels sont les points communs à F et G? Année scolaire 008-09 www.mathsecondaire.net page 1 /10
Nombres complexes Exercice A tout nombre complexe z x + iy différent de, on associe Z z i z + 1. Si z i, Déterminer Z.. Résoudre l'équation z i z + i. On pose z x + i y avec x et y sont réels. Déterminer la partie réelle X et la partie imaginaire Y de Z en fonction de x et y.. Soit M l'image de z dans le plan complexe. Déterminer et construire l'ensemble des points M d'affixe z tel que: a Z est réel. b Z est imaginaire pur. Exercice 5 Dans le plan muni d'un repère orthonormé O; u, v d'unité graphique :1cm, on note A ; B ; C les points d'affixes respectives z A 1 + i, z B i et z C + i Déterminer la nature du triangle ABC. Exercice 6 Le plan est rapporté à n repère orthonormé O; u, v d'unité graphique 1 cm. On considère les points A et C d'affixes respectives z A et z C i et les points B et D d'affixes respectives z B iz A et z D iz C. 1. a Calculer les modules des nombres complexes z A et z C. b En déduire les modules des nombres complexes z B et z D. c Montrer que les points A, B, C et D sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.. a Montrer que les doites AD et BC sont parallèles. b Montrer que les diagonales du quadrilatère ABCD sont perpendiculaires. Année scolaire 008-09 www.mathsecondaire.net page /10
Nombres complexes Exercice 7 Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes suivants : z 1 + i, z 1 i, z i et z 9 1 Exercice 8 Dans l'ensemble C, on donne z 1 + i, z z 1 i et z z 1 1 On note M 1, M, M les images respectives de z 1, z, z dans le plan complexe muni du repère orthonormé O; u, v d'unit e graphique cm. 1. a Déterminer la forme algébrique de z et z. b Placer les points M 1, M, M dans le plan muni du repère O; u, v. c Calculer z z 1 et z z. Que peut-on en déduire quant à la nature du triangle M 1 M M?. a Déterminer module et argument de z 1 et z. b Montrer que le triangle M 1 OM est rectangle. Année scolaire 008-09 www.mathsecondaire.net page /10
Exercice 1 1 i 0 1, i 1 i, i -1, i - i et i 1. a On obtient S n - i S n 1 i n+1 puis 1 - i S n 1 i n+1 S n 1 - i n+ 1 1 - i b Si n + k avec k IN : Donc i n+ 1 S n i + k +1 i + k i i k - i i k - i 1 - i 1+ i 1 - i 1+i² i i Exercice 7i 5 8i 1 i + i 1 i 1 1 i 1 + i 1 i + i 1 1 5 1 i i i Exercice 1 a Si z 1 + i alors z' 5 + i b Si z - i c Si z - - i alors z' 8 alors z' -i On pose z x + i y et z x + i y où x, y, x et y sont des réels. z z z + z + i z x' + iy ' x² + y² +x + iy +ix - iy x' + iy ' x² + y² + x + y +ix + y D'où : x x + y + x + y et y y + x Année scolaire 008-09 www.mathsecondaire.net page /10
z 0 x + y + x + y 0 y + x 0 5y - y 0 x - y y 5y - 0 x - y y 0 ou y x - y 5 x 0 y 0 ou 6 x - 5 y 5 Donc E 0, - 6 5 + 5 i a z IR y + x 0 y - 1 x Par suite, F est la droite d équation y - 1 x b Déterminer l ensemble Φ des points M tels que z soit imaginaire pur 0 compris. z i IR x + y + x + y 0 x + 1 + y + 1 1 1 0 x + 1 + y + 1 5 G est donc le cercle de centre I -1 ; - 1 et de rayon 5 c Mz F G U z IR et z i IR z 0 z 0 ou z - 6 5 + 5 i Donc F G U O, A - 6 5 + 5 i Année scolaire 008-09 www.mathsecondaire.net page 5 /10
Exercice i i 1. z i Z i + 5i 5 i 5 19 i. z i z + i z i z + i D'où z i i z + 6 i puis z i z 6 i + i On a donc 1 + i z 6 i d'où z 6 i 1 + i 7 5 i S { 7 5 } i. Z z i z + x + iy i x + iy + x + i y x + + iy [x + i y ] [x + iy] x + + y x x + + y y + i [x + y xy] x + x + y + x y + i x + y 6 + y x + + y x + y + x y x + y 6 x + + i + y x + + y On a donc X x + y + x y x + y 6 et x + Y + y x + + y. a Z R Y 0 x + y 6 0 Donc l'ensemble des points Mz tels que Z est réel est la droite d'équation -x + y - 6 0 privée du point A-, 0. b Z ir X 0 x + y + x y 0 Ω ; 1 et de rayon 1 1 x + + y 1 1 Donc l'ensemble des points Mz tels que Z est imaginaire pur est le cercle de centre Année scolaire 008-09 www.mathsecondaire.net page 6 /10
a z IR y + x 0 y - 1 x Par suite, F est la droite d équation y - 1 x b Déterminer l ensemble Φ des points M tels que z soit imaginaire pur. z est imaginaire pur x + y + x + y 0 x + 1 + y + 1 1 1 0 x + 1 + y + 1 5 G est donc le cercle de centre I -1 ; - 1 et de rayon 5 c Mz F G U z IR et z i IR z 0 z 0 ou z - 6 5 + 5 i Donc F G U O, A - 6 5 + 5 i Exercice 5 AB z B z A i 8, BC z C z B 1 + i 10 et AC z C z A + i 10 Le triangle ABC est donc isocèle de sommet principal C. Remarquons que le triangle ABC n'est pas restangle car AB BC + AC /. Année scolaire 008-09 www.mathsecondaire.net page 7 /10
Exercice 6 1. a z A et z C i + b z B iz A i z A 1 et z D iz C i z C 1 c OA OB OC OD B donc les points A, B, C et D sont sur le cercle de centre O et de rayon. O v u A C. a On a z D z A i i D et z C z B i i 6i Donc AD et BC 6 d'où BC AD donc BC et AD sont colinéaires. Par suite, les doites AD et BC sont parallèles. b AC et BD d'où AC. BD 0 Par suite, les diagonales du quadrilatère ABCD sont perpendiculaires. Exercice 7 z 1 + i 1 z i [ ] ; π [ ; π ] z 1 i z 9 [9; π] [ ; π ] Année scolaire 008-09 www.mathsecondaire.net page 8 /10
Exercice 8 + i 1. a z i + i i z i 1 1 i 1 i b 1/ M 1 O / M -1/ -/ M c z z 1 1 1 i + 1 i 1 1 i 1 + 1 5 1 5 z z 1 1 i i 1 + 1 5 i 1 5 On a z z 1 M 1 M et z z M M On en déduit M 1 M M M 1 5 et doncle triangle M1 M M est isocèle de sommet principal M. a z 1 + 1 16 1 Si on note θ 1 un argument de z 1 alors: / cos θ 1 1/ sin θ 1 1/ 1/ 1 θ 1 π 6 + kπ où k Z Année scolaire 008-09 www.mathsecondaire.net page 9 /10
z + 1 16 et si on note θ un argument de z alors: / cos θ 1 / sin θ / / θ π + kπ où k Z b On peut procéder de la manière suivante: OM, OM 1 OM, u + u, OM 1 /\ /\ /\ + kπ où k Z /\ u, OM /\ + u, OM 1 + kπ où k Z arg z + arg z 1 + kπ où k Z π + π 6 + kπ où k Z π + kπ où k Z On a donc /\ OM, OM 1 π [π] donc le traingle M 1OM est rectangle en O. Année scolaire 008-09 www.mathsecondaire.net page 10 /10