Suites réelles et complexes () Suites 1 / 36
1 Limites et relation d ordre 2 Comparaison des suites 3 Suites de nombres complexes () Suites 2 / 36
Plan 1 Limites et relation d ordre 2 Comparaison des suites 3 Suites de nombres complexes () Suites 3 / 36
Relation d ordre et passage à la limite Proposition Soit (u n ) n N et (v n ) n N deux suites convergentes. 1 S il existe un entier N 0 tel que n N 0, u n 0, alors lim n + u n 0. 2 S il existe un entier N tel que n N, u n v n, alors lim u n lim v n. n + n + () Suites 4 / 36
Théorème ( des gendarmes ) Soit (u n ) n N, (v n ) n N et (w n ) n N trois suites telles que : n N, u n v n w n. Si les suites (u n ) n N et (w n ) n N convergent vers la même limite l, alors la suite (v n ) n N converge aussi vers l. () Suites 5 / 36
Démonstration. Soit ε > 0. Puisque (u n ) n N et (w n ) n N convergent vers l, il existe N u,ε N et N w,ε N tels que n N u,ε, l ε u n l + ε et n N w,ε, l ε w n l + ε. On pose N ε = max(n u,ε, N w,ε ). Pour tout n N ε, on a alors l ε u n v n w n l + ε donc l ε v n l + ε ce qui prouve la convergence de la suite (v n ) n N vers l. () Suites 6 / 36
Corollaire Soit (u n ) n N et (v n ) n N deux suites. Si pour tout n N, u n v n et si la suite (v n ) n N converge vers 0, alors la suite (u n ) n N converge aussi vers 0. Démonstration. Pour tout n N, on a 0 u n v n. En appliquant le théorème des gendarmes avec la suite nulle, et les suites ( u n ) n N et (v n ) n N, on obtient que la suite ( u n ) n N converge vers 0. Par conséquent, la suite (u n ) n N converge aussi vers 0. () Suites 7 / 36
Proposition ((quand il n y a qu un gendarme)) Soit (u n ) n N et (v n ) n N deux suites réelles telles que pour tout n N, on a u n v n. 1 Si (u n ) n N tend vers +, alors (v n ) n N tend aussi vers +. 2 Si (v n ) n N tend vers, alors (u n ) n N tend aussi vers. Démonstration. i) Soit A R. Puisque (u n ) n N tend vers +, il existe N A N tel que n N A, u n A. On a alors pour tout n N A, v n u n A, ce qui prouve que la suite (v n ) n N tend vers +. () Suites 8 / 36
Limite d une suite monotone Théorème (( de la limite monotone )) 1 Toute suite (u n ) n N croissante et majorée converge vers l = sup{u n, n N}. 2 Toute suite croissante et non majorée tend vers +. 3 De même, toute suite (v n ) n N décroissante et minorée converge vers l = inf{u n, n N}. 4 Toute suite décroissante et non minorée tend vers. Remarque: Toute suite monotone admet donc une limite dans R. () Suites 9 / 36
Suites adjacentes Définition Soit (u n ) n N et (v n ) n N deux suites réelles. On dit que les suites (u n ) n N et (v n ) n N sont adjacentes si et seulement si : 1 l une des deux suites est croissante 2 l autre décroissante. 3 leur différence (v n u n ) n N tend vers 0. Remarque: Si (u n ) n N et (v n ) n N sont deux suites adjacentes telles que (u n ) n N est croissante et (v n ) n N est décroissante, alors on a nécessairement : n N, u n v n. () Suites 10 / 36
Proposition Deux suites adjacentes (u n ) n N et (v n ) n N convergent vers une limite commune l. De plus, si (u n ) est la suite croissante et (v n ) la suite décroissante, alors on a : n N, u n l v n () Suites 11 / 36
Démonstration. Supposons que (u n ) est la suite croissante et (v n ) la suite décroissante. Puisque La suite (u n ) n N est croissante et majorée par v 0 donc elle converge vers une limite l u R et pour tout n N, on a u n l u. La suite (v n ) n N est décroissante et minorée par u 0 donc elle converge vers une limite l v R et pour tout n N, on a l v v n. lim (v n u n ) = 0 et puisque n + lim (v n u n ) = n + on a l u = l v = l, ce qui termine la preuve. lim v n lim u n = l v l u, n + n + () Suites 12 / 36
Plan 1 Limites et relation d ordre 2 Comparaison des suites 3 Suites de nombres complexes () Suites 13 / 36
Définitions Définition Soit (u n ) n N et (v n ) n N deux suites réelles. On dit que 1 la suite (u n ) n N est négligeable devant (v n ) n N s il existe une suite (ε n ) n N convergeant vers 0 telle que u n = v n ε n au dela d un certain rang. On note alors u n = o(v n ) (u n est un petit o de v n ). 2 la suite (u n ) n N est équivalente à (v n ) n N s il existe une suite (a n ) n N convergeant vers 1 et telle que u n = v n a n au delà d un certain rang. On note alors u n v n (u n est équivalent à v n ). () Suites 14 / 36
Proposition Soit (u n ) n N et (v n ) n N deux suites réelles. Si la suite (v n ) n N ne s annule pas au delà d un certain rang N alors : 1 u n = o(v n ) si et seulement si la suite ( un v n ) n N converge vers 0. 2 u n v n si et seulement si la suite ( un v n ) n N converge vers 1. Proposition Si (u n ) n N est équivalente à (v n ) n N alors (v n ) n N est équivalente à (u n ) n N, on dit que les deux suites sont équivalentes. () Suites 15 / 36
Propriétés Proposition Soit (u n ) n N, (v n ) n N, (w n ) n N et (x n ) n N quatre suites réelles. 1 Si u n = o(v n ) et v n = o(w n ), alors u n = o(w n ). (transitivité) 2 Si u n = o(w n ) et v n = o(w n ), alors u n + v n = o(w n ). 3 Si u n = o(w n ) et v n = o(x n ), alors u n v n = o(w n x n ). () Suites 16 / 36
Proposition Soit (u n ) n N, (v n ) n N, (w n ) n N et (x n ) n N quatre suites réelles. 1 Si pour tout n N, u n = v n + w n et si w n = o(v n ) alors u n v n. 2 Si u n v n et v n w n, alors u n w n (transitivité). 3 Si u n w n et v n x n alors u n v n w n x n. 4 Si u n w n et v n x n et si les suites (v n ) n N et (x n ) n N ne s annulent pas au delà d un certain rang, alors un v n wn x n Remarque: Attention, on ne peut pas additionner ou soustraire avec des équivalents! On ne peut pas appliquer une fonction sur un équivalent! () Suites 17 / 36
Démonstration. 1 Puisque w n = o(v n ), il existe une suite (ε n ) n N convergeant vers 0 telle que w n = v n ε n au delà d un certain rang. Ainsi, au delà d un certain rang, on a u n = v n (1 + ε n ) et la suite (1 + ε n ) n N converge vers 1 donc par définition u n v n. 2 Si u n v n et v n w n, alors il existe deux suites (a n ) n N et (b n ) n N convergeant vers 1 telles que u n = v n a n et v n = w n b n au dela d un certain rang. On a donc u n = w n (a n b n ) au delà d un certain rang et la suite (a n b n ) n N tend vers 1 donc u n w n. Pour les deux autres points, la démonstration se fait selon le même procédé (en faisant très attention avec le quotient). () Suites 18 / 36
Proposition Soit (u n ) n N et (v n ) n N deux suites équivalentes. 1 Si la suite (v n ) n N a une limite (finie ou infinie), alors la suite (u n ) n N a une limite et lim u n = lim v n. n + n + 2 Si la suite (v n ) n N ne s annule pas au delà d un certain rang, alors la suite (u n ) n N ne s annule pas au delà d un certain rang. 3 Si la suite (v n ) n N est positive au delà d un certain rang, alors la suite (u n ) n N est positive au delà d un certain rang. () Suites 19 / 36
Démonstration. Puisque u n v n, il existe une suite (a n ) n N convergeant vers 1 telle que u n = v n a n au delà d un certain rang N 1. 1 Puisque les suites (v n ) n N et (a n ) n N sont convergentes, la suite (v n a n ) n N converge et on a lim v na n = lim v n lim a n = lim v n. Donc la suite (u n ) n N n + n + n + n + est convergente et lim u n = lim v n. n + n + 2 La suite (a n ) n N tend vers 1 donc au delà d un certain rang N 2, on a a n > 0. Puisque au dela d un certain rang N 3, la suite (v n ) n N ne s annule pas, pour tout n max(n 1, N 2, N 3 ), on a u n = v n a n 0. () Suites 20 / 36
Comparaison des suites de référence Proposition 1 Pour tous réels α et β, si α < β alors n α = o(n β ). 2 Pour tous nombres réels positifs a et b, si 0 < a < b, alors a n = o(b n ). Démonstration. 1 Soit α et β deux réels tels que α < β. Pour tout n N, on a n α = n α β et lim n β n + nα β = 0 car α β < 0 donc n α = o(n β ). 2 Soit a et b deux réels tels que 0 < a < b. On a alors pour tout n N, a n b = ( ) a n ( n b et lim a ) n n + b = 0 car 0 < a/b < 1 donc a n = o(b n ). () Suites 21 / 36
Corollaire Soit P = a d X d + a d 1 X d 1 + + a 1 X + a 0 un polynôme de R[X ] avec a d 0. On a P(n) a d n d autrement dit : a d n d + a d 1 n d 1 + + a 1 n + a 0 a d n d. Un polynôme est équivalent à son terme de plus haut degré. () Suites 22 / 36
Comparaison des suites tendant vers + Lemme On a lim n! = +. n + Démonstration. Pour tout n 1, on a n! n donc lim n! = +. n + () Suites 23 / 36
Proposition Pour tous réels α > 0, β > 0 et a > 1, on a n β = o(a n ), (ln n) α = o(n β ) et a n = o(n!). () Suites 24 / 36
Comparaison des suites tendant vers 0 Lemme Soit (u n ) n N et (v n ) n N deux suites tendant vers + (ces suites ne s annulent donc pas au delà d un certain rang). Si u n = o(v n ) alors Proposition 1 v n = o( 1 u n ) Pour tous réels α > 0, β > 0 et a ]0, 1[, on a ( ) 1 1 n! = o(an ), a n = o n β et 1 n β = o ( ) 1 (ln n) α. () Suites 25 / 36
Utilisation des limites classiques des fonctions usuelles On rappelle certaines limites classiques des fonctions usuelles : Proposition sin(x) tan(x) 1 cos(x) lim = 1 lim = 1 lim x 0 x x 0 x x 0 x 2 = 1 2 ln(1 + x) e x 1 lim = 1 lim = 1. x 0 x x 0 x Soit une suite (u n ) n N convergeant vers a. Soit une fonction réelle f telle que lim f (x) = b, alors on a lim f (u x a n) = b. n + () Suites 26 / 36
En utilisant ce résultat (on en reparlera plus tard) et les limites précédentes on obtient : Proposition Si (u n ) n N est une suite de nombres réels telle que a : lim u n = 0 alors on n + sin(u n ) u n tan(u n ) u n 1 cos(u n ) u2 n 2 ln(1 + u n ) u n Exercice 1 ( ) 2n 1 3n 1 Calculer lim. n + 2n + 4 e un 1 u n. 2 Déterminer un équivalent de la suite ( ln(cos(1/n)) ) n N () Suites 27 / 36
Plan 1 Limites et relation d ordre 2 Comparaison des suites 3 Suites de nombres complexes () Suites 28 / 36
Suites de nombres complexes Définition Soit (z n ) n N une suite de nombres complexes. On dit que la suite (z n ) n N est bornée si et seulement si la suite de nombres réels ( z n ) n N est bornée. Remarque: Il n y a pas de relation d ordre sur C qui prolonge la relation d ordre sur R. Il n y a donc pas de notion de suite complexe croissante ou décroissante, ni de suite complexe majorée ou minorée. () Suites 29 / 36
Définition On dit que la suite de nombres complexes (z n ) n N est convergente si, et seulement si, il existe l C tel que lim z n l = 0, c est-à-dire si, et n + seulement si, ε > 0, N ε N, n N ε, z n l ε. On dit alors que la suite (z n ) converge vers l et on note lim z n = l. On n + dit que la suite (z n ) n N est divergente si elle n est pas convergente. Attention : il n y a pas de sens à dire que la suite (z n ) n N tend vers l infini. () Suites 30 / 36
Proposition Soit (z n ) n N une suite de nombres complexes. La suite (z n ) n N converge vers l = a + ib (avec (a, b) R 2 ) si, et seulement si, (Re(z n )) n N converge vers a. et (Im(z n )) n N converge vers b. (ce sont des suites de nombres réels) () Suites 31 / 36
Corollaire Soit (z n ) n N une suite de nombres complexes. Si (z n ) n N converge vers l, alors (z n ) n N converge vers l. Démonstration. Si la suite (z n ) n N converge vers l = a + ib (a, b R), alors les suites (Re(z n )) n N et (Im(z n )) n N convergent respectivement vers a et b. Comme pour tout n N, Re(z n ) = Re(z n ) et Im(z n ) = Im(z n ), on a lim Re(z n) = a et lim Im(z n) = b. D après la proposition n + n + précédente, on a lim z n = a ib = l. n + () Suites 32 / 36
Proposition Soit (z n ) n N une suite de nombres complexes.. 1 Si (z n ) n N converge vers l, alors la suite ( z n ) n N converge vers l. 2 La suite (z n ) n N converge vers 0 si et seulement si la suite ( z n ) n N converge vers 0 () Suites 33 / 36
Proposition Toute suite complexe convergente est bornée. Remarque: Les résultats obtenus pour les suites de nombres réels qui ne font pas intervenir la relation d ordre dans R restent valable pour les suites de nombres complexes. () Suites 34 / 36
Proposition Soit (u n ) n N et (v n ) n N deux suites de nombres complexes. Si (u n ) n N et (v n ) n N convergent vers l 1 et l 2 respectivement, alors 1 la somme (u n + v n ) n N de ces deux suites est convergente et l on a lim u n + v n = l 1 + l 2. n + 2 le produit (u n v n ) n N de ces deux suites est convergent et l on a lim u nv n = l 1 l 2. n + 3 pour tout λ C, la suite (λu n ) n N est convergente et l on a lim λu n = λl 1. n + () Suites 35 / 36
Proposition 4 si de plus l 2 est non nul, alors il existe N N tel que n N, v n 0 ( 1 ) et la suite v converge vers 1 ( un. Dans ce cas, la suite n n N l 2 converge vers l 1 l 2. v n )n N () Suites 36 / 36