Classe : ème. Correction du Contrôle commun de Mathématiques n 2 1 pt est reservé à la présentation, l orthographe et le soin de la copie Calculatrice autorisée. Exercice 1 (2.5 points) Avec un logiciel : On a construit un carré ABCD de côté cm. On a placé un point M mobile sur [AB] et on a construit le carrée MNPQ comme visualisé sur la copie d écran ci-contre. On a représenté l aire du carré MNPQ en fonction de la longueur AM. On a obtenu le graphique suivant : En utilisant ce graphique, répondre aux questions suivantes. Laissez les traits apparents sur le graphique pour répondre aux questions. 1. Lorsque AM=1 ou AM=, l aire de MNPQ est égale à 10cm². 2. Lorsque AM est égale à 0.5cm, l aire de MNPQ est égale à 12,5 cm².. L aire de MNPQ est minimale lorsque AM=2 cm (0,5 pt). Cette aire vaut alors 8 cm².
Classe : ème. Exercice 2 ( points) On a utilisé un tableur pour calculer les images des différentes valeurs de x par une fonction f et par une autre fonction g. Une copie de l écran obtenu est donnée ci-dessous. 1. L image de - par la fonction f est 22 ou f(-)=22 2. f (x)=-5x+7 (1 pt). Un antécédent de 5 par la fonction g est -1ou 1. 4. Sachant que g(x)= x² + 4, calculer l image de 1. (1 pt) 1 1 g( ) ( )² 4 1 1 6 g( ) 9 9 1 7 g( ) 9 Exercice (10 points) Salaires des femmes : 1200 ; 120 ; 1250 ; 110 ; 176 ; 1400 ; 1440 ; 1500 ; 1700 ; 2100 Salaires des hommes : Effectif total :20 Moyenne : 1769 Etendue ; 2400 Médiane : 2000 Les salaires des hommes sont tous différents 1. Comparer le salaire moyen des hommes et des femmes. On calcule le salaire moyen des femmes : 1200 120 1250 110 176 1400 1440 1500 1700 2100 m (1 pt) 10 m 1450,60 Comme le salaire moyen des hommes est de 1769, il est supérieur au salaire moyen des femmes. 2. Sachant que le plus bas salaire de l entreprise est de 1000, quel salaire est le plus élevé Le plus bas salaire est de 1000, ce n est pas celui d une femme c est donc celui d un homme. (0.5 pt)
Classe : ème. L étendue du salaire des hommes est de 2400, le salaire le plus haut est donc de 2400+1000=400.. Comme le salaire le plus élevé des femmes est de 2100, 2400 est donc le salaire le plus haut de l entreprise.. Dans cette entreprise combien de personnes gagnent plus de 2000? Le salaire médian chez les hommes est de 2000. Comme le nombre d hommes est pair et QUE le salaire des hommes est tous différents, il y a 10 hommes qui touchent plus de 2000 (sans 2000 ) et 10 hommes qui touchent moins de 2000. (1 pt) En ajoutant la femme, il y aura 11 personnes qui touchent dans cette entreprise plus de 2000. (0,5 pt) 4. Comparer la médiane des hommes et des femmes. On calcule la médiane chez les femmes L effectif est de 10, 10 5 2, la médiane est donc la moyenne entre la 5ème et la 6 ème de la série ordonnée (1pt) : 176 1400 188 (0,5pt) 2 Le salaire médian chez les hommes est de 2000, il est donc plus élevé chez les hommes. 5. Calculer le premier et le dernier quartile des femmes. L effectif des salaires des femmes est de 10 10 2.5 4, le premier quartile est la ème valeur de la série ordonnée : 1250 10 7,5, le dernier quartile est la 8 ème 4 valeur de la série ordonnée : 1500 Ce qui signifie qu au moins 25% des femmes gagnent moins que 1250 Et qu au moins 75% des femmes gagnent moins de 1500 (0,5 pt par phrase)
Classe : ème. Exercice 4 (5 points) Deux figures codées sont données ci-dessous. Elles ne sont pas en vraie grandeur. Pour chacune d elles, déterminer la mesure de l angle ABC. Figure 1 On sait qu ABC est un triangle rectangle en A On a donc cos AC ABC (1 pt) BC cos ABC 6 ABC cos ( ) 2 1 1 ABC =60 Figure 2 On sait que le triangle ABC est inscrit dans un cercle de diamètre [AB] Or si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour côté un diamètre de ce cercle alors ce triangle est rectangle et le plus grand côté est l hypoténuse. Donc ABC est un triangle rectangle en C (1,5 pt) L angle ACB 90 On sait que ABC est un triangle rectangle en C et CAB 59 Or dans un triangle rectangle, les angles aigus sont complémentaires (1,5 pt) Donc ABC =90-59
Classe : ème. ABC =1 Possibilité de résoudre cet exercice avec des triangles isocèles : même barème Exercice 5 (5,5 points) Pour réaliser un abri de jardin en parpaing, un bricoleur a besoin de 00 parpaings de dimensions 50 cm 20 cm 10 cm pesant chacun 10 kg. Il achète les parpaings dans un magasin situé à 10 km de sa maison. Pour les transporter, il loue au magasin un fourgon. Information 1 : Caractéristiques du fourgon : places assises. Dimensions du volume transportable (L l h) : 2,60 m 1,56m 1,84m. Charge pouvant être transportée : 1,7 tonne Volume réservoir : 80 litres Diesel : consommation 8 litres aux 100km. Information 2 : Tarifs de location du fourgon 0km maximum 50 km maximum 100km maximum 200 km maximum Km supplémentaire 48 55 61 78 2 Ces prix comprennent le kilométrage indiqué hors carburant. Information : 1 litre de carburant coûte 1.50 1. Expliquer pourquoi il devra effectuer deux aller-retour pour transporter les 00 parpaings jusqu à sa maison. La charge pouvant être transportée est de 1.7 tonnes. Il devra donc effectuer deux allers retours pour transporter les 00 parpaings jusqu à sa maison : 00 10=000kg = tonnes (1 pt) De plus, si on met - 5 parpaings dans la longueur : 5 50=250cm < 260 cm - 9 parpaings dans la hauteur : 9 20=180 cm<184 cm (1 pt) - 15 parpaings dans la largeur : 15 10=150 cm<156 cm On peut mettre 9 5 15=675 parpaings dans le fourgon. Donc 150 parpaings pour chaque voyage. 2. Quel sera le coût total du transport. - 2 allers retour : (2 10) 2=40 km, donc la location sera de 55 - pour le carburant : 8 litres aux 100 km, donc 8 40.2litres (1 pt) 100.21,5=4,80 Le coût total sera de : 4.80+55=59.80
Classe : ème.. Les tarifs de location du fourgon sont-ils proportionnels à la distance maximale autorisée par jour? On a : 0 0,625 48 et 50 0,909. Les tarifs de location du fourgon ne sont donc pas 55 proportionnels à la distance maximale autorisée par jour. (1 pour justification + 0.5 pour réponse) Exercice 6 (7 points) Dans les marais salants, le sel récolté est stocké sur une surface plane. On admet qu un tas de sel a toujours la forme d un cône de révolution. 1. Pascal souhaite déterminer la hauteur d un cône de sel de diamètre 5mètres. a. Il possède un bâton de longueur 1 mètre. Il effectue des mesures et réalise les deux schémas ci dessous. Démontrer que la hauteur de ce cône de sel est égale à 2,50mètres. On sait que les points A, C, S et A, B, O sont alignés dans cet ordre et (CB) et(so) sont parallèles (1 pt) Or d après le théorème de Thalès (0.5 pt) AC AB CB On a donc : (0.5 pt) AS AO SO AC.2 1 AS 8 SO SO=h= 8.2 h=2.5m.(1 pt) b. Déterminer en près. r² h V= 2.5² 2.5 V= V= 15.625 V 16 m m le volume de sel contenu dans ce cône. Arrondir le résultat au m (1 pt avec l unité sinon 0,5) (0.5 pt arrondi) 2. Le sel est ensuite stocké dans un entrepôt sous la forme de cônes de volume 1000 m. Par mesure de sécurité, la hauteur d un tel cône de sel ne doit pas dépasser 6 mètres. Quel rayon faut-il prévoir au minimum pour la base? Arrondir le résultat au décimètre près. m
Classe : ème. H= 6m 1000= 6 r ² (1 pt) 500 r², r étant une longueur r est positif (0.5 pt) 500 r r 12,7m (0 5pt + 0.5 pt pour arrondi) Exercice 7 (6 points) (donner 0.5 pt par réponse même si pas de justification) Chacune des trois affirmations suivantes est-elle vraie ou fausse On rappelle que les réponses doivent être justifiées. Affirmation 1 Dans un club sportif, les trois quarts des adhérents sont mineurs et le tiers des adhérents majeurs à plus de 25 ans. Un adhérent sur 4 a donc entre 18 ans et 25 ans. Il y a donc 1 4 de sportifs majeurs Le tiers d un quart des sportifs à plus de 25 ans donc les deux tiers d un quart ont entre 18 et 25 ans : 2 1 1 (1 pt) 4 6 Il y a donc un adhérent sur 6 qui a entre 18 ans et 25 ans. Affirmation 2 Durant les soldes, si on baisse le prix d un article de 0% puis de 20%, au final le prix de l article a baissé de 50%. Une baisse de 0% représente une fonction linéaire de coefficient 0.7 Une baisse de 20% représente une baisse de 0.8 Donc en tout c est une fonction linéaire de 0.7 0.8=0.56 Or une baisse de 50% représente une fonction linéaire de coefficient 0.5 Faux (0.5 pt) Affirmation Pour n importe quel nombre entier n, (n+1)² - (n-1)² est un multiple de 4. (n+1)² - (n-1)²=n²+ 2n + 1 n² +2n -1 (1.5 pt) =4n C est donc bien un multiple de 4 (0.5 pt)