Corrigé de l épreuve de mthémtiques du bcclurét S de l Réuio 5 Eercice ) Les propositios b) et c) sot vries ) Les propositios b) et d) sot vries Les propositios b) et d) sot vries 4) Les propositios b) et d) sot vries Eercice - Obligtoire Ds chque ure, les tirges sot effectués u hsrd ; o peut cosidérer qu ils sot équiprobbles L probbilité d u évèemet est le rpport du ombre de cs fvorbles pr le ombre de cs possibles 5/9 /5 N /5 4/5 N R 4/9 5/9 4/9 3/5 4/9 /5 N R 5/9 4/5 R /3 /3 5 ) ) p(n N N soit p(n N N 5 5 9 45 4 4 3 p(n R N soit p(n R N 5 5 9 5 b) N N3 est l réuio disjoite de N N N3 et N R N3 4 D où p(n N p(n N N + p(n R N, soit p(n N 75 c) Comme ds l questio précédete : R N3 est l réuio disjoite de R N N3 et R R N3 D où p(r N p(r N N + p(r R N, soit p(r N 75 N 3 est l réuio disjoite de N N3 et R N3 D où p(n p(n N + p(r N, soit p (N 5 4 4 4) p(n ) p(n et p(n N 5 5 5 75 doc p(n N p(n ) p(n N et N 3 e sot ps idépedts p(r N 8 5) pn (R 3 ) O obtiet : p N (R 3 ) p(n ) 5 3 Bc S Réuio jui 5 pge Lise Je-Clude
Eercice 3 ) ) Pour tout de R, f( ) f '( ) E chget e o obtiet, pour tout de R, f( ) f '( ) E prticulier, le produit f ( ) f '( ) est jmis ul doc f e s ule ps sur R b) f étt dérivble sur R, f( ) est dérivble sur R pr compositio Pr suite g est dérivble sur R comme produit de deu foctios dérivbles sur R O : g '( ) f '( ) f( ) + f( ) f '( ) Or f( ) f '( ) et f( ) f '( ) e chget e D où g'( ), pour tout de R c) g ' est ulle sur l itervlle R doc g est ue foctio costte sur R Or g() f() f() doc g est l foctio costte égle à d) Soit u réel D près les questios précédetes, o : f( ) f( ) et f e s ule ps f ( ) sur R d où f( ) Or f '( ) f( ) f ( ) d près l coditio (C) doc f '( ) f ( ) y Coclusio : pour tout de R, f '( ) f est solutio de l équtio différetielle y ' De plus : f () 4d près les hypothèses de (C) ) Soit f ue solutio de l équtio différetielle (E) Cosidéros l foctio h défiie sur R pr h ( ) f( e ) h est dérivble sur R comme produit de deu foctios dérivbles sur R h f e f e e f f f '( ) '( ) ( ) '( ) ( ) cr vérifie l'équtio différetielle (E) h ' est doc ulle sur l itervlle R Pr suite, h est ue foctio costte sur R : pour tout de R, h ( ) K, K étt ue costte réelle Soit f ( ) Ke, vec K réel Réciproquemet : soit K u réel L foctio Ke est solutio de (E) E effet, f '( ) K e f( ) b) Notos fk : Ke f () 4 Ke 4 K 4 K L foctio f : 4e est l uique solutio de (E) pret l vleur 4 e D près les questios précédetes : si f est ue foctio dérivble sur R stisfist l coditio (C) lors f est l foctio 4e Réciproquemet : motros que f : 4e est dérivble et stisfit l coditio (C) - f est ue foctio epoetielle doc dérivble sur R ; s dérivée est f ': e 4 - f () 4 - pour tout de R, o : f( ) f '( ) 4e e e 4 Coclusio : f : 4e est l uique foctio dérivble sur R stisfist l coditio (C) Bc S Réuio jui 5 pge Lise Je-Clude
Eercice 4 Prtie A : supposos que les huteurs du tétrèdre ABCD issues des poits A et B sot séctes e u poit E O : BH DC (BE + EH) DC BE DC + EH DC Or l droite (BE) est l huteur issue de B du tétrèdre ABCD doc (BE) est perpediculire u pl (ADC) Pr suite, (BE) est orthogole à toutes les droites coteues ds le pl (ADC) E prticulier (BE) est orthogole à (DC) d où BE DC De même, l droite (EH) est l huteur issue de A du tétrèdre ABCD doc (EH) est perpediculire u pl (BCD) Pr suite, (EH) est orthogole à toutes les droites coteues ds le pl (BCD) E prticulier (EH) est orthogole à (DC) d où EH DC Filemet : BH DC BE DC + EH DC soit BH DC doc (BH) est ue huteur du trigle BCD Prtie B : BC( ; 4 ; ) et BD( 5 ; 6 ; ) ds l bse (, i j, k ) Les coordoées des vecteurs BC et BD e sot ps proportioelles doc les poits B, C et D e sot ps ligés ; ils défiisset bie u pl ( 6) 3 + 4 3 3 + 4 3 4 3 ( + 4 3 3 8 + 9 + 3 ( ) 3 ( 5) + 4 ( ) 3 + 5 4 3 Les coordoées des poits B, C et D vérifiet l équtio : 3y+ 4z 3 doc cette équtio est bie ue équtio crtésiee du pl (BCD) b) (AH) est l droite psst pr A(3 ; ; -) dirigée pr le vecteur ( ; 3; 4) orml à (BCD) 3 t Ue représettio prmétrique de l droite (AH) est : y 3t, t R z + 4t Le poit H pprtet à l fois à l droite (AH) et u pl (BCD) correspod u prmètre t vérifit : (3 t) 3 ( 3 t) + 4 ( + 4 t) 3, soit t Les coordoées de H sot ( ; - ; 3 ) c) O BH (7 ; ; ) et CD( 5 ; ; 4) doc BH CD 7 ( 5) + ( ) ( ) + ( 4), soit BH CD 39 Pr suite, (BH) est ps ue huteur du trigle BCD doc les huteurs du tétrèdre ABCD issues des poits A et B e sot ps séctes d près l prtie A ) Les huteurs issues des poits I, J et K du tétrèdre OIJK sot respectivemet les droites (OI), (OJ) et (OK) De plus l huteur issue de O du tétrèdre psse évidemmet pr O! Le tétrèdre OIJK est doc orthocetrique Eercice 5 L foctio u: + est dérivble et strictemet positive sur [; + [ doc f l u est dérivble sur [; + [ Pour tout de [; + [, o : f '( ) + g est dérivble sur [; + [ comme somme des foctios e et dérivbles sur [; + [ Pour tout de [; + [, o : g '( ) e Bc S Réuio jui 5 pge 3 Lise Je-Clude
O f() g() et f '() g'() doc C f et C g dmettet u poit d bscisse des tgetes psst pr le même poit O( ; ) et yt le même coefficiet directeur L droite d équtio y est ue tgete commue u courbes C f et C g u poit O( ; ) Positio reltive de C f pr rpport à l droite d équtio y Il s git d étudier le sige de f ( ) Notos h l foctio défiie sur [; + [ pr h ( ) f( ) h est dérivble sur [; + [ comme somme des foctios f et, dérivbles sur [; + [ h'( ) + + h '() et pour tout de ]; + [, h'( ) < doc h est strictemet décroisste sur [; + [ De plus h () doc h est égtive sur [; + [ Coclusio : l courbe C f est e dessous de l droite d équtio y sur [; + [ ) M( ; y) et M (y ; ) sot symétriques pr rpport à l droite d équtio y E post y l( + ), o les équivleces : + l( + ) y Pr suite : y M( ; y) C f y l( + ) et e + et y M (y ; ) C g Ce qui prouve que les courbes C f et C g sot symétriques pr rpport à l droite Ue utre méthode cosiste à motrer que f et g sot des bijectios réciproques e vérifit que : - pour tout, ( f g)( ) - pour tout y, ( g f)( y) y Sur [; + [, f est ue foctio cotiue cr dérivble et positive doc f ( d ) est l ire, e uités d ire du domie pl limité pr C f, l e des bscisses, les droites d équtios et Pr symétrie d e (coservtio des ires), f ( d ) est ussi l ire e uités d ire du domie pl limité pr C g, l droite d équtio y, les droites d équtios et l( +) Or cette derière ire, e uités d ire, s obtiet pr différece : l( + ) (ire du rectgle OABC) (ire sous l courbe C g etre et l( + )) l( + ) ( e ) d A, B et C étt respectivemet les poits de coordoées (l( + ) ; ), (l( + ) ; ) et (; ) l( + ) b) f( ) d l( + ) [ e ] l( + ) ( + l( + ) ) soit, f ( d ) ( + )l( + ) c) Notos u: l( + ) et v: + u et v sot dérivbles sur [; + [ et leurs dérivées u': et v': sot cotiues sur + [; + [ O peut doc ppliquer l formule d itégrtio pr prties : I( ) l( + ) d v '( ) u( ) d v( ) u( ) v( ) u '( ) d [ ] [ ] [ ] I( ) ( + ) l( + ) d ( + ) l( + ), soit I( ) ( + )l( + ) Bc S Réuio jui 5 pge 4 Lise Je-Clude
Eercice spécilité ( + ) ) Notos P l propriété : " S " Motros pr récurrece que P est vrie pour tout etier > 3 3 (+ ) Iitilistio : P est vrie cr S p et p Hérédité : supposos que P est vrie pour u etier > et motros, sous cette hypothèse, que P + est vrie ( + ) Hypothèse de récurrece : S et > 3 ( + ) 3 + 4+ 4 ( + ) ( + ) S+ S + ( + ) + ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) 4 4 4 ( + )( + + ) d où S +, soit P + est vrie Coclusio : l propriété P est vrie u rg et est héréditire doc elle vrie pour tout etier > k(k+ ) (k+ )(k+ ) ) ) PGCD( Sk, S k + ) PGCD(, ) ( ) ( ) PGCD( k(k+ ), (k+ )( k+ ) ) (k+ ) PGCD( k,( k+ ) ) Rppelos l propriété : si, b et k sot trois etiers turels lors PGCD( k, kb) k PGCD(, b) b) PGCD( kk+, ) E effet, ( k+ ) k doc k et k + sot premiers etre eu d près le théorème de Bezout Bc S Réuio jui 5 pge 5 Lise Je-Clude
c) D près l questio ), pour tout etier turel k o ul : PGCD( S, S + ) (k+ ) PGCD( k,( k+ ) ) k k Comme PGCD( kk+, ), o D où PGCD( S, S ) (k ) k k+ + PGCD( k,( k+ ) ) d près l propriété citée ds l itroductio Soit k u etier turel ) (k+ (k+ ) Le PGCD de (k + ) et (k + divise toute combiiso liéire de (k + ) et (k + doc divise PGCD((k+,(k+ )) est égle à ou Or (k + ) et (k + sot des etiers impirs doc PGCD((k+,(k+ )) (k+ )(k+ ) (k+ )(k+ b) PGCD( Sk+, Sk+ ) PGCD(, ) ( ) ( ) PGCD( (k+ )( k+ ), ( k+ )(k+ ) ( k+ ) PGCD(k+ ), (k+ ) Comme PGCD(k+, k+, o PGCD((k+ ),(k+ ) d près l propriété citée ds l itroductio D où PGCD( S +, S + ) ( k+ ) k k 4) Soit u etier turel o ul - si k vec k etier turel o ul, d près l étude ) : PGCD( S, S+ ) PGCD( Sk, Sk+ ) (k+ ) k k étt o ul, l derière propositio est fusse Pr suite, il eiste de ps d etier turel pir o ul tel que S et S + soit premiers etre eu - si k + vec k etier turel, d près l étude : PGCD( S, S+ ) PGCD( Sk+, Sk+ ) ( k+ ) k est l seule vleur de qui est telle que S et S + sot premiers etre eu Bc S Réuio jui 5 pge 6 Lise Je-Clude