Inducton électromagnétque Table des matères 1 Phénomène d nducton 2 1.1 Mse en évdence du phénomène d nducton.................. 2 1.2 Los de l nducton.................................. 3 1.2.1 Lo de Lenz................................... 3 1.2.2 Lo de Faraday................................. 3 1.3 Crcut fxe dans un champ magnétque varable : nducton de Neumann. 3 1.4 Cas d un crcut moble dans un champ magnétque permanent....... 4 1.5 Lo d Ohm généralsé................................. 6 1.6 Lo d Ohm locale................................... 6 2 uto-nducton 6 2.1 Inductance propre.................................. 6 2.2 Force électromotrce d auto-nducton...................... 7 2.3 Lo d Ohm généralsé................................. 7 2.4 Energe magnétque................................. 8 3 Inducton mutuelle entre deux crcuts flformes fermés 9 3.1 Inductance mutuelle de deux crcuts....................... 9 3.2 Lo d Ohm généralsé................................. 9 3.3 Cas de deux bobnes en sére............................ 10 3.4 Energe magnétque d un système de deux crcuts............... 10 1 / 10
1 Phénomène d nducton 1.1 Mse en évdence du phénomène d nducton Expérence n 1 : crcut fxe dans un champ magnétque varable Consdérons le montage suvant : une bobne,se trouvant dans un champ magnétque crée par l amant, relée à l osclloscope l amant crée un champ magnétque permanent l amant est en mouvement : le champ magnétque est varable la bobne est fxe I bobne fxe osclloscope amant moble lorsque l amant est mmoble la tenson u à l osclloscope devent nulle : u = 0 u est postve lorsque l amant s approche à la bobne,alors elle est négatve lorsqu l s élogne l ampltude de u vare avec la vtesse de déplacement mposé à l amant la bobne se comporte comme un générateur électrocnétque,on dt qu elle est sège du phénomène d nducton Concluson : Lorsqu un crcut fxe est soums à un champ magnétque varable,l est sège d u phénomène d nducton.il s agt de l nducton de Neumann Expérence n 2 : Crcut moble dans un champ magnétque permanent osclloscope la bbne est moble l amant est fxe le champ magnétque est permanent I s la bobne est mmoble,la tenson sur l osclloscope u = 0 bobne moble s la bobne est moble,on observe sur l osclloscope une tenson u 0 la bobne se comporte comme un générateur électrocnétque,donc elle est sège du phénomène d nducton amant fxe Concluson : Lorsqu un crcut se déplace dans un champ magnétque permanent,l est sège d un phénomène d nducton. Il s agt de l nducton de Lorentz. 2 / 10
1.2 Los de l nducton 1.2.1 Lo de Lenz Enoncé : Les effets magnétques,électrocnétques et mécanques de l nducton sont orentés de façon à s opposer à ses causes. 1.2.2 Lo de Faraday Enoncé : La f.e.m ndute dans un crcut fermé est égale à l opposé de la dérvée par rapport au temps du flux du champ magnétque qu le traverse. e m = dφ(t) 1.3 Crcut fxe dans un champ magnétque varable : nducton de Neumann les varatons temporelles du champ magnétque ndusent une composante du champ électrque qu se tradut par l équaton de Maxwell-Faraday e m (t) = E. dl dφ = d (Σ) e m = dφ donc B. ds = B ds (S) t E. dl = Σ B t. ds r ot E = B t Pour un crcut flforme de contour,soums un champ magnétque varable,le flux de B (t) à travers une surface Σ s appuyant sur un contour est donné par : φ(t) = B. ds =. dl (Σ) la force électromotrce ndute est donnée par e m = dφ = d. dl = On défnt le champ électromoteur de Neumann par la force électromotrce est donnée par e m = E m = t E m. dl t. dl 3 / 10
Exemple : spre dans un champ magnétque snusoïdal z Consdérons une spre crculare de rayon R,placé dans un champ magnétque unforme perpendculare au plan de la spre et varant snusoïdalement au cours du temps : B (t) = Bm cos(ωt) e z B O y le flux de B : φ(t) = B. ds = Bm πr 2 cos(ωt) (S) la f.e.m : e(t) = dφ(t) = B m πr 2 ωsn(ωt) x 1.4 Cas d un crcut moble dans un champ magnétque permanent Consdérons un crcut moble dans un champ magnétque permanent B.Sot R un référentel absolu et R un référentel lé au crcut Champ électromoteur de Lorentz la vtesse des charges de conducton : v = v e + v r avec v e : vtesse d entraînement ou vtesse du crcut et v r : vtesse relatve la force de Lorentz : F = q( E + v B ) = q( E + v e B + v r B ) E : le champ électrque défn dans le référentel R v r B : grandeur homogène à un champ électrque,responsable de l effet Hall v e B :grandeur homogène à un champ électrque,provoquant le mouvement des charges du crcut,on l appelle Champ électromoteur E m E m = v e B Concluson : Lors du déplacement d un conducteur (crcut) dans un champ magnétque permanent,les charges de conducton sont mses en mouvement par une force q E m = q v e B v e : vtesse de déplacement d un conducteur dans R E m = v e B : champ électromagnétque de Lorentz Force électromotrce le déplacement d un crcut dans un champ magnétque permanent B joue le rôle d un générateur électrque de force électromotrce e m la pussance de la force électromotrce de Lorentz (e m. ) est compensée par celle des actons de Laplace exercée sur le crcut P L + e m. = 0 4 / 10
Consdérons un élément B de crcut se déplace dans un champ magnétque permanent B P L = ( dl B ) B v e = ( v e B ). B dl = E m. dl P L = e m. e m = B E m. B dl = ( v e B ). dl la force électromotrce du crcut est donnée par e m = E m. dl = ( v e B ). dl l exstence de courants nduts est lée au caractère non conservatf de la crculaton du champ électromoteur δw L = dφ donc P L = dφ = e m e m = dφ Exemple n 1 : Barreau conducteur moble sur des rals Le système est consttué d un barreau conducteur MN,de longueur l,glssant le long de deux rals parallèles,perpendcularement à leur drecton. Le système est placé dans un champ magnétque unforme B = B e z. V est un voltmétre. à t = 0,le barreau est au repos à t,le barreau est lancé avec une vtesse v = v 0 e x,pus abondonné à elle même. V B z O y P N N l dl d λ δs c M M x le champ électromoteur : E m = v B = v e x B e z = vb e y e m = N M E m. N dl = Bv e y.dl e y = Bvl d λ = v. e m = ( v B ). dl = 1 MN Exemple n 2 : Roue de Barlow M MN ( dλ dl ). B = 1 B. δ 2 S c e m = dφ Un dsque métallque de rayon O = a peut tourner sans frottement dans le plan vertcal autour de l axe Oz. Il est almenté sur son axe,au pont O,par un générateur de tenson U,le crcut étant fermé au pont,où la crconférence trempe dans un ban de mercure,la résstance totale du crcut est R. U R O B Hg 5 / 10
le dsque tourne autour de Oz avec une vtesse ω = ω e z OM = r e r donc v = r ω e θ B = B e z le champ électromoteur E m = v (M) B = r ω e θ ( B e z ) = r Bω e r la force électromotrce e m = E m. dl = r ωb e r.(dr e r ) O 0 e m = 1 2 ωa2 B 1.5 Lo d Ohm généralsé Consdérons un conducteur ohmque (porton B d un crcut) qu est sot : placé dans un champ magnétque varable B(t) en vtesse v dans un champ magnétque permanent Le conducteur ohmque vérfé la lo d ohm généralsé u B = R. B e m B B v R B e m B B (t) u B 1.6 Lo d Ohm locale la lo d Ohm locale est donnée par j = γ E avec γ : conductvté du mleu (S.m 1 ) pour un crcut moble j = γ( E + v e B + R H j B ) 2 uto-nducton 2.1 Inductance propre Tout crcut parcouru par un courant crée un champ magnétque B dans lequel l est plongé. On note φ pr opre le flux propre du crcut c est-à-dre le flux du champ B à travers la surface du crcut Défnton : On appelle nductance propre du crcut (L) la grandeur suvante L s exprme en henry(h) L = φ pr opre 6 / 10
Inductance propre d un solénoïde rectlgne Un solénoïde nfn,d axe Oz,de rayon R de longueur l >> R,de n spres par unté de longueur,parcourues par un courant d ntensté I B = µ 0 ni N e z = µ 0 l I e z φ pr opre = B ds = N B ds = NBπR 2 Sol énoïde Spre l nductance d un solénoïde de longueur l N 2 L = µ 0 πr 2 l 2.2 Force électromotrce d auto-nducton Défnton : on appelle force électromotrce d auto-nducton la quantté suvante e pr opre = dφ pr opre = L d 2.3 Lo d Ohm généralsé Consdérons un élément d un crcut (bobne) dans un champ magnétque extéreur B e xt,parcourue par un courant le champ magnétque totale la f.e.m d nducton est donc B = B ext + B pr opre e = e ext + e pr opre (R,L) R L u u R u u L la lo d Ohm généralsé s B ext = 0 alors e ext = 0 u = R. e pr opre e ext = R. + L d e ext u = R. + L d 7 / 10
2.4 Energe magnétque Défnton : On défnt la densté de l énerge magnétque assocée au champ magnétque B par l énerge magnétque est donnée par ω m = B2 2µ 0 E m = espace B 2 2µ 0 dτ E m représente l énerge cédée par le champ magnétque B aux porteurs de charges consdérons le crcut suvant (L,R) u de tenson u = R e pr opre = R + L d la pussance fourne par la : P sour ce = u. la pussance dsspée par effet Joule : P Joule = R 2 blan de pussance : u. = R 2 + L d P sour ce = P Joule + d ( ) 1 2 L 2 la quantté P m = d ( ) 1 2 L 2 représente la pussance magnétque P m = de m = d ( ) 1 2 L 2 l nductance propre s écrt auss L = 1 µ 0 2 E m = 1 2 L 2 espace B 2 dτ Exemple : solénoïde nfn consdérons un solénoïde de longueur l de secton S contenant N spres de rayon R telle que l >> R N B = µ 0 à l ntéreur et nul à l extéreur l 8 / 10
E m = B2 S.l = µ 0N 2 S 2µ 0 2l L = µ 0N 2 S = µ 0N 2 πr 2 l l 2 3 Inducton mutuelle entre deux crcuts flformes fermés 3.1 Inductance mutuelle de deux crcuts Consdérons deux crcuts flformes (C 1 ) et (C 2 ) fermés φ 1 2 : flux de B 1 crée par (C 1 ) à travers la (C 2 ) est proportonnel à 1 φ 1 2 = M 12 1 φ 2 1 : flux de B 2 crée par (C 2 ) à travers la (C 1 ) est proportonnel à 2 (C 1 ) (C 2 ) 1 2 φ 2 1 = M 21 2 M 12 = M 21 = M M représente l nductance mutuelle φ 1 2 = M 1 et φ 2 1 = M 2 Remarque : Contrarement à l nductance propre qu est toujours postve,l nductance mutuelle peut être postve ou négatve 3.2 Lo d Ohm généralsé Consdérons les deux crcuts couplés par une nductance mutuelle M M (R 1,L 1 ) (R 2,L 2 ) u 1 u 1 2 2 on peut écrre pour chaque crcut : φ = φ pr opre + φ ext φ 1 = φ 1 1 + φ 2 1 = L 1 1 + M 2 φ 2 = φ 2 2 + φ 1 2 = L 2 2 + M 1 e 1 = dφ 1 e 2 = dφ 2 d 1 = L 1 Md 2 d 2 = L 2 Md 1 d 1 u 1 = R 1 1 e 1 = R 1 1 + L 1 + Md 2 d 2 u 2 = R 2 2 e 2 = R 2 2 + L 2 + Md 1 9 / 10
3.3 Cas de deux bobnes en sére M (L 1,R 1 ) (L 2,R 2 ) B u R 1 + R 2 L 1 + L 2 u B le flux de B à travers l ensemble des spres est φ = φ 1 + φ 2 φ = (L 1 + M ) + (L 2 + M ) L = L 1 + L 2 + 2M φ = L 3.4 Energe magnétque d un système de deux crcuts Consdérons deux crcuts ndéformables (C 1 ) et (C 2 ) couplés par nductance mutuelle M M (R 1,L 1 ) (R 2,L 2 ) u 1 u 1 2 2 les s fournssent ( la pussance ) ( ) d 1 P sour ce = u 1 1 + u 2 2 = R 1 1 + L 1 + Md 2 d 2 1 + R 2 2 + L 2 + Md 1 2 la pussance dsspée par effet Joule : P Joule = R 1 2 + R 2 2 2 le blan énergétque s écrt : P sour ce = P Joule + de m de m d 1 = L 1 1 + L d 2 2 2 + M d 2 1 + M d 1 2 E m = 0 lorsque les courants sont nuls l énerge magnétque d un système de deux crcuts est,en absence d autre s de champ magnétque E m = 1 2 L 1 2 1 + 1 2 L 2 2 2 + M 1 2 10 / 10