Exercice 1 Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes : z 1 cos θ + i sin θ cos θ i sin θ et z (3 + i) cos θ + i sin θ z 1 cos θ i sin θ eiθ e z 1 cos θ + i sin θ iθ eiθ Soit a 3 + i. Alors a 10... bonne idée, mais qui semble sans suite intéressante. Tant pis, calculs...!! (3 + i) 8 6i z (3 + i) [(3 + i) ] (8 6i) 8 96i Exercice 1. z et z sont deux complexes, démontrer que : z + z + z z ( z + z ). Posons z x + iy et z x + iy ; alors z + z (x + x ) + i(y + y ) et z z (x x ) + i(y y ). Donc z + z (x + x ) + (y + y ) x + x + y + y + xx + yy et z z x + x + y + y xx yy. Leur somme vaut x + x + y + y (x + y ) + (x + y ) ( z + z ). Interpréter géométriquement cette égalité en admettant (provisoirement... ) que si M(z) et M (z ) alors MM z z. 1 G.Gremillot
Exercice 3 Soit donc M(z) et M (z ) dans le plan complexe. On sait qu alors le point S(z + z ) est le quatrième sommet du parallélogramme OMSM. On sait aussi que OM z, OM z ; de même OS z + z et l énoncé nous donne MM z z. Algébriquement, on est parti avec z et z quelconques, ce qui revient géométriquement à partir d un parallélogramme quelconque et à le déplacer pour "amener" un de ses sommets sur l origine O du plan complexe. On obtient la conclusion suivante : Théorème : Dans un parallélogramme quelconque, la somme des carrés des diagonales est égale au double de la somme des carrés de deux côtés consécutifs. 6 i On pose z 1 et z 1 i. 1. Ecrire z 1, z et z 1 sous forme trigonométrique. z z 1 donne z 1 6 i 3 ( i1 ) soit z 1 (cos( π 6 ) + i sin( π 6 )). arg z 1 π 6 z (cos( π ) + i sin( π )). arg z π z 1 (cos( π z 6 + π ) + i sin( π 6 + π )) cos( π 1 ) + i sin( π 1 ). arg z 1 arg z 1 arg z. En déduire cos π 1 et sin π 1. D autre part la forme algébrique de z 1 est : z 6 i ( 6 i )(1 + i) 6 + i 6 i + (1 i) (1 i)(1 + i) (1 + 1) 6 i. En comparant le formes trigonométrique et algébrique : cos π 6 + 1 et sin π 6 1. 6 + + G.Gremillot
3. Résoudre dans [ π, +π[ l équation : ( 6 + ) cos x + ( 6 ) sin x. (On rappelle que cos a cos b + sin a sin b cos(a b)) En divisant les deux membres de l équation par, on obtient l équation équivalente : cos π 1 cos x + sin π 1 sin x 1 soit encore cos(x π 1 ) cos π 3. du type cos a cos b + sin a sin b Cette équation est vraie si et seulement si : penser au cercle trigo x π 1 π 3 + k π OU x π 1 π + k π, k Z. 3 pour résoudre Ainsi, toutes les solutions sont de deux types possibles : cos α cos β x 5π π + k π OU x + k π, k Z. 1 Exercice n est un entier naturel, on pose z ( 3 + i) n. Déterminer un argument de z et en déduire l ensemble E des valeurs de n pour lesquelles z est un réel strictement positif. Soit a 3 + i. On a a d où on déduit arg a π 6. z a n a donc pour argument n π 6 et il est réel si et seulement si nπ 6 0[π], c est-à-dire n π k π où k est un entier relatif quelconque. 6 Ceci est vrai si et seulement si n 6k, autrement dit si et seulement si n est un multiple de 6. Exercice 5 1. Résoudre l équation z z + 0 dans C. Préciser le module et un argument de chacune des solutions. donc et les solutions sont : z 1 i 1 i et z 1 + i.. En déduire les solutions dans C de l équation : ( iz + 3i + 3) ( iz + 3i + 3) + 0. Posons Z iz + 3i 3 ; alors Z est solution de l équation de la question 1) qui admet les deux solutions : Z 1 1 i ou Z 1 + i 3 G.Gremillot
Les complexes z solutions de l équation proposée ici vérifient donc : iz + 3i 3 1 i ou iz + 3i 3 1 + i, ce qui donne en définitive deux solutions : i i Exercice 6 i + ou i i i +. A tout complexe z x + iy, z 1, on associe le complexe Z iz i. 1. Calculer ZZ puis Z en fonction de x et y. Méthodologie : lorsque des calculs sont trop énormes,... c est qu on n est pas sur la bonne voie!! ( ) iz i Z iz i iz + i ZZ iz i iz + i ZZ (x + y ) x + 1 x + y + x + 1. zz z zz + z + Z est la racine carrée positive du résultat précedent.. Déterminer l ensemble E 1 des points M d affixe z tels que Z 1. Z 1 Z 1 car Z est positif. Ainsi (x + y ) x + 1 x + y 1 ou encore x +y x+1 x +y +x+1 + x + 1 soit x +3y 6x 0 et donc x +y x 0 qui s écrit (x 1) +y 1 et on reconnaît l équation du cercle de centre A(1,0) et de rayon 1. 1 3. Déterminer l ensemble E des points M d affixe z tels que Z soit imaginaire pur. Raisonnons par équivalences : Z imaginaire pur Z Z iz + i iz + i izz + iz iz + i izz + iz iz + i 3iz 3iz z z z R E est l axe des réels. 1 Equation du cercle de centre A(a,b) et de rayon r : (x a) + (y b) r G.Gremillot
Exercice 7 Pour tout complexe z 1, on pose z z 1. 1. Démontrer que z 1 z imaginaire pur. Méthode : pour démontrer qu un complexe Z est imaginaire pur, on peut montrer que Z Z. On va donc établir ici que z z : z z 1 z 1 z 1 Utilisons maintenant la donnée initiale : z 1 qui équivaut à z 1 car z est positif. Ce qui équivaut encore à zz 1 et, puisque z 0 (car z 1), z 1 z. 1 Ainsi z 1 z 1 + z 1 z 1 1 z z. z 1 z est un imaginaire pur.. En déduire que, dans le plan complexe, le lieu géométrique des points M d affixe z lorsque le point M d affixe z décrit le cercle C de centre O et de rayon 1 privé du point A d affixe 1. L énoncé impose z 1 et z 1. Or " z 1" équivaut à "z imaginaire pur", c est-à-dire M appartient à l axe des ordonnées. z 1 équivaut à z existe donc à "M existe". Conclusion : lorsque M décrit C\{A}, M décrit l axe des ordonnées. 5 G.Gremillot