Feuille 7 - Equations différentielles Exercice 1. Un exemple d introduction On considère le problème suivant : {. X(t) = F(X(t)), X(0) = X ini, où X(t) est un vecteur (qui dépend du temps) et F une application donnée suffisamment régulière. L objectif est le suivant : étant donné un temps T > 0, on cherche à calculer la valeur de X sur l intervalle [0, T]. En général, il est impossible d exprimer analytiquement la solution de ce type d équations. Il est donc nécessaire d utiliser des méthodes numériques pour pouvoir calculer une approximation de la solution. La méthode d Euler explicite repose sur le schéma numérique le plus simple. On considère X(t) la solution de l équation différentielle au temps t. On a, par développement de Taylor : X(t + h) = X(t) + h. X(t) + O(h 2 ) = X(t) + h F(X(t)) + O(h 2 ). Grâce à cette relation, on peut construire une solution approchée de l équation différentielle sur l intervalle [0,T]. Pour cela, on découpe l intervalle [0,T] en N intervalles (on a donc N + 1 points) et on note X k l approximation du vecteur X au temps t = kh. Le pas de discrétisation h est égal à T/N et k varie de 0 à N. On a alors l algorithme suivant : Algorithme 1 Euler explicite. Données : F, X ini, N > 0. Sortie : (X k ) k=0...n approximation de X(t) sur [0,T]. 1: h = T N 2: X 0 = X ini 3: pour k = 0... N 1 faire 4: X k+1 = X k + h F(X k ) 5: fin pour Ecrire une fonction scilab E_expl qui prend comme arguments la fonction F, la valeur du vecteur à l instant initial X ini, la valeur de N et celle de T et qui renvoie la solution approchée sur l intervalle [0,T]. Application : testez votre fonction sur l équation {. X(t) = X(t), X(0) = 1, sur l intervalle [0,5] avec une centaine de points de discrétisation. Université d Orléans 1/6 2009-2010
On veut maintenant comparer cette méthode à celle (plus complexe) qui est programmée dans Scilab. Pour cela, on considère l exemple suivant :.. X(t) = X(t), X(0) = 0,. X(0) = 1. Ce système peut s écrire sous la forme d un système d ordre 1 avec Y (t) = ( ). y 2 (t) Y (t) = = F(Y (t)), y 1 (t) ( ) 1 Y (0) =. 0 Testez E_expl sur cet exemple, avec T = 20, N = 100. Que constatez-vous? ( ) (. ) y1 (t) X(t) = y 2 (t) X(t) Pour éviter ces problèmes, nous utiliserons dans la suite la fonction ode de Scilab. Les paramètres sont (voir l aide) : la valeur initiale (pour nous, X ini ou (1;0)), l instant initial (pour nous, 0), le vecteur des instants (t = 0;h;2h,... T h;t), et la fonction F (qui doit toujours être de la forme F(t,x) même si F ne dépend pas du temps). Comparer le résultat de la fonction ode sur le système d ordre 2 avec celui obtenu avec la méthode d Euler explicite. : Exercice 2. Mouvement d un pendule Nous commençons par l étude d un pendule classique, composé d une tige de masse négligeable de longueur l > 0 à l extrémité de laquelle est placée une masse m. On note θ l angle de la tige avec la verticale (voir Figure 1). θ dépend du temps mais on ne note pas cette dépendance. l θ m θ P T e r e θ Figure 1 Pendule simple Université d Orléans 2/6 2009-2010
D après les lois de la mécanique, on a la relation : m a = T + P, où a est l accélaration, T représente la tension et P le poids. On décompose alors cette relation dans la base orthonormée (e r,e θ ) et on obtient les deux égalités suivantes : { mlθ = mg sin θ, mlθ 2 = mg cos θ T, où g désigne la constante universelle de gravitation (nous prendrons g = 9.81m.s 2 ). Ainsi, l accélération angulaire θ (t) du pendule vérifie : θ (t) = g l sin θ(t), (1) Pour résoudre cette équation et obtenir l angle θ en fonction du temps, nous devons préciser θ(0) et θ (0), valeurs initiales respectives de l angle et de la vitesse angulaire. Montrez que, comme dans l exercice précédent, l équation (1) peut se mettre sous la forme : Y (t) = f(y (t)), (2) ( ) θ avec Y =. Explicitez f et la condition initiale de cette équation. On choisit θ(0) = 0 et θ θ (0) = 0.3s 1. Tracez θ et θ en fonction du temps t, pour t variant entre 0 et 10s. On définit l énergie cinétique E c et l énergie potentielle E p par : E c (t) = 1 2 ml2 θ (t) 2, E p (t) = mgl (1 cos θ(t)), et l énergie totale E par la somme de E c et E p. En prenant par exemple les valeurs numériques de la question précédente, tracez ces trois énergies en fonction du temps. Tracez enfin le portrait de phase, c est-à-dire θ (t) en fonction de θ. De façon à obtenir un portrait de phase le plus complet possible, faites varier les deux conditions initiales sur une grande plage de valeurs. Nous introduisons maintenant un amortissement dans notre système. L équation (1) devient alors : θ (t) = g l sin θ(t) λθ (t), où λ est le coefficient d amortissement. Menez la même étude que pour le pendule simple (tracés de θ et θ, des énergies et du portrait de phase). Vous pouvez prendre λ = 0.1s 1 par exemple. Comparez vos résultats au cas sans amortissement. A la masse de ce pendule, nous accrochons un second pendule de manière à être dans la configuration de la Figure 2 (on est toujours en deux dimensions). On peut montrer que les équations du mouvement sont données par : (m 1 + m 2 )l 1 θ 1 2l 2 θ 2 1 θ 2 ) + m 2 l 2 θ 2 2 1 θ 2 ) + (m 1 + m 2 )g sin θ 1 = 0, (3) l 1 θ 1 1 θ 2 ) + l 2 θ 2 1θ 1 2 1 θ 2 ) + g sin θ 2 = 0. (4) Université d Orléans 3/6 2009-2010
l 1 θ 1 m 1 l 2 θ 2 m 2 Figure 2 Pendule double Pour simplifier les équations (3-4), nous commençons par poser θ 1 correspondant à (4) avec cette hypothèse s écrit : = ω constante. L équation l 2 θ 2 l 1ω 2 sin(ωt + θ 1 (0) θ 2 ) + g sin θ 2 = 0 Tracez la trajectoire de l extrémité du pendule double. Il faudrait que l utilisateur puisse entrer lui-même les valeurs de son choix pour les différents paramètres (valeurs initiales, plage de temps, nombre de points, valeurs des masses, longueurs des pendules...). Vous pourrez également, avec la commande xpause, montrer le mouvement du pendule décrivant cette trajectoire. Faites varier les paramètres. Donnez les différents types de courbes obtenues. Que peut-on observer en choisissant ω = g/l 2, l 1 = 1, l 2 = 6, θ 1 (t = 0) = θ 2 (t = 0) = 0 et θ 2 = 0.4? On ne fait plus aucune hypothèse sur la vitesse angulaire du premier pendule. On réécrit les équations (3-4) de la façon suivante : Y = θ 1 θ 2 et θ 2 θ 1 θ 1 = l 2m 2 θ 2 2 sin(θ 1 θ 2 ) l 1 m 2 cos(θ 1 θ 2 )sin(θ 1 θ 2 )θ 1 2 (m 1 + m 2 )g sin θ 1 + m 2 g cos(θ 1 θ 2 )sin θ 2 l 1 m 2 sin 2 (θ 1 θ 2 ) + l 1 m 1 ( ) l 2 m 2 cos(θ 1 θ 2 )sin(θ 1 θ 2 )θ 2 θ 2 = 2 + (m 1 + m 2 ) l 1 sin(θ 1 θ 2 )θ 1 2 + g cos(θ 1 θ 2 )sin θ 1 g sin θ 2 l 2 m 2 sin 2 (θ 1 θ 2 ) + l 2 m 1 Donnez quelques exemples de trajectoire de l extrémité du pendule. Université d Orléans 4/6 2009-2010
Exercice 3. Les enzymes dans une réaction chimique Le modèle de réaction enzymatique fait intervenir un substrat S qui réagit avec une enzyme E pour former un complexe SE ; ce dernier est à son tour converti en un produit P et restitue l enzyme. Schématiquement : S + E k 1 SE, SE k 2 P + E. (5) k 1 Les constantes k 1, k 2, et k 1 sont associés aux vitesses de réaction et seront définies plus loin. La flèche double indique une réaction réversible, tandis que la flèche simple traduit la non réversibilité. Globalement, le mécanisme effectue une conversion du substrat S en un produit P du fait de la catalyse enzymatique. Une analyse plus détaillée fait apparaître la formation du complexe SE. La loi d action de masse indique que la vitesse de réaction est proportionnelle au produit des concentrations des réactants (pour l équation A + B k AB, on a : d[ab] dt = d[a] dt = d[b] dt = k[a][b]). Ces concentrations sont notées par des lettres minuscules : s = [S], e = [E], c = [SE], p = [P]. (6) La loi d action de masse appliquée au schéma (5) conduit à un système d équations différentielles non linéaires : ds dt = k 1es + k 1 c, dc dt = k 1es (k 1 + k 2 )c, de dt = k 1es + (k 1 + k 2 )c (7) dp dt = k 2c. (8) Les k i, dites constantes de vitesse, sont des constantes de proportionalité indépendantes des concentrations. La première équation de (7) traduit par exemple que la concentration s de substrat varie avec une vitesse obtenue en composant une perte de taux proportionnelle à la concentration c du complexe. Une condition initiale est requise pour compléter cette formulation : s(0) = s 0, e(0) = e 0, c(0) = 0, p(0) = 0. (9) La solution du problème (7-8) (9) représente l évolution des concentrations au cours du temps ; les vitesses de réaction s en déduisent. Toutes les concentrations intervenant dans ce modèle sont positives ou nulles. Les equations (7-8) ne sont pas indépendantes et la dernière équation est découplée du reste du système. t A l aide des équations (7-8-9), montrer que p s écrit p(t) = k 2 0 c(x) dx et donner une loi de conservation pour l enzyme en fonction de c en utilisant la relation de dt + dc dt = 0. Montrer que le système (7-8-9) s écrit : ds dt = k 1e 0 s + (k 1 s + k 1 )c s(0) = s 0 (10) dc dt = k 1e 0 s (k 1 s + k 1 + k 2 )c c(0) = 0. (11) Université d Orléans 5/6 2009-2010
On introduit les variables suivantes : τ = k 1 e 0 t, ǫ = e 0 s 0 (12) u(τ) = s(t) s 0, v(τ) = c(t) e 0 (13) λ = k 2 k 1 s 0, K = k 1 + k 2 k 1 s 0. (14) Montrer que le système (10-11) s écrit, avec ses conditions initiales : du dτ = u + (u + K λ)v, ǫdv = u (u + K)v dτ (15) u(0) = 1, v(0) = 0. (16) On note que K λ > 0. La réaction (5) qui convertit S en un produit P indique que l état final doit être u = 0 et v = 0 c est à dire que l on a épuisé le substrat et le complexe formé avec l enzyme. Les solutions du système non linéaire (15-16) ne peuvent s exprimer par des formules. Préciser les comportements qualitatifs de u et v. Dans quels intervalles les fonctions u et v prennent-elles leurs valeurs? On considère le cas où : K = 0.5, λ = 0.2, ǫ = 0.01. Résoudre le système (15-16) avec un schéma d Euler explicite. Faire varier le pas de temps, justifier les résultats obtenus. Représenter les solutions sur plusieurs plages de temps. Ces résultats sont-ils cohérents avec les comportements prévus? Université d Orléans 6/6 2009-2010