www.mthsenlgne.com FONCTION NUMERIQUE D UNE VARIABLE REELLE COURS (/5) I. NOTION D INTERVALLE On ppelle un ntervlle l ensemle des nomres détermnés pr une néglté ou un encdrement :. Intervlles ornés : - L ensemle des réels x tels que x est noté [ ; ] - L ensemle des réels x tels que < x < est noté ] ; [ - L ensemle des réels x tels que < x est noté ] ; ] - L ensemle des réels x tels que x < est noté [ ; [ et sont ppelées les ornes de l ntervlle. [ ; ] est un ntervlle fermé, ] ; [ est un ntervlle ouvert.. Intervlles non ornés - L ensemle des réels x tels que x est noté [ ; +[ - L ensemle des réels x tels que < x est noté ] ; +[ - L ensemle des réels x tels que x est noté ] ; ] - L ensemle des réels x tels que x < est noté ] ; [ Remrque : L ensemle de tous les réels peut uss être noté ] ; +[ II. NOTION DE FONCTION. Défnton Sot D un ensemle de nomre (un ntervlle ou une réunon d ntervlles). On ppelle foncton f sur l ensemle D le «mécnsme mthémtque» qu permet d ssocer à tout nomre x de D en un réel unque noté f(x). On note f : x f(x).. Voculre - f(x) est l mge de x ; - x est l ntécédent de f(x) ; - D est l ensemle de défnton (ou domne de défnton) de f. Sur l ntervlle [-2 ; 2], on défnt l foncton f pr : x f(x) = (x )² 3 L lgorthme de cette foncton se présente donc ns : Prendre un nomre x Retrncher à x Prendre le crré de ce résultt Retrncher 3 à ce résultt
www.mthsenlgne.com FONCTION NUMERIQUE D UNE VARIABLE REELLE COURS (2/5) f(-2) = (-2 )² 3 = (-3)² + 3 = 9 3 = 6 : L mge de -2 pr l foncton f est 6. f(-) = (- )² 3 = (-2)² + 3 = 4 3 = : L mge de - pr l foncton f est. f(0) = (0 )² 3 = (-)² 3 = 3 = -2 : L mge de 0 pr l foncton f est -2. f() = ( )² 3 = 0 3 = -3 : L mge de pr l foncton f est -3. f(2) = (2 )² 3 = ² 3 = 3 = -2 : L mge de 2 pr l foncton f est -2. On peut dresser un tleu des vleurs : x -2-0 2 f(x) 6-2 -3-2 Remrque : - chque nomre de l ensemle de défnton une mge et une seule. - certnes mges peuvent vor pluseurs ntécédents. - s un nomre n ps d mge, c est qu l n pprtent ps à l ensemle de défnton de l foncton. III. REPRESENTATION GRAPHIQUE D UNE FONCTION. Défnton On consdère le repère (O,, ). On ppelle représentton grphque de l foncton f l ensemle des ponts de coordonnées (x ; f(x)) où x pprtent à l ensemle de défnton D. On v représenter sur l ntervlle [-2 ; 2] l foncton défne pr f : x (x )² 3 On v utlser le un tleu des vleurs : Ascsses x -2-0 2 Ordonnées f(x) 6-2 -3-2 6-2 - O 2-3 Remrque : Pusque chque nomre de l ensemle de défnton une mge et une seule, lors toute drote «vertcle» un pont d ntersecton et un seul vec l coure de l foncton. On prle de l «coure d équton y = (x )² 3» -2
www.mthsenlgne.com FONCTION NUMERIQUE D UNE VARIABLE REELLE COURS (3/5) IV. RESOLUTIONS GRAPHIQUES. Equton/néquton du type f(x) = ou f(x) > (Exemple) On représenté l coure représenttve d une foncton f défne sur l ntervlle [-4 ; 4]. Résoluton d une équton Résoluton d une néquton y = - 2-2 O 3 O y = Résoudre l équton f(x) = revent à chercher les nomres qu ont pour mge. Grphquement, cel revent à chercher l scsse des ponts d ntersecton de l coure vec l drote d équton y =. S = {-2 ; 3} Résoudre l néquton f(x) > revent à chercher les nomres qu ont une mge supéreure à. Grphquement, cel revent à chercher l scsse des ponts de l coure stués «u dessus» de l drote d équton y =. S = [-4 ; -[ ]2 ; 4]. Equton/néquton du type f(x) = g(x) ou f(x) > g(x) (Exemple) On représenté les coure et C g représentnt eux fonctons f et g défnes sur l ntervlle [-4 ; 4]. Résoluton d une équton Résoluton d une néquton -3 - O 3 O C g C g Résoudre l équton f(x) = g(x) revent à chercher les nomres qu ont l même mge pr f et pr g. Grphquement, cel revent à chercher l scsse des ponts d ntersecton de l coure coupe l coure C g. S = {- ; 3} Résoudre l néquton f(x) > g(x) revent à chercher les nomres dont l mge pr f est supéreure à l mge pr g. Grphquement, cel revent à chercher l scsse des ponts pour lesquels de l coure est u dessus l coure C g. S = [-4 ; -3[ ] ; 4]
www.mthsenlgne.com FONCTION NUMERIQUE D UNE VARIABLE REELLE COURS (4/5) V. SENS DE VARIATION D UNE FONCTION. Pont de vue grphque Sof f une foncton défne sur un ntervlle I. f est crossnte sur I s elle «monte» qund x I f est décrossnte sur I s elle «descend» qund x I On récptule lors cette étude dns un tleu de vrton. x -4-2 4 2 4 O f(x) -2. Comprson Comprer deux nomres, c est chercher lequel est le plus grnd des deux (suf s ls sont égux). Règle : Comprer deux nomres équvut à étuder le sgne de leur dfférence < < 0 > > 0 = = 0 Comprer x² et 6x 9. On clcule l dfférence : x² (6x 9) = x² 6x + 9 = (x 3)² 0 (un crré est touours 0) Donc pour toute vleur de x, on x² 6x 9. c. Défnton mthémtque Sof f une foncton défne sur un ntervlle I. f est crossnte sur I qund, pour tous réels et de I, f() et f() sont dns le même ordre que et. f est décrossnte sur I qund, pour tous réels et, f() et f() sont dns l ordre nverse de et. Technque :. On chost < sur un ntervlle I. 2. On étude le sgne de f() f() 3. S f() f() est postf, lors f() < f() donc f crossnte sur I S f() f() est négtf, lors f()> f() donc f décrossnte sur I On consdère l foncton f : x (x )² 3 f() f() = [( )² 3] [( )² 3] = ( )² 3 ( )² + 3 = ( )² ( )² = ( + )( + ) = ( )( + 2) Sot et ]- ; ] vec <. Dns ce cs ( ) > 0 et ( + 2) < 0 Concluson : S <, lors f() > f() donc l foncton f est décrossnte sur ]- ; ] Sot et [ ; +[ vec <. Dns ce cs ( ) > 0 et ( + 2) > 0 Concluson : S <, lors f() > f() donc l foncton f est décrossnte sur [ ; +[
www.mthsenlgne.com FONCTION NUMERIQUE D UNE VARIABLE REELLE COURS (5/5) d. Mxmum et mnmum Sof f une foncton défne sur un ntervlle I. - s l exste un nomre tel que, pour tout x de I, f() f(x), on dt que f() est le mxmum de f sur I - s l exste un nomre tel que, pour tout x de I, f() f(x), on dt que f() est le mnmum de f sur I Pour l foncton f : x (x )² 3, -3 est un mnmum sur ]- ; +[