PRIMITIVES ET INTEGRALES 7 Chpitre 9: Primitives et intégrles Prérequis: Limites, dérivées Requis pour: Emen de mturité 9. «À quoi ç sert?» Un peu d histoire Isc Newton (64-77) Les clculs d ire de figures géométriques simples comme les rectngles, les polgones et les cercles sont décrits dns les plus nciens documents mthémtiques connus. L première réelle vncée u-delà de ce niveu élémentire été fite pr Archimède, le génil svnt grec. Grâce à l technique d Archimède, on pouvit clculer des ires ornées pr des proles et des spirles. Au déut du XVII e siècle, plusieurs mthémticiens ont cherché à clculer de telles ires de mnière plus simple à l ide de limites. Cependnt, ces méthodes mnquient de générlité. L découverte mjeure de l résolution générle du prolème d ire fut fite indépendmment pr Newton et Leiniz lorsqu ils s perçurent que l ire sous une coure pouvit être otenue en inversnt le processus de dérivée. Cette découverte, qui mrqu le vri déut de l nlse, fut répndue pr Newton en 669 et ensuite puliée en 7 dns un rticle intitulé De Anlsis per Aequtiones Numero Terminorum Infinits. Indépendmment, Leiniz découvrit le même résultt u environs de 67 et le formul dns un mnuscrit non pulié dté du novemre 675. Notre ojectif dns ce chpitre ser de pouvoir clculer l ire d un domine sous une coure = f () ornée entre deu droites verticles d éqution = et = 9. eemples simples pour déuter h = h ) Soit une fonction f () = h où h représente une constnte. Nous désirons clculer l ire A() sous l coure = h comprise entre l orne = et l deuième orne vrint =,, si = A( ) = si = A( ) = si = A( ) = En générlisnt pour tout, Si f () = h A() = h = m ) Soit une fonction f () = m où m représente l pente de l droite. Nous désirons clculer l ire A() sous l coure = m comprise entre l orne = et l deuième orne vrint =,, si = A( ) = si = A( ) = etc En générlisnt pour tout, Si f () = m A() = m M stnd/renf JtJ 5
8 CHAPITRE 9 = m + h ) Soit une fonction f () = m + h. Nous désirons clculer l ire A() sous l coure = m + h comprise entre l orne = et l deuième orne vrint =, si = A( ) = si = A( ) = etc En générlisnt : Si f () = m + h A() = m + h Définition Eercice 9. : Eercice 9. : Eercice 9. : Une onne figure d étude est vivement conseillée dns ce cs. Les premières règles A() se nomme une intégrle indéfinie de l fonction = f (). On l note : A() = f ()d Soit l fonction f () =. Déterminer l ire A() définie sous l coure dns les cs suivnts : ) = et = ) = et = ) = et = Soit l fonction f () = + 4. Déterminer l ire A() définie sous l coure dns les cs suivnts : ) = et = ) = et = 6 ) = et = 6 Soit l fonction f () = 4. Déterminer l ire A() définie sous l coure dns les cs suivnts : ) = et = ) = et = 6 ) = et = 6 Ainsi les eemples précédents nous fournissent nos trois premières règles de clcul : f () = d A() = f () = f () = + d A() = d A() = + M stnd/renf JtJ 5
PRIMITIVES ET INTEGRALES 9 Constttions On oserve ici le lien entre dérivée et intégrle. En effet en dérivnt l epression A(), on retrouve f (). On pourrit smoliser ceci sur le schém suivnt : f( ) d ( ) A ( ) 9. Les primitives Nous llons mintennt oulier un petit moment l notion d ire A() et se concentrer sur l question suivnte : Soit l fonction f () donnée, trouver les fonctions F() telles que leur dérivée donne f (). Définition Une fonction F telle que F () = f () est une primitive de f Eemple est une primitive de, cr = Mis pourquoi une??? En fit, toute fonction de l forme + constnte est une primitive de. Eemples ) d = + c cr ) 7 4 d = 7 5 5 + c cr c) d = d) d = e) d = M stnd/renf JtJ 5
CHAPITRE 9 Eercice 9.4 : Déterminer les primitives suivntes : ) 4 d = ) 6 d = c) d = d) e d = e) d = f) d = g) d = h) 5 d = i) () 5 d = j) d = Eercice 9.5 : Les deu fonctions F() = ( + 4) et G() = + 4 6 sont-elles deu primitives de l même fonction f ()? Eercice 9.6 : Déterminer f () schnt que : ) f () d = 5 + c ) f () d = + c c) f () d = + c Eercice 9.7 : On représenté ci-contre une fonction f définie sur l'intervlle [ ; 6]. ) Schnt que f est l dérivée d'une fonction F définie sur [ ; 6], déduire le tleu de croissnce de F. ) Retrouver, prmi les 4 esquisses proposées ci-dessous, celles pouvnt correspondre à F. M stnd/renf JtJ 5
PRIMITIVES ET INTEGRALES Les règles de primitives découlent des règles de dérivtion ( f () ± g() ) = f () ± g () L recherche d une primitive n est ps toujours fcile, ni toujours possile. On trouve dns le formulire un ctlogue des primitives des fonctions élémentires. En voici quelques-unes ( ) d = f () d ± f () ± g() g() d 4 5 d = 4 5 d d = ( k f ()) = k f () k f () d = k f () d (( f ()) n ) = n( f ()) n 7 5 d = 7 5 d = f () ( f ()) n f () d = n + f () ( ) 6 + 5 + 5 ( ) d = ( ) n + + c ( e f ( ) ) = e f ( ) f () e f () f () d = e f () + c e d = ( ln( f ())) = f () f () f () f ( ) d = ln( f ())+ c 8 4 d = ( sin( f ())) = cos( f ()) f () cos( f ()) f ()d = sin( f ())+ c cos( ) d = ( cos( f ())) = sin( f ()) f () sin( f ()) f ()d = cos( f ())+ c sin( ) d = M stnd/renf JtJ 5
CHAPITRE 9 Eercice 9.8 : Déterminer les primitives suivntes : ) + 5 d = ) ( 4) d = c) ( + )( ) d = d) ( + ) d = e) ( ) d = f) ( + ) (6 +) d = g) ( 4 + ) d = h) + d = i) d = j) + d = k) + d = l) e d = m) e + + e + d = 4 + n) + + d = o) e + + e + d = p) Eercice 9.9 : Déterminer l fonction f schnt que : ) f () = 4 et f (5) = 54 ) f () = 5 et f (-) = -f () 4 + + + d = Eercice 9. : On considère l fonction f définie sur IR {- ; } pr: 7 f () = ) Préciser pourquoi l primitive de f n'est ps directement clculle. ) Déterminer et vérifint que: f () = + c) En déduire une primitive de f. + + d) Montrer que F() = 9 4 ln + ln + c est 4 églement une primitive de f. Définition Soit f () une fonction. On ppelle intégrle indéfinie de f l ensemle de toutes les primitives de f. Eercice 9. : On considère l fonction f définie sur ] ; + [ pr: + ln() f () = Soit F l fonction définie sur ] ; + [ pr: F() = ln() + ( ln() ) + c Montrer que F est l'intégrle indéfinie de f. M stnd/renf JtJ 5
PRIMITIVES ET INTEGRALES 9.4 L intégrle définie = f() Au déut du chpitre, nous vons clculé des ires limitées pr des segments de droites. Le prolème n est ps ussi simple lorsque l on considère un domine limité pr des coures. L idée est de sudiviser l intervlle [ ; ] en plusieurs sous-intervlles de même lrgeur [ ; ], [ ; ],, [ n- ; n ] vec = et n =. L lrgeur de chque sous-intervlle est égle à l lrgeur de l intervlle [ ; ] divisé pr le nomre de sous-intervlles, c est-à-dire : Δ = n. Pour chque i =,,, n, on dessine un rectngle nt comme se le segment [ i ; i+ ] et comme huteur f ( i ) = f() Rppel : i = + + + i= Ainsi l ire du i ème rectngle (huteur lrgeur) vut Aire=f ( i ) Δ L ire totle des n rectngles est donc A(n) = n i= f ( i ) Δ Lorsque le nomre n de sous-intervlles ugmente, l lrgeur de chque sous-intervlle diminue et l pproimtion de l ire sous l coure devient plus précise. M stnd/renf JtJ 5
4 CHAPITRE 9 = f() À l limite, nous pouvons espérer otenir l vleur ecte de l ire A A = lim n n + i= f ( i ) Δ Définition On ppelle intégrle définie de l fonction f () de à le n clcul de l limite lim f ( i ) Δ que l on noter n + i= f () d Les nomres et sont ppelés ornes d intégrtion et vrile d intégrtion. d est un smole eprimnt que l on intègre pr rpport à et il correspond u smole Δ de l somme précédente. M stnd/renf JtJ 5
PRIMITIVES ET INTEGRALES 5 Eercice 9. : Reproduire l démrche précédente fin d pproimer l ire sous l prole à l ide de rectngles (pr défut et pr ecès). Le ut de cet eercice est d pproimer l vleur de l ire grise sous l coure = pour des [ ; 8] Approimons cette ire pour = Approimons cette ire pour = / 7 = 7 = 6 6 5 5 4 4 4 6 8 4 6 8 Aire cherchée Aire cherchée www.jvmth.c.l M stnd/renf JtJ 5
6 CHAPITRE 9 Théorème fondmentl du clcul intégrl Constttion L usge de l définition de l intégrle définie f () d = lim n n + i= f ( i ) Δ se révèle être très peu prtique, cr demndnt des clculs très longs. Cependnt, pour certines fonctions (ps toutes), il eiste une lterntive plus simple, l utilistion de l primitive donnée pr le théorème suivnt : Soit une fonction f continue définie sur l intervlle [ ; ]. Alors f () d = F() où F() est l primitive de f () = F() F() Eemples ) 4 d = + c 4 = (8 + c) ( + c) = 8 On voit sur cet eemple que l constnte c n ps d influence. On se permettr lors de ne plus l indiquer ) 7 d = ln ( ) 7 = ln(7) ln() = ln 7 c) e u du = = Eercice 9. : Clculer les intégrles définies suivntes : 4 ) d ) d c) 5 d d) 5 d e) + d f) u + du g) v v dv h) π 5 + 4 d i) sin() d j) cos() d π π M stnd/renf JtJ 5
PRIMITIVES ET INTEGRALES 7 Eercice 9.4 : Clculer les intégrles définies suivntes : ) ( ) d ) + d c) d d) cos( )d π e) d f) e d g) 5 d h) ( +) d 9.5 Le clcul de l ire géométrique sous une coure ou entre deu coures Lorsque l on clcule une intégrle définie f () d, on otient donc une ire. Trois cs de figure vont pprître : er cs : Si f () sur [ ; ], représente l ire sous l coure. f () d est un nomre positif qui ème cs : Si f () sur [ ; ], f () d est un nomre négtif, donc A() = f () d (chngement de signe oligtoire) ème cs : Si f () chnge de signe sur [ ; e] lors l ire totle est égle à l somme des ires de chque "morceu" vec une éventuelle correction des signes. Ainsi c d e A() = f ()d + f ()d + f ()d + f ()d c d M stnd/renf JtJ 5
8 CHAPITRE 9 Eemple Clculer l ire géométrique comprise entre l coure =, l e O et les droites = et = 4 Eercice 9.5 : Eercice 9.6 : Il est vivement conseillé d esquisser f () dns chque cs. Clculer l ire géométrique comprise entre l coure = - + + 6, l e O et les droites = -5 et = 5 Clculer l ire géométrique du domine compris entre l e O et le grphique de l fonction. ) f () = - + + 5 ) f () = 4 c) f () = 6 + Eercice 9.7 : f est l fonction définie sur IR pr f () = ( + + c)e où, et c sont des nomres réels. ) En choisissnt certines informtions données pr l coure = f () représentée ci-contre, déterminer les vleurs de, et c. ) Montrer que F() = 4( + + )e est une primitive de f (). c) Clculer l'ire de l région du pln délimitée pr l coure représenttive de f, l'e des scisses et les droites = et =. M stnd/renf JtJ 5
PRIMITIVES ET INTEGRALES 9 Eercice 9.8 : Les ffirmtions suivntes sont-elles vries ou fusses? Justifier votre réponse. c ) f () d = f () d + f () d si [ ; c] et f () ) f () d si f () sur [ ; ] c) f () d g() d si f () g() sur [ ; ] c Eercice 9.9 : Il s'git ici de niveler un terrin. On voudrit niveler (à plt) le terrin représenté ci-dessous. h 6 d [m] 4 6 h [m] 5 5 8 4 4 5 6 d ) À l'ide des pts otenus pr un géomètre, déterminer l fonction du ème degré qui modélise u mieu ce terrin. ) À quelle huteur fut-il situer le terrin nivelé pour que les remlis équilirent ectement les délis? Remrque: L'eercice précédent peut se générliser en un théorème clssique d'intégrtion: Le Théorème de l moenne: Pour toute fonction f continue sur un intervlle [ ; ], il eiste un réel c compris entre et vérifint : f (c) = f () d Grphiquement, une interpréttion de ce théorème est que l'ire lgérique sous l coure représenttive de f est égle à celle d'un rectngle de se [ ; ], et de huteur un point "moen" de l coure. Dns l'eercice précédent, il eiste même vleurs de c vérifint ce théorème qui sont: c = et c = M stnd/renf JtJ 5
CHAPITRE 9 Eemple Clculer l ire géométrique comprise entre les coures: = et = Constttions : Dns ce dernier eemple, nous vons clculé l ire entre deu coures à l ide du clcul : A = «ire de l plus hute» «ire de l plus sse» Générlisons ceci dns le théorème suivnt : Théorème Soit f et g deu fonctions continues sur [ ; ], telle que = f() f () g() sur [ ; ]. Alors l ire du domine orné pr les grphes de f et de g entre les droites = et = vut : A = g() A() = f () d g() d = f () g() d Question?? Cette formule est ssez convincnte lorsque les fonctions f et g sont toutes deu situées dns les premiers qudrnts. Qu en est-il dns le cs où g et éventuellement f prennent des vleurs négtives? Doit-on modifier des signes? M stnd/renf JtJ 5
PRIMITIVES ET INTEGRALES Réponse Non, il n est ps nécessire de corriger l formule. On peut imginer trnslter les grphes de f et g d une même constnte k de telle sorte que f () + k pour tout [ ; ] insi : A = g() = f() A = g()+k = f()+k Eercice 9. : Eercice 9. : Eercice 9. : Clculer l ire géométrique du domine délimité pr les deu coures ) = 4 + 5 et = 5 + ) = 4 et = c) + + 4 = et 4 = Clculer l ire géométrique du domine compris entre les droites =, =, l smptote olique et le grphique de l fonction f () = Déterminer l ire de l région grisée = + - = +5 I Eercice 9. : Eercice 9.4 : Clculer l ire géométrique du domine compris entre les droites =, =, = et l coure d éqution = 4 + Clculer l ire géométrique du domine compris entre l coure = + + et l prole d e prllèle à O, donnée pr trois de ses points A(- ; -), B(-,5 ; ), C( ; ) M stnd/renf JtJ 5
CHAPITRE 9 Eercice 9.5 : ère prtie: Clcul d'une primitive On note g l fonction définie sur [ ; ] pr g() = ) Déterminer et tels que, g() = + +. ) En déduire une primitive de g. + ème prtie: Détermintion du centre de grvité d'une plque homogène On note f l fonction définie sur l'intervlle [ ; ] pr f () = +. On considère une plque homogène formée pr l'ensemle de points M( ; ) du pln dont les coordonnées vérifient les reltions: et f () (cf. figure ci-contre). c) Soit A l'ire de l plque eprimée en unité d'ire. Clculer A. d) Soit G( G ; G ) le centre de grvité de l plque. On dmettr que ses coordonnées sont données pr les formules suivntes: G = A f () d et G = ( f ()) A d Clculer les coordonnées du centre grvité de l plque puis représenter G sur l figure ci-dessus. Eercice 9.6 : Déterminer l ire de l région grisée A Eercice 9.7 : Déterminer l ire de l surfce grisée f() =sin() g() = cos() M stnd/renf JtJ 5
PRIMITIVES ET INTEGRALES 9.5 Clcul d intégrles vec un prmètre Eemple : Clculer les réels k > pour lesquels on k d = Eercice 9.8 : Eercice 9.9 : Eercice 9. : Clculer les réels k > pour lesquels on k k ) + 9 d = 8 ) + 7 d = 9 c) 4 8 k 4 k d = 4ln() d) + + d = + d Pour quelle vleur du prmètre positif l coure d éqution = + délimite-t-elle vec l e O, dns le premier qudrnt, un domine d ire égle à 6? Clculer le réel m > tel que l ire du domine limité pr les grphes des fonctions f () = 4 et g() = m soit égle à 9. k Eercice 9. : Soit l fonction f () = définie sur E D = [ ; 8]. Cette fonction ornée délimite vec l e O un domine. Déterminer l vleur de c pour lquelle l droite d éqution = c coupe ce domine en deu prties de même ire. Eercice 9. : Déterminer IR * + pour que l ire du domine limité pr l coure d éqution = et l e O soit égle à 8. 4 M stnd/renf JtJ 5
4 CHAPITRE 9 M stnd/renf JtJ 5