Chapitre 5 : Matrices et suites I Suites de matrices coloes Exemples La suite ( U ) défiie pour tout etier aturel par U = est ue suite de 3 + v matrices coloes dot les coefficiets sot les suites umériues ( ) défiies pour tout etier aturel par u = et v = 3 + Soit deux suites umériues couplées ( u ) et ( ) u et ( ) v défiies pour tout etier aturel u par : u 0 =, v 0 = 4 et + = u 3v + v + = u + 5v 4 u O pose pour tout etier aturel : U = v 3 O pose ecore : A = et 5 B = 4 O a alors U0 = et pour tout etier aturel, la relatio matricielle de récurrece : 4 U + = AU + B E effet : 3 u u 3v + u + AU + B = + U 5 v = = = + 4 u + 5v 4 v+ Soit ue suite umériue ( u ) défiie par ue relatio de récurrece d'ordre : u 0 =, u = et u + = u + + 3u u O pose pour tout etier aturel : U = u + 0 O pose ecore : A = 3 O a alors U 0 = et pour tout etier aturel, la relatio matricielle de récurrece : U + = AU E effet, AU 0 u u u + + = = = = 3 u+ 3u + u+ u+ U + TS
Terme gééral d'ue suite de matrices Propriété Soit ue suite de matrices coloes ( U ) de taille p telle ue pour tout etier aturel, o a U + = AU où A est ue matrice carrée de taille p Alors, pour tout etier aturel, o a : U = A U 0 Démostratio O démotre cette propriété par récurrece Iitialisatio : U 0 = A 0 U 0 car A 0 = I p Hérédité : Supposos u'il existe u etier tel ue la propriété soit vraie : U = A U 0 Démotros ue la propriété est vraie au rag + U + = AU = A( A U 0 ) = ( AA )U 0 = A + U 0 Coclusio : La propriété est vraie pour = 0 et héréditaire à partir de ce rag D'après le pricipe de récurrece, elle est vraie pour tout etier aturel, soit : U = A U 0 Méthode : Calculer des termes d'ue suite à l'aide de matrices Soit deux suites umériues couplées ( u ) et ( ) u u 0 =, v 0 = et + = 3u v v + = u + v Calculer u 6 et v 6 v défiies pour tout etier aturel par : Répose u O pose pour tout etier aturel : U = v 3 O pose ecore : A = O a alors U 0 = et pour tout etier aturel, la relatio matricielle de récurrece : U + = AU O alors U = A U 0 et doc e particulier U 6 = A 6 U 0 Soit e s'aidat de la calculatrice : U 6 6 3 73 365 4096 = = = 730 366 4096 TS
O e déduit ue u 6 = 4096 et v 6 = 4096 II Covergece de suites de matrices coloes Défiitios O dit u'ue suite de matrices coloes U ( ) de taille p est covergete si les p suites dot ( ) sot covergetes les termes sot les p coefficiets de U La limite de cette suite est la matrice coloe dot les coefficiets sot les p limites obteues Das tous les autres cas, o dit ue la suite est divergete Exemples a La suite ( U ) défiie pour tout etier aturel par lim = + et lim 3 + = + + + b La suite ( U ) défiie pour tout etier aturel o ul par 0 et sa limite est la matrice coloe U = Propriété U = est divergete car 3 + U = est covergete + + ( U ) est ue suite de matrices coloes de taille p défiie par la relatio matricielle de récurrece U + = AU + B où A est ue matrice carrée de taille p et B est ue matrice coloe à p liges Si la suite ( U ) est covergete alors sa limite U est ue matrice coloe vérifiat l'égalité U = AU + B Démostratio lim U + + = U et lim AU + + B = AU + B Par uicité des limites, o a U = AU + B Méthode : Recherche d'ue suite costate vérifiat ue relatio de récurrece Soit ue suite ( U ) de matrices coloes défiies pour tout etier aturel par U + = AU + B avec A 0,5 = et 3 B = TS 3
Rechercher, si elle existe, la suite ( U ) costate Répose Résolvos l'éuatio matricielle U = AU + B I A U = B Soit U AU = B soit ecore ( ) Et doc ( ) I U = I A B A l'aide la calculatrice, o obtiet : ( I A) 0 0,5 0,5 A= = 0 3 3 3 0,5 3 9 = = 3 3 3 9 3 3 9 9 U = I A B= = 0 3 9 9 3 9 U = 0 9 Et doc : ( ) La suite ( U ) costate cherchée est doc III Graphes et marches aléatoires Graphe Das ue éuipe de football, o étudie les passes ue se fot trois attauats A, B et C Les probabilités u'u attauat passe le ballo à u autre sot représetées sur le schéma suivat Par exemple, la probabilité ue l'attauat A passe le ballo à l'attauat B est égale à 3 U tel schéma est appelé u graphe A, B et C sot appelés les sommets du graphe TS 4
Marche aléatoire O cosidère la variable aléatoire X preat les valeurs A, B ou C à l'étape A, B ou C s'appelle les états de X Par exemple, X 3 = B sigifie ue l'attauat B possède le ballo après la 3 e passe La suite de variables aléatoires ( ) { ABC,, } X est appelée marche aléatoire sur l'esemble des issues Das ue marche aléatoire, l'état du processus à l'étape + e déped ue de celui à l'état, mais o de ses états atérieurs Aisi, la probabilité ue l'attauat C possède le ballo e déped ue de la positio précédete du ballo (e A ou e B) mais o de ses positios atérieures 3 Probabilité de trasitio O cosidère la loi de probabilité de X, appelée probabilité de trasitio, ui doe la probabilité u'u attauat possède le ballo à l'étape (-ième passe) P X = C la probabilité ue le ballo se trouve chez l'attauat C O ote par exemple ( ) X = A + après la +-ième passe sachat ue c'est l'attauat A ui evoie le ballo Il s'agit d'ue probabilité coditioelle 4 Matrice de trasitio Défiitio La matrice de trasitio d'ue marche aléatoire est la matrice carrée dot le coefficiet situé sur la lige i et la coloe j est la probabilité de trasitio du sommet j vers le sommet i Das l'exemple, la matrice de trasitio est : O trouve par exemple à l'itersectio de la première lige et de la deuxième coloe la probabilité ue le ballo arrive chez l'attauat A sachat u'il se trouvait chez l'attauat B TS 5
Remarues Le coefficiet a de la matrice M est ul car la probabilité ue l'attauat A garde le ballo est ulle Il e est de même pour les coefficiets a et a 33 La somme des coefficiets d'ue même coloe d'ue matrice de trasitio est égale à Défiitio La matrice coloe des états de la marche aléatoire après étapes est la matrice coloe dot les coefficiets sot les probabilités d'arrivée e chaue sommet après étapes Exemple Das l'exemple des passeurs au football, la matrice coloe des états après la 3 e étape doerait les probabilités ue le ballo se trouve chez l'attauat A, chez l'attauat B et chez l'attauat C après 3 passes L'arbre de probabilité ci-cotre permet de résumer les probabilités de trasitio de l'étape à l'étape + A l'aide de la formule des probabilités totales, o a : p O ote P = r alors : P + = MP p + = 0,5 + 3 4 r + = 3 p + 4 r r + = 3 p + 0,5 la matrice coloe des états de la marche aléatoire après étapes O a Propriété O cosidère ue marche aléatoire de matrice de trasitio M et dot la matrice coloe des états à l'étape est P Pour tout etier aturel, o a : P + = MP et P = M P 0 Exemple Das l'exemple précédet, o suppose l'attauat A possède le ballo à l'étape 0 La matrice coloe des états après la 3 e étape est égale à : P 3 = M 3 P 0 TS 6
O a P0 = 0 car le ballo part de A 0 3 7 7 7 0 0,5 4 4 48 3 3 7 7 7 Avec la calculatrice, o obtiet : M = 0 = 3 4 36 4 96 7 7 7 0,5 0 3 7 48 4 7 7 7 7 4 48 3 4 3 7 7 7 7 Doc P3 = M P0 = 0 36 4 96 = 36 0 7 7 7 7 7 48 4 7 3 Aisi par exemple, la probabilité ue l'attauat C possède le ballo après la 3 e égale à 7 7 0,4 passe est IV Etude asymptotiue d'ue marche aléatoire Marche aléatoire covergete Défiitio : O dit u'ue marche aléatoire de matrice de trasitio M est covergete si la suite des matrices coloes ( P ) des états de la marche aléatoire coverge ( ) des états d ue marche aléatoire covergete vérifiet P + = MP Défiitio : Si la suite P alors la limite P de cette suite défiit u état stable solutio de l'éuatio P = MP Méthode : Etudier le comportemet asymptotiue d'ue marche aléatoire à l'aide de la calculatrice ou d'u logiciel O cosidère la marche aléatoire sur le graphe ci-dessous où l'o part de A : TS 7
A l'aide de la calculatrice, détermier l'état stable de cette marche aléatoire O admet ue la marche aléatoire est covergete Répose La matrice de trasitio est Pour tout etier aturel, o a : P + = MP où ( ) états de la marche aléatoire O a doc : P = M P 0 avec P0 = 0 car o part de A 0 A l'aide de la calculatrice, calculos par exemple P 0 : 0 0,5 0 M = 0 0 0,5 0,5 0,5 P est la suite des matrices coloes des O peut effectuer les calculs pour des puissaces de M de plus e plus grade O costate 7 ue l'état stable semble être la matrice coloe P = 7 4 7 L'état stable P vérifie l'éuatio P = MP, e effet : TS 8
Remarue Cette méthode e prouve pas ue la marche aléatoire soit covergete E supposat u'elle l'est, elle permet seulemet de détermier l'état stable Cas d'u graphe à deux sommets Propriété O cosidère ue marche aléatoire de matrice de trasitio M sur u graphe à deux sommets où 0 < p < et 0 < < : p Alors o a M = et la suite des matrices coloes P p aléatoire coverge vers u état stable P tel ue P = MP P e déped pas de l'état iitial P 0 Démostratio Pour tout etier aturel, o ote Comme P + = MP, o a : P p avec p + = = ( ) ( ) ( ) ( ) p = p p + = p p + + p = p p + Pour tout etier aturel, o pose u = p et o a : p + ( ) des états de la marche TS 9
u = p p + + + ( ) = p p + p + ( ) p = ( p ) p p+ = ( p ) p p+ = ( p ) u ( u ) est doc ue suite géométriue de raiso p Comme 0 < p + <, o a p < et doc ( u ) coverge vers 0 D'où ( p ) coverge vers p + Comme = p, ( ) coverge vers Les limites de ( u ) et ( ) p p + e dépedet doc pas de l'état iitial Méthode : Etudier le comportemet asymptotiue d'ue marche aléatoire sur u graphe à deux sommets O cosidère la marche aléatoire sur le graphe ci-dessous : Etudier la covergece de la marche aléatoire Répose La matrice de trasitio est 0, 4 0,3 M = 0,6 0,7 Pour tout etier aturel, o a : P + = MP où ( ) états de la marche aléatoire p L'état stable P = vérifie l'éuatio P = MP, soit p = 0,4 p + 0,3 Aisi, o a le système = 0,6 p + 0,7 P est la suite des matrices coloes des p 0, 4 0,3 p = 0,6 0,7 TS 0
0,6 p = 0,3 0,3 = 0,6 p = p Comme p + =, o a p = p et doc p = 3 et = 3 L'état stable du graphe est doc 3 P = 3 Cela sigifie ue uelue soit l'état iitial (départ de A ou de B), les probabilités d'être e A et e B tedet respectivemet vers 3 et 3 TS