CONCOURS BLANC SCI Durée : 4 heures Aucu istrumet de calcul est autorisé Aucu documet est autorisé Les étudiats sot ivités à soiger la présetatio de leur copie EXERCICE : CCP 05 CCP : cocours commus polytechiques («baque» de 33 écoles d igéieurs) A. Questios prélimiaires ) Soiet q u réel et u etier aturel. Rappeler, sas preuve, ue epressio simplifiée de la somme q pour q.que vaut cette somme si q? 0 ) Soit u réel. Doer, sas justificatio, ue coditio écessaire et suffisate sur le réel pour que la série de Riema soit covergete 3) Doer, sas justificatio, l esemble de défiitio de la foctio Arc ta, so esemble de dérivabilité, sa dérivée et so tableau de variatio qui fera apparaître les limites B. Etude de la série ) La série 0 0 est-elle absolumet covergete? O justifiera la répose ) Pour tout etier aturel, calculer le réel I défii par I t dt. Calculer aussi l itégrale dt 0 t 0 Soit u etier aturel. O pose S 0 3) Ecrire u script Scilab qui calcule et affiche S, pour ue valeur de etrée par l utilisateur
4) Justifier que S 0 t S dt dt 0 0 t t 5) Démotrer que pout etier aturel, 0 I puis e utilisat la questio A.), e déduire que t dt 0 t 3 6) A l aide des questios précédetes, motrer la covergece et calculer la somme de la série 0 C. U procédé élémetaire d approimatio de ) Démotrer à l aide de la partie B, que pour tout etier aturel, 4 S 4 3 4 6 ) Détermier par u calcul le plus petit etier aturel N tel que 0 N 3 6 3) Epliquer commet obteir ue valeur approchée de à0 près à l aide des questios précédetes EXERCICE : CCP 05 est u ombre complee avec Si z a ib ombre réel positif z a b ab,, le module du ombre complee z est le Lorsque le ombre complee z est u réel alors z désige sa valeur absolue qui coïcide avec so module O ote M3 l esemble des matrices d ordre 3 à coefficiets complees et la matrice idetité I 0 0 0 0 0 0 m m m m m m,,,3 O dit que la matrice M m m m M,,,3 3 3, 3, 3,3 est à diagoale strictemet m m m domiate si les trois iégalités suivates sot vérifiées : m m m m m m,,,3,,,3 3,3 3, 3,
3 Par eemple, la matrice 0 est à diagoale strictemet domiate car 4 3 0 4 O se propose de démotrer le résultat suivat dit théorème d Hadamard : «Si ue matrice M M est à diagoale strictemet domiate, alors M est iversible» 3 Jacques Salomo Hadamard (865-963 : mathématicie fraçais) A. O cosidère das cette questio les trois matrices : 3 0 i 0 A 0 3, B 4 et C i 0 0 0 3i 3 4i ) Détermier si les matrices ABet, C sot à diagoale strictemet domiate ) Motrer que les matrices ABet, C sot iversibles 3) La réciproque du théorème d Hadamard est-elle vraie? m m m m m m,,,3 B. Soit M m m m M,,,3 3 3, 3, 3,3 o iversible 3 ) Justifier qu il eiste u vecteur coloe X M 0 MX 0 0 3, m, m, m,3 3 ) E déduire qu o a les relatios : m, m, m,33 m3,33 m3, m3, 3) Soit,,3 o ul tel que tel que ma,, 3, c est-à-dire que ma,, 4) O suppose par eemple que. Justifier que le ombre est o ul.motrer 3 3 alors que m, m, m,3 puis que m m m,,,3 5) Ecrire sas justificatio ue iégalité aalogue das le cas où ou 3 6) Coclure
EXERCICE 3 : ispiré de ORAL ESCP 04 O cosidère ue suite idéfiie de lacers d ue pièce équilibrée. Pour tout etier aturel o ul, o désige par R l évèemet : «Pile apparaît au ème lacer» et par S l évèemet : «Face apparaît au lacer» Soit Y la variable aléatoire désigat le rag du lacer où, pour la première fois, apparaît u Face précédé d au mois deu Pile si cette cofiguratio apparaît, et preat la valeur 0 si cette cofiguratio apparaît jamais Par eemple, si les résultats des premiers lacers sot : face, face, pile, face, pile, face, pile, pile, face. la variable aléatoire Y pred la valeur 9 O suppose que l epériece est modélisée par u espace probabilisé, AP, O pose c c 0 et pour tout 3, c PY O ote égalemet B R R S et U 3, O pose efi u u 0 et pour tout 3 ) Motrer que la suite ) a) Pour tout 3 u, calculer PB, u PU i3 B est mootoe et covergete b) Motrer que, pour tout 3, les évèemets B, B et B sot deu à deu icompatibles c) Calculer les valeurs de u3, u4et u 5 3) Das cette questio, o suppose que 5 a) Comparer les évéemets U B etu B. Préciser leurs probabilités respectives e foctio de u b) Eprimer l évéemetu e foctio des évèemetsu et B ; e déduire que pour tout 3, u u u 8 c) Ecrire u script Scilab qui calcule et affiche u, pour ue valeur de 3 etrée par l utilisateur d) Détermier la limite de la suiteu et e déduire la probabilité de l évèemet Y 0 4) Pour tout, o pose v u a) Trouver, tel que pour tout, v v v3 b) Motrer que la série de terme gééral v est covergete et calculer 5) Soit 4 e foctio des évèemetsu etu ; e déduire que pour tout, c v v.eprimer l évèemet Y i v ème
EXERCICE 4 : ORAL ESCP 006 Das tout cet eercice, les variables aléatoires sot supposées à valeurs das cotiue sur et à desité ) Soit X ue variable aléatoire telle que pour tout P X P X h tout 0, l eistece de lim h0 h P X, 0. Justifier pour O appelle tau de pae de X la foctio aisi défiie sur ) Calculer le tau de pae d ue variable aléatoire Y suivat ue loi epoetielle de paramètre 0 3) Soit X ue variable aléatoire à valeurs das, de desité f 0 cotiue sur foctio de répartitio F et de tau de pae a) Etudier, pour 0 a a, la covergece des itégrales t dt, 0 a, t dt que l o peut défiir, pour 0 b) La foctio est-elle bijective de 0 sur? c) Détermier la foctio de répartitio de la variable aléatoire Z X la loi de Z? d) Détermier la foctio de répartitio de la variable aléatoire T F X la loi de T?, de t dt et justifier.quelle est.quelle est