LIMITES DE FONCTIONS

LIMITES DE FONCTIONS I- Limites à l infini. Limites infinies Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle ]A; + [. On dit que f a pour ite + quand x tend vers + lorsque pour tout réel M, fx) est dans l intervalle ]M; + [ pour x assez grand. On note fx) = +. On dit que f a pour ite quand x tend vers + lorsque pour tout réel M, fx) est dans l intervalle ] ; M[ pour x assez grand. On note fx) =. Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle ] ; A[. On dit que f a pour ite + quand x tend vers lorsque pour tout réel M, fx) est dans l intervalle ]M; + [ pour x négatif assez grand en valeur absolue. On note fx) = +. On dit que f a pour ite quand x tend vers lorsque pour tout réel M, fx) est dans l intervalle ] ; M[ pour x négatif assez grand en valeur absolue. On note fx) =. Théorème ) Pour tout entier naturel n non nul : xn = + { + si n est pair xn = si n est impair

4 y = x y = M y = x 4 5 y = M A 4 A y = M A A 4

) x = +. y = x y = M M 4 5 6 7 8 Démonstration ) Soit M un réel positif. On a, pour tout x, on a x n x donc, dès que x > M, on a x n > M, car la fonction x x n est strictement croissante sur [0; + [. ) Soit M un réel positif. Dès que x > M, on a x > M car la fonction x x est strictement croissante sur [0; + [.. Limites finies - Asymptotes horizontales Définition Soit l un nombre réel et f une fonction définie sur un intervalle ]A; + [. On dit que f a pour ite l lorsque x tend vers + lorsque, pour tout réel r, r > 0, fx) est dans l intervalle ]l r; l + r[ pour x assez grand. Ceci s exprime également de la manière suivante : Pour tout réel r, r > 0, il existe un réel M tel que, pour tout x > M, l r < fx) < l+r. On note fx) = l. C f l + r l l r Définition Soit l un nombre réel et f une fonction définie sur un intervalle ] ; A[. On dit que f a pour ite l quand x tend vers lorsque, pour tout réel r, r > 0, fx) est dans

l intervalle ]l r; l + r[ pour x négatif assez grand en valeur absolue. On note fx) = l. Ceci s exprime également de la manière suivante : Pour tout réel r, r > 0, il existe un réel M tel que, pour tout x < M, l r < fx) < l+r. On note fx) = l. l + r l l r C f Définition Soit l un nombre réel. Lorsque fx) = l ou asymptote horizontale à la courbe représentative de f. fx) = l, on dit que la droite d équation y = l est Théorème x = 0 et x = 0. L hyperbole d équation y = x + et en. admet une asymptote horizontale d équation y = 0 en 4

4 y = x 5 4 A r r A 4 5 4 Démonstration Soit r un réel strictement positif. La fonction x x est strictement décroissante sur ]0; + [ donc, dès que x > r, on a x < r et x > 0, donc r < < r, ce qui signifie que x x = 0. La fonction x x est strictement décroissante sur ] ; 0[ donc, dès que x < r, on a x > r et x < 0, donc r < < r, ce qui signifie que x x = 0. II- Limites infinies en un réel - Asymptotes verticales Définition Soit a un nombre réel et f une fonction définie sur un intervalle de la forme ]a r; a[ ou ]a; +r[, mais non définie en a. Dans chacun des quatre cas suivants, on dit que la droite d équation x = a est asymptote verticale à la courbe représentative de f. ) 5

C f x = a fx) premd des valeurs aussi grandes que l on veut pourvu que x soit assez proche de a par valeurs inférieures. On dit que f a pour ite + lorsque x tend vers a par valeurs inférieures ou à gauche. On note : fx) = +. x<a ) fx) premd des valeurs négatives aussi grandes que l on veut en valeur absolue pourvu que x soit assez proche de a par valeurs inférieures. On dit que f a pour ite lorsque x tend vers a par valeurs inférieures ou à gauche. On note : fx) = x<a C f x = a ) 6

x = a C f fx) premd des valeurs aussi grandes que l on veut pourvu que x soit assez proche de a par valeurs supérieures. On dit que f a pour ite + lorsque x tend vers a par valeurs supérieures ou à droite. On note : fx) = + x>a 4) fx) premd des valeurs négatives aussi grandes que l on veut en valeur absolue pourvu que x soit assez proche de a par valeurs supérieures. On dit que f a pour ite lorsque x tend vers a par valeurs supérieures ou à droite. On note : fx) = x>a x = a C f Théorème x x 0 x<0 = et x 0 x>0 x = + 7

y = M 4 y = /x r r y = M 4 Démonstration Soit M un nombre réel positif et r = M. La fonction x x est strictement décroissante sur ]0; + [ donc, dès que 0 < x < r, on a x > r, soit x > M. La fonction x x est strictement décroissante sur ] ; 0[ donc, dès que r < x < 0, on a x < r, soit x < M. III- Calcul de ites Dans tout le paragraphe, a représente soit un nombre réel, soit, soit +, u et v sont deux fonctions définies sur un intervalle convenable, l et l sont deux nombres réels.. Somme Théorème si ux) = Exemples et ux) = l l l + l l + + l + + + + FI alors ux) + vx)) = 8

) x + 5) = 8 x + ) Etudier la ite en + de la fonction x x + x. Cette fonction est la somme de deux fonctions usuelles : x x et x x. On a : x = + et On en conclut, par somme : x = 0. x + x ) = +. ) Etudier la ite en de la fonction x x x. Cette fonction est la somme de deux fonctions usuelles : x x et x x. On a : x = et x ) =. On en conclut, par somme : x x ) =. 4) Etudier la ite en + de la fonction x x x. On est dans le cas d une forme indéterminée du type + + ). Le tracé de la courbe sur une calculatrice nous permet de conjecturer cette ite. On obtient le tracé suivant pour x 4 et y 40. On conjecture que : x x ) = +. Les théorèmes qui suivent permettront de «lever l indétermination», c est à dire de démontrer cette conjecture. 5) Etudier la ite en + de la fonction x x x. Cette fonction est la somme de deux fonctions usuelles : x x et x x). On a x = + et x) =. On est dans le cas d une forme indéterminée du type «+ + )». Le tracé de la courbe sur une calculatrice nous permet de conjecturer cette ite. On obtient le tracé suivant pour 0 x 0 et 0 y 4. On conjecture que : x x) =. 6) La fonction f : x x a pour ite en +. x La fonction g : x x a pour ite en +. 9

L étude de la ite de fx) + gx) en + conduit à une forme indéterminée du type «+ + )». Pour tout x positif, fx) + gx) = x + x + x) = x On en conclut que fx) + gx)) = 0.. Produit Théorème si ux) = et vx) = l l l l l 0 ± ± ± ± ± 0 ± FI ux) vx)) = Dans le cas d une ite infinie, la règle des signes d un produit, permet de déterminer si la ite est + ou. Exemples ) 4x 5) = 4 5 = 7. x ) Etudier la ite en + de la fonction x x x. Cette fonction est le produit de deux fonctions usuelles : x x et x x. On a : x = + et On en conclut, par produit : x = +. x x = +. ) Etudier la ite en de la fonction x x + ) x). Cette fonction est le produit de deux fonctions usuelles : x x + et x x. On a : x + ) = et x = +. On en conclut, par produit : x + ) x) =. 4) Etudier la ite en de la fonction x x )x + ). Cette fonction est le produit de deux fonctions usuelles : x x et x x +. On a : x ) = 0 et x + ) = x x On en conclut, par produit : x )x + ) = 0 x 5) Etudier la ite en + de la fonction x x + ) x. Cette fonction est le produit de deux fonctions usuelles : x x + et x x. On a : x + ) = + et x = 0 On est dans le cas d une forme indéterminée du type «0». Pour tout réel x 0, x + ) x = + x. La fonction x + x est une somme de deux fonctions et, par somme, + x ) = On conclut : x + ) x = 0

6) Etudier la ite en de la fonction x x + ) x. Cette fonction est le produit de deux fonctions usuelles : x x + et x x. On a : x + ) = + et x = 0 On est dans le cas d une forme indéterminée du type «0». Pour tout réel x 0, x + ) x = x + x. La fonction x x+ x est une somme de deux fonctions usuelles : x x et x x On a x = et = 0 donc, par somme, x x + x ) = On conclut : x + ) x =. Levons maintenant les formes indéterminées des exemples précédents : 7) Etude de la ite en + de la fonction x x x. Pour tout réel x, x x = x x ). La fonction x x x ) est le produit de deux fonctions usuelles : x x et x x +. On a : x = + et x ) = +. On en déduit, par produit : x x ) = +. On conclut : x x = +. 8) Etude de la ite en + de la fonction x x x. Pour tout réel x positif, x x = x x). La fonction x x x) est le produit de deux fonctions usuelles : x x et x x. On a : x = + et x) =. On en déduit, par produit : x x) =. On conclut :. Inverse Théorème x x) =. si vx) = alors vx) = l 0 l ± 0 0 et v garde un signe constant ± dans un voisinage de a Dans le cas d une ite infinie, le signe de la fonction permet de déterminer si la ite est + ou. Exemples ) Etudier la ite en de la fonction x x. x ) = donc, par inverse, x x x =.

) Etudier la ite en + de la fonction x x + x + ) = + donc, par inverse, x + = 0. ) Etudier les ites à gauche et à droite en de la fonction x x On a : x x ) = 0. On étudie donc le signe de x : x + x 0 + On en conclut : x x< x = et x x> x = + 4) Etudier les ites à gauche et à droite en de la fonction x 4 x. x 4 x ) = 0. On étudie donc le signe de 4 x. 4 x est un trinôme du second degré dont les racines sont et, avec le coefficient du terme du second degré négatif, d où le tableau de signes : x + 4 x 0 + 0 On en conclut : x 4 x x< 4. Quotient Théorème = + et x x> 4 x =. ux) si ux) = et vx) = alors vx) = l l l 0 l 0 et v garde un signe constant l 0 ± dans un voisinage de a l ± 0 ± l ± ± ± FI 0 0 FI Dans le cas d une ite infinie, la règle des signes d un quotient, permet de déterminer si la ite est + ou. Exemples ) Etudier la ite en de la fonction x x + 5 x. La fonction x x + 5 est le quotient de deux fonctions usuelles : x x + 5 et x x x. x + 5) = 9 et x ) =. x x On en conclut, par quotient : x x + 5 x = 9. ) Etudier les ites à droite et à gauche en de la fonction x x 5 x

La fonction x x 5 est le quotient de deux fonctions usuelles : x x 5 et x x x. x 5) = et x) = 0. x x On étudie donc le signe de x : x + x + 0 On en conclut : x x< x 5 x x 5 = et x x = +. x> ) Etudier la ite en de la fonction x x x La fonction x x x est le quotient de deux fonctions : x x et x x. x x ) = 0 et x = 0. x On est dans le cas d un forme indéterminée du type «0 0». Pour tout réel x, x x x On en conclut : x x =. = x )x + ) x 4) Etudier la ite en + de la fonction x x + x La fonction x x + = x + et x x + ) =. x est le qutient de deux fonctions : x x + et x x. x + ) = + et x = +. On est dans le cas d une forme indéterminée du type. Pour tout réel x 0, on a : x + x = x + x. x = 0 ; x = + donc, par inverse, x = 0. On en déduit, par somme : x + ) x = 0. x + On conclut : x = 0. 5) Etudier la ite en + de la fonction x x + x x La fonction x x + x x est le qutient de deux fonctions : x x + x et x x. x + x) = + et x = +. On est dans le cas d une forme indéterminée du type. Pour tout réel x 0, on a : x + x x = x + x. x = + et x = 0.

On en déduit, par somme : On conclut : x + x x x + ) = +. x = +. 5. Fonctions polynômes et fonctions rationnelles en + et en. Introduction ) Etudier la ite en + et en de la fonction f définie sur R par fx) = x + 4x + 5. On met en facteur le terme de plus haut degré : pour tout réel x non nul, fx) = x x 5 x ) x. x ) =. On en déduit, par produit ). = 0 et 5 ) x = 0 donc, par somme soit x + 4x + 5) =. On on obtient : x + 4x + 5 = x x 5 ) x = x ) = +. x 5 ) x = Il en est de même en : x + 4x + 5) = x ) = +. ) Etudier la ite en + et en de la fonction g définie sur R par gx) = x + 5 x 4 + x. On met en facteur le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur puis on simplifie. x 5 ) x Pour tout réel x non nul, gx) = 5x ) = 0 donc, par somme, = 0 donc, par somme, x Puis, par quotient : 5 x + x ) = 0 x On en déduit par produit : x 4 + ) = x 5x ) 5 x + x =. + x x x =. ) =. 5 x + x = 0, 5 x + x. 4

soit On obtient : x + 5 x 4 + x. x + 5 x 4 + x = Il en est de même en : Théorème admis) x x 4 = x + 5 x 4 + x = x ) = 0. x x 4 = ) = 0. x ) En + et en, une fonction polynôme a la même ite que son terme de plus haut degré. ) En + et en, une fonction rationnelle a la même ite que le quotient simplifié des termes de plus haut degré de son numérateur et de son dénominateur. Exemples ) Etudier la ite en + de la fonction f définie sur R par fx) = x 5 4x + 7x. f est une fonction polynôme donc fx) = x5 = +. ) Etudier la ite en + de la fonction g définie sur R \ {; } par gx) = 5x + 7x 4 x. g est une fonction rationnelle donc gx) = 5x x = 5x) =. ) Etudier la ite en + de la fonction h définie sur [0; + [ par hx) = x x. x = + et x) =, on a donc une forme indéterminée. f n est pas une fonction polynôme, on ne peut donc pas appliquer le théorème. On met x en facteur. Pour tout réel x, x > 0, x x = x ). x x = +. x = 0 donc, par somme, On en déduit, par produit, x x ) =. ) = + soit x x) = +. x 6. Fonctions composées Théorème admis) Soit u une fonction définie sur un intervalle I à valeurs dans un intervalle J et v une fonction définie sur l intervalle J. Soit f la fonction définie sur I par fx) = v[ux)] on dit que f est la composée de la fonction u suivie de la fonction v. a, l et l désignent des réels ou + ou. x u ux) X v vx) = v[ux)] a l l Si ux) = l et vx) = l, alors fx) = l. X l Exemple 5

Etudier la ite en + de la fonction f définie sur ]0; + [ par fx) = 9 + x. fx) = v[ux)] où u est la fonction définie sur ]0; + [ par ux) = 9 + x, à valeurs dans [0; + [ et v la fonction définie sur [0; + [ par vx) = X. 9 + = 9 et X = donc, par composition, 9 + x X 9 x =. 7. Formes indéterminées et radicaux - Expression conjuguée Exemple Etudier la ite en + de la fonction définie sur [0; + [ par fx) = x + x. x + = + et x = + donc, par composition, x + = +. x) =, on a donc une forme indéterminée. La méthode de factorisation par «le terme de plus haut degré»ne lève pas l indétermination. On utilise l expression conjuguée : pour tout x de [0; + [, fx) = x + x) x + + x) x + + x = x + x x + + x = x + + x = x + x) = + donc fx) = 0. IV- Limites par comparaison. Théorème des gendarmes Théorème f, g et h sont trois fonctions définies sur un intervalle de la forme ]A; + [ et l un nombre réel. Si, pour tout x ]A; + [, on a fx) gx) hx) et alors gx) = l. fx) = hx) = l, y = gx) y = l y = fx) y = hx) 4 5 6 7 8 9 0 Théorème f, g et h sont trois fonctions définies sur un intervalle de la forme ] ; A[ et l un 6

nombre réel. Si, pour tout x ] ; A[, on a fx) gx) hx) et alors gx) = l. fx) = hx) = l, y = hx) y = fx) y = l y = gx) 9 8 7 6 5 4. Cas des ites infinies Théorème Soit f et g sont deux fonctions définies sur un intervalle de la forme ]A; + [ ) Si fx) = + et si, pour tout x ]A; + [, gx) fx), alors gx) = +. 6 y = gx) 5 y = fx) 4 ) Si. 4 5 6 7 8 fx) = et si, pour tout x ]A; + [, gx) fx), alors gx) = 7

4 5 6 7 4 y = fx) 5 6 7 y = gx) Théorème Soit f et g sont deux fonctions définies sur un intervalle de la forme ] ; A[ ) Si fx) = + et si, pour tout x ] ; A[, gx) fx), alors gx) = +. 7 y = fx) y = gx) 6 5 4 9 8 7 6 5 4 ) Si. fx) = et si, pour tout x ] ; A[, gx) fx), alors gx) = 8

9 8 7 6 5 4 4 5 y = fx) y = gx) 6 7 9