Licence E.E.A. Lieu d Evans

Lieu d Evans Licence E.E.A. Lieu d Evans Principe Soit un polynôme a n x n +... + a = avec a n implique n racines. Supposons que i a i = α i + kβ i α i, β i R, x C On peut écrire : D(x) + kn(x) = { D(x) = αp x p +... + α N(x) = β z x z +... + β Degré de D = P Degré de N = Z et bien sùr max(p, Z) = n Les racines de cette équation varient en fonction du paramètre k, elles décrivent alors un lieu appelé lieu d Evans dans le plan complexe. Exemples (x + ) + λ = Si λ < (x + λ)(x + + λ) = Si λ > (x + j λ)(x + + j λ) =..9 5.75.3 lambda >.. 3.5. 3.5 lambda <.5.5..3.9 5.75. 3.5 3.5.5.5.5.5 Construction du lieu d Evans. Propriétés géométriques. Cette équation admet, soit des racines réelles ( sur l axe réel), soit des racines complexes conjuguées ( lieu symétrique par rapport à l axe réel) Yann MORÈRE Licence E.E.A. Université de Metz

Lieu d Evans. La variation d un racine de l équation s appelle une branche, le degrés du polynôme étatn n, on à n branches (car λ > et λ < ). 3. Conditions des angles et des modules : Il y a p pôles,donc on peut écrire D(x) = α p P i= (x p i), de même z zéros : N(x) = β z Z j= (x z j) on peut donc écrire p (x p i ) + λ i= z (x z j ) = j= avec λ = βz α p où Z j= (x z j) P i= (x p i) = λ puis en passant aux arguments : Conditions des angles Z arg(x z j ) j= P arg(x p i ) = kπ (λ < ) i= Z P arg(x z j ) arg(x p i ) = (k + )π (λ > ) j= i= Elle est indépendante de λ : c est l équation du lieu en angle. A lieu d Evans si : Conditions de modules θ + θ θ = kπ Z j= x z j P i= x p i = λ elle permet de calculer la valeur de λ correspondant à un point donné du lieu : Licence E.E.A. Université de Metz avril

Lieu d Evans 3 d ou λ λ = AZ AP.AP. Points de départ et points d arrivée : D(n) + kn(x) = Départ : k = D(x) = points de départs = racines de D(x) = pôles. Arrivée : k N(x) = D(x) points d arrivée = racines de N(x) = k zéros. On part des pôles pour arriver aux zéros. S il manque (Z P ) des pôles ou des zéros, ils sont rejetés à l infini. On a donc p z branches infinies. 5. Directions asymptotiques et asymptotes Pour déterminer les directions de ces branches infinies ; à l infini tout le monde regarde dans la même direction. avec les conditions des angles : (Z P )θ A = kπ, si Z P θ A = kπ Z P. Yann MORÈRE Licence E.E.A. Université de Metz

Lieu d Evans P Z 3 kπ kπ θ Par exemple : A kπ 3 direction asymptotique, π π, π, π, 3 3 π, π π, π, π 3 3 L intersection des asymptotes avec l axe réel se fait en : a = P i= p i Z j= z j P Z. Branches de lieu l axe réel. Pour tout point A situé sur l axe réel, la contribution à la conditions des angles des pôles et des zéros placés à gauche de A est nulle, tandis que celle de chaque pôle et zéro à droite de A est π. La contribution des pôles et des zéros complexesest nulle comme le montre la figure, car l argument est de π par paires de pôles ou zéros conjugués. Soit p le nombre de pôle à droite de A Soit z le nombre de zéro à droite de A z π p π = kπ (k < ) z π p π = (k + )π (k > ) z p = k (k < ) z p = k + (k > ) Si la somme des pôles et des zéros sur l axes réel, à droite du point considéré est paire, ce point est élément du lieu pour k < Si la somme des pôles et des zéros sur l axes réel, à droite du point considéré est impaire, ce point est élément du lieu pour k > Exemple : Licence E.E.A. Université de Metz avril

) ) Lieu d Evans 5 k< k> k> k< Diverses configuration d asymptotes : k +! " # $%&(' k! " # $%&(' 7. Point de séparation et de jonction Ces points sont les racines double de l équation D(x) + kn(x) =, ils sont aussi Yann MORÈRE Licence E.E.A. Université de Metz

Lieu d Evans solutions de la dérivée de celle-ci donc dd + kdn =, on a k = D N dn N = dd D c est à dire d(ln N) = d(ln D) ce qui donne finalement : P i= x p i = Z i=j x z j. Équation analytique Dans le plan complexe : x = α + jω en écrivant En éliminant k on a : le lieu a donc pour équation : D(x) = RD(α, ω) + jid(α, ω) N(x) = RN(α, ω) + jin(α, ω) { RD(α, ω) + krn(α, ω) = D(x) + kn(x) ID(α, ω) + kin(α, ω) = k = RD RN = ID IN RN(α, ω)id(α, ω) RD(α, ω)in(α, ω) = En général ceci est résoluble en ω = f(α) et on trouve toujours ω = (axe réel). Remarques. ω doit se mettre en facteur : car tout l axe des réels est du lieu ;. dans le reste (sans ω) fonction bicarrée en ω puisque symétrique par rapport à l axe des réels ; 3. les pôles doubles sont de l axe + un lieu en dehors de l axe. 3 Exemple Soit le polynôme dépendant d un paramètre λ : x 3 + x + x + λ(x + ) = (x C) D(x) = x 3 + x + x = x(x + x + ) Licence E.E.A. Université de Metz avril

Lieu d Evans 7 = 3 =, p = 3 + j, p = 3 j et p = 3pôles et un zéro P Z =, Degré 3, 3 branches dont infinies. 3 points de départs, p, p, p et un point d arrivée z =. Direction asymptotiques : θ A = kπ :, π, π et π. Point de concours des asymptotes : a = 3+j 3 j+ = λ > [, ] λ < ], ] [, + [ Équation du lieu : x 3 + x + x + λ(x + ) = x = α + jω RD = α 3αω + α ω + α ID = ω(3α ω + α + ) RN = α + IN = ω d où avec RN(α, ω)id(α, ω) RD(α, ω)in(α, ω) = (α + )(ω(3α ω + α + )) (α 3αω + α ω + α)ω = ω( α 3 + 3αω α + ω α) + (α + )(3α ω + α + ) ω = nous donne l axe des réels comme lieu et il reste d où le lieu α 3 + αω + α + ω + α + = ω (α + ) = α 3 α α ω (α + ) = α 3 9α α Les points de séparations ou de jonction sont donnés avec ω = c est à dire ici avec α = 5 solution évidente donc nous avons aussi : α 3 + 9α + α + = (α + 5)(α + α + ) = (α + 5)(α + ) = ω = (α + 5)(α + ) (α + ) pour α = on retrouve bien l asymptote. De plus il faut (α + 5)(α + ) < le lieu hors de l axe est [ 5, ]. Par exemple cherchons λ tel que ω =, α = λ = RD RN = + Yann MORÈRE Licence E.E.A. Université de Metz =

Lieu d Evans d où : soit un pôle triple d où le lieu suivant : x 3 + x + x + = = (x + ) 3.7....7... 5 5 5 Application à l automatique La fonction de transfert en BO peut s écrire : T BO (p) = N(p).K, K étant un gain variable D(p) d où le dénominateur de la T BF est : + K. N(p) D(p) et si on cherche les racines en fonction de K : D(p) + K.N(p) = Le lieu d Evans est alors la représentation de l évolution des racines en fonction de K. En pratique on considère l influence d un gain K intervenant dans la boucle d action d un système asservi à retour unitaire.. Stabilité Si on utilise le lieu, la limite de stabilité est donnée lorsque ce dernier franchit l axe des imaginaires, i.e. les racines sont à parties réelle nulle. Le domaine où la FTBF est stable est le demi plan gauche. Licence E.E.A. Université de Metz avril

% Lieu d Evans 9 Comme p = α + jω, la limite de stabilité est donnée par α = en dehors de l axe, et α = ω = sur l axe.. Notion de systèmes à pôles dominants La contribution des pôles ou paire de pôles dans la réponse impulsionnelle globale du système dynamique Plus un pôle stable est près de l axe imaginaire, plus sa contribution au régime transitoire est importante. Plus un pôle stable est éloigné de l axe réel, plus le régime transitoire est oscillatoire. Pour un deuxième ordre p et p sont solution de p + ζω n p + ωn = et p = ω n ( ζ + j ζ ) d où ω n ζ sin ψ = sin ψ = ζ ω n ζ + ζ En général, pour un système du deuxième ordre on choisit ζ =, 5 qui correspond à une oscillation complète et de dépassement d environ %. Ceci donne un déphasage ψ = 3. "!$# En conséquence, si la fonction de transfert en BF d un système d ordre n possède deux pôles complexes conjugés à ψ = 3 et n pôles situés sensiblement plus à gauche que ces deux derniers dans le plan complexe, le régime libre ne dépendra pratiquement que de ces pôles. On dit que le système est à pôles dominants. Son comportement dynamique sera donc très voisin de celui du système fondamental du deuxième ordre. Yann MORÈRE Licence E.E.A. Université de Metz

! Lieu d Evans On peut donc par Evans, déterminer K tel que ψ = 3 pour avoir le système à pôles dominants. Ceci dit on peut aussi changer ζ. Deplus sin ψ = ω nζ ω n sin ψ = ζ, donc tous les pôles sur la droite définie par psi et passant par O ont le même amortissement. L hypothénnuse : OP = ω n, tous les pôesl sur le demi cercle de centre O et de rayon quelconque R ont la même pulsation ω n = R. On peut donc représenter les courbes : iso-amortissement : demi-droite partant de O iso-pulsation ω n : demi-cercle de rayon ω n.7....7... 5 5 5 Par exemple si on veut un dépassement de %, il faudra avoir ζ =, 5, donc les pôles sur la demi droite telle que sin ψ =, 5 ψ = 3 (équation de la droite : y = tan( π + ψ)x = cot(ψ)x ici y = 3x.3 Exemple Soit le système suivant : T BO (p) = +, 5p p T BO (p) = D où le sénominateur de la BF : K. ( + +, p +, p )() = ( +, 5p)K p( +, p +, p ), 5(p + )K, p(p + p + ) =, 5K. p + p(p + p + ) p 3 + p + p + λ(p + ) = λ =, 5K On retrouve le lieu de l exemple précédent. Licence E.E.A. Université de Metz avril

Lieu d Evans.7....7... Lieu pour K< Lieu pour K>.7... 5 5 5.7... 5 5 5 Le stabilité de ce système peut être décrite de la manière suivante : So λ < (K < ), alors le système est toujours instable puisqu une des racines est du demi-plan droit ; Si λ > (K > ), toujours stable, toutes les racines sont du demi-plan gauche. Si on cherche un système à pôles dominants tel que ζ =, 5, on trace la droite correspondant à sin ψ =, 5. Conditions des modules : λ = P Z = 3, λ = 5 et K = P P P P P P 3,.3,. Par le calcul : ω = 3α (droite pour sin ψ =, 5) en ramplaçant dans l équation RD.IN = RN.ID on avait ω (α + ) = α 3 9α α : 3α (α + ) = α 3 9α α α 3 + α + α + = α 3 + 3α + α + 5 = ce qui donne : α =, 3 et ω =, en appliquant la condition sur les modules λ = RD(α,ω ) RN(α,ω on trouve λ =, 7. ) 5 Cas ou Z P = Exemple : soit le système suivant : (p + )(p + ) T (p) = K. (p + 5)(p + ) Dans ce cas D(x) + λn(x) = on a degré de D = degré de N = n Nous avons donc point de départs (pôles) -5 et - Nous avons points d arrivées (zéros) - et - Si K > : [, 5] [, ] lieu pour le reste K <. L équation dégénère pour K fini : K =, donc on part du pôle - pour arriver à - (zéro) en passant pas l. Équation du lieu : D = (5 + α + jω)( + α + jω) { RD = (5 + α)( + α) ω ID = ω(5 + α) Yann MORÈRE Licence E.E.A. Université de Metz

Lieu d Evans N = ( + α + jω)( + α + jω) ω = tout l axe { RN = ( + α)( + α) ω IN = ω(3 + α) ( + 3α + α ω )(5 + α) (5 + 5α + α ω )(3 + α) = + 9α + α + ω = + α + α + ω = ω + (α + ) = Cercle de centre (, ) et de rayon. 3 Lieu k>.7... 5.7... Lieu k< 5 3 5 5 5 5 3.7... 9 7 5 3 5.7... 3 5 5 5 5 5 5.7 Lieu k> et k<... 5 3 5 5 5 5 5.7... 3 5 5 5 5 5 Licence E.E.A. Université de Metz avril