TRIGNMÉTRIE Ph DEPRESLE 7 juin 015 Table des matières 1 Le radian : unité de mesure d angle Le cercle trigonométrique Cosinus et Sinus.1 Enrlement d une droite autr du cercle trigonométrique............. Cosinus et sinus d un nombre réel............................ Valeurs particulières................................... Configuration du rectangle...............................5 Configuration du triangle............................... 8. Equations........................................ 8 Les exercices 11 5 Les corrigés 1 1
1 Le radian : unité de mesure d angle Définition 1. Soit C un cercle de centre et de rayon 1. Un radian est la mesure d un angle au centre qui intercepte un arc de longueur 1 du cercle. La mesure en radians d un angle au centre est donc la longueur de l arc que l angle intercepte sur le cercle C. Propriétés 1. La mesure d un angle en radians est proportionnelle à sa mesure en degrés. Tableau de proportionnalité : mesure de l angle en degré longueur de l arc du cercle trigonométrique 0 0 90 0 5 0... x... x 0 1 1rd l = 1 A 1 mesure de l angle en radian... x 0 Le cercle trigonométrique n oriente les cercles du plan en choisissant un sens positif ( direct) : le sens positif est le sens contraire des aiguilles d une montre. 5 5 7 9 1, 0, 5 11 5 7 Notes de crs: Ph DEPRESLE Page sur 1
Définition. Un cercle trigonométrique est un cercle dont le rayon est égal à 1 et qui est orienté dans le sens direct (on dit aussi le sens positif). La longueur du cercle trigonométrique est La longueur du quart de cercle trigonométrique est 1 + Cosinus et Sinus.1 Enrlement d une droite autr du cercle trigonométrique A tt réel est associé un point sur le cercle trigonométrique Soit A un point du cercle. n accroche au point A une ficelle. Soit x > 0 La ficelle de longueur x est enrlée autr du cercle dans le sens +, à son extrémité le point M. n dit que M est associé au réel x. Soit x < 0 La ficelle de longueur x est enrlée autr du cercle dans le sens -, à son extrémité le point M. n dit que M est associé au réel x. Soit x = 0 C est le point A qui est associé au réel x. Tt point M du cercle trigonométrique est associé a une infinité de réels Soit M un point du cercle trigonométrique. n considère un trajet, sur le cercle, pr aller de A à M. n associe alors un réel au point M : La longueur du trajet si celui ci suit le sens positif. l M l l+ L opposée de cette longueur s il suit le sens négatif. on associe alors au point M : l mais aussi +l ts les l+k, k Z l+ l+ A Notes de crs: Ph DEPRESLE Page sur 1
. Cosinus et sinus d un nombre réel Définition. Soit dans un repère orthonormé (, #» i, #» j), un cercle trigonométrique de centre et A le point du cercle de coordonnées (0, 1). sinα M α A tt réel α on associe un point M sur le cercle, alors : cosα est l abscisse de M sinα est l ordonnée de M n note M(cosα,sinα) cosα A Propriétés. α R, 1 cosα 1 α R, 1 sinα 1 α R,sin α+cos α = 1 α R,cos(α+k) = cosα et α R,sin(α+k) = sinα k Z. Valeurs particulières pr x = 0,,, cos( ) = 0 sin( ) = 1 B( ) cos() = 1 sin() = 0 A () A(0) cos(0) = 1 sin(0) = 0 B cos( ( ) ) = 0 sin( ) = 1 pr x = Notes de crs: Ph DEPRESLE Page sur 1
E est situé sur la 1 ere bissectrice d équation y = x. B( ) y = x Donc cos = sin et d autre part cos +sin = 1 sin E n obtient cos = 1 soit cos = 1 cos = car [0, [ donc cos > 0 n a donc cos = sin = A () cos A(0) pr x = sin B( ) F( ) cos A(0) AF est équilatéral ( car isocèle avec un angle de 0 ) donc sa hauteur issue de F est aussi médiatrice de [A] donc cos = 1 et puisque cos +sin = 1, il vient que sin = car sin > 0 n a donc cos = 1 et sin = pr x = En raisonnant comme précédemment, BG est équilatéral n a donc sin = 1 et cos = sin B( ) cos G( ) A(0) Notes de crs: Ph DEPRESLE Page 5 sur 1
. Configuration du rectangle B( ) x M A(0) +x cos( x) = cosx cos( +x) = cosx cos( x) = cosx sin( x) = sinx sin( +x) = sinx sin( x) = sinx APPLICATINS : x 1 1, cos( ) = cos( ) = 1 sin( ) = sin( ) = cos( ) = 1 sin( ) = cos( ) = 1 sin( ) = Notes de crs: Ph DEPRESLE Page sur 1
5 1 1 7, 5 cos( 5 ) = sin( 5 ) = 1 cos( ) = sin( ) = 1 cos( 5 ) = sin( 5 ) = 1 5, cos( ) = sin( ) = cos( ) = sin( ) = cos( ) = sin( ) = Notes de crs: Ph DEPRESLE Page 7 sur 1
.5 Configuration du triangle M et M sont symétriques par rapport à la 1 ere bissectrice d équation y = x. Donc cos( x) = sinx sin( x) = cosx. M ( +x) M ( x) M(x) M et M sont symétriques par rapport à l axe des ordonnées. Donc cos( +x) = cos( x) = sinx sin( +x) = sin( x) = cosx.. Equations Exemples : 1. Résdre cosx = cosx = x = 5 +k x = 5 +k,k Z 5 5. Résdre sinx = 1 sinx = 1 x = 5 +k x = +k x = 5 +k,k Z,k Z 5 1 x = +k Notes de crs: Ph DEPRESLE Page 8 sur 1
Les solutions { dans l intervalle [0,] sont : S [0,] =, 5, 1, 17, 5, 9 } Celles dans { l intervalle [,] sont : S [,] = 11, 7,, 5, 1, 17 } 1 5 17 5 11 7 9 { Celles dans l intervalle [,] sont : S [,] = 11, 7,, 5, 1, 17, 5, 9, 7, 1, 9, 5 } Notes de crs: Ph DEPRESLE Page 9 sur 1
. QCM Questions Réponses 1. Si la droite a pr équation x = 5 alors cette droite est parallèle à l axe des abscisses parallèles à l axe des ordonnées quelconque. Deux droites parallèles ont des vecteurs directeurs opposés colinéaires inverse. Si A(; 1) et B( ;1) alors une équation de (AB) est y = 1 x+1 y = x y = 1 x. Si A( ; ) B(; ) C(, 9) alors les coordonnées du centre de gravité sont G(;) G(;) G( ;) Notes de crs: Ph DEPRESLE Page 10 sur 1
Les exercices 1. Donner une mesure en radians des valeurs suivantes : a. 0 b. 70 c. 10 d. 00. Déterminer ( :) a. sin ( d. sin ) b. cos e. cos ( ) 5 ( ) c. sin ( ( ) 7 f. sin ). Sachant que x [,] : (a) Déterminer cosx sachant que sinx = (b) Déterminer sinx sachant que cosx = 1. Résdre sur [, ] : a. cosx = b. sinx = 1 c. cosx = d. sinx = 5. Résdre sur [, ] : a. cosx = b. sinx = 1 c. cosx = d. sinx =. Résdre sur [, ] : a. cos x = 1 ( b. sin x = 0 c. cos x ) = d. sinx = 1 7. Résdre sur [, ] : a. cosx 1 b. sinx 0 c. sinxcosx 0 Notes de crs: Ph DEPRESLE Page 11 sur 1
8. QCM Questions 1. M est le point image du nombre réel sur un cercle trigonométrique. M est aussi le point image de : 5 5 Réponses. sin est égal à 1. cos 15 est égal à 1-1 0. cos est positif 5. Sachant que cosx = 5 et que x [ ; vaut : ] alors sinx négatif nul 5 5 5 Notes de crs: Ph DEPRESLE Page 1 sur 1
5 Les corrigés 1. a. 0 = rd b. 70 = 90 = c. 10 = 0 = rd = rd = rd rd d. 00 = 10 0 = 10 rd = 5 rd ( ) (. a. sin = sin ) ( ) = sin = ( ) ( 5 b. cos = cos ) ( ) = cos = ( ) ( 7 c. sin = sin + ) ( ) = sin = 1 ( d. sin ) ( ) = sin = ( ) ( e. cos = cos + ) ( ) = cos = 1 ( f. sin ) ( ) ( = sin = sin + ) ( ) = sin = 1. n sait que x [,] et on utilise la relation sin x+cos x = 1. (a) sinx = donc cos x = 1 sin x = 1 ( ) = 1 1 = L équation cos x = a deux solutions mais comme x [,], on ne gardera que la solution négative, a savoir : x = ( ) (b) cosx = 1 donc sin x = 1 cos x = 1 1 = 1 1 = L équation sin x = a deux solutions mais comme x [,], on ne gardera que la solution positive, a savoir : x = Notes de crs: Ph DEPRESLE Page 1 sur 1
. Résdre sur [, ] : a. cosx = cosx = x = x = n procède de la même façon : b. sinx = 1 x = x = 5 c. cosx = cosx = x = x = d. sinx = 5. Résdre sur [, ] : a. cosx = x = x = x = ; 9 cosx = x = x = 7 ; 7 x = 9 Notes de crs: Ph DEPRESLE Page 1 sur 1
n procède de la même façon : b. sinx = 1 c. cosx = d. sinx = x = 5 x = 5 x = x = x = x = x = 7 x = 11 x = 7 x = 11 x = 7 x = 8. Résdre sur [, ] : a. cos x = 1 cos x = 1 cosx = cosx = Soit x = x = x = x = b. sin x = 0 sin x = 0 (sinx )(sinx+ ) = 0 sinx = sinx = Soit x = x = x = x = ( c. cos x ) = ( cos x ) = x = 5 x = 5 sur [,] seul convient x = 7 1 soit x = 7 1 x = 1 1 mais d. sinx = 1 sinx = 1 x = x = 5 soit x = 5 x = 1 1 Notes de crs: Ph DEPRESLE Page 15 sur 1
7. Résdre sur [, ] : a. cosx 1 cosx x [ ; ] [ ; ] 1 b.sinx 0 sinx 0 x [0;]. c. sinxcosx 0 sinxcosx 0 x [ ; ] [0; ] 8. QCM Questions 1. M est le point image du nombre réel sur un cercle trigonométrique. M est aussi le point image de : 5 5 Réponses. sin est égal à 1. cos 15 est égal à 1-1 0. cos est positif 5. Sachant que cosx = 5 et que x [ ; vaut : ] alors sinx négatif nul 5 5 5 Notes de crs: Ph DEPRESLE Page 1 sur 1