Chapitre 6 : fonctions réelles : limites et continuité

Chapitre 6 : fonctions réelles : limites et continuité C. Charignon Table des matières I Cours 3 1 Définitions : limite d une fonction, continuité 6 1.1 Limite en ±............................................. 6 1.2 Limite en un point fini........................................ 7 1.3 Notion de voisinage.......................................... 8 1.3.1 Voisinage........................................... 8 1.3.2 Compléments sur les voisinages............................... 9 1.3.3 bord.............................................. 9 1.3.4 Unification des définitions de limites............................ 9 1.4 Continuité............................................... 10 1.5 Prolongement par continuité..................................... 10 1.6 limites à droite et à gauche..................................... 11 2 Limite d une composée 12 2.1 Composée d une fonction et d une suite.............................. 12 2.1.1 le théorème élémentaire................................... 12 2.1.2 Bonus : caractérisation séquentielle d une limite...................... 13 2.2 Composée de deux fonctions..................................... 14 3 Théorèmes analogues à ceux sur les suites 15 4 Existence de limite pour une fonction monotone 15 5 Comparaison de fonctions : Négligeabilité 17 5.1 Définition, exemples......................................... 17 5.2 Propriétés vis-à-vis des opérations................................. 17 5.3 Application au calcul de limites................................... 17 6 Théorème des valeurs intermédiaires 17 6.1 Le théorème.............................................. 17 6.2 Cas d un intervalle ouvert...................................... 20 6.3 Cas d une fonction monotone.................................... 20 6.4 Rappels sur les fonctions bijectives................................. 21 6.5 Théorème de la bijection bicontinue................................ 22 7 Image d un segment 23 II Exercices 23 1

1 Limites 1 2 Continuité 1 2.1 Densité................................................ 2 2.2 Équations fonctionnelles....................................... 2 3 Suites vérifiant une relation de récurrence 3 4 Théorème des valeurs intermédiaires 3 5 Fonction continue sur un segment 5 2

Dans tous le chapitre, le terme «fonction réelle» ou «fonction» désignera une fonction définie sur une partie de R et à valeur dans R. Pour simplifier, on étudiera des fonctions définies sur des intervalles. Cependant, les résultats seront valables (et pourront être appliqués) pour des fonctions définies sur des réunions d intervalles. Première partie Cours Vocabulaire, rappels Opérations sur les fonctions Soit I P(R). Comme R est muni de deux lci + et et d une relation d ordre, on peut munir F(I, R) de deux lci et d une relation d ordre. Rappelons comment : Définition -1.1. Soit (f, g) F(I, R). On définit : I R f + g : x f(x) + g(x) I R f.g : x f(x).g(x) De plus, on dit que f est inférieure à g, et on note f g lorsque : x R, f(x) g(x) Attention : (F(I, R), +,.) n est pas intègre. On peut trouver deux fonctions f et g telles que f g = 0 sans que ni f = 0 ni g = 0. (Il suffit que f soit nulle sur R et g nulle sur R + par exemple.) Nous avons vu également que est une relation d ordre sur F(I, R). Attention : elle n est pas totale. Dans le cas où I = R (ou alors sur l ensemble F(I, I)) la composition donne également une lci. Cette lci admet comme neutre Id R, elle est associative. Cependant elle ne permet pas de définir ni groupe (les fonctions non bijectives ne sont pas inversibles pour ), ni anneau (il n y a pas de deuxième lci qui serait distributive par rapport à ). Sur S(R), l ensemble des fonctions bijectives de R dans R, est une loi de groupe. Quelques abus de notations Si I et J sont deux parties de R, si f F(I, R) et g F(J, R), nous nous permettrons l abus de notation suivant : On notera f + g et f.g les fonctions définies sur I J par : f + g : I J R x f(x) + g(x) et f.g : I J R x f(x).g(x) Rigoureusement, ces fonctions devraient être notées f I J + g I J et f I J.g I J. Sur le même principe, Soit D = { x I J g(x) 0 }. Alors nous noterons f g la fonction : f g : D R x f(x) g(x). 3

Enfin, soit D f g = { x J g(x) I }, on notera f g la fonction f g : D f g R x f(g(x)). Remarque : les opérations +,., dans cette situation ne définissent plus des lci. Enfin, si a R, on pourra noter également a la fonction constante égale à a : a : R R x a R Exemple: Soit i : R x 1/x et f : R R x 2x + 1. Alors : f + 3 désigne R R x 2x + 4. f + i désigne R R x 2x + 1 + 1/x. f i désigne R R x 2/x + 1. i f désigne R \ { 1/2} R x 1. 2x+1 i R \ { 1/2, 0} R f désigne 1 x x(2x+1) Fonctions monotones. Soit I P(R). Comme R est muni d une relation d ordre, on dispose dans F(I, R) des notions de fonction (strictement) croissante, décroissante, On rappelle le résultat suivant, que nous avons prouvé de manière plus générale : Proposition -1.2. Soient (I, J) P(R) 2, soient f F(I, R) et g F(J, R) telles que f(i) J. On suppose f et g monotones. Alors f g est monotone, et son sens de variation est donnée par le tableau : f\g croissante décroissante croissante croissante décroissante décroissante décroissante croissante Extrema, bornes sup et inf Soit I P(R). Comme R est muni d une relation d ordre, on dispose dans F(I, R) des notions de maximum minimum, de fonction (strictement) croissante, décroissante, majorée, minorée. On définit de plus la borne supérieure et inférieure d une fonction : Définition -1.3. Soit f F(I, R). Si f admet un maximum, celui-ci est noté : Si f admet un minimum, celui-ci est noté : max(f) ou max f(x) I x I min(f) ou min f(x) I x I 4

La borne supérieure de f est, si elle existe, la borne supérieure de f(i). i.e. sup {f(x) } x I. On la note : sup f ou sup x If(x) I La borne inférieure de f est, si elle existe, la borne inférieure de f(i). On la note : inf f ou inf x If(x) I Un nombre est appelé un extremum de f si c est un minimum ou un maximum. Si J est un sous-ensemble de f, et si f J admet un maximum celui-ci sera noté : max(f) ou max f(x) J x J On dira que c est le maximum de f sur J. On adopte les notations similaires pour le min, le sup et l inf... Un nombre est appelé maximum (resp. minimum) local si c est le maximum (resp. minimum) de f sur un intervalle ouvert. Remarques : Vues les propriétés de R, une fonction f admet une borne supérieure si et seulement si elle est majorée, et définie sur au moins un point. Elle admet une borne inférieure si et seulement si elle est minorée, et définie sur au moins un point. En fait on dira assez généralement qu une propriété P est vraie localement si elle est vrai sur un intervalle ouvert. La notion d intervalle ouvert sera très importante. Exemple: inf x R + 1/x = 0 Notons que f admet une borne supérieure si et seulement si elle est majorée, et une borne inférieure si et seulement si elle est minorée. Si f n est pas majorée, on pourra éventuellement noter sup I f =, si elle n est pas minorée on pourra éventuellement noter inf I f =. Symétries d une fonction Soit I P(R) et f F(I, R). Définition -1.4. (parité, imparité) 1. On dit que f est paire lorsque : x I, x I et x I, f( x) = f(x) 2. On dit que f est impaire lorsque : x I, x I et x I, f( x) = f(x) R R Exemple: Soit n N et f : x x n. On constate que si n est un nombre entier pair, alors f est une fonction paire. Et si n est un entier impair, f est une fonction impaire. C est bien sûr là l étymologie du vocabulaire de fonction paire ou impaire. cf exercice:?? 5

Si une fonction f est paire ou impaire, il suffira de l étudier sur D f R + pour déduire immédiatement son tableau de variation sur D f. D où l intérêt de systématiquement regarder si une fonction à étudier est paire ou impaire. Exemple: étude complète de f : x x x 2. L étude complète d une fonction comprend les étapes 1 suivantes : 1) domaine de définition 2) symétries ( réduction du domaine d étude) 3) dérivée ( variations) 4) limites ( asymptotes). Définition -1.5. (périodicité) On dit que f est périodique lorsqu il existe un réel strictement positif T R + tel que : x I, x + T I x I, f(x + T ) = f(x) On dit alors que T est une période de f, ou encore que f est T -périodique. Exemple: Les fonctions trigonométriques, ainsi que les fonctions constantes. Remarques : Soit T R + tel que f soit T -périodique. Alors pour tout k N, f est aussi k.t périodique. Lorsque f est périodique, on aura souvent intérêt à chercher sa plus petite période. Pour T = 0, la définition ci-dessus serait vraie pour n importe quelle fonction, ce qui n aurait aucun intérêt. C est pourquoi il est important de préciser T R +. (Par contre, on aurait pu mettre T R. C est inhabituel mais pas vraiment gênant.) Si une fonction f est périodique, si T est une période de f, il suffit d étudier f sur n importe quel intervalle de longueur T pour en déduire immédiatement son tableau de variation sur R. Souvent on choisit de l étudier sur [ T/2, T/2], au cas où elle serait en plus paire ou impaire. 1 Définitions : limite d une fonction, continuité On fixe dans cette partie un intervalle I non trivial (i.e. non vide et non réduit à un singleton), et f F(I, R). 1.1 Limite en ± Définition 1.1. On suppose que est une extrémité de I. Soit l R. On dit que f admet l comme limite en, lorsque : 1. cas où l = + : A R, x 0 R tq x [x 0, + [ I, f(x) A 2. cas où l = : 3. cas où l R : A R, x 0 R tq x [x 0, + [ I, ε R +, x 0 R tq x [x 0, + [ I, f(x) A f(x) l ε Remarque : Le fait que soit une extrémité de I entraîne que pour tout M R, [M, [ I est non vide. En terme de voisinage, on peut réécrire la définition ainsi (permettant de traiter les trois cas en une seule assertion : 6

Ou encore : ou enfin : Pour tout voisinage V de l, il existe x 0 R tel que x [x 0, [ I, f(x) V. Pour tout voisinage V de l, il existe un voisinage W de + tel que x W I, f(x) V. Pour tout voisinage V de l, il existe un voisinage W de + tel que f(w ) V. Définition 1.2. On suppose que est une extrémité de I. Soit l R. On dit que f admet l comme limite en, lorsque : 1. cas où l = + : A R, x 0 R tq x ], x 0 ] I, f(x) A 2. cas où l = : 3. cas où l R : A R, x 0 R tq x ], x 0 ] I, ε R +, x 0 R tq x ], x 0 ] I, f(x) A f(x) l ε Proposition 1.3. On suppose que + est une extrémité de I, et que f admet une limite en +. Alors celle-ci est unique. Bien sûr, le résultat analogue est valable en. Définition 1.4. On suppose que + est une extrémité de I, et que f admet une limite en +. Alors celle-ci est notée lim + f, ou lim x f(x). 1.2 Limite en un point fini Définition 1.5. Soit f F(I, R). Soit a R un point ou une extrémité de I et l R. On dit f admet l pour limite au point a lorsque : ε > 0, η > 0 tq x ]a η, a + η[ I, f(x) l ε. Proposition 1.6. Dans la situation de la définition, si f admet une limite finie en a, celle-ci est unique. Démonstration: Supposons par l absurde que f admet deux limites distinctes en a. Appelons l la plus petite et l la plus grande, de sorte que l < l. En utilisant la définition de la limite avec ε = l l 3 I ]a η, a + η[, f(x) l l l 3., on obtient l existence de η > 0 tel que pour tout x On obtient également l existence de η tel que pour tout x I ]a η, a + η [, f(x) l l l. 3 Soit alors µ = min(η, η ), et soit x I ]a µ, a + µ[ (un tel x existe car I ]a µ, a + µ[ est non vide car µ > 0 et a est un point ou une extrémité de I). Pour un tel x, on a à la fois f(x) l l l et f(x) l l l. D où grâce 3 3 à l inégalité triangulaire : l l = l l l f(x) + f(x) l l f(x) + f(x) l l l 3 + l l 3 2 l l 3 Mais ceci est impossible (par exemple ceci entraînerait en soustrayant 2 l l de chaque côté l l 0 puis l l 0, 3 3 ce qui est contraire à l hypothèse de départ). Ainsi l hypothèse l l est fausse, donc l = l. Définition 1.7. Soit f F(I, R). Soit a R un point ou une extrémité de I. Soit l R. Si f admet l pour limite en a, on note : lim x a f(x) = l ou lim a f = l. On dit que f admet une limite finie en a s il existe l R tel que lim a f = l. 7

1.3 Notion de voisinage 1.3.1 Voisinage Définition 1.8. (propriété vrai au voisinage d un point) Soit I P(R) et f : I R. Soit a Ī. On dit que f vérifie une certaine propriété P au voisinage de a lorsque : si a = : il existe M R tel que la propriété P est vrai sur ], M[ I. si a = : il existe M R tel que la propriété P est vrai sur ]M, [ I. si a R : il existe ε R + tel que la propriété P est vrai sur ]a ε, a + ε[ I. Exemple: La fonction sin est croissante au voisinage de 0, mais pas au voisinage de π/2. La fonction cos est positive au voisinage de 0. La fonction partie entière est égale à 2 au voisinage de 2, 5. Mais pas au voisinage de 2! Voici le résultat à connaître à ce sujet : Proposition 1.9. Soit a Ī. On suppose que f admet une limite finie en a. Alors f est bornée au voisinage de a. Démonstration: Il existe un intervalle J tel que x J I, f(x) l 1. (Cet intervalle J est de la forme ]a η, a + η[ lorsque a R, de la forme ]M, [ lorsque a =, de la forme ], M[ si a =.) On a alors pour tout x J I, l 1 < f(x) < l + 1, et f est bornée sur J I. Comme J est un voisinage de a, on a bien prouvé que f est bornée au voisinage de a. La notion de voisinage est l analogue du «à partir d un certain rang» des suites. Ainsi, pour tous les théorèmes parlant d une limite en a (gendarmes, comparaison de limite...) il suffit que les hypothèses soient vérifiées au voisinage de a. Plus généralement, pour tout ensemble X P(R), et a R {, }, on dit que X est un voisinage de a lorsque : cas où a R : η R + tq [a η, a + η] X ; cas où a = : M R tq [M, [ X ; cas où a = : M R tq ], M] X. Remarque : Attention à la subtilité : c est une inclusion [a ε, a + ε] V et pas une égalité. Proposition 1.10. Soit f et g deux fonctions réelles, soit a R tel que a D f D g. On suppose qu il existe un voisinage V de a tel que V D f D g et pour tout x V, f(x) = g(x). (Autrement dit f V = g V.) Alors pour tout l R, f tend vers l en a si et seulement si g tend vers l en a. Dans la situation de la proposition on dit que f et g sont égales au voisinage de a. La proposition peut être lue ainsi : deux fonctions égales au voisinage de a ont le même comportement en a. En particulier, si a I, f est continue en a si et seulement si g l est. R R Exemple: Soit f : x x. Et soit g = Id R. Pour tout x [0, [, on a f(x) = g(x), ainsi f et g sont égales sur R +. Notons V = R +. Soit alors a ]0, [. Alors V est un voisinage de a, donc f et g ont même comportement en a. Or lim a g = a (g est continue en a), donc lim a f = a (f est continue en a). De la même manière, f est égale sur R à Id R. Donc pour tout a ], 0[, f est continue en a. Ce raisonnement ne fonctionne pas pour a = 0 car [0, [ n est pas un voisinage de 0. Vérifions «à la main» que f est continue en 0 pour achever de prouver que la fonction valeur absolue est continue. 8

Exemple: Reprenons f = E et g = 2. Comme f = g sur [2, 3[, et que [2, 3[ est un voisinage de tout a ]2, 3[, nous déduisons que pour tout a ]2, 3[, lim a E(x) = 2. En particulier, E est continue sur ]2, 3[. Bien sûr on prouve de la même manière que pour tout a R \ Z, E est continue en a._ R R Exemple: Soit i : x 1 R + R et j : x 1. Les fonctions i et j sont égales sur R +. Or R + x x est un voisinage de tout a R +, donc i et j ont le même comportement en tout a R +. Par contre en 0 elles n ont pas le même comportement : lim 0 j = +, alors que i n admet pas de limite en 0. La suite de la partie 1.3 est hors-programme. Elle permet d appréhender la notion de limite de manière plus générale. 1.3.2 Compléments sur les voisinages Proposition 1.11. Soit a R et V un voisinage de a dans R. 1. Toute partie de R contenant V est encore un voisinage de a. 2. Soit W un deuxième voisinage de a, alors V W est encore un voisinage de a. Remarque : D après (i), pour toute partie W de R, V W est un voisinage de a. Proposition 1.12. Un intervalle ouvert est un voisinage de chacun de ses points. En fait, étant donné a R, toute partie de R contenant un intervalle ouvert contenant a est un voisinage de a. Exemple: Montrer que pour tout x R, tout voisinage de x contient un nombre rationnel. Dans la suite pour tout a R, on notera V(a) l ensemble des voisinages de a dans R. La notion de voisinage est utilisée pour unifier les cas l R, l = ou l = dans certaines définitions ou propriétés, par exemple les limites. Proposition 1.13. Soit u R N et l R. Alors lim n u n = l si et seulement si pour tout voisinage V de l dans R, il existe n 0 N tel que pour tout n N, n n 0 u n V. 1.3.3 bord Dans ce chapitre, lorsque I désigne un intervalle, Ī désigne l intervalle I auquel on a «rajouté ses extrémités», i.e. si (a, b) ( R) 2 sont tels que I = [a, b], ]a, b[, ]a, b] ou [a, b[, alors Ī = [a, b] R. (a peut éventuellement être et b +..) Ainsi, si f est définie sur I, cela a sens de chercher ses limites en tout point a Ī. Définition exacte : a Ī tout voisinage de a rencontre I. Donc : si a R ceci donne : a Ī η R+, [a η, a + η] I et si a = c est a Ī M R, [M, [ I 1.3.4 Unification des définitions de limites La notion de voisinage est très générale, elle permet de rassembler les différents cas de limites en un seul. Soit D P(R) et f : D R. Soit l R {, } et a D. Alors f(x) tend vers l lorsque x tend vers a si et seulement si : 9

Pour tout voisinage V de l, il existe un voisinage U de a tel que x U D, f(x) V. Ou encore : Pour tout voisinage V de l, il existe un voisinage U de a tel que f(u D) V. Remarque : Et c est aussi valable pour une suite! Simplement dans le cas d une suite on a D = N. 1.4 Continuité Lemme 1.14. Soit x R tel que pour tout ε > 0, x ε. Alors x = 0. Proposition 1.15. Soit a I. Si f admet une limite finie en a, alors cette limite est f(a). Démonstration: Ici, on sait que a est un point, et non une extrémité de I. Par conséquent, f(a) existe. Supposons que f admet une limite finie l en a, et montrons que l = f(a). Soit ε > 0. Il existe η > 0 tel que pour tout x I ]a η, a + η[, f(x) l ε. En particulier, le point a est dans I ]a η, a + η[. Donc f(a) l ε. Nous avons obtenu que pour tout ε > 0, f(a) l ε. D où f(a) = l. Définition 1.16. (i) Si f admet une limite finie en a, on dit que f est continue en a. (ii) Lorsque f est continue en tout point de I, on dit que f est continue. (iii) L ensemble des fonctions continues de I dans R se note C(I, R). En résumé, si a I, les trois assertions suivantes sont équivalentes : 1. f est continue en a 2. f admet une limite finie en a 3. lim x a f(x) = f(a) Exemples: Les fonctions constantes sont continues La fonction Id R est continue. La fonction racine carré est continue. 1.5 Prolongement par continuité Lorsque a n est pas dans I mais que f admet tout de même une limite finie en a, alors on peut prolonger f en a, et obtenir une fonction continue en a : Définition 1.17. Si a est une extrémité de I et si f admet une limite finie l en a, alors la fonction : f : I {a}rx f(x) l S appelle le prolongement par continuité de f à I {a}. Exemple: f : R \ {1} R x x2 1 x 1. si x I si x = a Proposition 1.18. Dans la situation de la définition, f est une fonction continue en a. cf exercice: 36, 37,24 10

1.6 limites à droite et à gauche Pour ce paragraphe, I peut être une réunion d intervalles. Définition 1.19. Soit a élément ou extrémité de I tel que a R. Soit l R. On dit que f admet pour limite à droite en a le nombre l lorsque : On note alors : ε R +, η R + tq x ]a η, a[, f(x) l ε lim f(x) = l ou lim x a, x>a f(x) = l ou lim f = l. x a + a + Soit l R. On dit que f admet pour limite à gauche en a le nombre l lorsque : On note alors : ε R +, η R + tq x ]a, a + η[, f(x) l ε lim f(x) = l ou lim x a, x<a On dit que f admet + pour limite à droite en a lorsque : On note alors : f(x) = l ou lim f = l. x a a M R, η R + tq x ]a η, a[, f(x) M lim f(x) = ou lim x a, x>a On dit que f admet pour limite à droite en a lorsque : On note alors : f(x) = ou lim f =. x a + a + M R, η R + tq x ]a η, a[, f(x) M lim f(x) = ou lim x a, x>a x a f(x) = ou lim f =. + N.B. La définition de limite à droite en a n a pas de sens si il existe ε R + tel que ]a, a + ε[ I =. En d autre terme, f admet une limite l en a + ssi la fonction f I ]a, [ admet la limite l en a. Proposition 1.20. Soit a élément ou extrémité de I. Soit l R. 1. On suppose a I. Alors : 2. On suppose a I. Alors : cf exercice: 8 lim a f = l (lim a lim a f = l (lim a + f = l = lim f). a + a + f = lim f = f(a) = l). a 11

2 Limite d une composée 2.1 Composée d une fonction et d une suite 2.1.1 le théorème élémentaire Théorème 2.1. (Composée d une fonction et d une suite) Soit f F(I, R). Soit a Ī. Soit l R. Soit u I N. On suppose : Alors lim n f(u n) = l. { lim n u n = a lim x a f(x) = l. Remarque : On prend u I N pour que pour tout n N, f(u n ) soit bien définie. Démonstration: Il y a 9 cas possibles selon que l et a sont finis, +, ou. Par exemple, supposons ici que a R et l = +. Nos hypothèses s écrivent alors ainsi : ε > 0, n 0 N tq n n 0 u n a ε (1) A R, η > 0 tq x [a η, a + η] I, f(x) A (2) # Et nous voulons prouver : A R, n 0 N tq n n 0, f(u n) A. Soit A R. Soit η R + tel que : (obtenu par (2)). Ensuite, soit n 0 N tel que (obtenu par (1) appliqué avec η à la place de ε). Vérifions que ce n 0 convient. Soit n n 0. Alors par (4) : x [a η, a + η] I, f(x) A (3) n n 0 u n a η (4) u n a η En outre, u n I par hypothèse, donc on a u n [a η, a + η] I. Ceci nous autorise à utiliser (3) avec x = u n : on obtient : f(u n) M ce qu il fallait démontrer. Corollaire 2.2. Soit f F(I, R) et a I. On suppose f continue en a. Alors pour tout suite u I N convergeant vers a, lim n f(u n ) = f(a). N.B. Une condition importante pour utiliser ce corollaire est que a D f! Exemple: Soit f : I I une fonction continue. Soit u une suite telle que u 0 I et n N, u n+1 = f(u n ). On suppose que u admet une limite l dans I. Alors cette limite vérifie l = f(l) autrement dit, l est un point fixe de f. Cette remarque est très utile pour calculer la limite d une suite récurrente. Remarque : On peut prouver aussi que si u admet une limite alors cette limite est un élément ou une extrémité de I. Exemple: Prouver l existence et calculer : 1. lim n 2n 2 + 1 n 2 + n + 3. 12

2. lim n n n On peut utiliser ceci pour prouver qu une fonction n admet pas de limite : c est le même principe qu avec les suites extraites. Proposition 2.3. Soit f F(I, R) et a Ī. S il existe deux suites (u, v) (IN ) 2 d éléments de I telles que u et v tendent vers a, et telles que f u et f v admettent deux limites distinctes, alors f n admet pas de limite en a. Exemple: x 1/x n admet pas de limite en 0. La fonction partie entière n est pas continue en tout point de Z. R f : R. La fonction f admet pour limite 0 en 0, cependant pour tout voisinage x x sin(1/x) V de 0, il existe (x 1, x 2 ) (V R ) 2 tel que f(x 1 ) > 0 et f(x 2 ) < 0. (On dit que f n est ni > 0, ni < 0 au voisinage de 0.) On peut alors trouver deux suites u et v convergeant vers 0 telle que lim n f(u n ) = + et lim n f(v n ) =. Donc 1/f n a pas de limite en 0. cf exercice: 2, 4 2.1.2 Bonus : caractérisation séquentielle d une limite Lemme 2.4. Soit a Ī. Alors il existe une suite u IN qui converge vers a. Remarque : Si a I c est évident : prendre u la suite constante égale à a. Le seul cas à étudier est le cas où a est une extrémité de I qui n appartient pas à I. Démonstration: On rappelle que dans ce chapitre I est un intervalle non vide (ou éventuellement une réunion d intervalles, ce qui ne change pas grand chose à cette preuve). Si a I, on prend la suite constante égale à a. Si a ( est fini ) et est extrémité droite de I : il existe α R tel que ]α, a[ I. Il suffit alors de prendre la suite u = a 1 : cette suite converge vers a, et à partir d un certain rang ses termes sont dans ]α, a[ donc n N dans I. Si a( est extrémité ) gauche de I : il existe α R tel que ]a, α[ I. Il suffit alors de prendre la suite u = a + 1 n N. Si a = et est extrémité droite de I : il existe α R tel que [α, [ I. Prendre alors la suite u = (α + n) n N. Si a = et est extrémité gauche de I : il existe α R tel que ], α] I. Prendre alors la suite u = (α n) n N. En fait, le théorème précédent admet une réciproque : si pour toutes les suite u qui tendent vers a on a lim n (fu n ) = l, alors on peut prouver que lim x a f(x) = l. Voici l énoncé ainsi obtenu (hors programme) : Théorème 2.5. (caractérisation séquentielle d une limite) Soit f F(I, R). Soit a Ī. Soit l R. Alors f tend vers l en a si et seulement si pour tout suite u I N telle que lim n u n = a, on a lim n (fu n ) = l. Démonstration: Le sens «seulement si» a déjà été vu (proposition 2.1). Traitons la réciproque : nous supposons que pour tout suite u I N telle que lim n u n = a, on a lim n (fu n) = l. Et nous allons prouver que lim a f = l. Traitons pas exemple le cas où a et l sont fini. Nous voulons donc démontrer que ε R +, η R + tq x ]a η, a + η[ I, f(x) l ε. Nous procédons par l absurde : 13

Supposons que ε R + tq η R +, x ]a η, a + η[ I tq f(x) l > ε. Fixons un tel ε, il vérifie donc : η R +, x ]a η, a + η[ I tq f(x) l > ε (1) On a une formule valable η, R +, et on voit que l intérêt de cette formule réside dans le cas où η tend vers 0. Une méthode classique est alors d utiliser ceci pour tout n N pour η = 1/n. Soit n N. Utilisons 1 pour η = 1 n (qui est bien dans R+ ). Nous obtenons un nombre x ]a 1 n, a + 1 [ I tq f(x) l > ε. Notons un ce nombre x. n Ainsi, nous avons obtenu tout une suite (u n) n N I N telle que n N, a 1 n < un < a + 1 et f(un) l > ε. n La première hypothèse donne que lim u = a (gendarmes). Alors u est une suite dans I qui converge vers a, pas hypothèse du théorème on a donc lim n f(u n) = l. D où lim n f(u n) l = 0. Alors la comparaison de limites dans n N, f(u n) l > ε donne 0 ε. Ce qui contredit l hypothèse ε > 0. 2.2 Composée de deux fonctions Proposition 2.6. Soient E, F, G trois parties de R. Soient f : E F et g : F G deux fonctions. On suppose qu il existe a Ē, b F et c R {, } tels que : Alors lim f(x) = b et lim g(x) = c. x a x b lim g f(x) = c. x a En terminale, en pense souvent à cette proposition( comme à presque tous les résultats sur les fonctions composées) comme à un «changement de variable». On s imagine en effet définir une nouvelle variable X = f(x). On peut rédiger ainsi : «On sait que lim x a f(x) = b, et que lim X b g(x) = c, alors par le résultat sur la limite de fonctions composées, on déduit que lim x a g(f(x)) = c.» Attention, dans ce cadre, la notion de «changement de variable» et le fait de «poser X = f(x)» n ont pas de vrai sens mathématique. Il faut y penser comme à un moyen mnémotechnique, et éviter d utiliser ces expressions en devoir. Exemple: x ( 1 x + x + 2)2 en 0 + et 0, puis en 0. cf exercice:?? Remarque : On peut démontrer que si f admet une limite b en a, cette limite est toujours élément ou extrémité de J. Sachant que J est intervalle, ceci revient à montrer que inf(j) b sup(j) Pour cela, il suffit de montrer que pour tout ε R +, b + ε ne minore pas J et b ε ne majore pas J. Soit donc ε R +. Sachant que lim a f = b, il existe η R + tel que pour tout x ]a η, a + η[ I, b ε f(x) b + ε. Or, ]a η, a + η[ I est non vide car a est élément ou extrémité de I, nous pouvons donc fixer un x ]a η, a + η[ I. Alors f(x) f(i) J. Les inégalités b ε f(x) et f(x) b + ε nous informent alors que b ε ne majore pas J et que b + ε ne minore pas J. 14

3 Théorèmes analogues à ceux sur les suites On regroupe dans cette partie les résultats similaires à ceux vus sur les limites de suite. Bien sûr, on peut les redémontrer en adaptant simplement les preuves faites pour les suites. Mais on peut aussi utiliser la caractérisation séquentielle des limites( 2.5). Proposition 3.1. (unicité d une limite) Soit f : I R et a Ī. On suppose que f admet une limite en a. Alors cette limite est unique. Cette proposition peut être réécrite ainsi : Soit f : I R et a Ī. On suppose que f tend en a vers une limite l, mais aussi vers une limite l. Alors l = l. Cette proposition permet donc de «passer à la limite dans une égalité». Démonstration: On suppose que en a, f tend vers une limite l, mais aussi vers une limite l. Soit u I N une suite telle que lim n u n = a. (Une telle suite existe par 2.4.) Par le théorème 2.1, on a lim n f(u n) = l et lim n f(u n) = l. Mais ( f(u ) n) est une suite, donc nous n N pouvons utiliser le théorème d unicité d une limite pour une suite : il vient l = l. De la même manière, on peut prouver le théorème de comparaison de limites. Pour les théorèmes des gendarmes, et les théorèmes sur les opérations (+,, quotient), on a besoin de la caractérisation séquentielle. L unicité d une limite nous autorise la notation suivante : Définition 3.2. Soit f F(I, R), soit a Ī et l R. Si f admet l pour limite en a, on note : lim a f = l ou lim f(x) = l x a En conséquence des théorèmes sur la somme et le produit de fonctions admettant une limite finie, on a : Corollaire 3.3. La somme, le produit, le quotient, la composée de fonctions continues est continue. N.B. Lorsqu on dit qu une fonction est continue, cela signifie qu elle est continue sur son domaine de définition. Par exemple x 1 est composée de la fonction inverse et de la fonction racine carrée qui sont ln(x) continues, elle est donc continue. Mais continue sur son domaine de définition, i.e. sur ]0, 1[ ]1, [. En 1 elle n est pas définie, cela n a aucun sens de se demander si elle est continue. 4 Existence de limite pour une fonction monotone Voici le théorème analogue au théorème de convergence monotone pour les suites. Il est un peu plus compliqué que pour les suites et donc plus délicat d emploi. Pour commencer, au bord d un intervalle de définition, tout va bien : Théorème 4.1. Soit f F(I, R). 15

1. Soit a I extrémité gauche de I qui n appartient pas à I. On suppose que f est croissante au voisinage de a. Alors f admet une limite en a qui peut être ou finie. 2. Soit b extrémité droite de I qui n appartient pas à I. On suppose que f est croissante au voisinage de b. Alors f admet une limite en b qui peut être + ou finie. Remarque : Cas typique : a =, b =. D ailleurs le cas b = + est le cas des suites. Je vous laisse écrire les résultats analogues lorsque f est décroissante au voisinage de a ou b. Notons que lorsque a est extrémité gauche de I, f n est pas définie à gauche de I, donc la limite en a est automatiquement une limite en a. De même lorsque b est extrémité droite de I, la limite de f en b est automatiquement une limite en b. La version générale du théorème est qu une fonction monotone au voisinage de a admet une limite en a + et une limite en a. Ainsi, il restera à savoir si ces limites sont les mêmes, et si elles sont égales à f(a). Théorème 4.2. Soit f F(I, R), soit a I qui n est pas extrémité de I. On suppose que f est croissante au voisinage de a. Alors f admet en a une limite finie à droite et une limite à gauche, et on a : lim a f f(a) lim f Bien sûr, on a le résultat analogue si f est décroissante au voisinage de a. N.B. Si on veut prouver que f est continue en a, il ne reste plus qu à voir si lim a f f(a) lim a + f. Variantes : Dans le cas où a I, f(a) n est pas défini. Mais on peut quand même prouver l existence des limites à droite et à gauche, et on a l inégalité : lim a f lim a + f Dans le cas où a est extrémité droite de I et a I : la limite à droite n aurait aucun sens. On peut prouver l existence d une limite à gauche et on a : lim a f f(a). Dans le cas où a est extrémité droite de I et a I : ici on obtient seulement une limite à gauche. Mais du coup cette limite à gauche et en fait une limite tout court. Par contre cette limite peut être +. C est notamment le cas si a = +, c est le cas étudié pour les suites. Exemple: La fonction ln est croissante. Elle admet donc une limite en +. Ensuite on montre que cette limite est par exemple en étudiant ln(2x)..(cf chapitre sur les fonctions usuelles.) Remarque : Le fait que a n est pas extrémité droite (resp. gauche) de I signifie que I ]a, [ (resp. I ], a[ ). Démonstration: Pour simplifier, supposons f croissante. Traitons l existence de la limite à gauche. Considérons l ensemble : { } E = f(x) x I ], a[ E est non vide car I ], a[ car a n est pas extrémité droite de I. En outre, E est majoré par f(a). Donc E admet une borne supérieure, notons-la l et démontrons que l = lim a f. Soit ε > 0. Nous devons prouver l existence de η > 0 tel que pour tout x I ]a η, a[, f(x) l ε. Comme l = sup(e), il existe y 0 E tel que l y 0 ε. Soit x 0 I ], a[ tel que y 0 = f(x 0). Alors pour tout x J ]x 0, a[, on a x > x 0 et donc f(x) f(x 0) l ε. Par ailleurs, f(x) l car f(x) f(j) et l majore cet ensemble. a + 16

Ainsi, l ε f(x) l, ceci implique f(x) l ε. Au final, le nombre η = a x 0 convient. Exemple: La fonction E est croissante sur R, elle admet effectivement en tout a R une limite à droite et une limite à gauche. cf exercice: 9 5 Comparaison de fonctions : Négligeabilité 5.1 Définition, exemples 5.2 Propriétés vis-à-vis des opérations 5.3 Application au calcul de limites 6 Théorème des valeurs intermédiaires 6.1 Le théorème Théorème 6.1. Soit f une fonction continue. Alors pour tout intervalle I inclus dans D f, f(i) est un intervalle. En une phrase : «l image d un intervalle par une fonction continue est un intervalle». En pratique, si on veut prouver qu un réel z est atteint par f (i.e. appartient à son image), il suffit de trouver (x 1, x 2 ) I 2 tel que f(x 1 ) z et f(x 2 ) z. Une rédaction type de la conclusion pourra ressembler à : f est continue I est un intervalle On a donc d après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe c I tel que f(x 1 ) z f(x 2 ) z f(c) = z. Remarque : Un cas fréquent est z = 0. Alors il s agit de trouver (x 1, x 2 ) I 2 tel que f(x 1 ) 0 et f(x 2 ) 0. Mais bien sûr l inverse fonctionne aussi : si f(x 1 ) 0 et f(x 2 ) 0. La condition à vérifier est que f(x 1 ) et f(x 2 ) soient de signe opposé. Il y a une petite astuce pour écrire ceci en une seule formule : f(x 1 ) et f(x 2 ) sont de signe opposés si et seulement si f(x 1 ) f(x 2 ) 0. Pour calculer, étant donné z R, une valeur approchée d une solution de f(x) = z d inconnue x D f, une méthode simple est la recherche par dichotomie, dont voici une implémentation python : def dichotomie(f,a,b,z,eps): \og \fg{}\og Recherche une valeur approchée d'une solution de f(x)=z d'inconnue x. Précondition : a<=b, f(a) <= z et f(b) >= z, f définie et continue sur [a,b]. Renvoie un encadrement d'une solution de longueur < eps.\fg{}\og \fg{} assert f(a)<=z and f(b)>=z, \og hypothèses du TVI pas remplies\fg{} deb= a fin= b 17

# ces variables indiquent l'intervalle où on cherche une solution while fin-deb >eps: milieu= (fin +deb)/2 if f(milieu) <z: deb=milieu else: fin=milieu return(deb,fin) Remarque : Le programme ci-dessus ne traite que le cas où f(a) z et f(b) z. Mais dans le cas f(a) z et f(b) z, le TVI est encore valable. Une astuce est de remplacer f par f et z par z. En effet, on aura bien f(a) z et f(b) z. En pratique, on peut procéder ainsi, sachant que la fonction f, i.e. la fonction x f(x) s obtient par lambda x: -f(x) en python : def dichotomie(f,a,b,z,eps): \og \fg{}\og Recherche une valeur approchée d'une solution de f(x)=z d'inconnue x. Précondition : a<=b, f(a) <= z et f(b) >= z ou l'inverse, f définie et continue sur [a,b]. Renvoie un encadrement d'une solution de longueur < eps.\fg{}\og \fg{} if f(a)>= z and f(b) <=z: return( dichotomie(lambda x:-f(x),a,b,-z,eps)) elif f(a)<= z and f(b) >=z: deb= a fin= b # ces variables indiquent l'intervalle où on cherche une solution while fin-deb >eps: milieu= (fin +deb)/2 if f(milieu) <z: deb=milieu else: fin=milieu return(deb,fin) else: print(\og hypothèses du TVI pas remplies\fg{}) return(none) # En vrai, il faudrait renvoyer une erreur. Démonstration: (du TVI) Soit I un intervalle inclus dans D f. Nous voulons montrer que f(i) est un intervalle, il faut donc montrer que c est une partie convexe de R. Soit (y 1, y 2) f(i) 2 tel que y 1 < y 2. Soit z ]y 1, y 2[, nous devons montrer que z f(i), autrement dit qu il existe x I tel que f(x) = z. Déjà, soit (a, b) I 2 tel que f(a) = y 1 et f(b) = y 2. Supposons a < b (le cas contraire serait similaire). On procède par dichotomie. On définit par récurrence les suites (a n) n N I N et (b n) n N I N ainsi : 18

a 0 = a et b 0 = b. an + bn Soit n N. On pose c n =. Si f(c n) z, on pose a n+1 = a n et b n+1 = c n. Dans le cas contraire, on 2 pose a n+1 = c n et b n+1 = b n. On prouve par une simple récurrence, que pour tout n N : (i) a n et b n sont bien définis. (ceci vient de ce que I est un intervalle et a n c n b n, donc si a n et b n sont dans I, alors c n aussi.) (ii) (a n, b n) I 2 (iii) a n a n+1 b n+1 b n (iv) b n a n = ba 2 n (v) f(a n) z f(b n) (En particulier (a n) n N est croissante, (b n) n N est décroissante.) Les suites (a n) n N et (b n) n N sont donc adjacentes. Notons x leur limite commune : lim n a n = x et lim n b n = x. On a n N, a n x b n. En particulier, x I 0 I D f. Donc x D f. Et f est continue, en particulier, elle est continue en x. Donc : Enfin, nous savons que lim f(an) = f(x) = lim f(bn). n n n N, f(a n) z f(b n) Et comme ces suites convergent, on applique le théorème de comparaison de limites : f(x) z f(x) D où f(x) = z. Ainsi, z f(i), quod erat demonstrandum. Corollaire 6.2. Soit f une fonction continue définie sur un intervalle I. Soit (a, b) I 2. Alors pour tout y compris entre f(a) et f(b), y admet un antécédent par f dans [a, b]. N.B. Le théorème des valeurs intermédiaires est donc utile pour prouver l existence d un antécédent par f. Il peut donc servir à prouver qu une fonction est surjective. Pour l injectivité, le plus simple est souvent de prouver que f est strictement monotone (cf chapitre 2). Une autre manière d énoncer le théorème est la suivante : en notant J = [f(a), f(b)] ou [f(b), f(a)] (selon que f(a) f(b) ou l inverse), on a : f(i) J Démonstration: C est en fait ce que nous avons prouvé pour prouver le théorème... C est-à-dire la définition d un intervalle. Remarque : Les amateurs de formules condensés pourront énoncer le résultat ainsi : f([a, b]) [f(a), f(b)] [f(b), f(a)] Sachant que l un des deux intervalles dans la réunion est vide ou réduit à un singleton. 19

6.2 Cas d un intervalle ouvert On va maintenant donner quelques améliorations du théorème des valeurs intermédiaires. Pour commencer, on étudie le cas où f serait définie sur un intervalle ouvert( ou semi-ouvert) et admet des limites aux bords de cet intervalle. Proposition 6.3. (image d un intervalle par une fonction continue) Soit f une fonction réelle continue, soit I un intervalle non vide inclus dans D f. Soient (a, b) ( R) 2 tel que I =]a, b[, ]a, b], [a, b[, ou [a, b]. On suppose que f admet des limites en a et b, Alors : Si I = [a, b], f(i) contient [f(a), f(b)] et [f(b), f(a)] ; Si I = [a, b[, f(i) contient [f(a), lim b f[ et ] lim b f, f(a)] ; Si I =]a, b], f(i) contient ] lim a f, f(b)] et [f(b), lim a f[ ; Si I =]a, b[, f(i) contient ] lim a f, lim b f[ et ] lim b f, lim a f[. N.B. À chaque fois, un des deux intervalles est vide ou réduit à un singleton, c est l autre intervalle qui est intéressant. Remarque : Dans le cas où a I, alors a D f et f est continue en a, alors f admet automatiquement une limite en a, qui est f(a). Remarque : Le premier cas de la liste est immédiat : si I = [a, b], alors f(a) et f(b) sont dans f(i), et donc puisque c est un intervalle, f(i) contient l intervalle entre ces deux valeurs, i.e. [l, l ]. Démonstration: Traitons le second cas : on suppose que I = [a, b[, et on prouve que f(i) [f(a), lim b f[ et ] lim b f, f(a)]. Traitons le cas où f(a) lim b f. De sorte que l inclusion intéressante est f(i) [f(a), lim b f[. Enfin, nous nous plaçons dans le cas où lim b f R. Rappelons que d après le théorème des valeurs intermédiaires, f(i) est un intervalle, i.e. un ensemble convexe. Soit x [f(a), lim b f[. Notons ε = lim b f x, on a ε R +, on peut donc utiliser la définition de la limite de f en b avec cet ε : il vient : η R + tq t ]b η, b + η[ I, f(t) lim f ε b Fixons un tel η, puis fixons un t ]b η, b + η[ I au hasard. On a donc lim b f ε f(t) lim b f + ε. L inégalité de gauche devient f(t) x. Au final, nous avons obtenu f(a) x f(t), or (f(a), f(t)) f(i) 2 donc, comme f(i) est convexe, [f(a), f(t)] f(i), d où en particulier x f(i). 6.3 Cas d une fonction monotone Proposition 6.4. On reprend les notations de la proposition précédente, on suppose de plus que f est strictement monotone. On a alors les égalités suivantes : Dans le cas où f est strictement croissante : Si I = [a, b], f(i) = [f(a), f(b)] ; Si I = [a, b[, f(i) = [f(a), lim b f[ ; Si I =]a, b], f(i) =] lim a f, f(b)] ; Si I =]a, b[, f(i) =] lim a f, lim b f[. Et dans le cas où f est strictement décroissante : 20

Si I = [a, b], f(i) = [f(b), f(a)] ; Si I = [a, b[, f(i) =] lim b f, f(a)] ; Si I =]a, b], f(i) = [f(b), lim a f[ ; Si I =]a, b[, f(i) =] lim b f, lim a f[. Démonstration: On traite le cas où lim a f lim b f. Notons l = lim a f et l = lim b f. Soit y ]l, l [, montrons qu il existe x ]a, b[ tel que f(x) = y. Soit ε > 0 tel que l + ε y l ε. (Un tel ε existe : prendre min(y l, l y).) Soit η 1 > 0 tel que pour tout x ]a, a + η[, f(x) l < ε. Fixons un x 0 ]a, a + η[, alors f(x 0) < l + ε y. Soit η 2 > 0 tel que pour tout x ]b η, b[, f(x) l [< ε. Choisissons un x 1 ]b η, b[, alors f(x 1) > l ε y. Au final, f(x 0) y f(x 1). Les nombres f(x 0) et f(x 1) sont dans l intervalle f(]a, b[), et comme cet intervalle est convexe, il contient alors aussi y. Voyons le cas où f serait monotone. On traite le cas où f est croissante. En général, on vient de voir que f(]a, b[) ]l, l [, voyons si l inclusion réciproque est vraie. Le fait que f soit croissante et lim a f entraîne que pour tout x ]a, b[, f(x) l. Et de même pour tout x ]a, b[, f(x) l. D où l inclusion réciproque cherchée. Exemple: Soit n N et soit f : x x n. C est une fonction continue sur R. Supposons n pair, alors on a lim 0 f = f(0) = 0 (car 0 D f ) et lim f = +. Par conséquent, f([0, [) contient [lim 0 f, lim f[= [0, [. Mais de plus, f est monotone (croissante en fait) sur [0, [, il y a donc égalité : f([0, [) = [0, [. Donc f : [0, [ [0, [ est surjective. Enfin, f étant strictement croissante, elle est injective. Au total elle est bijective. Sa fonction réciproque s appelle la racine n, et se note n. Supposons maintenant n impair. Cette fois, f devient strictement croissante sur R. De plus, lim f = et lim f =. Donc f(], + [) contient ], [= R. De plus, f est monotone donc en fait il s agit d une égalité : f(], [) = R. (De toute manière, l inclusion f(r) R était évidente!) Au final, f : R R est bijective. Sa réciproque s appelle encore la fonction racine n et se note n. En conclusion, la fonction racine n est définie sur R si n est impair, sur R + si n est pair. Remarque : Soit p Z, q N, on peut définir la fonction x x p/q, en posant x p/q = ( q x) p : si q est impair, ceci est défini sur R si p 0, sur R sinon. On obtient donc une définition sur un intervalle plus grand que par la formule e p/q ln(x). 6.4 Rappels sur les fonctions bijectives On rappelle ici quelques propriétés des fonctions réelles, qui n ont rien à voir avec la continuité, et qui ont été prouvées (très facilement) au chapitre précédent : 1. Si f est strictement monotone, alors elle est injective. 2. Si f est bijective et strictement monotone, alors f 1 est aussi bijective, strictement monotone, et de même monotonie que f. 21

6.5 Théorème de la bijection bicontinue Lemme 6.5. Soit I un intervalle et f F(I, R). On suppose : 1. f est monotone, 2. et f(i) est un intervalle. Alors f est continue. Remarque : Il s agit d une sorte de réciproque du TVI, mais elle n est valable que pour une fonction monotone. Démonstration: On traite le cas où f est croissante. Soit a I, montrons que lim a f = f(a). On traite le cas où a n est pas extrémité de I (Remarque : : c est automatiquement le cas si I est ouvert puisque a I). Comme f est croissante, f admet des limites à droite et à gauche en a, et on a : lim f f(a) lim f. a a + Il faut montrer que les deux inégalités sont en fait des égalités. (Remarque : si a extrémité de I, il n y a plus qu une égalité à considérer, puisque une des deux limites n existe pas.) Supposons par l absurde lim a f < f(a) (raisonnement similaire si f(x) < lim a + f). Alors pour tout x I [a, [, f(x) f(a). Montrons qu en outre on a x I ], a[, f(x) lim a f : soit x I tel que x < a. Alors t [x, a[, on a f(x) f(t). Il n y a plus qu à utiliser le théorème de comparaison de limites lorsque t a : f(x) lim a f. Alors tout y ] lim a f, f(a)[ n est pas dans l image de f, ce qui contredit le fait que f(i) est un intervalle. Voici enfin le théorème ultime, dans lequel nous rassemblons un maximum d hypothèses et déduisons un maximum de conclusions sur f : Théorème 6.6. Soit I P(R) et f F(I, R). On suppose : 1. I est un intervalle ; 2. f est continue ; 3. et f est strictement monotone. Alors : 1. f est bijective de I sur f(i) ; 2. f 1 est bijective de f(i) sur I ; 3. f 1 est de même monotonie que f ; 4. f 1 est continue. Remarque : Le défaut de ce théorème est qu il ne précise pas ce que vaut f(i). Pour ce, on emploiera la proposition 6.4. Démonstration: La fonction f est strictement monotone, elle est donc injective. Nous avons choisi comme ensemble d arrivée f(i), donc automatiquement, f est surjective. (f(i) est exactement l ensemble des nombres qui ont un antécédent par f.) Ainsi, f est bijective, donc f 1 existe. Par les résultats généraux sur les fonctions bijectives (chap. 2), on sait que f 1 est également bijective, et qu elle est de même monotonie que f. Enfin, f 1 est monotone, et son image est f 1 (f(i)) = I qui est un intervalle. Alors par le lemme 6.5, f 1 est continue. Exemples: 22

La fonction racine carrée est la réciproque de c : elle est donc aussi croissante et continue. R + R + x x 2 qui est croissante, bijective et continue : 7 Image d un segment Voici à présent une amélioration du TVI plus difficile et profond que ceux du paragraphe précédent. La preuve en est hors programme. Théorème 7.1. Soit f une fonction continue. Alors l image d un segment par f est un segment. Autrement dit, si I est un segment, alors f(i) admet un maximum et un minimum. «Une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes». Ce théorème est extrêmement utile lorsqu on veut prouver qu une fonction admet un maximum ou un minimum. Exemple: Soit I un segment, et f C(I, R + ). Alors la fonction 1/f est bornée. En effet, f est continue et définie sur un segment, elle admet donc un minimum. Notons-le m, et notons x 0 I un élément de I tel que f(x 0 ) = m. Alors m R + et x I, f(x) m, donc 0 < 1 f(x) 1 m. Ainsi 1/f est bornée entre 0 et 1/m. On constate bien sûr que ce résultat n est pas vrai si I est un intervalle quelconque. Considérer l exemple de la fonction R+ R +. x x Exemple: Montrer que la fonction f : x x. ln(x) est bornée sur ]0, 1]. Il suffit de prolonger f à [0, 1] : puisque lim 0 f = 0, nous pouvons définir le prolongement f [0, 1] R : x 0 si x = x ln(x) sinon Alors f est définie et continue sur le segment [0, 1] et donc est bornée sur [0, 1]. Elle est donc aussi bornée sur ]0, 1] (car ]0, 1] [0, 1]), donc f est bornée sur ]0, 1] (car sur ]0, 1], f = f). Remarque : Cette méthode sert dans plusieurs situations : si nous avons une fonction continue sur un intervalle ouvert ]a, b[, si il est possible de la prolonger par continuité à [a, b], alors nous pouvons utiliser le théorème sur les fonctions continues sur un segment. cf exercice: 32, 36, 37 Deuxième partie Exercices 23

1 Limites Exercices sur les fonction réelles : limites et continuité Exercice 1. *! Exemples de calculs de limites Déterminer si les limites suivantes existent, dans l affirmative les calculer. On pourra utiliser les théorèmes de croissances comparées vus en terminale. 1 + x 1 x d : x (1 + x) a : x en 0 1/x en 0 f : x x. sin(1/x) en 0 x b : x x x en 0 + c : x ln(x). ln(ln(x)) en 1 + e : x x x ln(x) + x en g : x e x sin(x) en h : x x. cos(ex ) x+1 en. Exercice 2. *! exemples de fonctions n admettant pas de limite Montrer que les fonctions cos et sin n admettent pas de limite, ni en +, ni en. Exercice 3. * avec la partie entière Étudier l existence et la valeur des limites : 1) lim x 0 + 2) lim x 0 x 1 x Exercice 4. ** limite et symétrie 1 x 1 3) lim x x x 1. Soit D P(R) et f : D R. Soit a D. On suppose que f admet une limite l en a. On suppose f paire, montrer que lim a f = l. 2. Que dire si f est impaire? 3. (**) Soit f F(R, R) une fonction périodique admettant une limite en +. Montrer que f est constante. Exercice 5. *** limite d une fonction réciproque Soit l R + et f : R ] l, l[. On suppose que f est bijective et que lim f = l. Montrer que lim l f 1 =. Exercice 6. ** Une équation fonctionnelle résolue par étude de limite Déterminer les fonctions f : R + R vérifiant : (x, y) (R + ) 2, f(x) f(y) 1 x + y. Exercice 7. *** exemple où on prouve l existence d une limite Soit f :]0, 1] R + telle que lim x 0 f(x) + 1 f(x) = 2. Prouver que lim 0 f = 1. 2 Continuité Exercice 8. * exemples avec une partie entière Étudier la continuité des fonctions suivantes : 1) f : x x + x x 2) g : x x + (x x ) 2 Exercice 9. ** utilisation des limites à gauche et à droite Soit f F(R +, R). On suppose f croissante et x f(x)/x décroissante. Montrer que f est continue. Exercice 10. ** continuité et maximum Soit I P(R), et (f, g) C(I, R). Montrer que la fonction max(f, g) : x max(f(x), g(x)) est continue. 1

2.1 Densité Exercice 11. *! Suite de rationnel tendant vers un réel donné ( ) nx 1. Soit x R. Vérifier que la suite converge vers x. n N On obtient ainsi pour tout x R, une suite de nombres rationnels qui converge vers x. On dit que Q est «dense dans R». 2. On reprend x R. Avec le même principe, déterminer une suite d irrationnels tendant vers x. Les exercices suivants utilisent le résultat ci-dessus. Exercice 12. * continuité et densité Soit f F(R, R) continue et telle que r Q, f(r) = 0. Montrer que f = 0. Exercice 13. *** continuité et croissance 1) Soit f F(R, R) continue et croissante sur Q (i.e. (x, y) Q 2, x y f(x) f(y)). Montrer que f est croissante. 2) On suppose maintenant f strictement croissante sur Q, prouver qu elle est strictement croissante. Exercice 14. 1) Montrer que la fonction 1 Q : aucun point de R. ***! fonction caractéristique de Q R R x 1 si x Q 0 sinon 2) Montrer que la fonction x x.1 Q (x) est continue en un seul point de R. 2.2 Équations fonctionnelles Une équation fonctionnelle est une équation dont l inconnue est une fonction. (fonction caractéristique de Q) n est continue en Exercice 15. **! équation fonctionnelle On cherche l ensemble des fonctions f C(R, R) telles que (x, y) R 2, f(x + y) = f(x) + f(y) ( ) 1) Donner des exemples de fonctions solution. 2) Soit f une solution du problème. (a) Déterminer f(0). (b) Montrer que f est impaire. (c) On fixe pour cette question a R. Montrer que pour tout n Z, f(n.a) = n.f(a). (d) Montrer que pour tout r Q, f(r) = r.f(1). (e) Montrer que pour tout x R, f(x) = x.f(1). 3) Conclure : donner l ensemble de toutes les fonctions vérifiant ( ). 4) Vérifier que le résultat est encore valable si on suppose f continue seulement en 0. Exercice 16. *** Prolongement de l exercice précédent En utilisant l exercice 15, déterminer l ensemble des fonctions g : R R vérifiant : (x, y) R 2, g(x + y) = g(x).g(y) 2