GÉOMÉTRIE Nombres complexes Connaissances nécessaires à ce chapitre Factoriser une expression Utiliser les formules de géométrie dans les repères Représenter des angles sur un cercle trigonométrique Connaître les définitions et les valeurs particulières pour le sinus et le cosinus des angles de vecteurs Auto-évaluation Des ressources numériques pour préparer le chapitre sur manuel.sesamath.net @ Factoriser les expressions suivantes lorsque c est possible : On considère le cercle trigonométrique ci-contre dans un repère orthonormé O ; i, j. M M Ax = 4 x Bx = 4x 6 Cx = x + 5. M 4 j En utilisant le discriminant donner, lorsque c est possible, une factorisation des expressions suivantes : Fx = x 5x+6 ; Gx = x 5x+ 7. On se place dans un repère orthonormé O ; i, j. On considère les points A ; 7, B ; et le vecteur u ;. Déterminer les coordonnées des vecteurs suivants : a AB b AB+ u c AB u d AB+ u Déterminer AB, u et AB+ u. M 5 M M 6 M 7 M 8 Donner une valeur en radians pour les angles : i, OMi pour i de à 8. Placer sur le cercle les points tels que : i, OP = π/, i i, OR = π/4 On pose α i = i, OMi. Déterminer cosα i et sinα i. 4 Déterminer une solution des équations suivantes : cosx = sinx =. Voir solutions p. 49 9
Activités d approche ACTIVITÉ L imagination est sans limite! L ensemble de nombres le plus simple est celui de nombres entiers naturels, noté N et qui contient les nombres que vous connaissez depuis longtemps : 0 ; ; ;... a Quel est le nombre entier naturel qui ajouté à 7 donne? b Quel est le nombre entier naturel qui ajouté à donne 7? L exemple précédent montre que l ensemble N est «insuffisant» car certaines équations simples n y trouvent pas de solution. On peut alors utiliser l ensemble des entiers relatifs, noté Z, et qui contient N et les opposés des entiers naturels par exemple : ;. a Résoudre dans N puis dans Z l équation : x + 8 = 0. b Même question avec l équation : x + 7 = 0. De nouveau l ensemble Z est en quelque sorte insuffisant pour exprimer les solutions de certaines équations. a De quel autre ensemble de nombres a-t-on au minimum besoin pour que l équation du x+ 7 = 0 ait une solution? b Dans ce nouvel ensemble quelles sont les solutions de l équation : 9x = 6? c Décrire l ensemble de nombres dont on a besoin au minimum pour que l équation précédente ait une solution. On notera Q cet ensemble. 4 Modifier l équation précédente pour qu elle n admette pas de solution dans l ensemble des rationnels. Dans quel ensemble faut-il travailler pour pouvoir dire qu elle a deux solutions? 5 Que pouvez-vous dire de l équation x + = 0 en terme de solutions dans les ensembles de nombres précédents? 6 Compléter le schéma commencé ci-dessous, qui montre les inclusions successives des ensembles de nombres en donnant à chaque fois une équation qui n a pas de solution dans l ensemble, mais en a une dans le suivant. -, 5 ;, 7 ; -;5......- ; - ; 0 ; ;... 0 ; ;... D Z N x+ 5 = x+ 5 = 0 x = ACTIVITÉ Une vieille histoire... l équation de Bombelli À l époque de la Renaissance, les mathématiciens Girolamo Cardano 50-576, Scipione Del Ferro 465-56 et Niccolò Fontana 499-557 trouvèrent une méthode pour résoudre les équations de degré trois du type x + px + q = 0. Le principe général était acquis mais butait sur des cas comme l équation de Bombelli 56-57 : x 5x 4 = 0. Or pour cette dernière, Raffaello Bombelli savait qu il y avait trois solutions dont une évidente! 0 Chapitre G. Nombres complexes
Activités d approche Point de départ de la méthode dite de Cardan a On pose x = u+v. Et on cherche les valeurs de x telles que x 5x 4 = 0. En utilisant queu+v = u + u v+vu + v, démontrer que u et v doivent satisfaire l équation : u + v +uvu+v 5u+v 4 = 0. b En déduire que u et v sont solutions de l équation : u + v 4+uv 5u+v = 0. c Expliquer pourquoi on aura trouvé une solution dès que l on obtient u et v solutions du système : { u + v = 4 u v = 5 d Démontrer alors que les nombres u et v sont solutions de l équation : X 4X+ 5 = 0. Puis expliquer pourquoi on ne pourra pas ainsi déterminer u et v et par conséquent la solution connue. Le tour de passe-passe de Bombelli. a Néanmoins des solutions existaient et Bombelli pensait que la méthode devait les donner. Il décida alors de terminer le calcul en utilisant un nombre «imaginaire» que nous noterons. À l aide de cette notation, expliquer pourquoi l équation X 4X+ 5 = 0 a alors deux solutions : et +. b Vérifier alors que :+ = et que = +. c En déduire que la méthode permet bien de retrouver une solution attendue pour l équation de Bombelli. d À l aide d un logiciel de calcul formel comme Xcas effectuer une résolution de l équation et comparer aux résultats obtenus. ACTIVITÉ Repérage par angle et rayon Le plan est muni d un repère orthonormé O ; u, v. Représenter dans ce repère les points suivants : a les points M tels que OM =, puis N tels que u, ON = π 4 ; b le point E vérifiant les deux conditions précédentes ; c les points P tels que u, OP = 5π 6 ; d le point A tel que OA = et u, OA = π 6 ; e le point B tel que OB = et u, OA = π ; f le point C tel que OC = et u, OA = π 4. Donner les coordonnées des points A, B et C. Proposer une formule générale permettant de calculer les coordonnées d un point M connaissant u, OM et OM. Chapitre G. Nombres complexes
. Forme algébrique et représentation d un nombre complexe A. Définition et vocabulaire Il existe un ensemble noté C appelé ensemble des nombres complexes qui possède les propriétés suivantes : C contient l ensemble des nombres réels ; il contient un nombre i tel que i = ; il est muni d une addition et d une multiplication qui ont les mêmes propriétés que dans R, l ensemble des nombres réels. Exemples Les nombres ; 0 ; /4 ; sont des nombres réels donc ce sont aussi des éléments de C. À l aide du nombre i et de la multiplication : i ; i ; i... sont aussi dans C. Avec les additions, les nombres suivants sont aussi dans C : +i ; +i. DÉFINITION Tout nombre complexe peut s écrire sous la forme : z = a+ ib avec a, b R. Cette écriture est appelée forme algébrique de z : a est appelée partie réelle de z, notée Rez. b est appelée partie imaginaire de z, notée Imz. REMARQUES : Lorsque Imz = 0, z = a est réel. Lorsque Rez = 0, z = ib est appelé imaginaire pur. MÉTHODE Réduire un complexe à sa forme algébrique Ex. p. 49 Exercice d application Soient z = +i, z = +i, des nombres complexes. Déterminer les parties réelles et imaginaires des complexes : z = z z, z 4 = z. Correction z = +i +i = +i i+i = i = i. Donc Rez = et Imz =. z 4 = +i = +4i+i = +4i 4 = +4i. Donc Rez 4 = et Imz 4 = 4. Soient z = a + ib et z = a + ib deux nombres complexes : { a z = z = a b = b L écriture algébrique d un nombre complexe est unique. Chapitre G. Nombres complexes
Soient z = a + ib et z = a + ib deux complexes tels que z = z. z = z a + ib = a + ib a a = ib b Raisonnons par l absurde : si b = b alors a a b b = i. a a b b étant un réel, on aboutit à une contradiction. Donc b = b et on déduit alors de que a a = 0 donc a = a. La réciproque est claire. Exemple Soit z = x +i y, x R et y R, un complexe. On a z = 0 si et seulement si x = 0 et y = 0 c est-à-dire x = et y =. B. Représentation graphique des complexes Le plan est muni d un repère orthonormé direct : O ; OU, OV = O ; u, v. DÉFINITION Tout nombre complexe z = a+ib avec a, b R peut être représenté dans ce repère par : un unique point : Ma ; b, appelé image ponctuelle de z = a+ ib. un unique vecteur : OMa ; b appelé image vectorielle de z = a+ ib. On dit que z = a + ib est l affixe du point M et du vecteur OM. On note souvent Mz ou Ma + ib et OMz ou OMa+ib. b V O axe des imaginaires Ma+ib axe des réels U a REMARQUES : Les complexes z = a R sont les nombres réels et sont représentés sur l axe des abscisses. Les complexes z = ib, b R sont les imaginaires purs et sont représentés sur l axe des ordonnées. Le plan est alors appelé plan complexe. Exemple 4 Dans le plan complexe, on a représenté ci-contre les points d affixe z tels que Rez = Imz = Rez = Imz. Imz = 0 0 4 5 6 Rez = Imz = Rez Chapitre G. Nombres complexes
. Addition, multiplication par un réel et géométrie On se place dans le repère orthonormé O ; u, v. A. Addition Si z = a + ib et z = a + ib alors z + z = a + a +ib + b. Si z est l affixe de w et z celle de w alors z + z est l affixe de w + w. La première règle est en réalité une définition de l addition des nombres complexes et la seconde une conséquence directe de la formule des coordonnées de la somme des deux vecteurs w a ; b et w a ; b. REMARQUE : Dans la pratique, on se passe aisément de la formule en calculant avec les règles habituelles puisque : a + ib +a + ib = a + ib + a + ib = a + a + ib + b. B. Opposé d un nombre complexe L opposé du nombre complexe z = a + ib est : z = a+i b = a ib. z est l affixe du point M. L opposé de z noté z est l affixe du symétrique de M par rapport à l origine. si z est l affixe de w alors z est l affixe de w. M z V O U Mz On vérifie que z+ z = 0. En effet, z+ z = a+ ib+ a+ bi = 0. Les points M et N d affixes respectives z et z ont pour coordonnées a ; b et a ; b. La formule des coordonnées du milieu donne : le milieu des deux points est bien l origine du repère O0 ; 0. La preuve résulte directement des coordonnées de l opposé d un vecteur dans un repère. C. Soustraction Si z = a + ib et z = a + ib alors z z = z + z = a a +ib b. Si w et w sont d affixes respectives z et z alors w w est d affixe z z. Si A et B sont d affixes z A et z B alors z B z A est l affixe de AB. repères. Elle résulte des définitions et des formules des coordonnées de vecteurs dans les 4 Chapitre G. Nombres complexes
MÉTHODE Utiliser les complexes en géométrie Ex. 7 p. 49 La méthode générale consiste à : Transformer les données géométriques du texte ou les questions en terme de vecteurs puis de nombres complexes. Utiliser les règles de calcul pour résoudre le problème. Exercice d application On considère trois points A, B, C d affixes : z A = +i, z B = +i et z C = 4i. Déterminer l affixe du point D pour que ABCD soit un parallélogramme. Déterminer les coordonnées du centre de ce parallélogramme. Correction ABCD est un parallélogramme si et seulement si AB = DC c est-à-dire : z B z A = z C z D z D = z C z B + z A. On en déduit en remplaçant par les données : z D = 4i i + i = i. I est le centre du parallélogramme équivaut à : AI = IC zi z A = z C z I. On isole alors l inconnue z I et on obtient : z I = z A + z C z I = z A + z C. En remplaçant par les données : z I = i D. Multiplication d un complexe par un réel Soit z C, λ R et w d affixe z. Le complexe λz est l affixe du vecteur λ w. Exemple Soit A, B deux points du plan d affixe z A = i et z B = +i. Le vecteur AB a pour affixe : z B z A = 5+4i = 0+8i.. Inverse et quotient de nombres complexes A. Conjugué d un nombre complexe DÉFINITION Le conjugué d un nombre complexe z = a+ ib est le complexe a ib, noté z. Si z est l affixe de M, z est l affixe du symétrique de M par V O U Mz rapport à l axe des réels. M z Chapitre G. Nombres complexes 5
On prouve la seconde partie de la définition. Soit M d affixe z = a + ib et N d affixe z = a ib. En termes de coordonnées on a Ma ; b et Na ; b. Donc : d une part, le milieu de[mn] a pour coordonnéesa ; 0 et appartient donc à l axe des réels ; d autre part, on a MN0 ; b, et donc MN. u = 0. Donc, soit M = N et dans ce cas b = 0, ce qui signifie que les deux points sont confondus sur l axe des réels ; soit M = N et les deux constatations précédentes montrent que l axe des réels est la médiatrice du segment[mn]. Dans les deux cas cela prouve le résultat. z+z = Rez ; z z = iimz. z est réel si et seulement si z = z. z est imaginaire pur si et seulement si z = z. On écrit z sous sa forme algébrique z = a+ib et on a donc z = a ib. On en déduit : z+z = a+ib+ a ib = a = Rez. La seconde partie se prouve de la même façon. On a z = z z z = 0 i Imz = 0 ce qui équivaut à z R. Même méthode qu au. B. Inverse d un nombre complexe Pour tout nombre complexe z non nul, il existe un nombre complexe z tel que zz =. Ce nombre s appelle l inverse de z, noté et il est tel que : z z = z z z. Si z = a+ib = 0 alors la forme algébrique de z est : z = a a + b + i b a + b. Soit z = 0. z z = a+iba ib = a ib = a + b est un réel positif non nul. Il admet donc un inverse dans R que l on note z z. On a donc z z = et donc z z =. Le nombre complexe z admet z z z z donc un inverse dans C qui est z et on en déduit facilement la forme algébrique. z z Exemple Dans la pratique, on effectue une multiplication par le conjugué du dénominateur pour se ramener à un dénominateur réel. z = i. On a z = i = i i i = i 4 = i. z = +i = i + i i = i 4+9 = i. 6 Chapitre G. Nombres complexes
C. Quotient d un nombre complexe DÉFINITION Soient z et z = 0 deux nombres complexes. On définit leur quotient par : z z = z z. MÉTHODE Calculer et utiliser le quotient des nombres complexes Ex. 45 p. 5 Exercice d application Résoudre l équation : + iz = + i. Correction On procède comme pour les nombres réels en isolant l inconnue z : +iz = + i +iz = 5+i z = 5+i +i L unique solution est donc le nombre complexe : z = 7 i. = 5+i i +i i = 7 i. D. Opérations avec les conjugués des nombres complexes Soient z et z deux nombres complexes. z = z 4 z n = z n, n entier naturel. z z + z = z + z 5 = z, z = 0. z z z z = z z On prouve la troisième égalité, les deux premières se faisant de la même manière dans un contexte plus simple. On écrit les complexes z et z sous forme algébrique : z = a + ib et z = a + ib. On a alors : z z = a a b b +ia b + a b = a a b b ia b + a b. D autre part : Ce qui donne bien l égalité cherchée. z z = a ib a ib = a a + b b i ia b + a b = a a b b ia b + a b L égalité 4 se démontre par récurrence voir exercice 6. z Pour l égalité 5 : z = z z = z z z d après la propriété. Donc en redivisant par z = 0 on obtient bien le résultat du 5. Exemple Démontrons que S = +i 5 + i 5 est un nombre réel. On a+i 5 = +i 5 = i 5. Donc S = z+z = Rez avec z = +i 5. S est donc bien un nombre réel. Chapitre G. Nombres complexes 7
4. Équations du second degré Pour tout nombre réel non nul a, l équation z = a admet deux racines dans C : Si a > 0, les racines sont a et a. Si a < 0, les racines sont i a et i a. EXEMPLES : Les solutions de : z = 6 sont 4 et 4. Les solutions de z = 5 dans C sont i 5 et i 5 alors que cette équation n a aucune solution dans R Soit az + bz+c = 0, a R, b R et c R. = b 4ac le discriminant de cette équation. Si = 0, l équation a une unique solution dans R : z 0 = b a. Si > 0, l équation a deux solutions dans R : z = b et z = b+. a a < 0, l équation a deux solution dans C qui sont conjuguées : z = b i a et z = b+i. a Les deux premiers cas ont été traités en classe de Première. Pour le dernier, on part de l écriture canonique : Si < 0 alors az + bz+c = a [ z+ b ] a 4a. est strictement négatif mais on peut l écrire sous la forme d un carré : 4a 4a = i. a On peut donc poursuivre la factorisation à partir de la forme canonique à l aide de l identité A B = A BA+ B : az + bz+c = a z+ b a i z+ b a a + i. a Comme a = 0, l utilisation de théorème sur les produits de facteurs nuls donne bien le résultat. REMARQUES : Toute expression Qz = az + bz+c, a R, b R et c R, se factorise dans C et : Qz = az + bz+c = az z z z. Qz = az + bz+ c = a z + b a z+ c = a z Sz+ P avec : a S = z + z = b a et P = z z = c a. 8 Chapitre G. Nombres complexes
MÉTHODE 4 Résoudre une équation du second degré dans C Ex. 5 p. 5 Exercice d application Résoudre l équation : z z =. Correction On ramène à un second membre nul : z z+ = 0. On peut alors calculer le discriminant : = 4 = 8. Le discriminant est strictement négatif, il y a donc deux solutions dans C : z = i 8 = i et z = +i 8 = +i qui sont bien complexes conjuguées. 5. Module et argument d un nombre complexe A. Définition géométrique DÉFINITION Soit z un complexe. M ou w un point ou un vecteur d affixe z. On appelle module de z la distance OM ou la norme w. Le module de z est noté z. Si z = 0, on appelle argument de z une mesure en radians de l angle u, OM ou u, w. Un argument de z est noté argz. Le complexe nul n a pas d argument et a pour module 0. V O z = OM argz U Mz REMARQUE : argz peut prendre une infinité de valeurs différentes : si θ est une mesure de argz alors θ+kπ est une autre mesure de argz pour k Z. On notera : argz = θ [π] et on dit que l argument de z vaut θ «modulo π» ou «à π près». Exemples i = OV = et argi = u, OV = π. Soit M d affixe 4 on a ; 4 = OM = 4 et arg 4 = u, OM = π. Soit M d affixe +i on a : +i = OM = + = d après la formule des distances arg+i = u, OM = π 4 la diagonale du carré OUM V étant la bissectrice de u, v. Chapitre G. Nombres complexes 9
MÉTHODE 5 Déterminer un ensemble de points Ex. 60 p. 5 Exercice d application Déterminer dans le repère orthonorméo ; u, v l ensemble des points M d affixe z tels que : z = argz = π [π] Correction z = OM =. Donc l ensemble des points M tel que z = est un cercle de centre O et de rayon. argz = π [π] u, OM = π [π]. Donc l ensemble des points M tel que argz = π [π] est une demi-droite d origine O, privé de O, de vecteur directeur u tel que u, π u = [π]. B. Calcul algébrique du module et d un argument Soit z = a+ ib un complexe. z = z z = a + b. Si z = 0 alors θ = argz peut être déterminé par : cosθ = a z sinθ = b z MÉTHODE 6 Déterminer le module et un argument d un nombre complexe Ex. 6 p. 5 Exercice d application Déterminer le module et un argument du complexe z = +i. Correction On calcule d abord le module : z = + =. cosθ = On cherche donc θ = argz tel que essa sinθ = cosθ = θ = π π [π] cosθ = cos ou θ = π [π] Or sinθ > 0 donc argz = θ = π [π]. 40 Chapitre G. Nombres complexes
C. Égalité de deux nombres complexes par module et argument Deux nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement si ils ont même module et même argument. La preuve résulte directement des formules précédentes. REMARQUES : z = 0 z = 0. z R argz = 0 ou π [π] ou z = 0. z est un imaginaire pur argz = π [π] ou z = 0. Attention, pour l égalité des arguments, il faut la penser «à π» près. 6. Forme trigonométrique d un nombre complexe A. Définition DÉFINITION Tout nombre complexe non nul peut s écrire sous la forme z = rcosθ + i sinθ avec r = z et θ = argz [π]. Cette forme s appelle forme trigonométrique de z. REMARQUES : Dans l écriture sous forme trigonométrique, on peut remplacer θ par n importe quelle valeur θ+ kπ, k entier relatif. ATTENTION dans l écriture z = rcosθ + i sinθ il est crucial d avoir r > 0. π π Par exemple : z = cos + i sin n est pas une forme trigonométrique car 6 6 n est pas strictement positif. B. Passage d une forme à l autre Soit z un complexe non nul. z = a+ib = rcosθ+i sinθ z = a + b cosθ = a z sinθ = b z a b = r cosθ = r sinθ REMARQUE : Pour déterminer la forme trigonométrique z = rcosθ + i sinθ d un complexe, on reprend la méthode 6 pour la détermination de r et de θ. Chapitre G. Nombres complexes 4
7. Module, argument et opérations avec les nombres complexes Dans les deux théorèmes qui suivent z et z sont des nombres complexes. z z = z z = z arg z = argz+π [π] pour z = 0. z = z argz = argz [π] pour z = 0. 4 z z = z z argz z = argz+argz [π] pour z = 0 et z = 0. 5 z n = z n pour n N argz n = n argz [π] si z = 0. Ce point a été déjà prouvé précédemment. Il suffit d utiliser la propriété de symétrie par rapport à l origine. De même avec la symétrie par rapport l axe des ordonnées. 4 Si z = 0 ou z = 0, alors zz = 0 et z z = 0 d où l égalité. Si z, z C alors : z = rcosθ+i sinθ et z = r cosθ +i sinθ. zz = rr cosθ cosθ sinθ sinθ +icosθ sinθ +cosθ sinθ. Ce qui donne d après les formules d addition pour sinus et cosinus : zz = rr cosθ+ θ + i sinθ+ θ. Or, rr > 0 donc zz = rr = z z et argzz = θ + θ = argz+argz [π]. Ce qui prouve bien le point 4. 5 Ces égalités se montrent par récurrence. z = 0 : z = z z = 0 : z z = z z arg = argz [π] z z arg z = argz argz [π] pour z = 0 z est un complexe non nul. On a z z = qui donne d une part z z = c est-à-dire z z =. Et enfin z = z. D autre part, arg z = arg[π] donne argz + arg = 0[π]. z z On en conclut le point. z et z deux complexes avec z = 0 z = z z z = z z = z z = z z z et si z = 0 : arg z = arg z z = argz+arg z = argz argz [π]. 4 Chapitre G. Nombres complexes
MÉTHODE 7 Comment utiliser les propriétés des modules et arguments Ex. 80 p. 55 Exercice d application z = +i et z = 6 i deux nombres complexes. Déterminer le module et un 6 argument de z z. Déterminer la forme algébrique de 06 + i. Correction z = + = et z = 6 + 6 =. Donc : z z = z z = =. cosθ = θ = argz est tel que sinθ = sinθ = θ = π 6 [π] ou 5π 6 [π], or cosθ < 0 donc θ = 5π 6 [π] 6 cosθ = cosθ = θ = argz est tel que 6 sinθ = sinθ = cosθ = θ = π π [π] ou [π], or sinθ > 0 donc θ = π [π]. Donc : argz z = argz +argz = 5π 6 + π = 7π 6 On remarque : z = + i = z et donc : [π]. z = z = et argz = argz +π[π] = π [π] arg z 06 = 06 argz = 06 π [π] = 67 π[π] = 0[π]. De plus z = donc z 06 = z 06 =. On en déduit : z 06 = cos0+i sin0 =. 8. Applications des nombres complexes à la géométrie Soient A et B deux points distincts d affixes respectives z A et z B. AB = AB = z B z A et argz B z A = u, AB [π]. Soient A, B, C et D quatre points distincts d affixes respectives z A, z B, z C et z D. zd z arg C = AB, CD [π]. z B z A Chapitre G. Nombres complexes 4
Soient A et B deux points distincts d affixes respectives z A et z B. Il existe un unique point M d affixe z tel que OM = AB. Les affixes de ces deux vecteurs sont donc égales ce qui donne : z = z B z A. On en déduit que z = z B z A et argz = argz B z A [π]. Donc OM = AB = z B z A et u, OM = u, AB = argz B z A [π]. Soient A, B, C et D quatre points distincts d affixes respectives z A, z B, z C et z D. Par les propriétés de l argument on a : zd z arg C = argz z B D z z C argz B z A. A Ce qui donne par définition de l argument : zd z arg C z B z A = u, CD u, AB = AB, u + u, CD = AB, CD [π] la dernière égalité résultant de la relation de Chasles pour les angles de vecteurs. MÉTHODE 8 Ensembles de points Ex. 64 p. 5 Exercice d application Dans chacun des cas suivants, déterminer l ensemble des points M d affixe z satisfaisant la condition : z+ i =. z = z+ +i. argz i = π 4 [π]. z +i arg = π z+ [π]. Correction z+ i = z +i = AM = avec A point d affixe z A = + i. Donc M appartient au cercle de centre A ; et de rayon. z = z++ i z = z i BM = CM avec B d affixe z B = et C d affixe z C = i. Donc M appartient à la médiatrice de [BC]. argz i = π 4 [π] argz +i = π 4 d affixe z E = +i. [π] u, EM = π [π] avec E 4 Donc M appartient à la demi-droite d origine E privé de E, de vecteur directeur u tel que u, π u = 4. z +i arg = π [π] GM, FM = π z+ [π] avec F d affixe z F = i et G d affixe z G =. Donc M appartient au cercle de diamètre[fg] privé des points F et G. 44 Chapitre G. Nombres complexes
REMARQUES : AB, Trois points distincts sont alignés si et seulement si : AC = 0[π] ce qui équivaut à : zc z arg A = 0 [π] z C z A est un réel non nul. z B z A z B z A Un triangle ABC est rectangle en A si et seulement si : zc z arg A z B z A AB, AC = π [π] ; c est-à-dire : = π [π] et B = A et C = A z C z A z B z A est un imaginaire pur non nul. MÉTHODE 9 Nombres complexes et configurations géométriques Ex. 7 p. 54 Exercice d application A, B, C trois points d affixes respectives : z A = i, z B = +i, z C = i. Démontrer que le triangle ABC est isocèle rectangle en B. Correction AB = z B z A = i = donc ABC isocèle en B. D autre part : + = 5 et BC = z C z B = i = +i = 5 z A z B = + i z C z B i = +i +i = i. +4 za z Donc BA, BC = arg B = argi = π [π] donc ABC est rectangle en B. z C z B 9. Forme exponentielle Soit f la fonction définie sur R par : fθ = cosθ+i sinθ. fθ est un nombre complexe de module et d argument θ. Grâce aux formules d addition pour le sinus et le cosinus on montre que : fθ+θ = fθ fθ, ce qui est la propriété fondamentale de la fonction exponentielle dans R. Comme de plus f0 =, on convient de noter par analogie : cosθ+ i sinθ = e iθ. A. Écriture exponentielle des complexes de module DÉFINITION Tout nombre complexe de module et d argument θ peut s écrire sous la forme : cosθ+i sinθ = e iθ. Chapitre G. Nombres complexes 45
Exemples Placer sur le cercle trigonométrique les points M i d affixes z i tels que : z = e i π ; z = e iπ ; z = e i π ; z4 = e iπ ; z 5 = e i π. La forme algébrique des complexes précédents est : z = e i π π π = cos + i sin = i ; M M 5 M V M 4 z = e iπ = cosπ+ i sinπ = ; z = e i π π π = cos + i sin = i ; z 4 = e iπ = cosπ+ i sinπ = ; z 5 = e i π π π = cos + i sin = + i. O M U B. Cas général DÉFINITION Tout complexe z = 0 s écrit sous la forme z = re iθ avec r = z et θ argz[π]. Cette écriture est appelée «forme exponentielle du complexe z». Réciproque : Si z C et z = re iθ avec r > 0 alors r = z et θ = argz[π]. REMARQUE : Pour déterminer la forme exponentielle d un complexe z, on reprend la méthode 6 pour la détermination de r et de θ. Exemples Déterminons la forme exponentielle de z = i et z = +i. On peut déterminer le module et un argument par la méthode précédemment donnée mais on peut aussi opérer de la manière suivante : π π z = i = +0i = cos + i sin = e i π z = +i = + i Déterminons la forme algébrique de z = 4e i π : z = 4 cos π + i sin = π π cos + i sin = 4 4 e i π 4. π = 4 + i = +i. C. Calculs avec la notation exponentielle Pour tous nombres réels θ, θ : e iθ e iθ = e iθ +θ e iθ n = e inθ, n Z 4 eiθ e iθ = e iθ = e iθ e iθ = eiθ θ 46 Chapitre G. Nombres complexes
REMARQUES : Ces propriétés sont admises. Elles résultent du fait que e iθ = et des propriétés des arguments. La propriété s appelle formule de Moivre quand on l écrit sous la forme cos θ+i sin θ n = cosnθ+i sinnθ, n Z MÉTHODE 0 Utilisation de la forme exponentielle Ex. 86 p. 56 Exercice d application Mettre sous forme exponentielle : z = +i, z = e i π 6 z, z = z Déterminer les entiers n tels que z n est un nombre réel. Soit Z = +i un complexe. 6+i a Déterminer la forme exponentielle du complexe Z. b Déterminer la forme algébrique du complexe Z. En déduire les valeurs exactes de π π cos et sin. e i π 6. Correction En employant la méthode 6 on trouve z = puis argz = 5π 6 [π]. Donc z = e i 5π 6. On en déduit : z = e i π 6 e i 5π 6 = 4e i π 5π 6 e 6 = 4ie i 9π 6 = 4e i π = 4i et z = ei 5π 6 = 4 5e i 5π 6 5 ei 5π 6 + π 4 6 = 5 eiπ = 4 5. z = e i π n 6 et donc z n = e i π 6 = n e i nπ 6. z n est réel nπ = 0[π] il existe k Z tel que nπ = kπ n = 6k. 6 6 Donc z n est réel si et seulement si n est un multiple de 6. a On a : +i = e i π 4 et 6+ i = e i π 6 donc Z = +i e i π 4 = 6+i = e i π 6 ei π 4 π 6 = ei π est la forme exponentielle de Z. b Z = +i 6 i 6+ 6 = + i est la forme algébrique de Z. 8 8 8 On a donc : π 6+ 6 ei = + i. 8 8 D où : π π 6+ 6 cos + i sin = + i. 8 8 π 6+ π 6 On en déduit : cos = et sin =. 4 4 REMARQUE : La notation exponentielle permet de retrouver les formules d addition pour le cosinus et le sinus. Voir l exercice 9. Chapitre G. Nombres complexes 47
S entraîner Activités mentales Pour chacun des nombres suivants, dire s il est réel, imaginaire pur ou complexe quelconque. Déterminer ses parties réelles et imaginaires. z =. 5 z 5 = i 4. z = + i. 6 z 6 = 5 i. z =. 7 z 7 = 7 i 4 z 4 = i 8 z 8 = i + i Mettre les résultats des opérations suivantes sous forme algébrique : + i+ i 4 i 6 i i 4 +i Mettre les résultats des opérations suivantes sous forme algébrique : z = i+i z = 5 i5+ i z = +i i 4 z 4 = +i 4 Déterminer les affixes des points repérés ci-dessous. C + A + C F D 0 A 0 6 Pour chacun des nombres complexes suivants, dire s il est sous forme trigonométrique et déterminer, si c est le cas, son module et son argument. z = 5 cos π + i sin π z = cos π + i sin π E G B E + + z = cos π 5 + i sin π 5 4 z 4 = cos π 4 i sin π 4 5 z 5 = cos π + i sin π 6 D + B + 0 + I + 6 z 6 = i sin π 7 z 7 = cos π + i sin π 8 z 8 = 4 cos π + sin π F + H + G + 7 Mettre les résultats des opérations suivantes sous forme exponentielle : 5 Sur le graphique suivant, on a représenté des points et le cercle de centre l origine et de rayon. Donner le module et un argument de leurs affixes. e i π 6 e i π 6 4 e i π 9 5 e i π e i π 7 ei π 5 e 4i π 5 6 e i π 6 e i π 48 Chapitre G. Nombres complexes