Chpitre 3 Nomres reltifs en ériture frtionnire Compétenes : Exemples 'tivités, ommentires :. Déut : 29/09 fin 10/10 Remrques : Ex N 7,8,12,15,18,19,20,62,95 p1 Interrogtion I 3 DM N 3 QCM poly ou 101 p8 DST n 3 poly 5/5 Démonstrtions : Ativités 1 ;2 ;3 ;5 ;6 et 7 I. Quotients e nomres reltifs et ériture frtionnire 1) Quotients égux Ativité 1 * - Démonstrtion, et k ésignent trois nomres reltifs ve 0 et k 0 On note q le quotient e pr, est à ire q D près l éfinition u quotient q D où : q k k Ainsi le nomre q, multiplié pr k, onne k k Don q k k Nous pouvons onlure que q et on que k. k k Propriété émontrée : Un quotient e eux nomres reltifs ne hnge ps lorsqu on multiplie ou l on ivise son numérteur et son énominteur pr un même nomre non nul. Autrement it :, et k ésignent trois nomres reltifs ve 0 et k 0 : k : k et k : k 7 7 2 1 9 9 : 3 3 6 6 2 12 33 33: 3 11 Propriété mise : Quels que soient les nomres et ( 0), on : et 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 Pge 1 sur 6
2) Prouits en roix Ativité 2 * Conjeture et émonstrtion 1)) 8 2 12 3 et 6 3 2 3 9 3 3 3 ) 89 72 612 72 Les prouits «en roix» 89 et 612 sont égux. ) Je peux onjeturer que pour vérifier si eux nomres frtionnires sont égux il suffit e vérifier si leurs prouits en roix sont égux. 2),, et ésignent qutre nomres reltifs ve 0 et 0 ) On suppose que D près l propriété émontrée ns l tivité 1 nous pouvons érire que : et que Or on Les énominteurs es eux nomres prééents sont égux, on peut en éuire que leurs numérteurs sont égux. ) Si, lors 3),, et ésignent qutre nomres reltifs ve 0 et 0 Nous svons que D près l propriété émontrée ns l tivité 1 : Or on D près l propriété émontrée ns l tivité1 : (simplifition pr ) Don : Nous pouvons en onlure que : «Si, lors» Propriété et propriété réiproques émontrées :,, et ésignent qutre nomres reltifs ve 0 et 0 Si lors Et réiproquement Si lors Remrque : Lorsqu on psse e l églité à on it que l on érit «l églité es prouits en roix» Pge 2 sur 6
Les frtions 18 23 et 90 sont-elles égles? 115 18115 2070 et 90 23 2070 Nous onsttons que 18115 90 23 Les prouits en «roix» sont égux 18 90 on 23 115 Les frtions 17 85 et sont-elles égles? 23 92 1792 156 et 85 23 1955 Nous onsttons que 1792 85 23 Les prouits en «roix» ne sont ps égux 17 85 on 23 92 II. Aition, soustrtion et éritures frtionnires 1) Dénominteurs égux Ativité 3 * Conjeture et émonstrtion Prtie 1 5 2 1))L ériture éimle e est 1,25 et e est 0,5; 5 2 Nous en éuisons que l ériture éimle e est 0,75 5 2 3 ) 2) L propriété mise en 5 e : Pour luler l somme (ou l ifférene) e eux nomres en ériture frtionnire e même énominteur, on itionne (ou on soustrit) les eux numérteurs et on gre le énominteur ommun semle ussi s ppliquer ux nomres reltifs. Prtie 2, et ésignent trois nomres reltifs ve 0 On note q et q D près l éfinition u quotient q et q D où q q D près l propriété e simple istriutivité (ftoristion) : () q q Don q q Nous pouvons en onlure que Prtie 3 3 3 1)) L opposé e est 7 7 ) Nous en éuisons que 5 () 3 5 3 8 7 7 7 7 7 2) On note q et q D près l éfinition u quotient q et q D où q q D près l propriété e simple istriutivité (ftoristion) : () q q Don q q. Nous pouvons en onlure que Pge 3 sur 6
Propriété émontrée: Pour itionner ( ou soustrire) eux nomres reltifs en ériture frtionnire e même énominteur, on itionne ( ou on soustrit) les numérteurs et on gre le énominteur ommun Autrement it :, et ésignent trois nomres reltifs ve 0 : 3 12 312 9 Ativité 2) Dénominteurs ifférents 1) On ne peut itionner filement 2) ) 3 6 9 12 15 8 16 2 32 0 5 10 15 20 25 30 35 6 12 18 2 30 36 2 3,5 9 3,5 9 5,5 6 6 6 6 3 5 et 8 6 ) Les eux frtions que l on peut itionner filement sont Le énominteur e es eux frtions est 2 Ce nomre est un multiple ommun à 8 et 6. 3 5 9 20 9 20 11 ) 8 6 2 2 2 2 et 7 11 7( 11) 9 9 9 9 9 r les énominteurs sont ifférents. 9 20 et 2 2. Propriété mise : Pour itionner ( ou soustrire) eux nomres reltifs en ériture frtionnire qui n ont ps le même énominteur, on ommene pr les réuire u même énominteur. Nous pouvons lors ppliquer l propriété vue pour Aition, Soustrtion lorsque les énominteurs sont les mêmes III. Multiplition et éritures frtionnires Ativité 5 * Conjeture et émonstrtion Prtie 1 11 1) ) L ériture éimle e est e 2,2 et elle e 7 est e 3,5 ; 5 2 11 7 Nous en éuisons que l ériture éimle e : est 7,7. 5 2 11 7 77 ) 5 2 10 2) L propriété mise en 5 e : Pour multiplier eux nomres en ériture frtionnire, on multiplie les numérteurs entre eux et les énominteurs entre eux semle ussi s ppliquer ux nomres reltifs. Pge sur 6
Prtie 2,, et ésignent qutre nomres reltifs ve 0 et 0 On note q et q D près l éfinition u quotient nous vons : q et q Don : q q q q Le nomre q q, multiplié pr le nomre, onne Don : q q Nous pouvons en onlure que q q et on que Propriété émontrée : Pour multiplier eux nomres reltifs en ériture frtionnire, on multiplie les numérteurs entre eux et les énominteurs entre eux. Autrement it :,, et ésignent qutre nomres reltifs ve 0 et 0 : Remrque : il vut mieux éterminer le signe u prouit et simplifier vnt e multiplier. 15 7 157 537 3 3 9 10 910 775 2 7 2 1 Cs prtiulier :, et ésignent trois nomres reltifs ve 0 : Exemple : 3 5 3 15 5 13 13 13 IV. Inverse un nomre non nul Ativité 6 * - Conjeture et émonstrtion 1) 1 1 2 1 ( 2) 1 2 2 1 1 0,1 1 1 0,1 2) L inverse e 2 est 1 2, e 2 est 1 2, e 0,1 est 1 0,1 3) x est un nomre reltif non nul. 1 x1 x x 1. x x x, e est 1, e 1 est 1, e 1 est -1 L inverse u nomre x est 1 x ) et sont eux nomres reltifs non nul. L inverse u nomre est en effet 1 5) Le nomre 0 n ps inverse en effet il n existe uun nomre qui multiplié pr 0 onne 1. Pge 5 sur 6
Définition : Deux nomres reltifs sont inverses lorsque leur prouit est égl à 1. Propriété émontrée : x ésigne un nomre reltif non nul. L inverse e x est 1 x. Propriété émontrée : et ésignent eux nomres reltifs non nuls. L inverse e est Exemple : L inverse e 3 7 est 7 3. Remrque : Il ne fut ps onfonre l opposé un nomre et son inverse. 3 pour opposé 3 et pour inverse 1 3 V. Division et éritures frtionnires Ativité 7 * - Démonstrtion,, et ésignent qutre nomres reltifs non nuls. 1) 1 1 2) 1 : 3) «Diviser un nomre non nul revient à multiplier pr son inverse» ) : Propriété émontrée : Diviser un nomre non nul revient à multiplier pr son inverse. Autrement it : 1 et ésignent eux nomres reltifs ve 0 : : Exemple : 3 1 3: 2 3 3 0,5 1,5 2 2 Cs prtiulier :,,, représentent qutre nomres reltifs ve 0, 0 et 0 5 7 3 3 12 : 7 5 3 5 7 57 35 3 8 5 8 7 8 1 81 8 : 7 5 1 5 7 57 35 9 5 7 97 63 9 : 9 5 7 5 5 5 7 : : Pge 6 sur 6