Poduit scalaie Ouvetue Ce chapite est la suite de celui de pemièe dans le plan Le polongement à l espace est atificiel puisque de toute façon pou calcule le poduit scalaie de deux vecteus dans l espace, on va utilise un plan les contenant tous les deux, ou plutôt contenant deux epésentants, ce qui est donc toujous possible En evanche, cela pemet de compléte le chapite pécédent su la géométie vectoielle dans l espace On poua efomule la question de la manièe suivante : quelle elation peut-on déduie ente la valeu du tavail et le mouvement ectiligne unifome? Réponse à la question au t M(t) au n cette foce S il est nul, cela veut die que la foce ne change pas l énegie cinétique du système Pa conséquent, la foce centipète ne change pas la nome du vecteu vitesse du point, mais elle modifie sa diection En effet, si la foce n était pas pésente, le point cesseait son mouvement ciculaie et se déplaceait en mouvement ectiligne unifome le long de u t, confomément à la e loi de Newton Suivant cette loi, dans les éféentiels galiléens, un point matéiel est soit au epos soit en mouvement ectiligne unifome Autement dit, s il n y a pas de foce s exeçant sn cops (cops isolé), ou si la somme des foces (foce ésultante) s exeçant su lui est égale au vecteu nul (cops pseudo-isolé), la diection et la nome de sa vitesse ne changent pas (mouvement ectiligne unifome) La foce ésultante étant égale au vecteu nul, son tavail est nul Cependant, cela ne veut pas die que si le tavail est nul alos la foce ésultante est nulle et que le point est en mouvement ectiligne unifome Véifie ses acquis O R a b c 4 a b d b 4 d c d a 4 d Un point matéiel en mouvement ciculaie unifome a pou tajectoie un cecle de ayon R Pou décie ce mouvement on utilise le epèe de Fénet compotant les vecteus unitaies u t, tangent à la tajectoie du point en M, dans le sens du mouvement, et u n, othogonal à la tajectoie du point en M, ves le cente du cecle O Un petit déplacement du du point se fait le long du vecteu tangent u du duu t t La foce centipète est popotionnelle à l accéléation centipète : v a R u n Le tavail de la foce centipète est nul tout au long de la tajectoie ciculaie ca le vecteu du déplacement et le vecteu de la foce sont pependiculaies (cos( u t, u n) 0) Le tavail d une foce est esponsable de la vaiation de l énegie cinétique du système qui subit 66 n Chapite n Poduit scalaie 4 b a b 4 b 5 b b b 4 b 5 c 6 b 7 b Activités d intoduction Activité L objectif de cette activité est de faie découvi le poduit scalaie dans l espace a Le plan (ABF) qui passe aussi pa E b AB AF AB a a AC AG AC a uu b CG BH BF BH BF a éditions Belin, 0
c CF HM DE HM DE HD DE DM a a -a - d AE CD 0 a AB AC a, AB CN DC CN - a et AB AN a b On etouve : AB AN AB AC AB CN 4 a u uu uu BC CG GHEF FG uu uu uu BC EF BC FG CG EF CG FG GH EF GH FG 0 a 00- a 0 0 b On en déduit que : BH EG 0 donc que les doites (BH) et (EG) sont othogonales 5 a AG DF AD DH HG DC CG GF AD DC AD CG AD CF DH DC DH CG DH GF HG DC HG CG HG GF 00- a 0 a 0 a 00 a b (AG) et (DF) sont dans le plan (ADF) ca ADGF est un ectangle De plus les diagonales [AG] et [DF] ont même longueu a, donc le poduit scalaie pécédent donne l équation : a a a cosq qui donne : cosq, soit : qª70, 5 o Activité L objectif de cette activité est de touve l équation catésienne d un plan dans l espace a A(0 ; 0 ; 0), B( ; 0 ; 0), C( ; ; 0) et D(0 ; ; 0) b Ils ont tous la même cote z = 0 c (ABE) : y = 0, (ADE) : x = 0, (EFG) : z = et (CDG) : y = a (AD) : y = x b E(0 ; 0; ) et G( ; ; ) véifient aussi cette elation c (BDF) : y = x + uu uu uu uu a DF BE DA BE AF BE 0 uu uu et DF BG DC BG CF BG 0 b La doite (DF) est othogonale à deux doites sécantes du plan (BEG), elle est donc othogonale à ce plan c Et pa conséquent elle est othogonale à toutes les doites du plan (BEG) d DF( ; ; ) e DF BM ( x -) ( - ) y z x -- y z donc une équation du plan (BEG) est : x - y z - 0 f Les coefficients des inconnues sont les coodonnées du vecteu DF Activité Dans cette activité on cheche à découvi des popiétés paticulièes du tétaède égulie a Pou constuie O, on découpe le segment [AA ] en quate paties égales et on en compte tois à pati de A b OA OB OC OD u u u uuuu OA OA AB OA AC OA AD u uuuu OA OA 4OA AA 0 a AB CD AB CB AB BD a cos p - a cos p 0 ca les tiangles sont équilatéaux b On en déduit que les aêtes opposées sont othogonales u u c AA BC AD BC DA BC 00 0 ca (DA ) est hauteu dans BCD d On en déduit que les hauteus sont othogonales à leu face opposée a Le théoème de la u médiane u donne uuu : OC-OB OK BC OA BC AK BC 0 b On en déduit que O est le cente du cecle ciconscit au tétaède Chapite n Poduit scalaie n 67 éditions Belin, 0
Tavaux patiques Les tavaux patiques de ce chapite sont tous inspiés de sujets de l épeuve patique TP TICE À la echeche de l angle doit Patie A On conjectue l existence d un aute point qui annule ce poduit scalaie, c est-à-die qu en ce point (MA) et (MC) sont othogonales TP TICE C Tétaède tiectangle Patie B Le théoème de Thalès donne : M(x ; x ; x) - xˆ -x ˆ fx () MA MC -x - x x -x -x -x Donc l équation a pou solution : x 0 ou x Le point coespondant est donc situé aux deux ties à pati de D su [DF] H TP TICE Recheche d un minimum O M B On conjectue à l aide d un logiciel que la valeu minimale du poduit scalaie est 0,5 pou le point M au milieu du segment [AC] u -xˆ -xˆ MO MB 0 x z, qui est minimal -z -z A On conjectue que le point H décit un ac de cecle On conjectue que la distance est minimale quand M est en A ou en B et qu elle est maximale quand M est au milieu de [AB] u uu uuu a CM CO CM CH HO CH CM CO b L égalité pécédente qui s écit CH CM CO monte que quand CM est gand alos CH est petit et invesement quand CM est petit alos CH est gand Donc CH est minimale quand M est en A ou B et CH est maximale quand M est au milieu du segment 4 La longueu minimale est : et la longueu maximale est : 4 6 6 c Comme ces deux longueus sont distinctes, on en déduit que le point H ne décit pas un ac de cecle pou x z ce qui véifie les conjectues 4TP TICE 4 Où est le tiangle ectangle? On conjectue à l aide d un logiciel que le poduit scalaie s annule quand le point M est au milieu du segment [BC] On pose MB = x et on appelle a la longueu des aêtes du u tétaède uu u égulie uu alos : MI MJ MB BIMC CJ uu u MB MC MB CJ BI MC 0 a p a p -xa ( - x ) x cos ( a - x)cos a a x - ax x ( a - x ) a aˆ x - ax - x 4, qui s annule bien quand M est au milieu de [BC] 5TP TICE 5 Distance d un point à un plan n( ; ; ) 68 n Chapite n Poduit scalaie x a t y b- t c t éditions Belin, 0
Les coodonnées de H véifient : ( a t) -( b- t) ( c t) - 4 0 ce qui donne : t -a b- c 4 comme paamète et donc : 4 ˆ ( a b- c ) H ( ab c - 4) (-a bc 4) 4 On utilise l inégalité tiangulaie 5 On a : MH t -a b- c 4 6 Pou a = b = c =, on obtient : AH 7 N est le symétique de M pa appot à H donc H est le milieu de [MN] ce qui donne : ˆ ( ab-c 8) N ( a b c 8 - ) et dans le cas du point A, (- a b c 8 ) on obtient son symétique ( ; ; ) Execices Maîtise le cous a Vai b Faux c Faux d Faux e Vai a c b 4 a 5 b a Faux b Vai c Faux d Vai e Vai 4 a Faux b Vai c Vai d Faux e Vai 5 a Faux b Vai c Vai d Faux e Vai 6 c d b 4 a 7 a Faux b Vai c Faux d Vai 8 c b d Applique les capacités attendues 0 a AG BG a b GA BD 0 uu c BE BH a d AC DG EG DG a uu uu a AB AI a b AE AI a uu uu uu uu uu a a c AF AI AE AI EF AI a uu u d AB AJ AB AF AB FJ a0 a uu uu e DJ DC DG DC GJ DC a0 a u f BH BI a uu u u a JE FI 0 b KE FI 0 uu uu u a a c BG AI BG AB BG BI 0 uu uu a a d BC AJ BC AB BC BJ 0 u uu u a a a EI EK EF EK FI EK 0 u a EI EK b cosiek EI EK 5a 5 4 4 a u v b AB AC 5 c u v - 5 u et w 6 a Rectangle en B b Rectangle en C c Rectangle en A d Rectangle en A 7 a ABC isocèle en B, ca AB = BC = 9 b AB AC AB AC cos BAC donne : 5 9 5 cosbac, d où : cosbac 5 8 et donc : BAC ª 66, 9o De même : BA BC BA BC cos ABC donne : 56 9 9cosABC, d où : cosabc 56 et donc : 8 ABC ª 46, o Ainsi ACB ª 66, 9o 8 Le tiangle ABC est ectangle en B, ca : AB 4, BC 45 et AC 79 9 Le quadilatèe ABCD est seulement un paallélogamme, ca AB DC 0 a AB AC -5, BA BC 6 et CA CB 4 Chapite n Poduit scalaie n 69 éditions Belin, 0
b BAC ABC - ˆ cos - 5 o ª 9, 9, 6 ˆ cos - 6 o ª 6, 5 77 et ACB ˆ cos - 4 o ª, 6 6 77 a ui, u j et uk b iu, p 4, ju, p et ku, p, ca u a AB( -;-7;- 4 ) et BD( ; 5; ) ne sont pas pependiculaies b CD( ; ;- ) est othogonale à AB 4 AB( -; ; ) et CH( -4;-; ) sont othogonaux d une pat et d aute pat AH( ; -;- ) est colinéaie à AB donc cela véifie bien que H est le pojeté de C su (AB) uu u 5 u uu uu a BE DF BA AE DB BF uu uu uu uu uu BA DB BA BF AE DB AE BF -a 00 a 0 b La doite (DF) est othogonale à (BE) et à (BG) pa symétie donc elle est pependiculaie au plan (BEG) c Non le point G pa exemple n est pas équidistant de D et de F uu 6 a BC AI 0 ca le tétaède est égulie uu uu b BC AD BC AI BC ID 0 c BC DH BC DA BC AH 0 d H est l othocente de BCD ca pa symétie on auait les mêmes ésultats avec les autes sommets uu 7 a DF MP DF MF DF FP a- a 0 et uu uu DF GP DF GF DF FP a- a 0 b La doite (DF) est donc pependiculaie au plan (MNP) c T est le pojeté othogonal de N su (DF) ca (DF) est othogonale à toutes les doites du plan (MNP) d DF DN DF DC DF CN a a a et comme T u est u u la u pojection de N su (DF) : DF DN DF DT DF DT a DT, donc : DT a 70 n Chapite n Poduit scalaie 9 a u( -; ; ) et u (-;-;- ) ne sont pas othogonaux b u( ; - ; ) et u (- ; ; 5 ) sont othogonaux c u( ; - ; ) et u (-4; ; ) sont othogonaux x -t 0 a (AB) : y t t x -t b (CD) : y c AB CD 0 4-4t d Elles sont pependiculaies si le système -t -s suivant a une solution : t ce qui Ó t 4-4s n est pas le cas donc elles sont othogonales x -t a (AB) : y -t -5t x t b (CD) : y -t c AB CD 0-4 t -t s d Le système suivant : -t - s a une Ó-5t -4 s solution t = s = donc elles sont pependiculaies au point de coodonnées ( ; ; ) a n( ; ; ) et n ( ; 4 ; ) alos n n 0 donc les plans ne sont pas pependiculaies b n( ; ; ) et n ( ; ; 4) alos n n 0 donc les plans ne sont pas pependiculaies c n( ; ; 0) et n ( ; ; ) alos n n 0 donc les plans sont pependiculaies 4 Dans ces tois cas les plans sont pependiculaies ca ce sont des plans paallèles aux plans des axes 5 (P) est paallèle à (Q) (P ) est paallèle à (R ) (R) est pependiculaie à (P) et à (Q) (Q ) est pependiculaie à (P ) et à (R ) 7 a x -z 5 0 b x - 4z 5 0 c x y -z 0 d x y z 0 e x y 0 éditions Belin, 0
8 a A( ; ; ) et n ˆ ; ; 5 b A( ; 4 ; 5) et n ˆ ; ; 4 5 et n 0; ; ; ; et n - k c A ; 0; d A 0 9 On a : BC(0 ; 5 ; ), donc une équation est de la fome : 5y z + d = 0 et le point A donne : d = 40 Ici BC( ; ; ) donc une équation est de la fome : x y + z + d = 0 et le point A donne : d = 4 4 a x -y z -6 0 b 5x y -8z 7 0 c x 8y 5z 5 0 d -x y 4z 7 0 e x - y z - 0 44 a 5 ( t) -(- t) t 0 donne : t =, d où les coodonnées du point d intesection (0 ; ; ) b Ici un vecteu diecteu est ( ; ; ) et un vecteu nomal est ( ; ; ) qui sont othogonaux donc la doite et le plan sont paallèles c Ici un vecteu diecteu est ( ; ; ) et un vecteu nomal est ( ; ; ) qui sont othogonaux donc la doite et le plan sont paallèles 45 a (- t) -(-t) ( t )- 0 donne : t d où les coodonnées du point 0 ˆ - - ; ; b Ici un vecteu diecteu est ( ; ; 0) et un vecteu nomal est ( ; ; ) Ces vecteus sont othogonaux donc la doite et le plan sont paallèles c ( 5 t) ( t) -4 ( - t ) 0 donne : t = 0 d où les coodonnées du point d intesection (5 ; ; 4) 47 a On a le système x - y z - 4 0 dans Ó x y - z 0 lequel on fixe le paamète y = t ce qui donne : t x x z t 4 d où : Ó x - z -t - z 7 t Ó t x et une epésentation de la doite : y t z 7 t Ó b On a : x - y z - 0 dans lequel on fixe Ó x y - z - 0 le paamète z = t d où : x - y - t Ó x y t x - t et une epésentation de la doite : y - 7 t t c Des vecteus nomaux sont ( ; ; ) et ( ; ; ) qui sont colinéaies donc les deux plans sont paallèles -x y z - 0 d on fixe z = t Ó x - y z -5 0 -x y -t ce qui donne : Ó x - y -t 5 et une epésentation de la doite est : x - 5t y -6 7 t t 48 On a les vecteus : AB( ; ; 4) et AC ( ; ; ) qui donnent pon vecteu nomal au plan (ABC) le système :, -ab- 4c 0 Ó a- b- c 0 dont une solution est ( ; ; ) et une équation du plan (ABC) est : x + y + z = 0 De même pou le plan (DEF), on a : DE ( ; ; ) et DF( 5 ; 0 ; 4) qui donnent : - a - b - c 0 Ó -5a- 4c 0 dont une solution est ( 4 ; 7 ; 5) et une équation du plan (DEF) est : -4x 7y 5z 0 Ensuite on a donc le système : x y z 0 Ó -4x 7y 5z 0 dans lequel on fixe y = t ce qui donne : x z -t Ó -4x 5z -7t - x - t et une epésentation de la doite : y t 5 z - - t Ó 49 Un vecteu diecteu de la doite d intesection est othogonal aux vecteus nomaux de ces plans de coodonnées ( ; ; 4) et ( ; ; ) Ce qui donne le système : a- b 4 c 0 Ó a b- c 0 dont une solution est ( ; ; 7) Chapite n Poduit scalaie n 7 éditions Belin, 0
50 a Faux, ca F(0 ; ; ) n appatient pas à ce plan b Faux, ca D(0 ; ; 0) n appatient pas à cette doite 5 a Vai b Vai c Vai d Faux, ca la plus gande distance est la diagonale du cube qui vaut 5 a d passe pa C pou t =, mais A, B et C ne sont pas alignés ca les vecteus AB et AC ne sont pas colinéaies, donc faux b Un vecteu diecteu de d est ( ; ; ) qui n est pas colinéaie avec AB( ; ; 4) donc les doites ne sont pas paallèles : faux x 5 t c Une epésentation de (AB) est : y t 60 4t et on cheche à ésoude le système : 5 t s - t s qui n a pas de solution donc les Ó60 4t -s doites ne sont pas sécantes : faux d Le poduit scalaie des vecteus diecteus est nul et comme elles ne sont pas sécantes, alos elles sont othogonales : vai 5 a Vai b Vai c Faux d Faux e Faux f Vai g Faux h Faux i Vai j Vai 54 F( ; 0 ; ), G( ; ; ), I 0 ; ; ˆ et J ; ; 0 ˆ a (GP) est othogonale à (FI) et (FJ), ca elle est pependiculaie au plan (FIJ) u b GN FI -( x -) ( y -) et u GN FJ ( y -) -x y 0 c On obtient le système : y 0 Ó d où : N 0 ;- ; 0 ˆ 7 n Chapite n Poduit scalaie S entaîne 55 a ( ; 6 ; ) b ( ; ; ) c (0 ; ; ) d ( ; 0 ; 0) 56 a ( ; ; 0) b ( ; 0 ; ) c (0 ; ; ) d ( ; ; ) 57 a Un vecteu ( ; 5 ; ) et un point (0 ; 0 ; ) b Un vecteu ( ; 0 ; ) et un point ( ; 0 ; ) c Un vecteu ( ; ; 0) et un point ( ; 0 ; 4) d Un vecteu ( ; ; 0) et un point (0 ; ; ) 58 On véifie que B appatient au plan, puis un vecteu nomal au plan est ( 5 ; ; ) qui est colinéaie à AB(5 ; ; ) 59 On a AB( ; 6 ; ) qui est colinéaie à un vecteu nomal au plan de coodonnées ( ; ; ) 60 a On a les vecteus nomaux : u (7 ; ; ), v (6 ; ; 9) et w ( ; ; 5) b u w v w 0 donc le plan (R) est pependiculaie aux plans (P) et (Q) 6 Des vecteus nomaux sont : ( ; 7 ; 6) et ( ; 7 ; 6) qui sont colinéaies donc les plans sont paallèles 6 Un vecteu nomal à (P) est ( ; ; 7) donc une équation de (Q) est de la fome : x -y 7z d 0 et il passe pa le point A ce qui donne alos : x -y 7z 7 0 6 Un vecteu nomal à (P) est ( ; 7 ; 5) donc les plans paallèles sont de la fome : x -7y 5z d 0 a Ici on a : x -7y 5z - 0 b Ici on a : x -7y 5z -0 0-4 - 5s 64 a On a le système : - t - s qui a Ó-t -s pou solutions s = et t = 0 Donc les deux doites se coupent au point de coodonnées ( ; ; ) b Un vecteu nomal au plan est othogonal aux vecteus diecteus des deux doites ce qui donne le système : - b - c 0 dont une solution Ó -5a-bc 0 est (6 ; 0 ; 5) et une équation catésienne du plan est de la fome : 6x -0y 5z d 0 et il passe pa le point d intesection ce qui donne : 6x -0y 5z 0 éditions Belin, 0
65 a Les vecteus diecteus sont : ( 4 ; ; ) et ( ; ; ) qui sont colinéaies donc les doites sont paallèles Elles sont stictement paallèles ca pa exemple le point ( ; ; ) de (d) n appatient pas à (d ) b On a besoin de deux vecteus non colinéaies du plan pou touve un vecteu nomal, penons le point ( ; ; ) de (d) et le point ( ; 5 ; ) de (d ) ce qui donne le vecteu ( ; ; ) Donc un vecteu nomal au plan véifie le système : a- b c 0 dont une solution est (0 ; ; ) Ó ab-c 0 ce qui donne une équation du plan : y z d 0 et avec un point : y z - 4 0 66 a AB( ; ; ) et AC ( ; 0 ; ) ne sont pas colinéaies donc les points déteminent un plan b Un vecteu nomal à ce plan véifie : a-b-c 0 dont une solution est ( ; ; ) Ó a-c 0 Une équation du plan (ABC) est : x - y z 6 0 c Un vecteu nomal à (P) est ( ; ; ) qui est bien othogonal à la solution ( ; ; ) du plan (ABC) d On a le système : x - y z 6 0 dans Ó x y - z - 0 lequel on fixe z = t ce qui donne une epésentation de la doite d intesection : y 6 t z t Ó 67 a (d) est sécante au point (0 ; 4 ; 0) x - t b (d) est sécante au point 0 0ˆ ; ; c (d) est sécante au point ( ; 0 ; 4) d (d) est sécante au point ( ; ; ) e (d) a pou vecteu diecteu ( ; ; ) et le plan pou vecteu nomal ( ; ; ) qui sont othogonaux donc la doite (d) est paallèle au plan x t 68 a On a : y -t -t b Le plan -x y z 0 a pou vecteu nomal ( ; ; ) qui est othogonal au vecteu diecteu ( ; ; ) de la doite donc ils sont paallèles Le plan x -y z - 0 a pou vecteu nomal ( ; ; ) qui est aussi othogonal au vecteu diecteu de la doite donc ils sont également paallèles Le plan x + y z + = 0 a pou vecteu nomal ( ; ; ) qui n est pas othogonal, ni colinéaie au vecteu diecteu de la doite, donc ils sont sécants en un point x 4t 69 a On a (AB) : y t b Les vecteus diecteus de ces deux doites ne sont pas colinéaies donc elles ne sont pas paallèles De plus le système : t -- s n a pas 4t s Ó s de solution donc elles ne sont pas non plus sécantes Pa conséquent elles ne sont pas coplanaies c Un vecteu nomal à (P) est othogonal à AB et au vecteu diecteu ( ; ; ) de (d), ce qui donne le système : a- b c 0 dont une solution Ó 4ab 0 ( ; ; ) donne une équation du plan : x -y -z 8 0 qui passe pa A et B d Un vecteu nomal de (Q) est othogonal à un vecteu diecteu de (d) et à un vecteu nomal à (P) ce qui donne le système : a- b c 0 dont Ó a-b-c 0 une solution est ( ; ; ) qui donne une équation du plan de la fome : x y - z d 0 Pou touve d, il suffit de pende un point de la doite (d) soit ( ; ; 0) ce qui donne : x y - z 0 e On a le système : x y - z 0 Ó dans x -y -z 8 0 8 x - t 8 lequel on fixe z = t ce qui donne : y - t z t Ó 8 - t 4s 8 f On a le système : - t s qui a pou t Ó solution : t et s - 5 Donc on obtient le point d intesection : - 5 ˆ ; 6 ; Chapite n Poduit scalaie n 7 éditions Belin, 0
70 On a : AB( ; ; ) ce qui coespond bien à un vecteu diecteu de (d) On a un vecteu diecteu de (d ) : u ( ; ; ) donc les doites ne sont pas paallèles Et le système : --t k n a pas de solution donc t - k Ó- - t k les doites ne sont pas coplanaies a u w 0 donc les doites sont othogonales b AB w 0 donc les doites sont othogonales t 6 s et le système : --t -7 s a pou solution Ó-- t -4 - s t = et s = ce qui donne le point E(5 ; 8 ; ) 7 a AB( ; 4 ; ) et AD( ; ; 0) ne sont pas colinéaies b EC ( ; ; ) est othogonal à AB et AD c On a un vecteu nomal EC, donc une équation est : x - y -z 6 0 x 6t d On a : y -7-t --t e On a : ( 6t) -(-7- t) -(--t) 6 0 qui donne t = et donc F( ; 5 ; 5) uu uu uu u uu 7 a IG IA IG IE IG EA - - 4 0 4 ˆ - b AIG o ˆ cos- 4 cos - - ª 0, 5 5 5 4 c Gâce aux coodonnées on a : B( ; 0 ; 0), K(0 ; u 0,5 u ; 0,5), I(0,5 ; 0 uu ; ) et G( ; ; ), puis uu BK ( ; 0,5 ; 0,5), IG(0,5 ; ; 0) et IA uu ( 0,5 uu ; 0 uu ; ) On véifie bien que : BK IG BK IA 0 d BK est donc un vecteu nomal au plan (AIG) qui a donc pou équation : -x 05, y 05, z 0 e Le plan paallèle a pou équation : -x 05, y 05, z -05, 0 7 a AB AD AE AG uu b AG BD AB BD AD BD AE BD -0 0 uu uu uu uu uu c AG BE AB BE AD BE AE BE -00 74 n Chapite n Poduit scalaie d Donc la doite (AG) est othogonale au plan (BDE) uu L égalité : AB AD AE AG donne : AI AG a Le vecteu AG est un vecteu nomal donc une équation est : x + y + z = 0 b Cette fois-ci ce vecteu est vecteu diecteu de x t la doite donc : y t t c On a : t t t - 0 qui donne t - et le point J ˆ - ; ; d Il s agit de la distance : HJ 74 Patie A uu uu a MD MA MI - IAMI IA MI - IA b MD MA 0 devient MI = IA c est-à-die que M est su le cecle de cente I et de ayon IA Patie B a AB( ; 6 ; 0) et AC ( ; 0 ; 4) sont othogonaux à n b 4x + y + z = 0 x -54t c y t t d On a : 4( -5 4t) ( t) ( t )- 0 qui donne : t = et alos H( ; ; 4) e C est la distance HD 9 f On calcule : I( ; 0 ; 0,5), IA 65 et HI 65 donc H appatient à l ensemble (E) 75 a CD ( 4 ; 4 ; 0) et CE( 4 ; 0 ; 4) ne sont pas colinéaies b Un vecteu nomal au plan véifie : -4a 4b 0 soit ( ; ; ) qui donne pou le Ó -4a 4c 0 plan : x y z - 4 0 a Un vecteu nomal à (P) est (0 ; ; ) qui n est pas colinéaie à ( ; ; ) donc les plans sont sécants b Doite en tait mixte a Figue en pointillé b Ce plan passe pa F et G ce qui donne : a -6 0 d où : x y -6 0 Ó b -6 0 éditions Belin, 0
4 Doite en tiets plats x 5 a Ce système a pou solution : y z Ó b On en déduit que les doites sont sécantes en un point du plan (CDE) (P) C F (Q) A A ak aj ai O ( ) A G D ( ) 76 Les vecteus nomaux sont : ( ; ; ) et ( ; ; 4) qui sont othogonaux -x y z -6 0 On a le système : dans Ó x -y 4z -9 0 -x y -t6 lequel on fixe z = t ce qui donne : Ó x -y -4t 9 x -7t d où une epésentation : y -8 t t a On véifie b AM (-7t 9) ( -8t 4) ( t ) ( t) ( t - 4) ( t ) 4t -4t 7 ( t -t ) c f est une fonction tinôme donc décoissante puis coissante avec un minimum pou t = qui ˆ coespond au point I - - 6 ; ; 4 a x y z 0 b Le point I est l intesection de (D) et (Q) -t s 77 Le système donne : t 0 qui n a pas Ó- t 0 de solution donc les doites ne sont pas coplanaies Un vecteu diecteu de D est othogonal aux deux vecteus diecteus des doites et véifie -ab- c 0 donc : ce qui donne un vecteu Ó a 0 de la fome : w bj ck avec c = b a Le plan P a pou vecteu nomal (0 ; ; ) qui est othogonal à i donc il est paallèle à la doite D et comme il passe pa O alos il la contient b On a : - ( t) ( - t ) 0 qui donne t - 4 5 et le point J 4 9ˆ ; ; 5 5 5 c La doite de vecteu diecteu w est othogonale à D et D d apès Et le point d intesection 4 est I 5 ; 0; 0 ˆ d IJ 0 5 78 a AB AC, AB 7 et AC 5,5 b BAC cos- ª 77 o 7 5 c L angle est difféent de 0 ou 80 Un vecteu nomal véifie : a b- c 0 Ó b c 0 dont une solution est ( ; ; ) et une équation du plan est : x - y z 0 On a le système : x y - z 0 on fixe Ó x -y 6z 0 z = t ce qui donne : x y t - d où la epésentation de la doite : y - t Ó x -y -6t x - t 4 On a : ( -)-(-t) () t 0 qui donne alos t = et le point ( ; 4 ; ) 79 Les vecteus diecteus des doites D et D sont u ( ; ; ) et u ( ; ; ) qui sont othogonaux à w a n u n w 0 donc il est nomal à (P) b x y z d 0 passant pa le point A donc : d = -4 Chapite n Poduit scalaie n 75 éditions Belin, 0
a On a pou le point H : ( -- t) ( t) ( - t )- 4 0qui donne t = 0 et H ( ; ; ) x -t b On déduit D : y - t - t s 4 a De plus H véifie : -4 - s qui donne Ó- t s t et s - D où le point H( ; ; ) b HH uu uu 5 a u MM uu MH HH HM HH v et on a bien HH v 0 ca (HH ) est une pependiculaie commune à D et D uu u b MM uu u HH uu u uu v HH HH v v d où : uu MM HH v HH Donc la plus petite distance est bien HH c C est une fonction tinôme donc elle est minimale pou t 6 de minimum f ˆ 6 6 d On a : IM = f(t) donc la seule position qui donne une mesue de q maximale est pou le point de paamète t 6 c est-à-die M 5 5 ˆ 0 ; ; 6 6 6 La distance minimale est obtenue à l aide du pojeté othogonal donc M 0 est ce point 87 Un point M appatient au plan si et seulement si les vecteus AM et n sont othogonaux, donc de poduit scalaie nul, ce qui donne : ax - xa by - ya cz - za 0 qui est de la fome : ax by cz d 0 a On a : -x y z d 0 puis avec A on obtient : -x y z 7 0 b On emplace ses coodonnées : - ( -) 07 0 On peut aussi calcule les coodonnées de AB( ; ; ) qui est othogonal à n Pépae le BAC Execices guidés BAC QCM Vai ou faux BAC 88 b et c a et d b et d 4 b et c 86 a C( ; ; 0), E(0 ; 0 ; ), I( ; 0,5 ; 0) et J(0,5 ; ; 0) b M appatient au segment [CE] dont une epésentation est : y - t x - t t a CI = CJ = 0,5 et EI = EJ =,5 b Tous les points de la doite (CE) appatiennent au plan médiateu donc MI = MJ c IM = t + (0,5 t) + t = t t + 0,5 a Su cet intevalle la fonction sinus est coissante puis décoissante avec un maximum pou p Donc la mesue de q est maximale quand sin q est maximal b Dans MIJ isocèle, soit K le milieu de [IJ] on a : sin q IK Donc pa invese, la mesue de q est IM maximale quand IM est minimale 76 n Chapite n Poduit scalaie Execice BAC x t 89 a On a : y - t t b Un vecteu nomal est othogonal aux vecteus AF (0 ; ; ) et AH( ; 0 ; ) ce qui donne b c 0 le système : dont une solution est Ó -a c 0 ( ; ; ) d où l équation : x y + z = 0 c On a : t ( t) + t = 0 qui donne t et le point I ˆ u ˆ ; ; Puis EI - - ; ; qui est othogonal aux vecteus AF et AH donc au plan (AFH) éditions Belin, 0
d EI uu ˆ e HI ; ;- est othogonal à AF Le tiangle AFH est équilatéal donc I est le point emaquable de ce tiangle Ce tétaède n est pas de type ca il a tois faces qui sont des tiangles ectangles et une face qui est un tiangle équilatéal donc les aies sont distinctes Il n est donc pas de type Il est de uu type ca (EF) est othogonale à (AH) puisque EF (0 ; ; 0) et AH( ; 0 ; ) sont othogonaux, de même pou les autes paies de cotés opposés Pou alle plus loin 90 a AC BC a, CD BC - a, BD MD a uu et AB AJ a uu uu b On a : BC AI 0 et BC DI 0 donc (BC) est othogonale au plan (ADI) a a c AC BC CD BC - 0 d Comme AC BC CD BC AD BC on en déduit que (AD) et (BC) sont othogonales 9 a Le pojeté othogonal de I est J ca EFCD est un ectangle uu uu b DC DI DC DJ a c AB AK a, uu uu uu uu AI AL AE EI AE EL uu uu uu AE AEEL AEEIEI EL a a 5a 00 4 4 u uu et KI KL KG GI KG GL uu uu uu KG KG GL KG GI GI GL a a a 0 0 4 4 x -t 9 a On a : y 0 0 5t b Elle coupe l axe des abscisses pou t = ce qui donne le point (9 ; 0 ; 0) c On a : AB( ; 0 ; 5) et AC ( ; 0 ; 0) qui ne sont pas colinéaies d On sait que BC OH 0, puis on calcule BC OD 0, donc (BC) est othogonale au plan (ODH) e Pa conséquent (BC) est othogonale à toutes les doites du plan (ODH), donc à (DH) f Un vecteu nomal est BC(0 ; 0 ; 5) donc une équation de (ODH) est : 0y -5z 0 ou 4y -z 0 g Un vecteu nomal à (ABC) véifie : -a5c 0 Ó dont une solution est -a0b-0c 0 (0 ; 9 ; ) ce qui donne une équation du plan (ABC) : 0x 9y z -80 0 h Ce système epésente l intesection des plans (ABC), (ODH) et (OBC) c est-à-die le point H 0 6 48ˆ ; ; 5 5 9 a Ce point est équidistant de I, J et K donc c est le cente du cecle ciconscit au tiangle IJK b I(0 ; ; ), J(0 ; ; ) et K( ; ; ) c PQ ( ; ; ) est othogonal à IJ(0 ; ; ) et uu IK ( ; ; ) donc (PQ) est othogonale au plan (IJK) d Les distances MI, MJ et MK sont égales ce qui donne : x( y -) ( z -) x( y -) ( z - ) x y - Ó ( ) ( z -) ( x -) ( y -) ( z -) qui se simplifie en : y z Ó z -x 6 e Cet ensemble est donc une doite de epésentation paamétique : y -t 6 x t -t 6 f On véifie que P et Q appatiennent à (d) pou t = et t = g Un vecteu nomal au plan (IJK) véifie : b-c 0 dont une solution est ( ; ; ) Ó ab- c 0 ce qui donne : -x y z - 0 h Le point Ω véifie les équations du plan (IJK) et de la doite (d) soit : -t ( -t 6) ( -t 6) - 0 qui donne t 4 4 4 4ˆ et Ω ; ; 9 9 9 9 Chapite n Poduit scalaie n 77 éditions Belin, 0
94 Patie a BDE est équilatéal ca les tois côtés sont égaux comme diagonales des faces caées ˆ b x + y + z = 0 c I ; ; d Le vecteu AG est un vecteu nomal au plan (BDE) donc (AI) est othogonale à ce plan et comme I appatient à (BDE) alos c est le pojeté de A e (AG) est othogonale à ce plan Patie a M I et N B b M k k; k; k c x + y + z k = 0 d N k est situé su (P k ) et su (BC) de epésentation : y t ce qui donne : + t + 0 k = 0 d où x Ó z 0 t = k et le point N k a pou coodonnées ( ; k ; 0) uuu e M k N k - k; k -;- k est othogonal aux deux vecteus si : - k k - - k 0, Ó k - 0 qui donne : k 95 a AB = AC = BC donc ABC est équilatéal Son cente G est aux deux ties sne médiane, o le milieu I de [BC] est I( ; 0 ; 0) donc : uu AG AI( ; 0 ; 0) ce qui monte que G = O b MA = MB donne l équation : ( x - ) y z ( x ) y - z, d où : x - y 0 c NB = NC donne l équation : ( x ) y z ( x ) y - z d où : y 0 d L intesection des deux ensembles pécédents donne que : x y 0, c est donc l axe (Oz) e D est équidistant de A, B et C donc il est su l axe (Oz) et ABC étant dans le plan (xoy) il existe deux solutions pou D, symétiques pa appot à O, dont une de cote positive, soit D0; 0; f On a : u uu AM BM AC CMBC CM AC kcd BC kcd AC BC kaccd kbccd kcd 78 n Chapite n Poduit scalaie 6-6k -6k k k-k 6 Pa ailleus on a : CM k CD d où : Mk -; k - ; k pa suite : AMk -; k - ; k et BM k; k - ; k qui donnent : AM ( k -) ( k - ) ( k ) k-k BM D où : cos AMB k -k 6 k -k k -k ( k - k ) x - g On calcule : f () x ( x - x ), qui donne la fonction f est décoissante puis coissante, avec un minimum pou x h L angle est maximum si son cosinus est minimum ce qui coespond au même minimum que la fonction f Et on a : f ˆ qui donne l angle : 70,5 96 a AB( ; 0 ; ) et AC (0 ; ; ) ne sont pas colinéaies donc (ABC) est un plan dont un vecteu nomal véifie : a- c 0 qui donne une Ó b c 0 solution ( ; ; ) et une équation du plan est : x y + z = 0 b Leus vecteus nomaux ne sont pas colinéaies donc les plans sont sécants selon une doite c C appatient à (d) ca il est dans les deux plans d Un vecteu diecteu est othogonal aux vecteus nomaux des deux plans ce qui donne : a-bc 0 dont une solution est ( ; 0 ; ) Ó a-bc 0 x t e Alos : y - t f AM u ( x -)-( z -) 0 soit pou z x ce qui coespond à : - t ( t) donc pou t 5 g La distance à calcule est celle ente A et le point M de paamète 5 c est-à-die 7 ; 5 ; 4 ˆ 5 et donc : 7 5 ˆ 4 ˆ 4 5 5 6 45 - ( - ) - 5 5 d où la distance est : 5 5 éditions Belin, 0
97 a L énoncé des milieux dans GEB donne uu JK uu GB, le ectangle EHCB donne KL BC et le uu ectangle DHFB donne IJ BF uu uu uu b JK GH 0, BF MN 0 et IJ KL 0 c (BF) est othogonale à (MN) et à (KL) ca (KL) est paallèle à (BC) donc (BF) est othogonale au plan (KLM) d On en déduit que (MN) est othogonale à (KL) et de plus (MN) est othogonale à (IJ) ca (IJ) est paallèle à (BF), donc (MN) est othogonale au plan (IKL) e IJKL est un caé donc (JK) est pependiculaie à (JL) De plus (JP) est paallèle à (MN) donc othogonale à (JK) ca (MN) est othogonale au plan (IKL) Donc (JK) est pependiculaie au plan (JPL) Comme (IL) est paallèle à (JK) alos (IL) est aussi pependiculaie au plan (JLP) donc à la doite (LP) et le tiangle ILP est ectangle en L f Le plan (CEF) contient la doite (MN) qui est othogonale au plan (IJK) donc les deux plans sont othogonaux De même le plan (EGB) contient la doite (JK) qui est othogonale au plan (JLP) 98 On calcule la distance pacouue : DR 65 6, donc la vitesse est de : 6 ª 098, ms 8 a La vitesse est : 4,, 06, ª ms x () t 4, xt () 4, t a b y () t, d où : yt (), t b où a, b et c () t 06, t () 06, t c sont donnés pa la position initiale R ce qui xt () 4, t 994 -, donne : yt (), t 4 505-0, 4 t () 06, t 600-48, c Au bout de 0 s cela donne la position : x( 0) 04, 8 y( 0) 4 5, 6 ( 0) 6, d Le skieu aivea en S quand z = 00 ce qui 604, 8 donne : t 008 s c est-à-die qu il 06, sea exactement : 5 h8s6mn 48s 5h 6mn 56 s Les x( 008) 4 94 coodonnées de S sont donc : y( 008) 5 805 ( 008) 00 uu e RS ( 400 ; 00 ; 600) est 000 fois le vecteu v Accompagnement pesonnalisé AP Le volume est : V a 6 a u a u La u uu elation devient u u : a KB BMKB KB BD 0, d où : ( a) BK abm BD b BK AM a BM BD AM a a AM 0, a a et de même : BK AD a BM BD AD a 0 AD, a a donc : BK MD 0 c De même : ( a) DK adm DB d où : DK AM DK AB et DK MB 0 d Ainsi les doites (BK) et (MD) comme les doites (DK) et (MB) sont pependiculaies, ce qui monte que K est l othocente du tiangle MBD De même on monte que : AK MB 0 et AK MD 0, ce qui monte que la doite (AK) est pependiculaie au plan (MBD) 4 a Le tiangle BDM est isocèle ca BM DM a, alos sa hauteu au caé a DB vaut : DM - ˆ a a - a a a et donc son aie est égale à a b Pou avoi une aie de on obtient l équation : a d où : a 6 a Et de plus on peut calcule le volume du tétaède ABDM en utilisant comme base le tiangle BDM et comme hauteu AK ce qui donne : V AK et donc : AK 6 Chapite n Poduit scalaie n 79 éditions Belin, 0
AP Patie A L existence des éels vient de la colinéaité ou de l alignement Il suffit d écie MN MA AB BN, puis d écie que MN u MN v 0 Sa ésolution monte l unicité de la solution 4 C est la conclusion Patie B Il suffit de considée son vecteu diecteu et un point De même avec la doite d Déduction d apès les vecteus 4 On écit que : MM = MH + HH + H M Patie C Les epésentations paamétiques des doites x t x sont : ( d) y -t et ( d ) y s et l intesection des systèmes n a pas de solution donc elles - s ne sont pas coplanaies On a ici : 5 a b Ó -a-b 8 9 a qui a pou solution : 6 4 b - Ó 6 Les points H et H coespondent à ces paamètes su chacune des deux doites ce qui donne : H 9 9 ˆ ; ;- 6 6 et ˆ H 65 ; ; 6 9 x t 6 6 9 6 4 On déduit pou la doite : y - t 6 6 z -- 4 t Ó 6 6 et pou la distance : 6 AP 4 Patie A Le plan (P ) est soit paallèle aux deux autes, soit sécant aux deux autes selon deux doites qui sont paallèles ente elles Si d n est pas paallèle au plan (P ) alos le plan coupe les deux autes plans selon deux doites qui sont concouantes avec la doite d Si d est paallèle au plan alos (P ) peut-ête soit sécant aux deux autes plans selon deux doites qui sont paallèles à d, c est le théoème du toit, soit paallèle à l un des deux autes plans et sécant avec l aute selon une doite paallèle à d On peut donc obteni l ensemble vide, un point ou une doite Patie B n ( 4; ; ), n ( ; ; 0) et n ( ; - ; ) Ces deux vecteus ne sont ni colinéaies, ni othogonaux ente eux donc les plans se coupent selon une doite On a : 4 x y z 0 0 on fixe z = t Ó x y 0 7 x - - t ce qui donne : y 4 t z t Ó 4 Cette doite a pou vecteu diecteu ( ; ; ) qui est othogonal à n, donc elle est paallèle à ce plan 5 L intesection des tois plans est donc vide On est dans le cas du théoème du toit 80 n Chapite n Poduit scalaie éditions Belin, 0