Arithmétique exercices 1 Exercices e base 1 1 Divisio Eucliiee - 1 (c) Das ue ivisio eucliiee etre etiers aturels quels peuvet être le iviseur et le quotiet lorsque le iviee est 30 et le reste 39? Correctio O a 30 qb 39 qb 30 39 81 Cherchos les iviseurs e 81 : 1 et 81 Ce sot les seules valeurs possibles e q et b 1 Divisio Eucliiee- Quel est le ombre e iviseurs e 880? 1 3 Divisio Eucliiee-3 (c) 1 Écrire l'esemble es etiers relatifs iviseurs e 6 Détermier les etiers relatifs tels que 4 ivise 6 3 Détermier les etiers relatifs tels que 4 ivise + 4 Détermier les etiers relatifs tels que + 1 ivise 3 4 Correctio 1 L'esemble es iviseurs e 6 est D = { 6 ; 3 ; ; 1 ; 1 ; ; 3 ; 6} 4 ivise 6 si 4 appartiet à D, soit si appartiet à D + 4 = { ; 1 ; ; 3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 10} 3 O peut remarquer que + = 4 + 6 Puisqu'il est éviet que 4 ivise 4, le résultat u permet alors 'affirmer que si 4 ivise +, alors 4 ivise + ( 4) c'est-à-ire 4 ivise 6 Réciproquemet si 4 ivise 6 alors 4 ivise 6 + 4 c'est-à-ire 4 ivise + O a oc émotré que 4 ivise + si et seulemet si 4 ivise 6 4 O peut raisoer e utilisat le même pricipe qu'à la questio précéete O remarque que 3 4 = 3( + 1) 7, et puisqu'il est imméiat que + 1 ivise 3( + 1), o peut écrire : - si + 1 ivise 3 4, alors + 1 ivise 3 4 3( + 1) c'est-à-ire + 1 ivise 7 ; réciproquemet : si + 1 ivise 7 alors + 1 ivise 7 + 3( + 1) c'est-à-ire + 1 ivise 3 4 L'esemble es iviseurs e 7 (ou e 7) état { 7 ; 1 ; 1 ; 7}, o e éuit que + 1 ivise 3 4 si et seulemet si + 1 appartiet à { 7 ; 1 ; 1 ; 7} soit appartiet à { 8 ; ; 0 ; 6} 1 4 PGCD - 1 (c) Trouvez le PGCD es ombres 1640 et 49 e utilisat la écompositio e facteurs premiers, puis e utilisat l algorithme Euclie Correctio Avec l aie e Maple o a imméiatemet : > ifactor(1640); ifactor(49); ( ) 3 ( 5 ) ( 41 ) ( ) ( 3 ) ( 41 ) et le PGCD : 41 164 Avec Euclie : 1640 493 164 oc 49 1643 0 1 5 Cogrueces-1 (c) Quel est le reste e la ivisio par 7 u ombre (3) 45 Correctio Le reste e 3 as la ivisio par 7 est 4 ; 4 oe, 4 3 oe 8, soit 1 ; comme 45 = 153, o a : 45 45 3 15 15 3 4 (7) 4 (7) 1 (7) 1(7) Le reste est oc 1 1 6 Cogrueces-3 (c) 1 Détermier les restes e la ivisio e 5 p par 13 pour p etier aturel E éuire que pour tout etier aturel supérieur ou égal à 1, le ombre N = 31 4+1 + 18 4 1 est ivisible par 13 Correctio 1 p = 0 : 1, p = 1 : 5, p = : 1 ou 1, p = 3 : 5 ou 8, p = 4 : 1 oc pour p 4 le reste est 1, pour p4 1 le reste est 5, pour p4 le reste est 1 ou 1, pour p4 3 le reste est 8 ou 5 41 41 N 31 18 : 31 13 5 5(13) et 18 131 5 5(13) ; o a oc 41 41 41 41 41 4 ' 3 N 31 18 5 5 (13) 5 5 (13) [5 8](13) 0(13) 1 7 Divers-5 (QCM) (c) Pour chacue es ciq propositios suivates, iiquer si elle est vraie ou fausse et oer ue émostratio e la répose choisie Ue répose o émotrée e rapporte aucu poit Arithmétique 1 A TOUATI touatiami@yahoofr
Propositio 1 : «l esemble es couples etiers relatifs (x ; y) solutios e l équatio 1x 5y = 3 est l esemble es couples (4 + 10 ; 9 + 4) où» Propositio : Pour tout etier aturel o ul : «5 6+1 + 3+1 est ivisible par 5» Propositio 3 : Pour tout etier aturel o ul : «Si u etier aturel est cogru à 1 moulo 7 alors le PGCD e 3 + 4 et e 4 + 3 est égal à 7» 0 5 1 5» Propositio 4 : «x + x + 3 si et seulemet si x Propositio 5 : Deux etiers aturels M et N sot tels que M a pour écriture abc e base ix (M vaut 100a+10b+c où a, b, c sot es chiffres etre 0 et 9) et N a pour écriture bca e base ix «Si l etier M est ivisible par 7 alors l etier M N est aussi ivisible par 7» Correctio Propositio 1 : Faux 1 et 5 sot premiers etre eux, l équatio 1x5y 1 a es solutios ; particulièremet le couple (3, 7) oc le couple (9, 1) est solutio e 1x5y 3 O opère e maière staar : 1x 5y 3 x 9 5 x 9 5 1 x 9 5 y 1 0 ; 1 9 5 1 3 y 1 1 y 1 1 les couples (4 + 10 ; 9 + 4) e so qu ue partie es couples solutios (la solutio 9, 1 e fait même pas partie ) Propositio : Faux 5 6+1 + est éviemmet ivisible par 5 ; 3+1 est formé que e puissaces e, aucu e ces ombres e sot ivisibles par 5 Propositio 3 : Vrai Preos 1 7 3 4 3 1 4 7 1 7 1 3 puis et remplaços : et 1 4 4 3 4 1 7 3 7 8 7 1 4 ; si le PGCD vaut 7, alors 1 3 Arithmétique A TOUATI touatiami@yahoofr oivet être premiers etre eux : o oit trouver u et v tels que u v 1 u 3 u 1 4 v 1 3 1 O 4u 3v 0 v 4 Propositio 4 : Faux O teste tous les restes moulo 5 : x 0 1 3 4 x + x + 3 3 0 4 0 3 oc faux puisqu o a aussi 3 comme solutio possible Propositio 5 : Vrai M 100a 10b c M N 99a 90b 9c 9 11a 10b c Si M 100a 10b c est u multiple N 100b 10c a e 7, comme 108 4 7 8a 10b c 0 7 10b c 8a 7 Pour que M N soit, o a ivisible par 7 il faut que 11a 10b c 11a 8a 7 3a 7 soit ivisible par 3, ce qui est le cas 1 8 La classe Das ue Termiale S, la taille moyee es élèves est e 167 cm, la taille moyee es filles est e 160 cm et la taille moyee es garços est e 173,5 cm Quel est l effectif e la classe (iférieur à 40 )? Correctio Appelos f le ombre e filles et g le ombre e garços : f 160 g173,5 f g 167 6,5g 7f 13g 14f oc il y a 13 filles et 14 garços (ou 6 filles et 8 gars, mais le total épasse 40) 1 9 ROC+Base 1 Partie A : Questio e cours Quelles sot les propriétés e compatibilité e la relatio e cogruece avec l aitio, la multiplicatio et les puissaces? Démotrer la propriété e compatibilité avec la multiplicatio Partie B O ote 0, 1,,, 9,,, les chiffres e l écriture u ombre e base 1 Par exemple : 1 7 1 1 7 11144 101 7 1711 e base 10 1 a Soit N 1 le ombre s écrivat e base 1 : b Soit N le ombre s écrivat e base 10 : Détermier l écriture e N e base 1 N 1 1 1 Détermier l écriture e N 1 e base 10 3 N 1131 110 110 310 1 Das toute la suite u etier aturel N s écrira e maière géérale e base 1 : a Démotrer que N a 0 3 1 1 1 0 N a a a a E éuire u critère e ivisibilité par 3 u ombre écrit e base 1 b À l aie e so écriture e base 1, étermier si N est ivisible par 3 Cofirmer avec so écriture e base 10 N a a a a 11 E éuire u critère e ivisibilité par 11 u 3 a Démotrer que ombre écrit e base 1 1 1 0
b À l aie e so écriture e base 1, étermier si N 1 est ivisible par 11 Cofirmer avec so écriture e base 10 1 4 U ombre N s écrit N x4y Détermier les valeurs e x et e y pour lesquelles N est ivisible par 33 Correctio Partie A : Questio e cours Les propriétés e compatibilité e la relatio e cogruece avec l aitio, la multiplicatio et les a a' p b b' p a b a' b' p ab a' b' p a a' p puissaces sot et alors, et Propriété e compatibilité avec la multiplicatio : o pose que a p a', b ph b' ab p h a' ph b' p a' b' a' b' p Partie B 1 où 1 a N1 1 1 111110 1606 b Il faut iviser par 1 plusieurs fois : 1131 194 3, 94 17 10 17, oc 1 N 73 7 1 1 3 7 144 101 3 1131 a N 1 1 a 1 a a a 1 a 3 Si le erier chiffre est 0 moulo 3, soit u multiple 1 0 0 0 e 3 le ombre sera ivisible par 3 b N se termie par 3 e base 1, il est ivisible par 3 E base 10 la somme es chiffres est 6, il est oc ivisible par 3 N a a a a 11 Si la somme 3 a Chaque puissace e 1 est cogrue à 1 moulo 11 oc 1 1 0 es chiffres est u multiple e 11, ce ombre sera ivisible par 11 b La somme es chiffres e N 1 e base 1 est 1 11110 oc N 1 est ivisible par 11 E base 10 o fait la somme es termes e rag pair mois la somme es termes e rag impair : 1 1=11 qui est ivisible par 11 4 1 N x4y N est ivisible par 33 si N est ivisible par 3 : y 3, et par 11 : x 4 y 11 ' y 3 y 3 O résou : ; les valeurs possibles e sot 0, 1,, 3 : x 4 3 11 ' x 11 ' 3 4 1 10 Surface+Eq ioph y x N N (b 10) 0 0 11 4 =1 soit x=7 1 740 1056 1 3 11 7 =1 soit x=4 1 443 67 6 11 10 =1 soit x=1 1 146 198 3 9 11 13 = soit x=9 1 949 1353 L espace est rapporté au repère orthoormal ( O ; i, j, ) O omme (S) la surface équatio x y z 1 1 Motrer que la surface (S) est symétrique par rapport au pla (xoy) O omme A et B les poits e cooroées respectives (3 ; 1 ; 3) et ( 1 ; 1 ; 1) a Détermier ue représetatio paramétrique e la roite (D) passat par les poits A et B b Démotrer que la roite (D) est icluse as la surface (S) 3 Determier la ature e la sectio e la surface (S) par u pla parallèle au pla (xoy) 4 a O cosière la courbe (C), itersectio e la surface (S) et u pla équatio z = 68 Préciser les élémets caractéristiques e cette courbe b M état u poit e (C), o ésige par a so abscisse et par b so oroée O se propose e motrer qu il existe u seul poit M e (C) tel que a et b soiet es etiers aturels vérifiat a < b et ppcm(a ; b)= 440, c est-à-ire tel que (a, b) soit solutio u système a b (1) : a b 465 ppcm a; b 440 Motrer que si (a, b) est solutio e (1) alors pgc(a ; b) est égal à 1 ou 5 Coclure Das cette questio toute trace e recherche même icomplete ou iitiative, même o fructueuse sera prise e compte as l évaluatio Correctio Arithmétique 3 A TOUATI touatiami@yahoofr
1 Si M x ; y ; z appartiet à S, alors o a x y z 1, soit x y z x y z c est-à-ire que le poit M e cooroées x ; y ; z appartiet égalemet à réciproquemet Par coséquet, le pla équatio 0 surface S a z, c est-à-ire le pla x 3 4 x 4 3 M D AM AB y 1 0 y 1, z 3 4 z 4 3 b O remplace x, y et z as l équatio e S : 1, S et xoy, est u pla e symétrie e la x y z 4 3 1 4 3 16 4 9 116 4 9 1, ce qui est toujours vrai O e éuit que tout poit e D appartiet à S, la roite est icluse as la surface S 3 Soit P u pla parallèle au pla xoy P a alors ue équatio e la forme z réel, soit x y c 1 0 ; 0 ; c et e rayo as P La sectio e la surface S par u pla parallèle au pla xoy est u cercle C la courbe itersectio e la surface S et u pla équatio z 68 4 a Soit qui est l équatio u cercle e cetre D après la questio précéete tracé as le pla équatio z 68 b Soit a; b ue solutio e 1 Alors : C est le cercle e cetre 0 ; 0 ; 68 a b a b 465 ppcm a ; b 440 et e rayo c où c est u 1 c, tracé 168 5 185, le PGCD e a et b ivise a (et aussi a ) et ivise b (et aussi b ), où ivise a b ; ivise 465 De plus, ivise le PPCM e a et b Doc ivise 440, est u iviseur commu e 440 et e 465 Or les iviseurs e 465 sot : 1 ; 5 ; 5 ; 37 ; 15 ; 185 ; 95 et 465 Les iviseurs e 440 sot : 1 ; ; 4 ; 5 ; 8 ; 10 ; 11 ; 0 ; ; 40 ; 44 ; 55 ; 88 ; 110 ; 0 et 440 e peut être égal qu à 1 ou à 5 * 1 ab pgc a ; b ppcm a ; b, c est-à-ire ab 1440 440, a et b sot oc es iviseurs e 440 ot la somme es carrés est égale à 465 et le prouit à 440 a b a b ab 465 880 5505 ; ce qui est impossible car a b est u etier aturel (e Or tat que somme e eux etiers aturels) Il y a as ce cas aucu couple solutio e ce système * Supposos que 5 ab pgc a ; b ppcm a ; b, c est-à-ire ab 5440 00 ; alors a et b sot oc es iviseurs e 440 ot la somme es carrés est égale à 465 et le prouit à 00 a b a b ab 465 4400 905, soit ab 95 Seul le couple 40 ; 55 est solutio e ce système as ce cas Il existe u seul poit M e C tel que a et b soiet es etiers aturels vérifiat a b et ppcm a ; b 440 1 11 ROC+Cogrueces Rappel : Pour eux etiers relatifs a et b, o it que a est cogru à b moulo 7, et o écrit a bmo 7 lorsqu il existe u etier relatif tel que a = b +7 1 Cette questio costitue ue restitutio orgaisée e coaissaces a Soiet a, b, c et es etiers relatifs Démotrer que : si a bmo 7 et c mo 7 alors ac b mo 7 Or b E éuire que : pour a et b etiers relatifs o uls si a bmo 7 alors pour tout etier aturel, a b mo 7 Pour a = puis pour a = 3, étermier u etier aturel o ul tel que a 1 mo 7 3 Soit a u etier aturel o ivisible par 7 6 a Motrer que : a 1 mo 7 b O appelle orre e a mo 7, et o ésige par, le plus petit etier aturel o ul tel que a 1 mo 7 Arithmétique 4 A TOUATI touatiami@yahoofr
r Motrer que le reste r e la ivisio eucliiee e 6 par vérifie a 1 mo 7 E éuire que ivise 6 Quelles sot les valeurs possibles e? c Doer l orre moulo 7 e tous les etiers a compris etre et 6 4 A tout etier aturel, o associe le ombre A 3 4 5 6 Motrer que A006 6 mo 7 Correctio 1 a O écrit que a b 7, c 7 ' où ac b7 7 ' b 7 b ' 7 ' ac b 7 b Par récurrece : vrai pour = 1 Supposos a b mo 7 1 1, alors a a b b 7 a b 7 Pour a = puis pour a = 3, étermier u etier aturel o ul tel que a 1 mo 7 O cherche les restes e et 3 moulo 7 : 1 3 4 5 6 4 1 4 1 3 3 6 ou 1 4 ou 3 5 ou 1 Doc pour la première valeur e est 3, pour 3 c est 6 p 1 a 6 1 p où avec p = 7 : a 1 mo 7 3 a Théorème e Fermat : si p premier e ivise pas a, alors q r q r q r 6 b O a oc 6 r q r a a a a a a ; comme 1 mo 7 q q a, 1 7 1 7 a oc a 17 Comme est le plus petit etier tel que a 1 mo 7, r 0 oc ivise 6, soit =1,, 3 ou 6 c 4 a a mo 7 3 a mo 7 6 a mo 7 1 (=1) 1 1 1 (=3) 4 1 1 3 (=6) 6 1 4 (=3) 1 1 5 (=6) 4 6 1 6 (=) 1 6 1 006 006 006 006 006 A006 3 4 5 6, et 006 1003 3668 6 334 ; o a oc 668 006 6 334 006 3 668, 3 3 3 9 7 7, 4 4 4 16 7 7 334 006 1003 et 6 6 1 7 006 3 4 7 006 6 5 5 5 5 7 4 7, 006 006 006 006 006 où efi A006 3 4 5 6 4 4 1 7 13 7 6 7 1 1 QCM Pour chacue es ciq propositios suivates, iiquer si elle est vraie ou fausse et oer ue émostratio e la répose choisie Ue répose o émotrée e rapporte aucu poit Propositio 1 : «Pour tout etier aturel, 3 ivise le ombre 1» Propositio : «Si u etier relatif x est solutio e l équatio x x 0 moulo 6 x 0 moulo 3» alors Propositio 3 : «L esemble es couples etiers relatifs (x ; y) solutios e l équatio 1x 5y = 3 est l esemble es couples (4+10 ; 9+4) où» Propositio 4 : «Il existe u seul couple (a ; b) e ombres etiers aturels, tel que a < b et PPCM(a, b) PGCD(a, b) = 1» Deux etiers aturels M et N sot tels que M a pour écriture abc e base ix et N a pour écriture bca e base ix Propositio 5 : «Si l etier M est ivisible par 7 alors l etier M N est aussi ivisible par 7» Correctio Propositio 1 : Vrai O fait l essai Ca semble marcher Vérifios : 4 1 3 1 0 3 Propositio : Faux 1 3 4 5 6 7 1 3 15 63 55 103 4095 16383 reste 0 0 0 0 0 0 0 Arithmétique 5 A TOUATI touatiami@yahoofr
x x x x 1 est u multiple e oc pour que ce soit u multiple e 6, il faut qu u es eux termes x ou x + 1 soit u multiple e 3 ; o pourrait alors avoir x 1 0 3 x 3 Par exemple 5 oe 5 + 5 = 30 qui est bie u multiple e 3 Propositio 3 : Faux 1x 5y = 3 a comme solutio particulière x = 4 et y = 9 ; o a alors 1x 5y 3 x 4 5 x 4 5 1 x 4 5 y 9 0 1 x 4 5 y 9 14 59 3 y 9 1 y 9 1 Propositio 4 : Vrai a a1 Posos où est PGCD(a, b) ; o a alors a b 11 b 1 1 sio iviserait 1 Notre équatio b1 a 1 eviet alors : PPCM(a, b) PGCD(a, b) = 1 eviet oc ab 1 1 ab b Deux etiers aturels M et N sot tels que M a pour écriture abc e base ix et N a pour écriture bca e base ix Propositio 5 : Vrai M abc 100a10b c, N bca 100b 10c a oc M N 100a 10b c100b 10c a 9 11a 10b c est ivisible par 7 si 11a 10b c est ivisible par 3 Sachat qu o a M 100a 10b c 7 10b c 7 100a, o remplace : 11a 10b c11a 7 100a 111a 7 ; or 111 est u multiple e 3 O 1 13 Restes chiois Partie A : Questio e cours 1 Éocer le théorème e Bézout et le théorème e Gauss Démotrer le théorème e Gauss e utilisat le théorème e Bézout Partie B 13 19 Il s agit e résoure as le système S 6 1 1 Démotrer qu il existe u couple (u ; v) etiers relatifs tel que : 19u + 1v = 1 (O e emae pas as cette questio e oer u exemple u tel couple) Vérifier que, pour u tel couple, le ombre N 131v 6 19u est ue solutio e (S) a Soit 0 ue solutio e (S), vérifier que le système (S) équivaut à 0 19 b Démotrer que le système équivaut à 0 1 0 1 19 3 a Trouver u couple (u ; v) solutio e l équatio 19u + 1v = 1 et calculer la valeur e N correspoate b Détermier l esemble es solutios e (S) (o pourra utiliser la questio b) 4 U etier aturel est tel que lorsqu o le ivise par 1 le reste est 6 et lorsqu o le ivise par 19 le reste est 13 O ivise par 8 = 1 19 Quel est le reste r e cette ivisio? Correctio Partie A : Questio e cours, voir émostratios arithmétique 13 19 13 19 Partie B : S 6 1 6 1 1 Théorème e Bézout : 19 et 1 sot premiers etre eux oc il existe u couple (u ; v) etiers relatifs tel que : 19u + 1v = 1 N 131v 6 19u est ue solutio e (S) : il faut mettre N sous la forme N 13 19 Or 1v 1 19u N 13 119u 6 19u 13 19 7u ; o oc De même N 131v 6 19u 131v 6 11v 6 1 7v ; o 0 13 190 a Si 0 est ue solutio e (S), o a où e soustrayat lige à lige : 0 6 10 0 19 0 0 19 0 1 0 0 1 0 0 19 1 Arithmétique 6 A TOUATI touatiami@yahoofr
b E fait 19 ivise 0 e même que 1 ; comme ils sot premiers etre eux, 19 1 ivise 0, ce qui équivaut à 1 19 0 3 a Avec l algorithme Euclie o a 19 5 1 8 1 ; o peut oc prere u = 5 as N 13 19 7u, ce qui oe N 678 ; e même o pre v = 8 et N 6 1 7v, ce qui reoe bie N 678 p C, C p C p C 0,8 0,64 b 4 1 14 QCM Pour chaque questio, ue seule es quatre réposes proposées est exacte Le caiatiiquera sur la copie le uméro e la questio et la lettre correspoat à la répose choisie Chaque répose exacte rapporte 1 poit Chaque répose fausse elève 0,5 poit Ue absece e répose est comptée 0 poit Si le total est égatif, la ote est rameée à zéro Aucue justificatio est emaée 1 O cosière as l esemble es etiers relatifs l équatio : x x 4 0(moulo 6) A : toutes les solutios sot es etiers pairs B : il y a aucue solutio C : les solutios vérifiet x (6) D : les solutios vérifiet x (6) ou x 5(6) O se propose e résoure l équatio (E) : 4x + 34y =, où x et y sot es etiers relatifs A : Les solutios e (E) sot toutes e la forme : (x ; y) = (34 7 ; 5 4), B : L équatio (E) a aucue solutio C : Les solutios e (E) sot toutes e la forme : (x ; y) = (17 7 ; 5 1), D : Les solutios e (E) sot toutes e la forme : (x ; y) = ( 7 ; 5), 3 O cosière les eux ombres = 1 789 et p = 17 89 005 O a alors : A : 4(17) et p 0(17) C : p 4(17) B : p est u ombre premier D : p 1(17) 4 O cosière, as le pla complexe rapporté à u repère orthoormal, les poits A et B affixes respectives a et b Le triagle MAB est rectagle isocèle irect hypotéuse [AB] si et seulemet si le poit M affixe z est tel que : b ia A : z C: a z = i(b z) 1 i i B : 4 z a e ( b a) D : b z ( a z) Correctio 1 Testos la répose D : si (6) x x 4 4 4 6 6 6 0 6 ; si x 5(6) alors x x 4 5 5 4 6 4 6 0 6 O x alors Simplifios par : 1x + 17y = 1 a toujours es solutios car 1 et 17 sot premiers etre eux ; la B est fausse Si o cherche ue solutio particulière la C oe l iée que 7 et 5 est pas mal : 17 17 5 1 Après o termie e maière classique pour obteir la solutio C 100 1 3 O a = 1 789 =4 (17) ; par ailleurs 4 16 1 17 oc 4 1 100 4 17 4 17 Répose C 1 15 Eq ioph (c) Partie A Soit N u etier aturel, impair o premier O suppose que N a b où a et b sot eux etiers aturels 1 Motrer que a et b ot pas la même parité Motrer que N peut s écrire comme prouit e eux etiers aturels p et q 3 Quelle est la parité e p et e q? Partie B O amet que 50 507 est pas premier O se propose e chercher es couples etiers aturels (a ; b) vérifiat la relatio (E) : a 50 507 b 1 Soit X u etier aturel a Doer as u tableau, les restes possibles e X moulo 9 ; puis ceux e X moulo 9 b Sachat que a 50 507 b, étermier les restes possibles moulo 9 e a 50 507 ; e éuire les restes possibles moulo 9 e a c Motrer que les restes possibles moulo 9 e a sot 1 et 8 Arithmétique 7 A TOUATI touatiami@yahoofr
Justifier que si le couple (a ; b) vérifie la relatio (E), alors a 501 Motrer qu il existe pas e solutio u type (501 ; b) 3 O suppose que le couple (a ; b) vérifie la relatio (E) a Démotrer que a est cogru à 503 ou à 505 moulo 9 b Détermier le plus petit etier aturel tel que le couple (505+9 ; b) soit solutio e (E), puis oer le couple solutio correspoat Partie C 1 Déuire es parties précéetes ue écriture e 50 507 e u prouit eux facteurs Les eux facteurs sot-ils premiers etre eux? 3 Cette écriture est-elle uique? Correctio Partie A 1 N a b ( a b)( a b) : s ils sot tous les eux pairs, leur somme et leur ifférece sot paires, le prouit est pair ; s ils sot tous les eux impairs, leur somme et leur ifférece sot paires, le prouit est pair ; comme N est impair, a et b ot pas la même parité Eviet : N a b ( a b)( a b) pq 3 Comme il a été it, pour que le prouit soit impair, il faut qu ils aiet pas la même parité Partie B 1 a X 0 1 3 4 5 6 7 8 X 0 1 4 0 = 7 = 7 0 4 1 X 1 1 = 8 0 3 1 = 8 6 6 1 = 8 3 0 b O a 50 507 = 7 834 9 + 1, oc les restes possibles moulo 9 e a 50 507 sot ceux e X 1 c Comme a 50 507 b, les restes oivet être égaux moulo 9, o a a *si o pre b 0(9) alors *si o pre b 1(9) alors *si o pre b (9) alors O a a 50 507 b où a a 1(9) a 1(9) ou a 8(9), a (9), ce qui est impossible, a 5(9), ce qui est impossible, etc b 1(9) ; 50 507 b 50 507 (500,) 501 oc a 501 Si o avait ue solutio u type (501 ; b), o aurait 51001 50507 b b 494 or 494 est pas u carré parfait 3 a a est cogru à 1 ou 8 moulo 9 et oit être supérieur à 501, lequel est cogru à 6 mo 9 ; o peut oc prere 503 8(9) ou 505 1(9) b Le plus simple est e faire quelques essais : a a 50507 a 505 4518 67,160695 514 13689 117 53 30 151,73003 53 3517 180,34707 541 4174 05,363093 550 51993 8,019736 559 61974 48,945777 568 7117 68,546085 577 84 87,093 O a oc la première solutio pour = 1, ce qui oe la solutio (514, 117) Partie C 1 O a 50 507 a b ( a b)( a b) (514 117)(514 117) 397631 Appliquos l algorithme Euclie : u v quotiet reste 631 397 1 34 397 34 1 163 34 163 1 71 163 71 1 71 1 3 8 1 8 5 8 5 1 3 Arithmétique 8 A TOUATI touatiami@yahoofr
5 3 1 3 1 1 Le PGCD est 1, les eux ombres sot premiers etre eux 3 Cette écriture e sera pas uique (mis à part p = 1, q = 50507, par exemple) si 397 est pas u ombre premier Or 397 est premier, la écompositio est bie uique 1 16 Suite e restes (c) O cosière la suite (u ) etiers aturels éfiie par u 0 = 14, u +1 = 5u 6 pour tout etier aturel 1 Calculer u 1, u, u 3 et u 4 Quelle cojecture peut-o émettre cocerat les eux eriers chiffres e u? Motrer que, pour tout etier aturel, u u (moulo 4) E éuire que pour tout etier aturel, u (moulo 4) et u 1 0(moulo 4) 3 a Motrer par récurrece que, pour tout etier aturel, u = 5 + +3 b E éuire que, pour tout etier aturel, u 8(moulo 100) 4 Détermier les eux eriers chiffres e l écriture écimale e u suivat les valeurs e 5 Motrer que le PGCD e eux termes cosécutifs e la suite (u ) est costat Préciser sa valeur Correctio 1 O calcule u 1 = 64, u = 314, u 3 = 1 564, u 4 = 7 814 O peut cojecturer que u = 14 et u +1 = 64 u 5u1 6 5 5u 6 6 5u 36 Or 4u 36 0 4, oc u u 4u 36 4 u 0 4 u 4 O e éuit par récurrece que u u0 4 or u0 4 oc, pour tout aturel, 4 De même u 1 u1 4 or u 1 64 0 4 oc, pour tout aturel, u 1 0 4 3 a Au rag 0 : u 0 = 8 = 5 + 3 : vrai Supposos que pour l etier, o ait 5 3 alors u 3 3 u 1 5u 6 5 u 1 5 5 3 1 5 15 1 5 3 u La relatio est oc vraie au rag +1 b O a 5 3 5 1 4 5 5 100 e multipliat tout par 5 ; fialemet u or u ; mais comme u 4 et que 14 4 et oc lorsque est pair u 14100, lorsque est impair 14 50100 64100 u 5 3 100 8 100 4 La relatio précéete oe 14 50, 50 0 4 u, il faut 5 O voit que le PGCD e 14 et 64 est ; il faut oc motrer que c est le cas Comme o a 5u 6, la relatio e Bézout motre que PGCD(u +1 ; u ) est u iviseur e 6 Or 3 ivise 3 mais u 1 pas 5 oc 3 e ivise pas u 5 3 Coclusio : PGCD(u +1 ; u ) = 1 17 Fiboacci (c) Das cet exercice a et b ésiget es etiers strictemet positifs 1 a Démotrer que s il existe eux etiers relatifs u et v tels que aubv 1 alors les ombres a et b sot premiers etre eux b E éuire que si a ab b 1 alors a et b sot premiers etre eux O se propose e étermier tous les couples etiers strictemet positifs (a ; b) tels que a ab b 1 U tel couple sera appelé solutio a Détermier a lorsque a = b b Vérifier que (1 ; 1), ( ; 3) et (5 ; 8) sot trois solutios particulières c Motrer que si (a ; b) est solutio et si a b, alors a b 0 3 a Motrer que si (x ; y) est ue solutio ifférete e (1 ; 1) alors ( y x ; x) et ( y ; y x) sot aussi es solutios b Déuire e b trois ouvelles solutios 4 O cosière la suite e ombres etiers strictemet positifs ( a) éfiie par a0 a1 1 et pour tout etier, 0, a a1 a Démotrer que pour tout etier aturel 0, ( a; a 1) est solutio E éuire que les ombres a et a 1 sot premiers etre eux Correctio 1 a Démostratio e cours Arithmétique 9 A TOUATI touatiami@yahoofr
b a ab b a a b bb a ab b 1 1 1 Das les eux cas o peut écrire a ab b 1 b( b a) a a 1 aubv 1 : as le premier u a v, v b, as le seco u b a, v a 4 a a = b : a ab b 1 a 1 a 1 (a > 0) b (1 ; 1) est éjà fait, ( ; 3) : 3 3 1 et (5 ; 8) : c a ab b 1: si o a a b 0, alors a ab b 5 58 8 (5 40 64) 1 e peut pas valoir 1 ; e même valoir 1 as ce cas puisqu il serait positif Das tous les cas o a a 3 a ( y x ; x) est ue solutio ssi (x ; y) est ue solutio : y x y x x x y xy x xy x x y xy x b 0 ( ) ( ) 1 ; Même calcul pour ( y ; y x) a ab b e peut b ( ; 3) est solutio oc (3 ; ) (1; ) et (3 ; 3 ) (3 ; 5) e sot ; (5 ; 8) est solutio oc (8 5 ; 5) (3 ; 5) et (8 ; 5 8) (8 ;13) e sot ; o a les ouvelles solutios : (1 ; ), (3 ; 5) et (8 ;13) 4 a0 a1 1, a a1 a Démostratio par récurrece : supposos que ( a; a 1) est solutio, alors ( y ; y x) ( a 1 ; a a 1) ( a 1 ; a ) est solutio après le 3 a Comme c est vrai au rag 0 : (1 ; 1) est solutio, c est toujours vrai La questio 1 b justifie alors que les ombres a et a 1 sot premiers etre eux Remarque : ce est pas la faço la plus rapie e motrer que eux termes cosécutifs e la suite e Fiboacci sot premiers etre eux : soiet u +1 et u eux termes cosécutifs e la suite e Fiboacci Alors u +1 = u + u 1 ; soit u iviseur commu positif e u +1 et u ; alors ivise u 1, oc est u iviseur commu e u et u 1 E itérat (et e esceat), il viet : est u iviseur commu e u 1 = 1 et u o = 1 oc = 1 et u +1 et u sot premiers etre eux 1 18 QCM (c) Pour chacue es six affirmatios, ire si elle est vraie ou si elle est fausse, e justifiat le choix effectué 1 Le PGCD e 004 et 4 00 est 6 Si p et q sot eux etiers aturels o uls, pq 1 est ivisible par p 1 et par q 1 3 Pour tout e *, 1 est jamais ivisible par 9 4 L esemble es couples etiers solutios e l équatio : 4x + 35y = 9 est l esemble es couples : ( 144+70 ; 99 4) où 5 Soiet A et B eux poits isticts u pla ; si o ote f l homothétie e cetre A et e rapport 3 et g l homothétie e cetre B et e rapport 1 alors g f est la traslatio e vecteur AB 3 6 Soit s la similitue écriture complexe z = iz +(1 i), l esemble es poits ivariats e s est ue roite Correctio 1 Vrai : 4 00 = 004 1+1 998 ; 004 = 1 998 1+6 ; 1 998 = 6 336 Le erier reste o ul est bie 6 pq p Vrai : 1 q p q m m1 m 1 1 ; or a 1 a 1 a a 1 3 Faux : cotre-exemple : 6 1 = 63 est ivisible par 9 4 Faux : les méthoes habituelles oet les solutios (35 144 ; 99 4), 5 Faux : soit M u poit u pla ; so image M 1 par f vérifie AM1 3AM Puis l image M e M 1 par g 1 1 1 1 BM MA AB BA AM MA AB BA 3AM AB 3 3 3 3 3 z iz 1 i, soit avec z = x + iy, x iy ix y 1 i, soit vérifie 1 1 6 Vrai : les poits ivariats vérifiet x y 1 i y x 1 0 x y 1 0 qui est bie l équatio ue roite 1 19 Fermat et Bézout (c) 1 Motrer que pour tout etier aturel o ul et pour tout etier aturel x : 1 ( 1)(1 x x x x ) x 1 Das toute la suite e l exercice, o cosière u ombre etier a supérieur ou égal à a Soit u etier aturel o ul et u iviseur positif e : = Motrer que a 1 est u iviseur e a 1 004 b Déuire e la questio précéete que 1 est ivisible par 7, par 63 puis par 9 3 Soiet m et eux etiers aturels o uls et leur PGCD Arithmétique 10 A TOUATI touatiami@yahoofr
a O éfiit m et par m = m et = E appliquat le théorème e Bézout à m et, motrer qu il existe es etiers relatifs u et v tels que mu v b O suppose u et v strictemet positifs Motrer que ( a 1) ( a 1) a a 1 Motrer esuite que mu v Arithmétique 11 A TOUATI touatiami@yahoofr mu v a 1 est le PGCD e a 1 et e a 1 63 60 c Calculer, e utilisat le résultat précéet, le PGCD e 1 et e 1 Correctio 1 O reémotre le théorème sur la somme es termes ue suite géométrique : o éveloppe 1 1 ( x 1)(1 x x x ) ( x x x ) (1 x x x ) x 1 a = Remplaços x par a as la relatio précéete : ( 1) ( a 1)(1 a a a ) a 1 a 1 a 1 est e facteur as a 1, c e est bie u iviseur b O effectue la écompositio e facteurs premiers e 004 : ivisible par 3 4 6 1 1 3, 1 7, 1 15, 1 63, 1 4095, 004 004 004 3167 oc 1 est 004 1 est oc ivisible par 7 et 63 ; comme 9 ivise 63 il ivise égalemet 1 3 a Bézout it : m et sot premiers etre eux si et seulemet si il existe u et v tels que um' v' 1 (ou um' v' 1) O multiplie tout par : um' v', soit umv (ou umv ) b Développos : mu v mu v mu v a 1 a a a 1 a a 0 a a mu v mu v mu v Divisos la relatio ( a 1) ( a 1) a a 1 par mu v a 1 a 1 Da 1 : a 1 a 1 a 1 ; ceci a 1 a 1 motre qu il existe eux etiers tels que 1 A a B D où A et B A et B sot oc a 1 a 1 premiers etre eux et D est le PGCD e A et B 63 60 c Le PGCD e 1 et e 1 est obteu e passat par le PGCD e 63 et 60 qui est = 3 O a alors 163 160 3 où e preat a = : 1 0 Suite (c) 1 a Calculer : 1 6, 1 6 4, 1 6 6 63 A 1, 60 mu B 1 et b Appliquer l algorithme Euclie à 847 et 34 Que peut-o e éuire? v 3 D 1 7 Soit u etier aturel o ul O ote a et b les etiers aturels tels que : 1 6 a b 6 a Que valet a 1 et b 1? D après les calculs e la questio 1 a, oer autres valeurs e a et b b Calculer a +1 et b +1 e foctio e a et b c Démotrer que, si 5 e ivise pas a + b, alors 5 e ivise pas o plus a1 b1 E éuire que, quel que soit etier aturel o ul, 5 e ivise pas a b Démotrer que, si a et b sot premiers etre eux, alors a +1 et b +1 sot premiers etre eux E éuire que, quel que soit etier aturel o ul, a et b sot premiers etre eux Correctio 4 1 a 1 6 1 6 6 7 6, 6 1 6 73 8 6 7 6 847 34 6 1 6 7 6 73 8 6, b 847 34 163 ; 34 163 16 ; 163 16 10 3 ; 16 3 5 1 oc 847 et 34 sot premiers etre eux 1 6 a b 6 a 1 1 a 1, b 1 ; a 7, b ; a3 73, b3 8, etc 1 1 6 6 1 6 6 6 a1 a 6b oc b 1 a b b a b a b a b a b a1 b 1 a 7b a b 5b ; comme 5b est ivisible par 5, si 5 e ivise pas a b, alors 5 e ivise pas o plus a1 b1 Par ailleurs 5 e ivise pas a1b1 oc par récurrece 5 e ivise pas a b a 1 a 6b a1 b 1 5b b 1 a b 6b 1 a1 5a Comme il est clair que a et b sot etiers, a1 b1 et 6b 1 a 1 sot ivisibles par 5 c
Si a +1 et b +1 e sot pas premiers etre eux, il existe tel que a 1, b 1 ( e peut être u multiple e 5 sio il se mettrait e facteur as a b qui serait alors ivisible par 5) Remplaços : a1b 1 5b 5b où a et b ot u facteur commu ce qui est cotraictoire 6b 1a 1 5a 5a 6 Par ailleurs a et b sot premiers etre eux oc par récurrece a et b sot premiers etre eux 1 1 Repuit(c) 1 O cosière l équatio (1) icoue (, m) élémet e : 11 4m = 1 a Justifier, à l aie e l éocé u théorème, que cette équatio amet au mois ue solutio b E utilisat l algorithme Euclie, étermier ue solutio particulière e l équatio (1) c Détermier l esemble es solutios e l équatio (1) Recherche u PGCD e 10 11 1 et 10 4 1 a Justifier que 9 ivise 10 11 1 et 10 4 1 b (, m) ésigat u couple quelcoque etiers aturels solutios e (1), motrer que l o peut écrire (10 11 1) 10(10 4m 1) = 9 c Motrer que 10 11 1 ivise 10 11 1 (o rappelle l égalité a 1 = (a 1)(a 1 +a + +a 0 ), valable pour tout etier aturel o ul) Déuire e la questio précéete l existece e eux etiers N et M tels que : (10 11 1)N (10 4 1)M = 9 Motrer que tout iviseur commu à 10 4 1 et 10 11 1 ivise 9 e Déuire es questios précéetes le PGCD e 10 4 1 et 10 11 1 Correctio 1 a 11 4m = 1 : grâce à Bézout, o sait que l équatio a es solutios car 11 et 4 sot premiers etre eux b 4=11+, 11=5+1 oc 1=11 5(4 11)=1111 54 Ue solutio particulière e l équatio est (11, 5) 11 4m 1 11 4 c 11 11 4 m 5, car 11 et 4 sot premiers etre eux 1111 45 1 m 5 11 a 10 11 1=100 000 000 000 1= 9 999 999 999 = 91 111 111 111 C est pareil pour 10 4 1 11 4m 11 4m1 11 4m1 10 1 10 10 1 10 110 10 10 10 9 ; or si (, m) est solutio e (1), b 11 4m1 11 4m1 o a 11 4m110 10 10 10 0 c E utilisat a 1 = (a 1)(a 1 +a + +a 0 ) avec a = 10 11, o a 11 1 11 11 10 1 10 1 10 1 oc 10 11 1 ivise 10 11 1 De même 10 4 1 ivise 10 4m 1, et il existe N et M tels que : 11 4m 11 1111 4m4 4 10 1 10 10 1 9 10 1 10 1 10 10 1 10 1 9 Soit u iviseur commu e 10 4 1 et 10 11 1 : ivise 10 11 1 N 10 4 1 N M M et oc ivise 9 e Les iviseurs e 9 sot 1, 3 et 9 sot les seuls iviseurs commus e 10 4 1 et 10 11 1 Comme 9 ivise 10 4 1 et 10 11 1, c est leur PGCD 1 Bézout (c) 1 O cosière x et y es etiers relatifs et l équatio (E) 91x +10y = 1 a Éocer u théorème permettat e justifier l existece ue solutio à l équatio (E) b Détermier ue solutio particulière e (E) et e éuire ue solutio particulière e l équatio (E ) : 91x +10y = 41 c Résoure (E ) Motrer que les ombres etiers A = 3 1, où est u etier aturel o ul, sot ivisibles par 8 3 O cosière l équatio (E ) A 3 x + A y = 396 a Détermier les couples etiers relatifs (x, y) solutios e l équatio (E ) b Motrer que (E ) amet pour solutio u couple uique etiers aturels Le étermier Correctio 1 a 91 et 10 sot premiers etre eux, l équatio (E) a es solutios après Bézout b x=1, y= 9 est ue solutio e (E) oc 41 et 3708 sot es solutios e (E ) 91x 10y 41 x 41 10 x 41 10 c 91 x 41 10 y 3708 0 9141 103708 41 y 3708 91 y 3708 91 3 3 9 1 8 18 3 1 08 3 a A3 78, A 80, o ivise par 8 : 78x 80y 396 91x 10y 41 Les solutios sot celles u 1c Arithmétique 1 A TOUATI touatiami@yahoofr
x 41 10 0 41, b Il faut que les solutios soiet positives : 41 et oc y 3708 91 0 3708 / 91 40,7 l uique solutio est ( ; 3) 1 3 Homothétie & multiples (c) 1 Le pla (P) est rapporté à u repère orthoormal irect ( O ; u, v ) Soit A et B as ce pla affixes respectives a = 1 + i ; b = 4 i Soit f la trasformatio u pla (P) qui à tout poit M affixe z associe le poit M affixe z tel que OM ' AM BM a Exprimer z e foctio e z b Motrer que f amet u seul poit ivariat ot o oera l affixe E éuire que f est ue homothétie ot o précisera le cetre et le rapport O se place as le cas où les cooroées x et y e M sot es etiers aturels avec 1 x 8 et 1 y 8 Les cooroées (x ; y ) e M sot alors : x = 3x + et y = 3y 1 a O appelle G et H les esembles es valeurs prises respectivemet par x et y Écrire la liste es élémets e G et H b Motrer que x y est u multiple e 3 c Motrer que la somme et la ifférece e eux etiers quelcoques ot même parité O se propose e étermier tous les couples (x ; y ) e G H tels que m x' y' soit u multiple o ul e 60 Motrer que as ces coitios, le ombre x y est u multiple e 6 Le ombre x y peut-il être u multiple e 30? e E éuire que, si x y est u multiple o ul e 60, x + y est multiple e 10 et utiliser cette coitio pour trouver tous les couples (x ; y ) qui covieet E éuire les couples (x ; y) correspoat aux couples (x ; y ) trouvés Correctio z' z a z b 3z a b 3z 6 i 1 a b 1 z 3z i z i z 1 i O a M' 3 M oc f est ue homothétie e cetre et e rapport 3 x = 3x + et y = 3y 1, et 1 y 8 a 1 x 8 oc 31 x' 38 5 x' 6 et 1 y 8 oc 311 y' 38 1 y' 3 b x' y' 3x 3y 1 3x 3y 3 3 x y 1 c Si o pre eux etiers pairs ou impairs, la somme est paire, la ifférece égalemet ; si o pre eux etiers e parité ifférete, la somme est impaire, la ifférece égalemet m x' y' 60 x' y' x' y' 60 x' y' 3x 3y 1 3x 3y 1 3 x y 1 ; Si x et y sot e parité ifférete, x' y' et x' y' sot impairs et leur prouit égalemet ; ce e peut être u multiple e 60 Doc x et y sot e parité ietique ; comme x' y' est u multiple e 3 et pair, c est u multiple e 6 Si le ombre x y est u multiple e 30, xy 1 est u multiple e 10, or x et y sot plus petits que 8, c est impossible e Comme x' y' est u multiple e 6 et pas e 30, x' y' est pas ivisible par 5 ; pour que x' y' soit u multiple o ul e 60, il faut oc que x + y soit ivisible par 5 ; comme il est pair, c est u multiple e 10 x' y' 6p x' 6p 10 q x' 5q 3p O a alors x' y' 10q y' 10q 6 p y' 5q 3p avec p = 1 ou et q = 1,, 3 ou 4, ce qui oe : p q x y x y x y 1 1 8 60 1 1 13 7 10 11/3 8/3 1 3 18 1 180 16/3 13/3 1 4 3 17 40 7 6 1 11 1 10 3 0 16 4 40 14/3 5/3 3 1 9 360 19/3 10/3 4 6 14 480 8 5 et oc les solutios e x et y : ;1, 7 ; 6, 8 ; 5 O pouvait le faire rapiemet avec Excel Arithmétique 13 A TOUATI touatiami@yahoofr
y 1 3 4 5 6 7 8 y 5 8 11 14 17 0 3 x x 1 5 1 0-39 -96-171 -64-375 -504 8 60 39 0-57 -13-5 -336-465 3 11 117 96 57 0-75 -168-79 -408 4 14 19 171 13 75 0-93 -04-333 5 17 85 64 5 168 93 0-111 -40 6 0 396 375 336 79 04 111 0-19 7 3 55 504 465 408 333 40 19 0 8 6 67 651 61 555 480 387 76 147 1 4 Cogrueces, (c) 1 a Pour 1 6, calculer les restes e la ivisio eucliiee e 3 par 7 6 b Démotrer que, pour tout, 3 3 est ivisible par 7 E éuire que as la ivisio par 7 c A l aie es résultats précéets, calculer le reste e la ivisio eucliiee e Arithmétique 14 A TOUATI touatiami@yahoofr 6 3 et 3 ot même reste 1000 3 par 7 De maière géérale, commet peut-o calculer le reste e la ivisio eucliiee e 3 par 7, pour quelcoque? e E éuire que, pour tout etier aturel, 3 est premier avec 7 Soit u 1 1 1 3 3 3 3, etier supérieur ou égal à 1 a Motrer que 3 1 u b Détermier les valeurs e telles que u soit ivisible par 7 c Détermier tous les iviseurs e u 6 Correctio i0 i 0 1 3 4 5 6 1 a 3 1 1[7], 3 3 3[7], 3 9 [7], 3 3[7] 6[7], 3 4[7], 3 5[7], 3 1[7] Tous les 6 termes o retoure au poit e épart 6 6 3 6 6 3 3 3 1 or 3 1[7] oc 3 1 est ivisible par 7 b c Divisos 1000 par 6 : 1000 6 166 4 1000 1000 6 4 oc 166 3 3 3 ; comme 6 3 1[7] et 4 3 4[7],o a 3 4[7] E ivisat par 6 o a ue partie qui sera cogrue à 1 et l autre tombera as les restes calculés au 1a e E aucu cas o e peut trouver u reste ul oc pour tout etier aturel, 3 est premier avec 7 1 a O a la somme es termes ue suite géométrique e raiso 3, e premier terme 1 : 3 u 1 b u est ivisible par 7 lorsque 3 1[7], soit lorsque est u multiple e 6 6 c u6 3 1 1 3 3 1 3 3 1 7 13 ; tous les iviseurs sot oc 1, 13, 7, 91,, 6, 14, 18, 4, 5, 8, 364 1 5 Bézout, (c) Le ombre est u etier aturel o ul ; o pose a = 4 + 3 et b = 5 + et o ote le PGCD e a et b 1 Complétez le tableau ci-essous Quelle cojecture pouvez vous faire sur? a b 8 9 10 11 1 13 14 15 16
17 Calculer 5a 4b et e éuire les valeurs possibles e 3 O cosière l équatio (E) : 7 4 = 3, où et sot eux etiers aturels o uls a Détermier ue solutio particulière e (E), puis tous les couples solutios e (E) b E éuire tous les couples etiers aturels ( ; ) solutios tels que 4 + 3 = 7 4 Détermier, à l aie es cogrueces, les etiers aturels tels que 5 + soit ivisible par 7 5 Soit r le reste e la ivisio eucliiee e par 7 Déuire es questios précéetes la valeur e r pour laquelle vaut 7 Pour quelles valeurs e r, est-il égal à 1? Correctio 1 a b 8 35 4 7 9 39 47 1 10 43 5 1 11 47 57 1 1 51 6 1 13 55 67 1 14 59 7 1 15 63 77 7 16 67 8 1 17 71 87 1 Il semble que lorsque 17, = 7 sio = 1 5a 4b 015 08 7 ivise 7 oc = 1 ou = 7 3 a (E) : 7 4 = 3 : la solutio = 1, = 1 est éviete E appliquat la méthoe habituelle o a : 743 7 1 4 1 0 7 1 4 1 ; 7 1 4 1 3 comme 4 e ivise pas 7 il ivise 1, e même comme 7 e ivise pas 4 il ivise 1 et fialemet 1 4p 1 4p, p, p 1 7p 1 7p 1 4p 0 p 1 / 4 b ( ; ) etiers aturels : p 0 1 7p 0 p 1 / 7 4 a Avec u petit tableau : 0 1 3 4 5 6 5+ mo 7 0 5 3 1 6 4 17 Doc 5 + est ivisible par 7 lorsque 5 D après la questio 3 o a 43 7 lorsque 17, e même pour 5 7 Arithmétique 15 A TOUATI touatiami@yahoofr Lorsque 17, a et b sot ivisibles par 7 qui est alors la valeur e ; il faut oc r = 1 Pour toutes les autres valeurs e r, i a i b e sot ivisibles par 7 et = 1 1 6 Eq ioph (c) Partie A O amet que 1999 est u ombre premier Détermier l esemble es couples (a ; b) etiers aturels amettat pour somme 11 994 et pour PGCD 1999 Partie B O cosière l équatio (E) icoue apparteat à : (E) : S + 11994 =0 où S est u etier aturel O s itéresse à es valeurs e S telles que (E) amette eux solutios as 1 Peut-o étermier u etier S tel que 3 soit solutio e (E)? Si oui, préciser la euxième solutio Peut-o étermier u etier S tel que 5 soit solutio e (E)? 3 Motrer que tout etier solutio e (E) est u iviseur e 11994 E éuire toutes les valeurs possibles e S telles que (E) amette eux solutios etières Partie C Commet motrerait-o que 1999 est u ombre premier? Préciser le raisoemet employé La liste e tous les etiers premiers iférieurs à 100 est précisée ci-essous : 3 5 7 11 13 17 19 3 9 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 Correctio Partie A O amet que 1999 est u ombre premier Détermier l esemble es couples (a ; b) etiers aturels amettat pour somme 11 994 et pour PGCD 1999
a O pose où est le PGCD e a et b : a b ' ( ') 1999( ') 11994 ' 6 b ' Les valeurs possibles e et et celles e a et b sot oc : ' a b 0 6 0 11994 1 5 1999 9995 4 3998 7996 3 3 5997 5997 4 7996 3998 5 1 9995 1999 6 0 11994 0 Partie B O cosière l équatio (E) icoue apparteat à : (E) : S + 11994 =0 où S est u etier aturel 1 3 est solutio e (E) ssi 9 3S11994 0 S 4001 ; la euxième solutio est alors 4001 3=3008 5 est solutio e (E) ssi 5 5S11994 0 5S 1019, S est pas etier, ça e colle pas 3 (E) peut s écrire égalemet 11994 S ( S ) oc ivise 11994 Comme 11994 6 1999 3 1999, peut prere les valeurs 1,, 3, 6, 1999, 3998, 5997 et 11994 où S peut prere les valeurs 005, 4001, 5999 et 11995 S S 1 11994 11995 5997 5999 3 3998 4001 6 1999 005 1999 6 005 3998 3 4001 5997 5999 11994 1 11995 Partie C Eviet iutile e épasser 1999 44,7 1 7 PGCD (c) 1 Motrer que pour tout etier aturel o ul et pour tout etier aturel x : 1 ( x 1)(1 x x x ) x 1 Das toute la suite e l exercice, o cosière u ombre etier a supérieur ou égal à a Soit u etier aturel o ul et u iviseur positif e : = Motrer que a 1 est u iviseur e a 1 b Déuire e la questio précéete que 004 1 est ivisible par 7, par 63 puis par 9 3 Soiet m et eux etiers aturels o uls et leur PGCD a O éfiit m et par m = m et = E appliquat le théorème e Bézout à m et, motrer qu il existe es etiers relatifs u et v tels que mu v mu v b O suppose u et v strictemet positifs Motrer que ( a 1) ( a 1) a a 1 Motrer esuite que a 1 est le PGCD e a 1 et e a 1 mu c Calculer, e utilisat le résultat précéet, le PGCD e v 63 1 et e 60 1 Correctio 1 O reémotre le théorème sur la somme es termes ue suite géométrique : o éveloppe 1 1 ( x 1)(1 x x x ) ( x x x ) (1 x x x ) x 1 Faut-il faire ue récurrece? A priori oui pour être tout à fait correct, mais le temps passé e risque pas être payé e retour O se satisfera oc e ceci a = Remplaços x par a as la relatio précéete : ( 1) ( a 1)(1 a a a ) a 1 a 1 Arithmétique 16 A TOUATI touatiami@yahoofr
a 1 est e facteur as a 1, c e est bie u iviseur La questio est très classique et a û être vue e cours b O effectue la écompositio e facteurs premiers e 004 : 004 3167 oc 3 4 6 1 ivisible par 1 3, 1 7, 1 15, 1 63, 1 4095, et 63 ; comme 9 ivise 63 il ivise égalemet 004 1 004 1 est 004 1 est oc ivisible par 7 Vous pouvez fiir la écompositio et trouver tous les facteurs 3 a Bézout it : m et sot premiers etre eux si et seulemet si il existe u et v tels que um' v' 1 (ou um' v' 1 ) O multiplie tout par : um' v', soit umv (ou umv ) Le chagemet e sige est pas écessaire, mais plutôt éstabilisat b Développos : mu v mu v mu v a 1 a a a 1 a a 0 a a mu v mu v mu v Divisos la relatio ( a 1) ( a 1) a a 1 par a 1 a 1 Da 1 : ( ) ( ) a 1 ; ceci motre a 1 a 1 mu v a 1 a 1 qu il existe eux etiers tels que 1 A a B D où A et B A et B sot oc premiers a 1 a 1 etre eux et D est le PGCD e A et B c Le PGCD e 63 1 et e 60 1 alors 163 160 3 où e preat a = : est obteu e passat par le PGCD e 63 et 60 qui est = 3 O a 63 A 1, 60 B 1 et 1 8 Premiers (c) Das cet exercice a et b ésiget es etiers strictemet positifs mu v 3 D 1 7 1 a Démotrer que s il existe eux etiers relatifs u et v tels que aubv 1 alors les ombres a et b sot premiers etre eux b E éuire que si a ab b 1 alors a et b sot premiers etre eux O se propose e étermier tous les couples etiers strictemet positifs (a ; b) tels que a ab b 1 U tel couple sera appelé solutio a Détermier a lorsque a = b b Vérifier que (1 ; 1), ( ; 3) et (5 ; 8) sot trois solutios particulières c Motrer que si (a ; b) est solutio et si a b, alors a b 0 3 a Motrer que si (x ; y) est ue solutio ifférete e (1 ; 1) alors ( y x ; x) et ( y ; y x) sot aussi es solutios b Déuire e b trois ouvelles solutios 4 O cosière la suite e ombres etiers strictemet positifs ( a) éfiie par a0 a1 1 et pour tout etier, 0, a a1 a Démotrer que pour tout etier aturel 0, ( a ; a 1) est solutio E éuire que les ombres a et a sot premiers etre eux 1 Correctio 1 a Démostratio e cours b a ab b a ab b a a b b b 1 1 1 Das les eux cas o peut écrire a ab b 1 b( b a) a a 1 aubv 1 : as le premier u a v, v b, as le seco u b a, v a 4 a ab b 1 a 1 a 1 (a > 0) a a = b : b (1 ; 1) est éjà fait, ( ; 3) : 3 3 1 et (5 ; 8) : 5 58 8 (5 40 64) 1 c a ab b 1: si o a a b 0, alors a ab b e peut pas valoir 1 ; e même peut valoir 1 as ce cas puisqu il serait positif Das tous les cas o a a b 0 3 a ( y x ; x) est ue solutio ssi (x ; y) est ue solutio : y x y x x x y xy x xy x x y xy x ( ) ( ) 1 ; a ab b e Arithmétique 17 A TOUATI touatiami@yahoofr
Même calcul pour ( y ; y x) b ( ; 3) est solutio oc (3 ; ) (1 ; ) et (3 ; 3 ) (3 ; 5) e sot ; (5 ; 8) est solutio oc (8 5 ; 5) (3 ; 5) et (8 ; 5 8) (8 ;13) e sot ; o a les ouvelles solutios : (1 ; ), (3 ; 5) et (8 ;13) 4 a0 a1 1, a a1 a Démostratio par récurrece : supposos que ( a ; a 1) est solutio, alors ( y ; y x) ( a1 ; a a1 ) ( a1 ; a ) est solutio après le 3 a Comme c est vrai au rag 0 : (1 ; 1) est solutio, c est toujours vrai La questio 1 b justifie alors que les ombres a et a 1 sot premiers etre eux Remarque : ce est pas la faço la plus rapie e motrer que eux termes cosécutifs e la suite e Fiboacci sot premiers etre eux : soiet u +1 et u eux termes cosécutifs e la suite e Fiboacci Alors u +1 = u + u 1 ; soit u iviseur commu positif e u +1 et u ; alors ivise u 1, oc est u iviseur commu e u et u 1 E itérat (et e esceat), il viet : est u iviseur commu e u 1 = 1 et u o = 1 oc = 1 et u +1 et u sot premiers etre eux 1 9 suite (c) O cosière la suite (u ) etiers aturels éfiie par u 0 = 14, u +1 = 5u 6 pour tout etier aturel 1 Calculer u 1, u, u 3 et u 4 Quelle cojecture peut-o émettre cocerat les eux eriers chiffres e u? Motrer que, pour tout etier aturel, u u(moulo 4) E éuire que pour tout etier aturel, u (moulo 4) et u 1 0(moulo 4) 3 a Motrer par récurrece que, pour tout etier aturel, u = 5 + +3 b E éuire que, pour tout etier aturel, u 8(moulo 100) 4 Détermier les eux eriers chiffres e l écriture écimale e u suivat les valeurs e 5 Motrer que le PGCD e eux termes cosécutifs e la suite (u ) est costat Préciser sa valeur Correctio u 0 = 14, u +1 = 5u 6 1 u1 514 6 64, u 314, u3 1564 et u4 7814 U coup c est 64 à la fi lorsque est impair, u coup c est 14 à la fi lorsque est pair Notez que pour coaître les eux eriers chiffres u ombre il faut pouvoir l écrire 100A+B où A est u etier quelcoque et B u etier etre 0 et 99 u 5u 6 5(5u 6) 6 5u 36 ; or 5 1(4) et 36 0(4) oc u 1 u (4) u (4) 1 Comme o a u0 14 1 (4), par récurrece e utilisat le résultat précéet, o aura u u (4) (4), etc soit u (4) 0 De même u1 64 0(4) u3 (0)4 u 1 0(4) 3 a Pour = 0 : u 8 5 3, o O suppose que u = 5 + +3, alors u 0 5 3 3 5 6 u 55 15 1 5 3 ; o 1 1 b u 8(100), u 8 100 ; soit 5 3 8 100 55 5 100 5 1 Comme o peut toujours trouver u etier e la forme 5 1, c est vrai 4 O a pour pair : u 5 1 8 5 1 100 u 14 100 5 1 est pair, oc ivisible par, 5 1 est oc u etier K et u p 14 100K, ses eux eriers chiffres sot 14 Si est impair, soit p 1 eux eriers chiffres sot 64 u u 5u 6 5 14 100K 6 64 500 K 64 100 K' où ses, p1 p Arithmétique 18 A TOUATI touatiami@yahoofr
5 Quel est le PGCD e 14 et 64? C est Il faut oc motrer que le PGCD e u et u 1 est, soit que u u 1 50K 7 et 50K 3 sot premiers etre eux, soit qu il existe a et b as tels que u uu1 a b 1 a(50k 7) b(50k 3) 1 50 K( a 5 b) 7a3b 1 Lorsqu o essaie aisi ça e marche pas : les valeurs trouvées pour a et b e sot pas etières Par cotre o peut remarquer que as u +1 = 5u 6 le PGCD e u 1 et u oit égalemet iviser 6 ; c est oc 1,, 3 ou 6 Mais 3 e ivise pas reste puisque u est pair (se termie par 14 ou 64) u 5 3 puisque 3 e ivise pas 5 oc ce est i 3 i 6, il Arithmétique 19 A TOUATI touatiami@yahoofr