Courbes gauches et surfaces

15 Courbes gauches et surfaces «Er macht es wie der Fuchs, der wischt mit dem Schwänze seine Spuren im Sande aus 1.» Abel, à propos des démonstrations arides de Gauss Plan de cours I Courbes gauches............................................. 1 II Surfaces, propriétés générales................................... 2 A Nappes paramétrées....................................... 2 B Surfaces définies par une équation cartésienne...................... 5 C Intersection de deux surfaces................................. 6 D Projection d une courbe sur un plan de coordonnées................... 7 III Quadriques (complément)....................................... 7 IV Surfaces particulières......................................... 8 A Surfaces réglées......................................... 8 B Surfaces de révolution...................................... 11 Dans tout le chapitre, 3 est muni d un repère orthonormé direct O; ı, j, k. I Courbes gauches Soit I un intervalle de. On considère la fonction f définie par : f : I 3 t (x(t), y(t), z(t)) On suppose f de classe k sur I, k 1. f définit ainsi une courbe paramétrée de classe k. On note = f (I) = x(t) y(t) z(t), t I la courbe associée, appelée support de f. On dit que est plane lorsqu elle est contenue dans un plan et que est une courbe gauche dans le cas contraire. Exemple x = x 0 + ta Paramétrage d une droite passant par M 0 (x 0, y 0, z 0 ) et dirigée par u = (a, b, c) : y = y 0 + t b z = z 0 + tc On pose dorénavant M(t) = x(t) y(t) pour t I et on considère t 0 I. z(t) (t ) Définition 15.1 : Point régulier M(t 0 ) est dit régulier si d OM (t 0 ) = dt x (t 0 ) y (t 0 ) 0. z (t 0 ) 1. Il était comme un renard, qui efface avec sa queue les traces de pas sur le sable. 1

CHAPITRE 15. COURBES GAUCHES ET SURFACES Proposition 15.2 Si M(t 0 ) est régulier, la tangente à en M(t 0 ) est dirigée par d OM (t 0 ). dt Définition 15.3 : Abscisse curviligne On appelle abscisse curviligne de d origine a I la fonction définie par : t d t OM s(t) = dt = x 2 (t) + y 2 (t) + z 2 (t) dt l = s(b) = b a a d OM représente alors la longueur de l arc M(a)M(b). dt Exercice 1 x(t) = cos(t) Soit la courbe paramétrée par y(t) = sin(t) z(t) = t 1. Représenter. 2. La courbe est-elle plane? 3. Possède-t-elle des points singuliers? 4. Déterminer les projections orthogonales de sur les plans (xo y) et (xoz). a 5. Déterminer une équation cartésienne et la nature d une surface contenant la courbe. II Surfaces, propriétés générales Une surface peut être définie de diverses manières. Nous étudierons dans ce chapitre les nappes paramétrées ainsi que les surfaces définies à l aide d une équation cartésienne. A Nappes paramétrées Définition 15.4 : Nappe paramétrée x(u, v) Soit f : (u, v) y(u, v) une fonction de classe k (k 1) définie sur un ouvert de 2. z(u, v) x(u, v) On appelle nappe paramétrée par f l ensemble : = y(u, v) z(u, v), (u, v) Exemple Un plan est un exemple simple de nappe paramétrée. Par exemple, x = x 0 + au + a v y = y 0 + bu + b v z = z 0 + cu + c v (u, v) 2 x 0 a a est un paramétrage du plan passant par M y 0 et dirigé par b, b supposés non colinéaires. z 0 c c 2

Mickaël PROST Lycée Chaptal PT* Définition 15.5 : Point régulier OM Un point M(u 0, v 0 ) de est dit régulier si la famille u (u 0, v 0 ), OM v (u 0, v 0 ) est libre. Sinon, on dit que le point est stationnaire. Définition 15.6 : Plan tangent Le plan tangent en un point régulier est la réunion des tangentes aux courbes régulières tracées sur la surface passant par ce point. Théorème 15.7 : Plan tangent en un point régulier Si M(u 0, v 0 ) est régulier alors admet en M(u 0, v 0 ) un plan tangent dirigé par les vecteurs OM u (u 0, v 0 ) et OM v (u 0, v 0 ). f u (u 0, v 0 ) f v (u 0, v 0 ) Démonstration Soit M(u 0, v 0 ) un point régulier de. Considérons tout d abord les courbes paramétrées : x = x(u, v 0 ) C 1 : y = y(u, v 0 ) z = z(u, v 0 ) x = x(u 0, v) (u ) et C 2 : y = y(u 0, v) z = z(u 0, v) (v ) Ces deux courbes sont tracées sur et sont régulières. Elles s intersectent au point M 0. En ce point, leurs vecteurs tangents sont respectivement f u (u 0, v 0 ) et f v (u 0, v 0 ). Étant non colinéaires, ils définissent un plan passant par M 0 dont on va montrer qu il s agit du plan tangent. Admettons maintenant que toute courbe régulière tracée sur admet un paramétrage de la forme : x = x(u(t), v(t)) C : y = y(u(t), v(t)) z = z(u(t), v(t)) (t ) Si la courbe passe par M 0, il existe alors t 0 tel que (u(t 0 ), v(t 0 )) = (u 0, v 0 ). 3

CHAPITRE 15. COURBES GAUCHES ET SURFACES La tangente à la courbe en ce point est dirigée par : f t (u 0, v 0 ) = u (t 0 ) f u (u 0, v 0 ) + v (t 0 ) f v (u 0, v 0 ) Ce vecteur est bien combinaison linéaire des vecteurs f u (u 0, v 0 ) et f v (u 0, v 0 ). Détermination d une équation cartésienne du plan tangent On détermine n = OM u (u 0, v 0 ) OM v (u 0, v 0 ) = (a, b, c), normal au plan tangent. Le plan aura alors pour équation ax + b y + cz = d. On détermine d à l aide des coordonnées du point M(u 0, v 0 ). M si et seulement si det M 0 M, OM u (u 0, v 0 ), OM v (u 0, v 0 ) = 0. Application au cas des surfaces définies par une équation de la forme z = f (x, y) Lorsqu une surface est définie par une équation z = f (x, y), on peut facilement obtenir un paramétrage en posant : x = u y = v avec f : 2 z = f (u, v) Tous les points sont alors réguliers : 1 OM u = 0 et 0 OM = 1 donc f v f u v OM u OM v f u = f 0 0 v 0 1 Le plan tangent est alors dirigé par ces deux vecteurs et admet comme vecteur normal le vecteur de f coordonnées u, f v, 1. On retrouve ainsi un résultat du chapitre précédent ; le plan tangent à la surface d équation z = f (x, y) au point M 0 (x 0, y 0, z 0 ) est : z = z 0 + f x (x 0, y 0 ) (x x 0 ) + f y (x 0, y 0 ) (y y 0 ) Lorsque f est de classe 2 sur un voisinage ouvert du point (x 0, y 0 ), on peut étudier la position de la surface par rapport au plan tangent à l aide de la formule de Taylor-Young à l ordre 2 : z z 0 f x (x 0, y 0 ) (x x 0 ) f y (x 0, y 0 ) (y y 0 ) = 1 2 f 2 x 2 (x 0, y 0 ) h 2 + 2 2 f x y (x 0, y 0 ) hk + 2 f y 2 (x 0, y 0 ) k 2 + o(h 2 + k 2 ) Au voisinage du point considéré, la position du plan tangent est donné par le signe de la quantité entre crochets. Cela revient à calculer le déterminant de la hessienne comme évoqué au chapitre précédent. 4

Mickaël PROST Lycée Chaptal PT* CAS D UN EXTREMUM CAS D UN POINT SELLE B Surfaces définies par une équation cartésienne Ce sont les surfaces définies par une équation du type f (x, y, z) = 0 avec f : 3, que l on supposera de classe k, k 1. On pose alors = (x, y, z) 3, f (x, y, z) = 0. Exemples Plan d équation ax + b y + cz = d ; Sphère d équation (x a) 2 + (y b) 2 + (z c) 2 = R 2. Définition 15.8 On dit que (x 0, y 0, z 0 ) est un point critique de f si grad f (x 0, y 0, z 0 ) = 0. Théorème 15.9 Si M(x 0, y 0, z 0 ) n est pas un point critique de f, alors admet un plan tangent en M de vecteur normal grad f (x 0, y 0, z 0 ). Son équation est alors : f x (x 0, y 0, z 0 ) (x x 0 ) + f y (x 0, y 0, z 0 ) (y y 0 ) + f z (x 0, y 0, z 0 ) (z z 0 ) = 0 Démonstration On considère la surface d équation f (x, y, z) = 0 où f : 3 est supposée de classe 1 et un point M(x 0, y 0, z 0 ) de non critique. Soit γ : t (x(t), y(t), z(t)) définie sur un intervalle I une courbe paramétrée régulière tracée sur la surface et passant par M 0. On a donc : t I f (γ(t)) = f (x(t), y(t), z(t)) = 0 et t 0 I tel que M 0 = γ(t 0 ) f γ est de classe 1 sur I comme composée de fonctions de classe 1. En dérivant et en évaluant au point t 0, on obtient : x (t 0 ) f x (x 0, y 0, z 0 ) + y (t 0 ) f x (x 0, y 0, z 0 ) + z (t 0 ) f x (x 0, y 0, z 0 ) = 0 Ceci prouve que le vecteur tangent à la courbe en M 0 est orthgonal au vecteur grad f (x 0, y 0, z 0 ). Réciproquement, grad f (x 0, y 0, z 0 ) est bien orthognal au vecteur tangent en M 0 à toute courbe régulière passant par M 0 : il est normal au plan tangent. 5

CHAPITRE 15. COURBES GAUCHES ET SURFACES Proposition 15.10 : Tangente pour une courbe plane Si M(x 0, y 0 ) n est pas un point critique de f : 2, alors, dans 2 muni d un repère orthonormal, la courbe d équation f (x, y) = 0 admet une tangente d équation : f x (x 0, y 0 ) (x x 0 ) + f y (x 0, y 0 ) (y y 0 ) = 0 Et pour obtenir l équation cartésienne d une surface à partir d un paramétrage (et inversement)? La réponse est rarement évidente... x = x(u, v) : y = y(u, v) z = z(u, v) (u, v) On peut essayer d éliminer u puis v (ou l inverse) à l aide des trois équations pour obtenir une relation entre x, y et z. On obtient alors l équation cartésienne d une surface. Attention, on a mais rarement l égalité. Exemples Traitons les deux exemples suivants : x = v : y = u 2 + 2v (u, v) 2. z = uv Pour v non nul, v = x et u = z x. On a alors y = z 2 x + 2x et enfin, z 2 + 2x 3 y x 2 = 0. Cette dernière équation définit une surface qui est la réunion de et de la demi-droite définie par x = 0, z = 0 et y < 0. x = u + v : y = u 2 + v 2 (u, v) 2. z = u v x + z 2 x z 2 On trouve x 2 + z 2 : y = + = et les surfaces sont identiques. 2 2 2 C Intersection de deux surfaces L intersection de deux surfaces définit généralement une courbe. Ce n est néanmoins pas toujours vrai, l intersection pouvant être vide, réduite à un point ou bien même être une surface! Supposons que l intersection de deux surfaces 1 et 2 définit une courbe notée. On a = 1 2. Si 1 admet un plan tangent en un point M 0 1, alors la tangente à en M 0 est incluse dans ce plan. Il en va de même pour l éventuel plan tangent à la surface 2 en M 0. Ainsi, si les surfaces 1 et 2 définies respectivement par f (x, y, z) = 0 et g(x, y, z) = 0 présentent des plans tangents au point M 0 admettant comme vecteurs normaux grad f (x 0, y 0, z 0 ) et grad g(x 0, y 0, z 0 ), la tangente à en M 0 est alors dirigée par : grad f (x 0, y 0, z 0 ) grad g(x 0, y 0, z 0 ) Exemple a a ax + b y + cz = d La droite d équations a x + b y + c est dirigée par le vecteur b b. z = d c c 6

Mickaël PROST Lycée Chaptal PT* D Projection d une courbe sur un plan de coordonnées Nous travaillerons uniquement avec les projections orthogonales sur le plan de coordonnées (xo y), c est-àdire sur le plan d équation z = 0. x = x(t) ➊ Courbe définie par un paramétrage du type y = y(t) z = z(t) x(t) x(t) Le projeté orthogonal du point M(t) = y(t) sur le plan (xo y) est le point H(t) = y(t). z(t) 0 La projection orthogonale de la courbe sur le plan (xo y) est donc la courbe plane paramétrée par : x = x(t) y = y(t) z = 0 f (x, y, z) = 0 ➋ Courbe définie par un système d équations cartésiennes du type g(x, y, z) = 0 Un point M(x, y, z) appartient à la courbe si f (x, y, z) = 0 et g(x, y, z) = 0. Notons H(x, y, 0) son projeté orthogonal sur le plan (xo y). Si l on arrive à éliminer z des équations f (x, y, z) = 0 et g(x, y, z) = 0, c est-à-dire si l on obtient une relation du type h(x, y) = 0, les coordonnées du point H vérifieront cette équation. h(x, y) = 0 La projection orthogonale de la courbe sur le plan (xo y) aura alors pour équations : z = 0 Exemple fondamental Projection d un cercle sur un plan x 2 + y 2 + z 2 = 1 On considère la courbe définie par x y + 1 z = 0 2 est un cercle, c est l intersection non vide et non réduite à un point d un plan et d une sphère. Son centre Ω est le projeté orthogonal du centre O de la sphère de rayon R = 1 sur le plan ; son rayon r est donné par la relation OΩ 2 + r 2 = R 2. Quel est son projeté orthogonal sur (xo y)? Le système d équations définissant est équivalent à : x 2 + y 2 + 2(x y) 2 = 1 z = 2(x y) La conique d équation 3x 2 4x y + 3y 2 = 1 est une ellipse de centre O. Une étude classique, via une rotation d angle π 4, permet d obtenir une équation réduite. III Quadriques (complément) Définition 15.11 Une quadrique est une surface d équation : ax 2 + b y 2 + cz 2 + 2d x y + 2exz + 2 f yz + g x + h y + iz + j = 0 }{{}}{{} partie quadratique partie linéaire 7

CHAPITRE 15. COURBES GAUCHES ET SURFACES Pour représenter une quadrique, le principe est le même que dans le cas d une conique : on effectue différents changements de repère afin d obtenir une équation réduite. On commence par simplifier la partie quadratique en éliminant les doubles produits à l aide d une rotation bien choisie. En effet, on peut écrire : a d e x ax 2 + b y 2 + cz 2 + 2d x y + 2exz + 2 f yz = t X M X avec M = d b f et X = y e f c z M est symétrique à coefficients réels donc diagonalisable au moyen d une matrice de passage P orthogonale. On peut même choisir P SO 3 (). Alors, α 0 0 x t X M X = t X P D t PX = t Y DY = αx 2 + β y 2 + γz 2 avec D = 0 β 0 et Y = t PX = y 0 0 γ z L équation de la quadrique peut alors se réécrire sous la forme : αx 2 + β y 2 + γz 2 + λx + µ y + νz + j = 0 où (x, y, z ) correspond aux coordonnées dans le nouveau repère, obtenu par rotation (matrice de passage P) du repère initial. On peut alors, lorsqu une certaine valeur propre est non nulle, éliminer le terme linéaire correspondant à l aide d une mise sous forme canonique. Par exemple, si α 0, αx 2 + λx = α x 2 + λα x = α x + λ 2 λ2 2α 4α = αx 2 λ2 4α Le changement de repère associé est une translation. Notons que lorsqu une valeur propre est nulle, la partie linéaire correspondante reste présente dans l équation. Exercice 2 Parmi les équations réduites des quadriques usuelles, nous trouvons les équations suivantes : x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1 ; x 2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 0 ; x 2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 1 ; x 2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 1 x 2 a 2 + y2 b 2 = z c ; x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 ; x 2 a 2 y2 b 2 = 1 ; x 2 a 2 y2 b 2 = z c ; x 2 = y. Déterminer pour chacune d entre-elles un paramétrage et représenter la surface associée. IV Surfaces particulières A Surfaces réglées 1 Généralités Définition 15.12 : Surfaces réglées Soit I un intervalle de et une famille de droites (D t ) t I indexée par I. On appelle surface réglée engendrée par la famille (D t ) t I la réunion des droites D t. Les droites t sont appelées génératrices de la surface. Un point M appartient donc à cette surface s il existe t I tel que M D t. Une surface réglée donnée peut admettre plusieurs familles de génératrices. 8

Mickaël PROST Lycée Chaptal PT* Exemple 1 Considérons pour t la famille de droites D t passant par le point A t (t, 0, t 2 ) et dirigée par u t (1, 1, 2t). Notons la surface engendrée par cette famille de droites. On a alors : M t M D t (λ, t) 2 x = t + λ y = λ z = t 2 + 2λt Essayons d obtenir une équation cartésienne de la surface en éliminant les paramètres t et λ. Comme x y = t et z = t(x + y), on a z = x 2 y 2. La surface engendrée est incluse dans la surface d équation z = x 2 y 2. Ces surfaces sont en fait identiques. En effet, réciproquement, si z = x 2 y 2, on a z = x 2 y 2 = (x y)(x + y) = (x y)(x y + 2 y) = t(t + 2 y) en posant t = x y. Ainsi, x y + t t 1 y = y = 0 + y 1 z t(t + 2 y) t 2 2t Ce n est rien d autre qu un paramétrage de la droite D t! Malgré les apparences, la selle de cheval 2 est une surface réglée. LA SELLE DE CHEVAL VUE COMME UNE SURFACE RÉGLÉE ET UNE VUE DE DESSUS Exemple 2 HYPERBOLOÏDES, D APRÈS A. GHEORGHIU ET V. DRAGOMIR 2. que les matheux connaissent sous le joli nom de paraboloïde hyperbolique... 9

CHAPITRE 15. COURBES GAUCHES ET SURFACES Théorème 15.13 Le plan tangent en un point régulier contient la génératrice passant par ce point. Démonstration Considérons la famille de droites (D t ) t I passant par A(t) et dirigées par u(t). La surface est alors paramétrée par M(t, λ) = A(t) + λ u(t). En un point régulier M(t, λ), le plan tangent est dirigé par les vecteurs OM (t, λ) et OM (t, λ) et t λ passe également par le point M(t, λ). Mais comme OM (t, λ) = u(t), ce plan contient la droite passant λ par M(t, λ) et dirigée par u(t) qui est aussi la droite passant par A(t) et dirigée par u(t) : la génératrice au point M(t, λ) est donc bien contenue dans le plan tangent. 2 Cylindres (complément) Définition 15.14 : Cylindre Soit Γ une courbe de l espace et u un vecteur non nul. On appelle cylindre de direction u et de directrice Γ la surface engendrée par toutes les droites dirigées par u et passant par un point de Γ. Le vecteur u étant constant, toutes les génératrices sont parallèles. En tant que surface réglée, le plan tangent en un point régulier contient la génératrice en ce point. Les cylindres sont des surfaces non bornées. Tous les cylindres ne sont pas de révolution. EXEMPLE DE CYLINDRE Γ u Exercice 3 Notons le cylindre de direction u et de directrice Γ. 1. On suppose que Γ est définie par le paramétrage t (x(t), y(t), z(t)). Donner un paramétrage du cylindre. 2. Montrer que tous les points du cylindre sont réguliers et pour chacun de ces points, déterminer un paramétrage du plan tangent. 3. On suppose maintenant que Γ est définie par les équations z = 0 et f (x, y) = 0. Dans le cas où u = (0, 0, 1), déterminer une équation cartésienne du cylindre. 3 Cônes (complément) Définition 15.15 : Cône Soit Γ une courbe de l espace et un point Ω. On appelle cône de sommet Ω et de directrice Γ la surface engendrée par toutes les droites passant par Ω et un point de Γ. Toutes les génératrices passent par le point Ω. En tant que surface réglée, le plan tangent en un point régulier contient la génératrice en ce point. Les cônes sont des surfaces non bornées. Tous les cônes ne sont pas de révolution. Ω Γ 10 EXEMPLE DE CÔNE

Mickaël PROST Lycée Chaptal PT* Exercice 4 Notons le cône de sommet Ω et de directrice Γ. 1. On suppose que Γ est définie par le paramétrage t (x(t), y(t), z(t)). Donner un paramétrage du cône. 2. Montrer que tous les points du cône sauf le sommet sont réguliers et pour chacun de ces points, déterminer un paramétrage du plan tangent. B Surfaces de révolution Définition 15.16 On appelle surface de révolution la surface obtenue par rotation d une courbe Γ autour d une droite. est appelée axe de. On appelle parallèles de les cercles d axe et rencontrant Γ. On appelle plan méridien un plan contenant l axe. On appelle méridienne l intersection de avec un plan contenant l axe. EXEMPLE DE SURFACE DE RÉVOLUTION TORE, D APRÈS A. GHEORGHIU ET V. DRAGOMIR On notera que l intersection de et d un plan perpendiculaire à est soit vide, soit la réunion de cercles. a α x = x(t) Soient la droite passant par A b, dirigée par u β et Γ la courbe paramétrée par y = y(t). c γ z = z(t) Soit la surface de révolution engendrée par la rotation de Γ (demi-méridienne) autour de. M appartient au plan perpendiculaire à passant par M0 M Il existe M 0 Γ tq M appartient à une sphère centrée en A et passant par M 0 αx + βy + γz = αx(t) + β y(t) + γz(t) t (X a) 2 + (Y b) 2 + (Z c) 2 = (x(t) a) 2 + (y(t) b) 2 + (z(t) c) 2 On essaye ensuite d éliminer t pour obtenir une équation cartésienne de... sans garantie de succès! Exercice 5 Quelle est la surface de révolution engendrée par la rotation d une droite D autour d un axe? Exercice 6 Déterminer l équation cartésienne d un... cylindre de révolution de rayon R et d axe passant par le point A et dirigé par le vecteur u. cône de révolution de sommet Ω et de demi-angle au sommet θ. 11

CHAPITRE 15. COURBES GAUCHES ET SURFACES 12