Soit E un ensemble. On appelle classe de parties de E un sous-ensemble non vide de P(E).

Chapitre 1 Tribus 1.1 Défiitios Soit E u esemble. O appelle classe de parties de E u sous-esemble o vide de P(E). Défiitio 1.1.1. Ue tribu A sur E est u sous-esemble o vide de P(E) tel que : (i) la partie vide appartiet à A, (ii) le complémetaire d u élémet de A est das A, (iii) A est stable par réuio déombrable. Notos immédiatemet quelques propriétés satisfaites par les tribus. Si A est ue tribu alors E A, A est stable par itersectio déombrable, A est stable par différece : A, B A A\B A, A est stable par différece symétrique : A, B A A B A. Exemple 1.1.2. La plus petite tribu de E est A = {, E}, tadis que la plus grade est P(E). Défiitio 1.1.3. O appelle espace mesurable tout couple (E, A) formé par u esemble E et ue tribu A sur E. Propositio 1.1.4. L itersectio de tribus sur E est ecore ue tribu. Démostratio. Soit (A i ) i I ue famille de tribus sur E. Notos A = i I A i l itersectio de ces tribus. Alors, l esemble vide appartiet à chaque tribu A i et doc à A. Soit A A. Pour tout i I, A A i doc A c A i : A c A. La réuio déombrable s établit de même. Propositio 1.1.5 (tribu egedrée). Soit E u sous-esemble de P(E). Il existe ue plus petite tribu (au ses de l iclusio) coteat tous les élémets de E. Elle est appelée tribu egedrée par E, et est otée σ(e). Démostratio. Soit X l esemble de toutes les tribus M sur E coteat E. L esemble X est pas vide puisqu il cotiet la tribu P(E). Posos A = M = {A E, M X, A M}. M X Il est clair que E A. De plus, A est ue tribu comme itersectio (quelcoque) de tribus et, par défiitio, elle est coteue das toute tribu coteat E. Remarque 1.1.6. Si A est u sous-esemble de E, alors σ({a}) = {, A, A c, E}. 1

CHAPITRE 1. TRIBUS 2 Remarque 1.1.7. Si A est ue tribu sur E, alors σ(a) = A. Propositio 1.1.8 (image réciproque d ue tribu). Soit E et F deux esembles, f ue applicatio de E das F et A ue tribu sur F. Alors f 1 (A) = { f 1 (A), A A } est ue tribu sur E, appelée tribu image réciproque de A par f. Démostratio. La classe f 1 (A) cotiet l esemble vide puisque = f 1 ( ). Soit B f 1 (A). Alors il existe A A tel que B = f 1 (A). Puisque A est ue tribu, A c A. Efi, remarquos que f 1 (A) c = f 1 (A c ). La stabilité par réuio déombrable s établit de même. Propositio 1.1.9. Soit f ue applicatio de E das F, E u sous-esemble de P(F ). Alors f 1 (σ(e)) = σ ( f 1 (E) ). E d autres termes, l image réciproque de la tribu egedrée par E est la tribu egedrée par l image réciproque de E. Démostratio. Comme E σ(e), o a f 1 (E) f 1 (σ(e)) qui est ue tribu et aisi σ(f 1 (E)) est iclus das f 1 (σ(e)). Motros l iclusio iverse. Notos B l esemble des parties B F telles que f 1 (B) appartiee à σ(f 1 (E)). Alors B est ue tribu. De plus, B cotiet E doc cotiet σ(e). Il e résulte que f 1 (σ(e)) f 1 (B). Comme, par défiitio, f 1 (B) σ(f 1 (E)), o obtiet l iclusio souhaitée : f 1 (σ(e)) σ(f 1 (E)). Défiitio 1.1.10 (tribu iduite). Soit B u sous-esemble de E et A ue tribu sur E. O appelle tribu trace, ou tribu iduite, par A sur B la tribu A B = {A B, A A}. Défiitio 1.1.11 (tribu produit). Soit A ue tribu sur E et B ue tribu sur F. O appelle tribu produit, et l o ote A B, la tribu sur E F egedrée par l esemble des parties de E F qui s écrivet sous la forme A B avec A A et B B. 1.2 Tribu boréliee Rappelos que pour la topologie usuelle de R, u esemble O de R est ouvert si O ote O l esemble des ouverts de R. Soit O u ouvert de R. Notos Alors I est déombrable et x O, a, b O, x ]a, b[ O. I = { (ρ, r) Q Q +, ]ρ r, rho + r[ O }. O = (ρ,r) I ]ρ r, ρ + r[. O voit aisi que tout ouvert de R peut s écrire comme réuio déombrable d itervalles ouverts (o peut même se limiter à des itervalles à extrémités ratioelles). Défiitio 1.2.1. La tribu σ(o) egedrée par O est appelée la tribu boréliee de R. O la ote B(R). Ses élémets sot appelés les borélies.

CHAPITRE 1. TRIBUS 3 Remarque 1.2.2. Même si cela est pas évidet, o peut motrer que B(R) est strictemet iclus das P(R) : il existe des parties de R qui e sot pas boréliees. Propositio 1.2.3. Sur R, mui de sa topologie usuelle, la tribu boréliee est egedrée par 1. la classe des itervalles ouverts borés, 2. la classe des itervalles de la forme ], a[ avec a R, 3. la classe des itervalles de la forme ], a] avec a R, Démostratio. Prouvos le poit 1. Notos E la classe des itervalles ouverts borés. O a E O, doc σ(e) σ(o). D autre part, tout ouvert de O est réuio fiie ou déombrable d itervalles ouverts borés, d où O σ(e) et par suite σ(o) σ(e). Prouvos le poit 2. Soit E la classe des itervalles de la forme ], a[. O a σ(e ) σ(o). Pour établir l iclusio iverse, il suffit de motrer que E σ(e ) (puisque la tribu egedrée par E est la tribu boréliee). Soit ]a, b[ E. O a ]a, b[ = ], b[ ]a, + [ = ], b[ ], a] c = ], b[ ( N ], a + 1/[) c σ(e ). Tout itervalle ]a, b[ appartiet doc à la tribu egedrée par E et doc σ(e) σ(e ). Le poit 3 s établit de maière aalogue. Remarque 1.2.4. Nous auros aussi à cosidérer la droite achevée R = R {+ } { }. Rappelos que sa topologie est défiie par la base d ouverts formés des itervalles ouverts de la forme ]a, b[, ]a, + ] et [, b[ avec a, b R. O démotre de faço aalogue que la tribu boréliee de R est egedrée par les classes { [, a[, a R } ou { [, a], a R } par exemple. Propositio 1.2.5. La tribu boréliee de R d est égale à la tribu egedrée par la classe des ouverts de la forme d ]a i, b i [ avec < a i < b i < +. i=1 Il existe ue otio d espace topologique abstrait. Rappelos que O P(E) est ue topologie (l esemble des ouverts) sur E si (i) et E appartieet à O, (ii) O est stable par itersectio fiie, (iii) O est stable par réuio quelcoque. Il est aturel de muir u espace topologique (E, O) (où O désige l esemble des ouverts de E) d ue tribu compatible e u certai ses avec la structure topologique préexistate. Défiitio 1.2.6. Soit (E, O) u espace topologique. La tribu σ(o) egedrée par O est appelée la tribu boréliee de E. O la ote B(E). Ses élémets sot appelés les borélies.

Chapitre 2 Applicatios mesurables 2.1 Défiitios et critères de mesurabilité Défiitio 2.1.1. Soit (E, A) et (F, B) deux espaces mesurables et f ue applicatio de E das F. O dit que f est mesurable de (E, A) das (F, B) si l image réciproque par f de tout élémet de B est u élémet de A. O dira plus simplemet que f est mesurable s il y a pas d ambiguïté sur les tribus cosidérées. Autremet dit, f est mesurable si f 1 (B) A. Lorsque E et F sot des espaces topologiques et A et B désiget leurs tribus boréliees respectives, ue applicatio mesurable est ecore appelée boréliee. Exemple 2.1.2. Soit (E, A) u espace mesurable. Pour toute partie A de E o ote 1 A la foctio idicatrice de l esemble A (valat 1 sur A et 0 sur so complémetaire). La foctio 1 A est mesurable de (E, A) das R (mui de sa tribu boréliee) si et seulemet si A A. Propositio 2.1.3. Soit (E, A) et (F, B) deux espaces mesurables, f ue applicatio de E das F et E ue classe sur F telle que σ(e) = B. Alors f est mesurable si et seulemet si l image réciproque de tout élémet de E appartiet à A. Démostratio. La coditio est évidemmet écessaire. Réciproquemet, si A cotiet l image réciproque de E, elle cotiet égalemet la tribu egedrée par l image réciproque de E qui est ecore l image réciproque de la tribu egedrée par E, c est-à-dire l image réciproque de B par hypothèse. Corollaire 2.1.4. Soit E et F deux espaces topologiques muis de leurs tribus boréliees respectives. Toute foctio cotiue f de E das F est mesurable. Démostratio. Soit O E (resp. O F ) la classe des ouverts de E (resp. de F ). Par défiitio de la cotiuité de f, o a f 1 (O F ) O E B(E). La tribu boréliee B(E) de E cotiet doc σ(f 1 (O F )) = f 1 (σ(o F )) = f 1 (B(F )) et f est mesurable. Corollaire 2.1.5. Soit f ue applicatio mesurable de (E, A) à valeurs das R mui de sa tribu boréliee. Alors f est mesurable si et seulemet si l ue des coditios suivates est vérifiée : (i) a R, {x E, f(x) < a} A, (ii) a R, {x E, f(x) a} A, (iii) a R, {x E, f(x) > a} A, (iv) a R, {x E, f(x) a} A. Démostratio. E effet, l ue quelcoque des classes suivates de parties de R {], a[ ; a R} ; {], a] ; a R} ; {]a, + [ ; a R} ; {[a, + [ ; a R} egedre la tribu boréliee de R. 4

CHAPITRE 2. APPLICATIONS MESURABLES 5 2.2 Propriétés de stabilité La mesurabilité est stable par compositio. Propositio 2.2.1. Soit (E, A), (F, B), (G, C) trois espaces mesurables, f ue applicatio mesurable de (E, A) das (F, B) et g ue applicatio mesurable de (F, B) das (G, C). Alors l applicatio f g est mesurable de (E, A) das (G, C). Propositio 2.2.2. Soit (F 1, B 1 ) et (F 2, B 2 ) deux espaces mesurables et p 1 et p 2 les projectios de F 1 F 2 sur F 1 et F 2 respectivemet. O muit F 1 F 2 de la tribu produit B 1 B 2. (i) les projectios p 1 et p 2 sot mesurables ; (ii) soit (E, A) u espace mesurable et f ue applicatio de E das F 1 F 2. Alors f est mesurable si et seulemet si les composées p 1 f : E F 1 et p 2 f : E F 2 sot mesurables. Démostratio. Prouvos le poit (i). Pour tout B 1 B 1, o a p 1 1 (B 1) = B 1 F 2 B 1 B 2. Doc p 1 est mesurable. O procède de même pour p 2. Prouvos le poit (ii). Si f est mesurable, il est clair que p 1 f et p 2 f le sot. Réciproquemet, supposos que p 1 f et p 2 f soiet mesurables. Alors, pour tout B 1 B 1, l esemble f 1 (B 1 F 2 ) est autre que (p 1 f) 1 (B 1 ) qui appartiet à A. De même, pour tout B 2 B 2, o a f 1 (F 1 B 2 ) appartiet à A. Il e résulte que f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 ((B 1 F 2 ) (F 1 B 2 )) = f 1 (B 1 F 2 ) f 1 (F 1 B 2 ) A. Comme B 1 B 2 est la tribu egedrée par les parties de la forme B 1 B 2, avec B 1 B 1 et B 2 B 2, la propositio 2.1.3 permet de coclure que f est mesurable. Corollaire 2.2.3. Pour qu ue foctio à valeurs complexes soit mesurable, il faut et il suffit que ses parties réelle et imagiaire soiet mesurables. Si f et g sot des foctios mesurables de (E, A) das C, alors f + g, fg, f,... sot mesurables. Avat d étudier la stabilité de la otio de mesurabilité par passage à la limite, rappelos quelques défiitios cocerat les suites à valeurs das R. Défiitio 2.2.4. Soit (u ) N ue suite à valeurs das R. La plus grade (resp. petite) valeur d adhérece de la suite (u ) est otée lim sup u (resp lim if u ). Leurs défiitios sot doées par lim sup u = if sup u k et lim if u = sup if u k. 0 k k Remarque 2.2.5. Les limites supérieure et iférieure sot a priori des élémets de R. Remarque 2.2.6. O a toujours lim if u lim sup u et la suite (u ) N coverge si et seulemet si lim if u = lim sup u. Remarque 2.2.7. Si (f ) est ue suite d applicatios de E das R, o ote lim sup f la foctio qui à x E associe lim sup f (x) R. Propositio 2.2.8. La mesurabilité est stable par passage à la limite. (i) Soit (f ) N ue suite de foctios mesurables sur (E, A) à valeurs das R. Les foctios sup f, if f, lim sup f et lim if f sot mesurables. (ii) Soit (f ) N ue suite de foctios mesurables sur (E, A) à valeurs das C telle que, pour tout x E, la limite lim f (x) = f(x) existe. Alors f est mesurable. 0

CHAPITRE 2. APPLICATIONS MESURABLES 6 Démostratio. Établissos tout d abord le poit (i). Par hypothèse, pour tout a R, l esemble {f a} appartiet à A. Or, {sup f a} = {f a}. D après le corollaire 2.1.5, sup f est mesurable. Comme if f = sup( f ), if f est mesurable. Efi, lim sup f = if (sup k f k ) et lim if f = sup (if k f k ) sot mesurables d après ce qui précède. Pour prouver le poit (ii), quitte à cosidérer les parties réelle et imagiaire des foctios f, o peut supposer que f est réelle. Mais alors f = lim if f = lim sup f est mesurable d après (i). Propositio 2.2.9. Soit f et g deux applicatios mesurables de (E, A) das R + (mui de sa tribu boréliee). Alors {f < g} et {f g} sot des élémets de A. Démostratio. E décomposat ces esembles de la faço suivate : {f < g} = q Q {f < q < g} = q Q ({f < q} {q < g}), {f g} = 1 {f < g + 1/}, o obtiet leur apparteace à la tribu A. 2.3 Approximatio des foctios mesurables L objet de ce paragraphe est d établir u résultat d approximatio relativemet élémetaire mais fodametal pour la costructio de l itégrale de Lebesgue : toute foctio mesurable à valeurs das R + est limite croissate de foctios élémetaires, appelées foctios étagées. Défiitio 2.3.1. O otera M (resp. M + ) l esemble des foctios mesurables (resp. mesurables positives) sur (E, A) à valeurs das R (resp R + ). Défiitio 2.3.2. Ue foctio mesurable sur (E, A) à valeurs das C est dite étagée si elle pred seulemet u ombre fii de valeurs distictes. O otera E + (resp. E) l esemble des foctios étagées sur (E, A) à valeurs das R + (resp. C). Ue foctio étagée e peut predre que des valeurs fiies (das C) cotrairemet aux foctios mesurables à valeurs das R. Soit f ue foctio étagée et le ombre de valeurs distictes prises par f. Notos α 1,..., α ces valeurs et posos, pour i = 1...,, A i = {f = α i }. Alors les parties (A i ) i=1,..., sot mesurables et f peut ecore s écrire f = α i 1 Ai. i=1 Réciproquemet, toute combiaiso liéaire à coefficiets réels ou complexes de foctios caractéristiques d esembles mesurables est ue foctio étagée. Remarquos de plus que les foctios étagées sur (E, A) formet u espace vectoriel. Théorème 2.3.3. Soit f ue foctio mesurable sur (E, A) à valeurs das R +. Il existe ue suite croissate (f ) N de foctios étagées positives qui coverge simplemet vers f. De plus, la covergece est uiforme sur tout esemble B A sur lequel f est borée.

CHAPITRE 2. APPLICATIONS MESURABLES 7 Démostratio. Pour N et k = 0, 2,... 2 1, posos { k A = {f } et A,k = 2 f < k + 1 } 2. O défiit alors la foctio f par : f = 2 1 k=0 k 2 1 A,k + 1 A. Par défiitio, f est ue foctio étagée positive telle que f f. D autre part, o vérifie que si x A,k, 2k 2k + 1 f (x) si f(x) < f +1 (x) = 2+1 2 +1 f (x) + 1 2 +1 si 2k + 1 2(k + 1) 2 +1 f(x) < 2 +1. De même, si x A, + 1 si f(x) + 1 f +1 (x) = + l 2 +1 si + l l + 1 f(x) < + 2+1 2 +1, 0 l 2+1 1. Aisi, pour tout N et tout x E, f (x) f +1 (x) : la suite (f ) est croissate. De plus, (A ) est ue suite décroissate d élémets de A doc si x A c 0, alors pour tout 0, x A c ou ecore 0 f(x) f (x) 1 2. Ceci implique que (f (x)) coverge vers f(x). Aisi, la suite (f ) coverge sur l esemble A c qui est autre que {f < + }. D autre part, si x {f = + } alors, pour tout N, f (x) = qui ted vers + quad ted vers +. Soit à préset B A tel que f soit borée sur B. Il existe 1 tel que, pour tout x B, f(x) < 1. Alors B A 1 = et aisi, La covergece est doc bie uiforme sur B. 1, x B, 0 f(x) f (x) 1 2. Corollaire 2.3.4. Toute foctio f mesurable sur (E, A) à valeurs das R (ou C) est limite simple d ue suite (f ) de foctios étagées à valeurs das R (ou C). Démostratio. Si f est à valeurs das R, o peut l écrire f = f + f avec f + = sup(f, 0) et f = if(0, f). Comme f + et f sot mesurables à valeurs das R +, il existe des suites (g ) et (h ) de foctios étagées positives tedat simplemet vers f + et f respectivemet. La suite (f ), où f = g h, est formée de foctios étagées et coverge simplemet vers f. Si f est à valeurs complexes, o l écrira comme combiaiso de ses parties réelle et imagiaire.

Chapitre 3 Mesures positives 3.1 Défiitios et propriétés élémetaires Défiitio 3.1.1. Soit (E, A) u espace mesurable. O appelle mesure positive sur (E, A) ue applicatio µ de A das R + telle que (i) µ( ) = 0, (ii) si (A ) N est ue suite d élémets deux à deux disjoits d élémets de A, alors µ( A ) = µ(a ). O peut parfois préciser le terme de mesure positive Si µ(e) < +, o dit que la mesure µ est fiie (ou borée). Si µ(e) = 1, la mesure µ est appelée mesure de probabilité. S il existe ue suite (A ) N d élémets de A telle que A = E et, pour tout N, µ(a ) est fii, o dit que µ est ue mesure σ-fiie. Défiitio 3.1.2. O appelle espace mesuré tout triplet (E, A, µ) où (E, A) est u espace mesurable et µ est ue mesure positive sur (E, A). Aalysos à préset les propriétés satisfaites par ue mesure e commeçat par les propriétés faisat iterveir u ombre fii d esembles. =0 Propositio 3.1.3. Soit (E, A, µ) u espace mesuré. (i) Si A 1,..., A sot des élémets de A deux à deux disjoits alors µ(a 1 A 2 A ) = µ(a 1 ) + + µ(a ). (ii) Si A et B sot deux élémets de A tels que A B, alors µ(a) µ(b). De plus, si µ(a) < +, alors µ(b\a) = µ(b) µ(a). (iii) Soiet A et B deux élémets de A, µ(a B) + µ(a B) = µ(a) + µ(b). Démostratio. Le poit (i) s établit à partir du poit (ii) de la défiitio d ue mesure e choisissat A k = pour k 1,...,. Pour (ii), si A B, o écrit B = A (B\A). Comme A et (B\A) sot disjoits, µ(b) est égal à µ(a) + µ(b\a) µ(a). Pour établir le poit (iii), distiguos deux cas. Si µ(a B) = + alors µ(a) ou µ(b) vaut aussi +. Sio, il faut remarquer que A B s écrit comme la réuio disjoite de (A\(A B)), A B et B\(A B). E utilisat le poit (i), il viet : µ(a B) = µ(a\(a B)) + µ(a B) + µ(b\(a B)). 8

CHAPITRE 3. MESURES POSITIVES 9 Puisque A B est bie etedu iclus das A et das B le poit (ii) fourit le derier argumet : ce qui est le résultat attedu. µ(a B) = µ(a) µ(a B) + µ(a B) + µ(b) µ(a B) = µ(a) + µ(b) µ(a B), Doos ue défiitio équivalete de la otio de mesure (positive). Propositio 3.1.4. Ue applicatio µ de A das R + est ue mesure si et seulemet si (i) µ( ) = 0 ; (ii) si A et B sot deux élémets disjoits de A, µ(a B) = µ(a) + µ(b), (iii) pour toute suite croissate (B ) N d élémets de A, µ( B ) = lim µ(b ). Démostratio. Supposos que les poits (i), (ii) et (iii) de la propositio soiet vrais. Par récurrece sur le poit (ii), o obtiet que, si A 1,..., A sot des élémets de A deux à deux disjoits alors µ(a 1 A 2 A ) = µ(a 1 ) + + µ(a ). Soit (A ) N ue suite d élémets deux à deux disjoits de A. Pour tout N, posos B k = k A. O a µ(b k ) = k =0 µ(a ). De plus, (B k ) k N est ue suite croissate et k=0 B k coïcide avec =0 A. Par hypothèse, o obtiet µ( =0A ) = µ( k=0 B k) = lim µ(b k) = lim µ(a k ) = µ(a k ). k Réciproquemet, supposos que µ soit ue mesure. Soit (B ) N ue suite croissate d élémets de A. Posos A 0 = B 0 et, pour tout 1, A = B \B 1 A. Alors (A ) N est ue suite d élémets de A deux à deux disjoits et, pour tout 0, B = k=0 A k. Il e résulte que µ( =0B ) = µ( k=0 A k) = et la propositio est démotrée. µ(a k ) = lim k=0 k=1 k=1 k=0 µ(a k ) = lim µ(b ), Propositio 3.1.5. Soit (E, A, µ) u espace mesuré. (i) Si (B ) N est ue suite d élémets de A, alors µ( =0 B ) =0 µ(b ). (ii) Si (A ) N est ue suite décroissate d élémets de A telle qu il existe 0 avec µ(a 0 ) fii, alors la suite (µ(a )) N coverge e décroissat vers µ( A ). Démostratio. Démotros (i). Posos A 0 = B 0 et, pour tout 1, A = B \( k< B k ). Les esembles (A ) N sot deux à deux disjoits et B = k A k. Il e résulte que µ( =0B ) = µ( k=0 A k) = µ(a k ) k=0 µ(b ), puisque A B pour tout N. Démotros (ii). Pour i 0, posos B k = A 0 \A k. La suite (B k ) k 0 est croissate et o a k 0 B k = A 0 \( k 0 A k ). Puisque k 0 A k A 0 et A k A 0, o a d où µ(a 0 \( k 0 A k )) = µ(a 0 ) µ( k 0 A k ) et µ(b k ) = µ(a 0 ) µ(a k ), µ(a 0 ) µ( k 0 A k ) = µ( k 0 B k ) = lim k µ(b k) et doc µ( k 1 A k ) = lim k µ(a k ). =0 = lim k (µ(a 0 ) µ(a k )) = µ(a 0 ) lim k µ(a k),

CHAPITRE 3. MESURES POSITIVES 10 Remarque 3.1.6. Das l éocé (ii), l hypothèse de l existece d u etier 0 tel que µ(a 0 ) est fii e peut être supprimée. E effet, si µ est la mesure de comptage sur N et A = {, + 1,...} alors µ(a ) = + et A =. 3.2 Mesures discrètes Les premiers exemples de mesures que l o va cosidérer sot à la fois élémetaires et fodametaux. Ils correspodet à l idée ituitive de masses poctuelles : il va s agir d affecter des poids à des poits de l espace. L exemple le plus aïf cosiste à affecter u poids à u seul poit. Défiitio 3.2.1 (Mesure de Dirac). Soit (E, A) u espace mesuré et a E. Posos, pour tout A A : { 1 si a A, δ a (A) = 0 si a / A. L applicatio δ a est ue mesure de probabilité, appelée mesure (ou masse) de Dirac au poit a. Remarque 3.2.2. Si A A, δ a (A) = 1 A (a). Pour motrer que δ a est ue mesure, utilisos par exemple la défiitio alterative d ue mesure fourie par la propositio 3.1.4. Il est clair que δ a ( ) est ul. Soit A et B deux esembles disjoits apparteat à A. Alors δ a (A B) = 1 A B (a) = 1 A (a) + 1 B (a) = δ a (A) + δ a (B). Soit à préset ue suite croissate (B ) N d élémets de A. Alors a B 0 0, a B 0 0 0, 0, a B Doc, si a B alors δ a ( B ) = 1 et la suite (δ a (B )) N (à valeurs das {0, 1}) vaut 1 à partir d u certai rag. De même, si a / B alors δ a ( B ) = 0 et la suite (δ a (B )) N est la suite ulle. Défiitio 3.2.3 (Mesure de Beroulli). Soit p ]0, 1[. La mesure de Beroulli de paramètre p est défiie par µ = (1 p)δ 0 + pδ 1. C est ue mesure de probabilité. Défiitio 3.2.4 (Mesures discrètes). Soit (E, A) u espace mesurable. Soit (a ) N ue suite de poits de E et (α ) N ue suite de réels positifs. Posos pour tout A A, µ(a) = α δ a (A). =0 L applicatio µ : A R + est ue mesure positive. Tout poit a tel que α > 0 est appelé atome de µ. Remarque 3.2.5. Si (a k, ) k, N est ue suite de ombres positifs, alors l égalité ayat lieu das R +. k=0 =0 a k, = =0 k=0 a k,,

CHAPITRE 3. MESURES POSITIVES 11 Motros que l applicatio µ = α δ a défiie sur A est ue mesure. Clairemet, µ( ) = 0. Soit (A k ) k N ue suite d élémets disjoits de A. Alors µ( k A k ) = = α δ a ( k A k ) = =0 k=0 =0 α 1 Ak (a ) = α 1 k A k (a ) = =0 k=0 =0 α 1 Ak (a ) =0 α δ a (A k ) = k=0 µ(a k ). Exemple 3.2.6. La mesure de Poisso de paramètre λ > 0 est u exemple très classique de mesure discrète. Elle est défiie par µ = + k=0 λ λk e k! δ k. Remarquos de plus que c est ue mesure de probabilité. 3.3 Mesure de Lebesgue Théorème 3.3.1. Il existe ue uique mesure λ sur (R, B(R)) telle que (i) λ([0, 1]) = 1, (ii) Pour tout a R et tout B B(R), λ(a + B) = λ(b). Elle est appelée mesure de Lebesgue sur R. Remarque 3.3.2. La mesure de Lebesgue est la seule mesure ivariate par traslatio qui affecte la mesure 1 à l esemble [0, 1]. Remarque 3.3.3. Ce théorème est dificile. Nous verros lors de la costructio de mesures produit les argumets clé de l uicité. Ue démostratio de ce théorème sera présetée das le cours F2 au secod semestre. Cette mesure coïcide avec la otio ituitive de logueur comme le motre le résultat suivat. Propositio 3.3.4. Pour tous a < b réels, k=0 λ([a, b]) = λ(]a, b]) = λ([a, b[) = λ(]a, b[) = b a. Si I est u itervalle o boré alors λ(i) = +. Démostratio. Soit α = λ({0}). Alors, d après l ivariace par traslatio de λ, pour tout x R, λ({x}) = λ(x + {0}) = λ({0}) = α. Aisi, pour tout 1, α = λ({1/k, k = 1,..., }) λ([0, 1]) = 1. Ceci assure doc que α = 0. O dit que λ e charge aucu sigleto. La mesure des itervalles e déped pas du fait qu ils cotieet ou o leurs extrémités (o utilisera cette remarque das la suite sas le rappeler systématiquemet). Soit 1. Découpos ]0, 1] e itervalles disjoits égaux. 1 = λ([0, 1]) = λ(]0, 1]) = λ( k=1 ](k 1)/, k/]) = λ((k 1)/+]0, 1/]) = λ(]0, 1/]). k=1

CHAPITRE 3. MESURES POSITIVES 12 Aisi, pour tout 1, λ(]0, 1/] = 1/. Soit à préset 1 et k 1 k 2 Z. Alors λ(]k 1 /, k 2 /]) = λ( k 2 k 1 l=1 ](k 1 + l 1)/, (k 1 + l)/]) = k 2 k 1.. Aisi, pour tous ratioels r r, λ(]r, r [) = r r. Soit a < b R. il existe deux suites (u ) et (v ) de ratioels strictemet décroissate pour la première et strictemet croissate pour la secode telles que u v pour tout et qui coverget respectivemet vers a et b. O obtiet alors λ(]a, b[) = λ( ]u, v [) = lim λ(]u, v [) = lim (v u ) = b a. Soit efi I u itervalle o boré. Supposos-le de la forme [a, + [. Alors, pour tout N, I cotiet [a, a + ] et aisi, λ(i). Ceci assure que λ(i) = +.

Chapitre 4 Costructio de l itégrale de Lebesgue Das ce chapitre, o se doe u espace mesuré (E, A, µ). L idée est de costruire l itégrale pour des foctios de plus e plus géérales grâce à des passages à la limite. 4.1 Itégratio des foctios étagées positives Défiitio 4.1.1. Soit f ue foctio étagée positive, preat les valeurs distictes α 1,..., α. O pose A i = f 1 ({α i }) pour 1 i. O appelle itégrale de f par rapport à µ, et o ote f dµ, le ombre fii ou ifii (élémet de R+ ) défii par f dµ = α i µ(a i ), avec la covetio usuelle e théorie de la mesure : 0 = 0. i=1 Propositio 4.1.2. L itégrale de foctios étagées positives vérifie les propriétés suivates. (i) Si f et g sot deux foctios étagées positives et λ R +, alors (λf + g) dµ = λ f dµ + g dµ. (ii) Si f et g sot deux foctios étagées positives telles que f g, alors f dµ g dµ. Démostratio. Motros la propriété (i) das le cas où λ = 1. Le cas gééral s e déduit immédiatemet. Posos m f = α i 1 Ai et g = β j 1 Bj i=1 où les (α i ) i (resp. les (β j ) j ) sot disticts. Notos γ 1,..., γ l les valeurs (distictes) prises par f + g et C k = (f + g) 1 (γ k ) = (A i B j ), (i,j) I k où I k = {(i, j), α i + β j = γ k }. Puisque les esembles (A i B j ) i,j sot deux à deux disjoits, µ(c k ) = µ(a i B j ). (i,j) I k 13 i=1

CHAPITRE 4. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE LEBESGUE 14 O a doc par défiitio de l itégrale de f + g (f + g) dµ = l γ k µ(c k ) = k=1 = = = l k=1 (α i + β j )µ(a i B j ) (i,j) I k m m α i µ(a i B j ) + β j µ(a i B j ) i=1 j=1 α i µ(a i ) + i=1 m β j µ(b j ) j=1 f dµ + g dµ. j=1 i=1 Pour établir (ii), il suffit d appliquer (i), e remarquat que g f est ue foctio étagée positive, pour obteir f dµ f dµ + (g f) dµ = (f + (g f)) dµ = g dµ. Ceci achève la preuve. Remarque 4.1.3. Soit la foctio f = i α i1 Ai où les (α i ) e sot pas écessairemet disticts et les (A i ) écessairemet disjoits. O a ecore f dµ = i α iµ(a i ). 4.2 Itégratio des foctios mesurables positives Défiitio 4.2.1. Soit f ue foctio mesurable à valeurs das R +. O appelle itégrale de f par rapport à µ, et o ote f dµ l élémet de R + défii par { f dµ = sup } u dµ, u E + telle que u f. Remarque 4.2.2. Si f est ue foctio étagée positive alors les deux défiitios de so itégrale coïcidet car le supremum est atteit pour u = f. Propositio 4.2.3 (Croissace de l itégrale). Pour toutes foctios f et g mesurables positives telles que f g, f dµ g dµ. Démostratio. C est ue coséquece immédiate de l iclusio et de la défiitio de l itégrale. {u E +, u f} {u E +, u g} Voici le premier des grads théorèmes d itervertio limite-itégrale qui fot toute la puissace de la théorie de la mesure. Théorème 4.2.4 (de covergece mootoe ou de Beppo Levi). Soit (f ) N ue suite croissate de M +. Alors f = lim f (= sup f ) est aussi das M + et f dµ = f dµ. lim +

CHAPITRE 4. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE LEBESGUE 15 Démostratio. O sait déjà que le supremum d élémets de M + est ecore das M + d après la propositio 2.2.8. Comme f f, o a f dµ f dµ. La croissace de l itégrale assure que la suite ( f dµ) est elle aussi croissate et doc covergete das R +. O obtiet doc lim f dµ f dµ. Démotros l iégalité opposée. Soit u ue foctio positive étagée iférieure à f et λ ]0, 1[. Posos E = {x E, f (x) λu(x)}. La suite (E ) N est doc croissate (au ses de l iclusio). Soit x E. Si u(x) = 0 alors x E pour tout N. Si u(x) > 0 alors lim f (x) = f(x) u(x) > λu(x), et aisi x E pour assez grad et doc E = E. D autre part, par défiitio de E, f λu1 E et doc, pour tout N, par croissace de l itégrale, f dµ λu1 E dµ, La foctio λu1 E est étagée positive. O sait doc calculer so itégrale. Si u = k i=1 α i1 Ai alors k k u dµ = α i µ(a i ) et u1 E dµ = α i µ(a i E ). i=1 Or, pour tout i = 1,..., k, µ(a i E ) coverge e croissat vers µ(a i ), doc, u1 E dµ coverge vers u dµ. O a doc établi que, pour tout u E + tel que u f et tout λ ]0, 1[, lim f dµ lim λ i=1 u1 E dµ = λ u dµ. O obtiet doc, e faisat tedre λ vers 1, que, l itégrale de toute foctio étagée positive u majorée par f est iférieure à la limite des itégrales des foctios f. Il e est doc de même pour l itégrale de f : { f dµ = sup et l égalité est doc établie. } u dµ, u E +, telle que u f lim Corollaire 4.2.5. Si f et g sot deux foctios mesurables positives, alors (f + g) dµ = f dµ + g dµ. f dµ, Démostratio. D après le théorème 2.3.3, il existe des suites (f ) N et (g ) N croissates de foctios étagées positives qui coverget simplemet vers f et g respectivemet. Alors la suite (f + g ) N est ue suite croissate de foctios étagées positives qui coverge simplemet vers f + g. La liéarité de l itégrale de foctios étagées assure alors, pour tout, (f + g ) dµ = f dµ + g dµ. Le théorème de Beppo Levi permet de coclure e passat à la limite.

CHAPITRE 4. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE LEBESGUE 16 Corollaire 4.2.6 (Itervertio du sige somme et du sige itégrale). Si (f ) N est ue suite de foctios mesurables positives, o a l égalité ayat lieu das R +. ( ) f dµ = =0 f dµ, Démostratio. Posos g = k=0 f k. La suite (g ) N est ue suite croissate de foctios mesurables doc o peut ( ) f dµ = =0 =0 ( ) lim g dµ = lim ( ) f k dµ = = lim k=0 grâce au théorème de covergece mootoe. 4.3 Itégratio de foctios mesurables k=0 g dµ ( ) f k dµ, Défiitio 4.3.1. Ue foctio f défiie sur E à valeurs das R ou C est dite itégrable (par rapport à µ) si elle est mesurable et si f dµ < +. Nous oteros L 1 R (µ) (resp L1 C (µ)) l esemble des foctios itégrables à valeurs réelles (resp. complexes). Pour être plus précis, ous utiliseros (e cas d évetuelles cofusios) les otatios L 1 R (E, A, µ) et L1 C (E, A, µ). Propositio 4.3.2. Soit f ue foctio mesurable à valeurs das R. Alors f est itégrable si et seulemet si f + et f le sot. Démostratio. Rappelos que f + = sup(f, 0) et f = if(f, 0) = sup( f, 0). O a alors La propositio découle de ces relatios. f = f + + f, f f, f + f. Défiitio 4.3.3. Soit f L 1 R (µ). O appelle itégrale de f, et o ote f dµ, le ombre réel f dµ = f + dµ f dµ. Remarque 4.3.4. O pourra oter ecore f dµ = f(x) µ(dx). Certais mathématicies adoptet quat à eux la otatio f(x) dµ(x) que ous éviteros d employer. Ceci dit, il e s agit que d ue otatio, i plus i mois arbitraire qu ue autre. Propositio 4.3.5. L esemble L 1 R (µ) est u espace vectoriel sur R et l applicatio qui à f associe f dµ est ue forme liéaire sur cet espace. De plus, o a (i) l itégrale coserve la positivité (si f L 1 R (µ) et f 0, alors f dµ 0), (ii) l itégrale coserve les iégalités (si f, g L 1 R (µ) et f g, alors f dµ g dµ), (iii) si f L 1 R (µ), f dµ f dµ.

CHAPITRE 4. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE LEBESGUE 17 Démostratio. O sait déjà que l esemble des foctios réelles mesurables est u espace vectoriel sur R. De plus, si f, g L 1 R (µ) et λ R, alors λf + g λ f + g. O e déduit que λf + g dµ λ f dµ + g dµ < +. L esemble L 1 R (µ) est doc u espace vectoriel sur R. Soiet f, g L 1 R (µ). O a { f + g = (f + g) + (f + g) f + g = f + f + g + g, d où (f + g) + + f + g = (f + g) + f + + g +. O itègre cette égalité par rapport à µ e remarquat que tous les termes sot des foctios mesurables positives. Il viet doc (f + g) + dµ + f dµ + g dµ = (f + g) dµ + f + dµ + g + dµ. Toutes ces quatités sot fiies doc o obtiet (f + g) + dµ (f + g) dµ = f + dµ f dµ + g + dµ g dµ, ce qui établit la liéarité de l itégrale. O motre de même que (λf) dµ = λ f dµ. Pour prouver (i), o remarque que, si f L 1 R (µ) est positive, alors so itégrale est celle qui a été défiie das la défiitio 4.2.1. Elle appartiet à R +. Le poit (ii) se déduit du poit (i) e cosidérat la foctio positive et itégrable g f. Pour motrer (iii) o écrit tout simplemet, f dµ = f + dµ f dµ f + dµ + f dµ = f dµ, ce qui assure la commutatio aocée de la valeur absolue et de l itégrale. Propositio 4.3.6. Soit f ue foctio mesurable à valeurs das C. Alors f est itégrable si et seulemet si Re f et Im f le sot. Défiitio 4.3.7. Soit f L 1 C (µ). O appelle itégrale de f, et o ote f dµ, le ombre complexe f dµ = Re f dµ + i Im f dµ. Propositio 4.3.8. L esemble L 1 C (µ) est u espace vectoriel sur C et l applicatio qui à f associe f dµ est ue forme liéaire sur cet espace. De plus, f dµ f dµ. Démostratio. Soit α C tel que f dµ = α f dµ. O peut toujours choisir α de module 1 et f dµ = αf dµ = Re (αf) dµ + i Im (αf) dµ Re (αf) dµ + Im (αf) dµ αf dµ = f dµ.

CHAPITRE 4. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE LEBESGUE 18 4.4 Mesures discrètes Soit (E, A) u espace mesurable, (a k ) k N ue suite de poits de E telle que, pour tout k N, {α k } A et (α k ) k N ue suite de réels positifs. O défiit ue mesure µ sur (E, A) µ = α k δ ak. O souhaite étudier l esemble L 1 (µ) et compredre l objet f dµ pour f L 1 (µ). Propositio 4.4.1. Avec les otatios du début du paragraphe. (i) Soit f mesurable de (E, A) das R +. Alors, das R +, f dµ = (ii) Ue foctio f mesurable de (E, A) das C est µ-itégrable ssi ce cas, f dµ = α k f(a k ). k=1 k=1 α k f(a k ). k=1 α k f(a k ) < +. Das Démostratio. Démotros le poit (i). O procède e trois étapes. Supposos que f = 1 A avec A A. Alors f dµ = µ(a) = α k 1 A (a k ) = α k f(a k ). k=1 Supposos à préset f étagée positive, alors f = i=1 β i1 Ai. Par liéarité de l itégrale, f dµ = β i µ(a i ) = β i α k 1 Ai (a k ) = β i 1 Ai (a k ) = α k f(a k ). i=1 i=1 k=1 k=1 α k k=1 i=1 Efi, si f est mesurable positive, il existe ue suite croissate de foctios étagées positives (f ) N qui coverge simplemet vers f. Par le théorème de covergece mootoe, f dµ = lim f dµ = lim α k f (a k ) = α k lim f (a k ) = α k f(a k ), k=1 ce qui achève la preuve du poit (i). Démotros à préset le poit (ii). Soit f mesurable à valeurs das C. Appliquos le poit (i) à f : f est µ-itégrable ssi f dµ est fii c est-à-dire ssi k α k f(a k ) est fii. Si tel est le cas, o écrit f = (Re f) + (Re f) + i(im f) + i(im f). Les quatre foctios mesurables positives (Re f) +,...,(Im f) sot itégrables par rapport à µ (puisqu elles sot toutes majorées par f ). D après (i) et la liéarité de l itégrale, o obtiet la relatio souhaitée. Exemple 4.4.2. Soit µ la mesure Beroulli de paramètre p ]0, 1[ : µ = pδ 1 + (1 p)δ 0. Alors, 2 x µ(dx) = (1 p) 0 + p 1 et cos(πx/4) µ(dx) = 1 p + p 2. Exemple 4.4.3. Soit µ = k=1 p(1 p)k 1 δ k. Alors f L 1 si et seulemet si p(1 p) k 1 f(k) < + et das ce cas, k=1 f dµ = k=1 p(1 p) k 1 f(k). k=1 k=1 k=1 k=1

CHAPITRE 4. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE LEBESGUE 19 4.5 Mesures à desité État doé u espace mesuré (E, A, µ), o peut costruire de ombreuses mesures à partir de µ comme le motre la propositio suivate. Propositio 4.5.1. Soit (E, A, µ) u espace mesuré et g ue foctio mesurable positive sur (E, A). Soit ν l applicatio de A das R + défiie par ν(a) = 1 A g dµ = g dµ. Alors ν est ue mesure sur (E, A). Démostratio. O a évidemmet ν( ) = 0. Soit (A ) ue suite d élémets de A deux à deux disjoits. Posos A = A. O a ν(a) = 1 A g dµ = 1 A g dµ = 1 A g dµ = ν(a ), grâce au théorème de covergece mootoe. Défiitio 4.5.2. La mesure ν est appelée mesure de desité g par rapport à µ. O la ote souvet g.µ. La foctio g est appelée la desité de ν par rapport à µ. Propositio 4.5.3 (Itégratio par rapport à ue mesure à desité). Avec les otatios de la propositio 4.5.1. (i) Soit f ue foctio mesurable positive sur (E, A). Alors, das R +, f dν = (f g) dµ. (4.1) A (ii) Soit f ue foctio mesurable à valeurs complexes sur (E, A). Alors f est itégrable pour ν si et seulemet si fg est itégrable pour µ et o a alors f dν = (fg) dµ. Démostratio. Pour démotrer le poit (i), o procède e trois étapes. Si f = 1 A avec A A, la relatio (4.1) découle de la défiitio de ν. Si f est étagée et positive, l égalité se déduit de la liéarité de l itégrale. Supposos efi que f soit simplemet mesurable et positive. Soit (f ) N ue suite croissate de foctios étagées et positives qui coverge simplemet vers f. Par le théorème de covergece mootoe, f dν = lim f dν = lim (f g) dµ = (fg) dµ. Démotros à préset le poit (ii). Soit f mesurable à valeurs das C. Appliquos le poit (i) à f : f est ν-itégrable ssi f g dν est fii c est-à-dire ssi fg est µ-itégrable. Si tel est le cas, o écrit f = (Re f) + (Re f) + i(im f) + i(im f). Les quatre foctios mesurables positives (Re f) +,...,(Im f) sot itégrables par rapport à ν (puisqu elles sot toutes majorées par f ). D après (i) et la liéarité de l itégrale, o obtiet la relatio souhaitée.

CHAPITRE 4. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE LEBESGUE 20 4.6 Itégratio par rapport à ue mesure image Propositio 4.6.1 (Défiitio d ue mesure image). Soit (E, A) et (F, B) deux espaces mesurables et ϕ ue applicatio mesurable de E das F. Soit µ ue mesure sur (E, A). L applicatio ν qui à B B associe ν(b) = µ(ϕ 1 (B)) défiit ue mesure sur (F, B) appelée mesure image de µ par ϕ. O la otera µ ϕ. Démostratio. Comme ϕ 1 ( ) =, o a µ(ϕ 1 ( )) = 0. Soit (B ) N ue suite d élémets de B deux à deux disjoits. La suite (ϕ 1 (B )) est ue suite d élémets de A deux à deux disjoits et ϕ 1 ( B ) = ϕ 1 (B ) doc ν( B ) = µ(ϕ 1 ( B )) = µ( ϕ 1 (B )) = µ(ϕ 1 (B )) = ν(b ), ce qui achève la preuve. Propositio 4.6.2. Avec les otatios de la propositio 4.6.1. (i) Soit f ue foctio mesurable positive défiie sur (F, B). Alors (l égalité a lieu das R + ) f dµ ϕ = f ϕ dµ. (4.2) F (ii) Soit f ue foctio mesurable à valeurs complexes défiie sur (F, B). Alors f est itégrable par rapport à µ ϕ si et seulemet si f ϕ est itégrable par rapport à µ. Das ce cas, f dµ ϕ = f ϕ dµ. F Démostratio. Démotros le poit (i) e trois étapes. Si f est la foctio idicatrice de B B, l égalité µ ϕ (B) = µ(ϕ 1 (B)) qui défiit la mesure image s écrit ecore 1 B dµ ϕ = 1 ϕ 1 (B) dµ = 1 B ϕ dµ. Y X Si f est étagée positive, la relatio (4.2) se déduit du cas précédet par liéarité. Efi, si f est mesurable positive, d après le théorème d approximatio 2.3.3, il existe ue suite (f ) N croissate de foctios étagées positives qui coverge simplemet vers f. Alors (f ϕ) N est ue suite croissate de foctios étagées positives qui coverge simplemet vers f ϕ. D après ce qui précède, o a, pour tout N, f dµ ϕ = f ϕ dµ, Y et l égalité souhaitée est coséquece du théorème de covergece mootoe. Démotros à préset le poit (ii). Soit f mesurable à valeurs das C. Le poit (i) appliqué à f motre que f est itégrable par rapport à µ ϕ si et seulemet si f ϕ l est par rapport à µ. Supposos doc f itégrable et écrivos alors f = (Re f) + (Re f) + i(im f) + i(im f). Les quatre foctios mesurables positives (Re f) +,...,(Im f) sot itégrables par rapport à µ ϕ (puisqu elles sot toutes majorées par f ). D après (i) et la liéarité de l itégrale, o obtiet la relatio souhaitée. X E E X

CHAPITRE 4. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE LEBESGUE 21 4.7 Itégrale de Lebesgue et itégrale de Riema Rappelos brièvemet les pricipes fodametaux de l itégrale de Riema. 4.7.1 Itégrale sur u itervalle compact Soit f ue foctio réelle borée sur [a, b]. Soit σ : a = x 0 < x 1 < < x +1 = b ue subdivisio de [a, b]. O appelle pas de la subdivisio le ombre δ(σ) = max 1 k +1 (x k x k 1 ). Posos m k = if {f(t), t [x k, x k+1 ]} et M k = sup {f(t), t [x k, x k+1 ]}. Les sommes de Darboux associées à la subdivisio σ sot s(σ) = m k (x k+1 x k ) et S(σ) = k=1 M k (x k+1 x k ). Défiitio 4.7.1. O dit que f est itégrable au ses de Riema sur [a, b] s il existe u ombre réel I tel que les sommes s(σ) et S(σ) tedet vers I quad δ(σ) ted vers 0 : ε > 0, η > 0, σ t.q. δ(σ) η, S(σ) I ε et s(σ) I ε. Le ombre I est alors appelé l itégrale de Riema de f sur [a, b] et o le ote b a f(t) dt. Cosidéros à ouveau la subdivisio σ et, pour tout k, choisissos ξ k [x k 1, x k ]. La somme de Riema défiie par σ et ξ = (ξ 1,..., ξ ) est par défiitio S(σ, ξ) = k=1 f(ξ k )(x k x k 1 ). k=1 Si f est itégrable au ses de Riema, les sommes de Riema coverget vers b a f(t) dt lorsque δ(σ) ted vers 0, uiformémet par rapport au choix de ξ. Plus précisémet, ε > 0, η > 0, σ t.q. δ(σ) η, ξ associé à σ, S(σ, ξ) I ε. Théorème 4.7.2. Toute foctio f cotiue par morceaux sur [a, b] est itégrable au ses de Riema. De plus, si f est cotiue, la foctio x F (x) = x a f(t) dt est dérivable sur [a, b] de dérivée F = f. 4.7.2 Itégrale gééralisée Soit f : [a, b[ R, où b peut être égal à +, localemet itégrable au ses de Riema ; c est-à-dire itégrable au ses de Riema sur tout itervalle compact [a, c] [a, b[. O dit que f admet ue itégrale gééralisée sur [a, b[ si la foctio x x a f(t) dt admet ue limite lorsque x ted vers b (avec x < b). O pose alors b a f(t) dt = lim x b x a f(t) dt. Das ce cas, o dit ecore que l itégrale b a f(t) dt est covergete. O dit que l itégrale gééralisée b a f(t) dt est absolumet covergete si l itégrale b a f(t) dt est covergete. Remarque 4.7.3. La covergece absolue etraîe la covergece, mais la réciproque est fausse comme le motre l exemple classique si t dt. t 1

CHAPITRE 4. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE LEBESGUE 22 4.7.3 Comparaiso des itégrales de Riema et Lebesgue pour ue foctio borée sur u itervalle compact Propositio 4.7.4. Soit f ue foctio cotiue sur [a, b]. Alors si λ désige la mesure de Lebesgue sur R, f1 [a,b] L 1 R (λ) et 1 [a,b] f dλ = R b a f(t) dt. Démostratio. Il est clair que f1 [a,b] est boréliee. Soit M = sup t [a,b] f(t). La foctio f état cotiue sur le compact [a, b], M est u réel positif et f1 [a,b] M1 [a,b] L 1 R (λ), ce qui assure que f1 [a,b] est Lebesgue-itégrable. De même, pour tout x [a, b], f1 [a,x] est Lebesgue-itégrable. Posos F (x) = f1 [a,x] dλ et motros que F est dérivable e tout poit x 0 de [a, b] de dérivée f(x 0 ). Soit h > 0. Comme o a d où 1 [a,x0 +h]f = 1 [a,x0 ]f + 1 ]x0,x 0 +h]f, F (x 0 + h) F (x 0 ) h F (x 0 + h) F (x 0 ) h = 1 h f(x 0 ) = 1 h 1 ]x0,x 0 +h]f dλ, 1 ]x0,x 0 +h](f f(x 0 )) dλ. Soit ε > 0. Puisque f est cotiue e x 0, il existe η > 0 tel que pour tout x tel que x x 0 η, o ait f(x 0 ) f(x) ε. Si 0 < h < η alors F (x 0 + h) F (x 0 ) f(x 0 ) h 1 ε1 h ]x0,x 0 +h] dλ = ε. Le cas h < 0 se traite de même. Aisi, F est dérivable sur [a, b] de dérivée f. Comme F (a) = 0 (car λ({a}) = 0), o a F (x) = x a f(t) dt pour tout x [a, b] (et otammet pour x = b). Remarque 4.7.5. La propositio précédete s éted facilemet au cas d ue foctio f cotiue par morceaux. Elle coduit à oter [a,b] f dx l itégrale de Lebesgue f1 [a,b] dλ (et même b a f(x) dx). Cette otatio est souvet adoptée pour ue foctio f itégrable au ses de Lebesgue sur [a, b] sas hypothèse de cotiuité. Lorsque l o sort du cadre des foctios cotiues par morceaux, les lies etre itégrales de Riema et de Lebesgue sot assez subtils. Voici quelques résultats éclairats. Il existe des foctios itégrables au ses de Lebesgue qui e sot pas itégrables au ses de Riema. Par exemple la foctio f = 1 Q [0,1] est itégrable au ses de Lebesgue et so itégrale est ulle. E revache, pour toute subdivisio σ de [0, 1], o a S(σ) = 1 et s(σ) = 0. Les foctios itégrables au ses de Riema sur [a, b] sot coues. Théorème 4.7.6 (Lebesgue). Ue foctio f : [a, b] R borée est itégrable au ses de Riema ssi il existe N [a, b] de mesure de Lebesgue ulle tel que f est cotiue e tout x [a, b]\n.

CHAPITRE 4. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE LEBESGUE 23 4.7.4 Itégrale de Riema gééralisée et itégrale de Lebesgue Propositio 4.7.7. Soit f : [a, b[ R ue foctio cotiue. Alors f1 [a,b[ L 1 R (λ) si et seulemet si b a f(t) dt est absolumet covergete et, das ce cas, o a b f1 [a,b[ dλ = f(t) dt. Démostratio. Supposos d abord f positive. Soit (b ) N ue suite croissate de poits de [a, b[ qui coverge vers b. Pour tout, f1 [a,b[ dλ = a b a f(t) dt. E utilisat le théorème de covergece mootoe (pour l itégrale de Lebesgue), o a f1 [a,b[ dλ = lim + f1 [a,b[ dλ = b lim + a f(t) dt R +. Or, par défiitio, f est itégrable au ses de Lebesgue si et seulemet si cette limite est fiie, doc si et seulemet si f est itégrable au ses de Riema. De plus les itégrales sot les mêmes. Das le cas gééral, o sait que f est itégrable au ses de Lebesgue si et seulemet si f l est, doc si et seulemet si b a f(t) dt est absolumet covergete. Si c est le cas, écrivos f = f + f. O a f + f et f f doc f + et f sot itégrables das les deux ses et f + 1 [a,b[ dλ = d où le résultat par liéarité. b a f + (t) dt, et f 1 [a,b[ dλ = b a f (t) dt,

Chapitre 5 Théorèmes limites et applicatios 5.1 Lemme de Fatou Das le chapitre précédet, ous avos déjà établi u théorème limite fodametal : le théorème de covergece mootoe (ou théorème de Beppo Levi). Théorème 5.1.1. Soit (f ) N ue suite croissate de M +. Alors f = lim f M + et f dµ = lim f dµ. + Toutefois, l hypothèse de croissace, très pratique puisqu elle assure l existece de la limite das R +, est iadaptée das bie des situatios. Nous avos besoi d u théorème valable pour ue suite de foctios géérique. Le prix à payer est que l o e sera plus assuré de l existece d ue limite. Par cotre la foctio lim if f est ecore défiie et c est elle qui remplacera avatageusemet la foctio lim f. Théorème 5.1.2 (Lemme de Fatou). Si (f ) N est ue suite de foctios mesurables positives, alors lim if f dµ lim if f dµ. Démostratio. Posos g = lim if f. Par défiitio, g = lim if f k = sup if f k. + k k La foctio g = if k f k est ue foctio mesurable positive et la suite (g ) N coverge e croissat vers g. Le théorème de covergece mootoe assure doc : lim g dµ = lim if f dµ. D autre part, pour tout N, g f, d où, par croissace de l itégrale, g dµ f dµ. Le secod membre de cette iégalité a pas écessairemet de limite mais sa limite iférieure existe toujours. O obtiet doc (par passage à la limite iférieure ) : lim if N g dµ lim if f dµ. La limite iférieure du premier membre de l iégalité ci-dessus est e fait ue limite d après la première partie de la preuve, qui est rie d autre que l itégrale de la limite iférieure de la suite (f ) N. Cette remarque achève doc la preuve. 24

CHAPITRE 5. THÉORÈMES LIMITES ET APPLICATIONS 25 5.2 Esembles et foctios égligeables Défiitio 5.2.1. Soit (E, A, µ) u espace mesuré. (i) O dit qu ue partie N de E est égligeable pour µ (ou µ-égligeable) s il existe A A tel que N A et µ(a) = 0. (ii) O dit que la tribu A est complète pour µ si toute partie µ-égligeable appartiet à A. Défiitio 5.2.2. Soit (E, A, µ) u espace mesuré. O dit qu ue propriété P sur E est vraie presque partout (e abrégé p.p. ou µ-p.p.) si l esemble des poits de E où elle est fausse est égligeable. Ue foctio f défiie sur E à valeurs réelles ou complexes est dite µ-égligeable si {f 0} est égligeable. Deux foctios f et g défiies sur E à valeurs das u même esemble F sot dites égales presque partout si {f g} est égligeable. O dit qu ue suite (f ) N de foctios défiies sur E à valeurs das C coverge vers f µ-presque partout s il existe u esemble µ-égligeable N tel que pour tout x / N, o ait lim f (x) = f(x). Le lemme suivat est très utile e pratique. Lemme 5.2.3 (Iégalité de Markov). Soit f ue foctio mesurable positive sur (E, A). Alors pour tout λ > 0, o a µ({f λ}) 1 f dµ. λ Démostratio. Il suffit d itégrer la relatio λ1 {f λ} f qui est vraie puisque f est positive. Propositio 5.2.4. Soit f ue foctio mesurable de (E, A) das R telle que f dµ < +. Alors f est fiie µ-presque partout. Démostratio. E effet, pour tout, o a 1 f dµ µ({ f }) µ({ f = + }). Comme f dµ est fii, e faisat tedre vers +, o obtiet µ({ f = + }) = 0. Remarque 5.2.5. La réciproque de cette propositio est fausse : la foctio costate égale à 1 est fiie λ-p.p. mais est pas itégrable par rapport à la mesure de Lebesgue. Propositio 5.2.6. Soit f ue foctio mesurable sur (E, A) à valeurs complexes. Alors f est égligeable si et seulemet si f dµ = 0. Démostratio. Supposos tout d abord que f est égligeable. Comme mi( f, ) 1 {f 0}, o a mi( f, ) dµ µ({f 0}) = 0, d où mi( f, ) dµ = 0 pour tout. D après le théorème de covergece mootoe, o a alors f dµ = lim mi( f, ) dµ = lim mi( f, ) dµ = 0. Réciproquemet, supposos que f dµ = 0. Alors, pour tout 1, o a ({ µ f 1 }) f dµ = 0.

CHAPITRE 5. THÉORÈMES LIMITES ET APPLICATIONS 26 L esemble { f 0} s écrit doc comme réuio déombrable d esembles de mesure ulle : { f 0} = { f 1 }. 1 Il est doc égalemet de mesure ulle. Propositio 5.2.7. Soit (E, A, µ) u espace mesuré. (i) Soit f et g deux foctios mesurables positives telles que f g presque partout. Alors f dµ g dµ. (ii) Soit f et g deux foctios mesurables positives telles que f = g presque partout. Alors f dµ = g dµ. (iii) Soit f et g deux foctios mesurables complexes telles que f = g presque partout. Alors f est itégrable si et seulemet si g l est et, das ce cas, f dµ g dµ. Démostratio. Pour prouver (i), o écrit que l o itègre par rapport à µ : f dµ = f = f1 {f g} + f1 {f>g}, f1 {f g} dµ + f1 {f>g} dµ. Par hypothèse, f1 {f>g} est égligeable doc so itégrale est ulle. O a doc f dµ = f1 {f g} dµ. De même, o voit que g dµ = g1 {f g} dµ. Pour coclure, il suffit de remarquer que f1 {f g} g1 {f g}. Le poit (ii) se déduit de (i) par symétrie etre f et g. Démotros (iii). Si f = g µ-p.p., alors f = g µ-p.p., d où f dµ = g dµ par (ii). Par coséquet f L 1 C (µ) si et seulemet si g L1 C (µ). O obtiet la coclusio par égalité µ-p.p. des parties positives et égatives des parties réelles et imagiaires et e appliquat (ii). 5.3 Théorème de covergece domiée Théorème 5.3.1 (de covergece domiée). Soit (f ) N ue suite de foctios mesurables sur (E, A) à valeurs das R ou C telle que : (i) (f ) N coverge µ-presque partout vers ue foctio f mesurable, (ii) il existe ue foctio g positive apparteat à L 1 R (µ) telle que 1, f (x) g(x) µ p.p. Alors les foctios (f ) N et f sot itégrables et lim f dµ = f dµ. O a même lim f f dµ = 0.

CHAPITRE 5. THÉORÈMES LIMITES ET APPLICATIONS 27 Démostratio. Supposos tout d abord que la covergece de (f ) N vers f ait lieu partout et que les iégalités (ii) soiet vraies pour tout x E. Posos g = 2g f f. Alors (g ) N est ue suite de foctios mesurables positives, et d après le lemme de Fatou, 2 g dµ = lim if g dµ lim if g dµ = 2 g dµ lim sup f f dµ. Puisque g dµ < +, o voit que lim sup f f dµ 0. O e déduit doc que lim f f dµ = 0. + Il e résulte que f dµ = lim f dµ. Passos à préset au cas gééral. Soit N A tel que, si x / N, lim f (x) = f(x) et µ(n) = 0. Choisissos de plus, pour tout N, u esemble N A tel que si x / N f (x) g(x) et µ(e ) = 0. Posos M = N ( N ) A. O a ecore µ(m) = 0. Posos h = f 1 M c et h = f1 M c. O a, pour tout x E et tout, lim h m(x) = h(x) et h (x) g(x). m + La première partie de la preuve assure doc que lim h h dµ = 0. Pour coclure, il suffit de remarquer que h = f µ-p.p. et h = f µ-p.p. Corollaire 5.3.2. Soit (f ) N ue suite de foctios mesurables sur (E, A) à valeurs das R ou C telle que f dµ < +. Alors les foctios (f ) N sot itégrables, la série f coverge µ-p.p. et il existe f L 1 (µ) telle que f = f µ p.p., lim f f k dµ = 0, =1 k=1 f dµ = f dµ. Démostratio. Posos g = 1 f. D après le corollaire 4.2.6 (itervertio série-itégrale pour des foctios positives), g dµ = f dµ < +. 1 =1 La foctio g état itégrable, elle est fiie µ-p.p. Posos { N = x E, + =1 f (x) = + C est u esemble égligeable de A, et si x / N, la série f (x) est absolumet covergete, doc covergete. Posos alors + f (x) si x / N, f(x) = =1 0 si x N. Cette foctio est mesurable comme limite simple de la suite (1 N c k=1 f k) N de foctios mesurables. De plus, comme }. x N c, f(x) + =1 f (x) = g(x),

CHAPITRE 5. THÉORÈMES LIMITES ET APPLICATIONS 28 et comme g est itégrable, f l est aussi et o a f dµ g dµ = + =1 f dµ. Efi, f f k dµ = k=1 1 N c + f f k dµ = k=1 1 N c f k dµ + 1 N c k=+1 k=+1 + k=+1 f k dµ. f k dµ Par hypothèse, le membre de droite ted vers 0, ce qui achève la preuve. 5.4 Itégrale dépedat d u paramètre Théorème 5.4.1 (cotiuité d ue itégrale à paramètre). Soit (E, A, µ) u espace mesuré, (G, d) u espace métrique et f ue foctio défiie sur E G, à valeurs réelles ou complexes. O suppose que (i) pour µ-presque tout x E, la foctio α f(x, α) est cotiue sur G, (ii) pour tout α G, la foctio x f(x, α) est mesurable sur (E, A), (iii) il existe ue foctio g sur (E, A) mesurable, positive et itégrable telle que pour tout α G, o ait f(x, α) g(x) µ-p.p. Alors la foctio F : α f(x, α)µ(dx) est défiie et cotiue sur G. Démostratio. Pour tout α G, la foctio x f(x, α) est µ-itégrable et F est doc bie défiie sur G. Soit α G. Motros que F est cotiue au poit α. Comme G est u espace métrique, il suffit de motrer que si (α ) N est ue suite de G qui coverge vers α, alors la suite (F (α )) N coverge vers α. Notos f la foctio défiie sur E qui à tout x E associe f (x) = f(x, α ). La suite (f ) N satisfait aux hypothèses du théorème de covergece domiée, d où la coclusio. Théorème 5.4.2 (dérivabilité d ue itégrale à paramètre). Soit (E, A, µ) u espace mesuré, I u itervalle ouvert de R et f ue foctio défiie sur E R, à valeurs réelles ou complexes. O suppose que (i) pour µ-presque tout x E, la foctio α f(x, α) est dérivable sur I, (ii) pour tout α F, la foctio x f(x, α) est µ-itégrable, (iii) il existe ue foctio g sur (E, A) itégrable et positive telle que pour µ-presque tout x E, o ait α I, f (x, α) α g(x). Alors, pour tout α I, la foctio x f x (x, α) est itégrable. De plus, la foctio F : α f(x, α)µ(dx) est dérivable sur I et α I, F (α) = f (x, α)µ(dx). α

CHAPITRE 5. THÉORÈMES LIMITES ET APPLICATIONS 29 Démostratio. Par hypothèse, il existe u esemble de mesure ulle N A tel que si x / N, la dérivée f α (x, α) existe pour tout poit α I et f (x, α) α g(x). Il e résulte que x f α (x, α) est µ-itégrable pour tout α I. Étudios la dérivabilité de F e α I. Soit (α ) ue suite de I qui coverge vers α avec α α pour tout. D après le théorème des accroissemets fiis, o a, si x / N, f(x, α ) f(x, α) α α sup α I f (x, α) α α α g(x). O peut doc appliquer le théorème de covergece domiée à la suite (h ) N où la foctio h est défiie sur E par h (x) = f(x, α ) f(x, α). α α Cette suite (h ) N coverge simplemet sur E\N vers la foctio x f α (x, α). Cette foctio est doc µ-itégrable. De plus, o a f f(x, α ) f(x, α) f(α ) F (α) (x, α) µ(dx) = lim µ(dx) = lim. α α α α α Il e résulte que F est dérivable e α de dérivée f F (α) = (x, α) µ(dx). α 5.5 Exemple fodametal : u premier cotact avec la trasformée de Fourier La otio de trasformée de Fourier d ue foctio itégrable pour la mesure de Lebesgue ou d ue mesure fiie joue u rôle essetiel e aalyse et e probabilités. Nous présetos ici quelques ues de ses propriétés et quelques exemples de calculs. 5.5.1 Trasformée de Fourier d ue foctio Défiitio 5.5.1. Soit f L 1 R (λ). La trasformée de Fourier de f est défiie sur R par ˆf(t) = f(x)e itx λ(dx). R Remarque 5.5.2. Comme e itx = 1, x e itx f(x) est Lebesgue itégrable si et seulemet si f l est. Remarque 5.5.3. Par défiitio de l itégrale d ue foctio à valeurs complexe, o a aussi : ˆf(t) = cos(tx)f(x) λ(dx) + i si(tx)f(x) λ(dx). Si f est paire alors R ˆf(t) = 2 cos(tx)f(x) λ(dx), [0,+ [ R

CHAPITRE 5. THÉORÈMES LIMITES ET APPLICATIONS 30 et e particulier, la partie imagiaire de ˆf(t) est ulle. De même, si f est impaire alors ˆf(t) = 2i si(tx)f(x) λ(dx), [0,+ [ et e particulier, la partie réelle de ˆf(t) est ulle. Les théorèmes sur l itégrale à paramètre permettet de motrer immédiatemet le résultat de dérivabilité suivat. Propositio 5.5.4. La foctio ˆf est cotiue sur R. De plus, si x xf(x) est itégrable sur R alors ˆf est dérivable sur R et ˆf (t) = ixe itx f(x) λ(dx). Exemple 5.5.5. Soit f 1 (x) = e x 1 {x>0}. Alors R ˆf 1 (t) = e itx e x 1 {x>0} λ(dx) = e (1 it)x λ(dx). R R + L itégrale (au ses de Riema) gééralisée + R + e (1 it)x λ(dx) = 0 e (1 it)x dx est absolumet covergete doc : + 0 e (1 it)x dx. La dérivée de x e (1 it)x 1 + it est la foctio x e (1 it)x. De plus, e (1 it)x = e x ted vers 0 quad x ted vers l ifii. Doc ˆf 1 (t) = A lim A + 0 O e déduit doc que ˆf t (t) = 1 1 it e (1 it)x dx = lim A + pour tout t R. [ ] A e (1 it)x = 1 1 + it 1 it. 0 Exemple 5.5.6. Soit à préset f 2 (x) = e x. D après la remarque 5.5.3 et le calcul précédet, ˆf 2 (t) = 2 cos(tx)e x λ(dx) = 2 Re (e itx )e x λ(dx) = 2Re [0,+ [ [0,+ [ [0,+ [ e (1 it)x λ(dx) = 2Re ˆf 1 (t) = 2 1 + t 2. Exemple 5.5.7. O peut motrer (mais c est u peu plus dur) que si f 3 (x) = 1/(1 + x 2 ) alors ˆf 3 (t) = πe t (voir la feuille d exercices 5). Remarquos que ˆf 3 est pas dérivable e 0, ce qui est pas cotraire aux coclusios de la propositio 5.5.4 puisque x/(1 + x 2 ) est pas λ-itégrable sur R. Remarque 5.5.8. Les calculs ci-dessus motret que ˆf2 (t) = 2πf 2 et ˆf3 (t) = 2πf 3. Nous tireros ceci au clair plus tard.

CHAPITRE 5. THÉORÈMES LIMITES ET APPLICATIONS 31 5.5.2 Trasformée de Fourier d ue mesure fiie Défiitio 5.5.9. Soit µ ue mesure fiie sur R. La trasformée de Fourier de µ (o parle ecore de foctio caractéristique de µ) est la foctio otée ϕ µ défiie sur R par t R, ϕ µ (t) = e itx µ(dx). Remarquos tout de suite que si µ admet f (supposée positive) pour desité par rapport à la mesure de Lebesgue sur R, alors µ est fiie si et seulemet si f est λ-itégrable et ˆf = ϕ µ. E particulier, la propositio 5.5.4 s éted à toutes les mesures fiies : ϕ µ est cotiue sur R et si x x est µ itégrable, ϕ µ est de classe C 1 sur R de dérivée ϕ µ(t) = ixe itx µ(dx). E particulier, ϕ µ(0) = i x µ(dx). R R Exemple 5.5.10. Doos quelques exemples de foctios caractéristiques de mesures discrètes classiques. 1. Si µ 1 = (1 p)δ 0 + pδ 1, avec p [0, 1] alors ϕ µ1 (t) = pe it + 1 p. 2. Si µ 2 = k=0 Ck p k (1 p) k δ k, avec p [0, 1], alors ϕ µ2 (t) = ( pe it + 1 p ). 3. Si ν α = + k=0 α αk e k! δ k, avec α > 0 alors ϕ να (t) = e α(eit 1). Remarque 5.5.11. O peut utiliser le théorème de dérivatio de Lebesgue pour calculer l itégrale de la foctio x x e évaluat la dérivée de la trasformée de Fourier de µ. O trouve e particulier les résultats obteu e par u calcul direct parfois u peu plus péible : x µ 1 (dx) = p, x µ 2 (dx) = p, x ν α (dx) = α. Remarque 5.5.12. Les relatios ϕ µ 1 = ϕ µ2 et ϕ ν α = ϕ να e sot pas des coïcideces. Nous les iterpréteros lorsque ous parleros de probabilités et d idépedace... R

Chapitre 6 Itégrales multiples Est-il possible de costruire ue mesure sur l espace mesurable (E F, A B) qui affecterait aux rectagles A B la mesure µ(a)ν(b)? Si µ et ν étaiet toutes deux la mesure de Lebesgue sur R, répodre à cette questio doerait u ses mathématique à la otio ituitive d aire. Si ue telle mesure existe, est-elle uique? Nous pourros apporter ue répose positive à ces deux questios das le cas où les deux mesures sot σ-fiies. Nous étudieros das so esemble la preuve de l existece et l uicité de la mesure produit. Elle présete l avatage d être costructive et ous sera utile pour la suite. L uicité de la mesure s établit de maière similaire à celle de la mesure de Lebesgue sur R que ous avos admise au chapitre 3. La preuve de l existece se fait quat à elle beaucoup plus facilemet. Das u deuxième temps, ous étudieros les propriétés de l itégrale par rapport à la mesure produit µ ν e faisat otammet le lie avec les itégrales par rapport aux mesures µ et ν. Les théorèmes de Toelli et Fubii jouerot ce rôle, le premier pour les foctios mesurables positives, le secod pour les foctios itégrables à valeurs das C. Nous éoceros le théorème de chagemet de variables pour l itégrale de Lebesgue sur R d et ous recotreros à ouveau à cette occasio la otio de mesure image qui jouera u très grad rôle e probabilités. 6.1 Mesures produit Rappelos qu ue mesure sur (E, A) est dite σ-fiie s il existe ue suite croissate (E ) N d élémets de A telle que µ(e ) est fiie pour tout N et E soit la réuio (croissate) des esembles (E ) N. O dit alors que (E, A, µ) est σ-fii. Par exemple, la mesure de Lebesgue sur R est σ-fiie (o peut predre E = [, ]) tadis que la mesure de comptage sur [0, 1] e l est pas. Soit à préset deux espaces mesurés (E, A, µ) et (F, B, ν) deux espaces σ-fiis. O dispose déjà d ue tribu aturelle sur E F costruite à partir de A et B : la tribu produit A B. Rappelos que la tribu produit est la tribu egedrée par la famille R des rectagles de A B, c est-à-dire par l esemble des parties E F de la forme A B avec A A et B B. Soit C u élémet de A B. Nous allos étudier les propriétés des opératios découpage e traches horizotales et verticales. Lemme 6.1.1. Si C A B, otos C x = {y F, (x, y) C} et C y = {x E, (x, y) C} les sectios verticale et horizotale. Alors, pour tout x E et tout y F, C x B et C y A. Remarque 6.1.2. Si C et D sot des élémets de A B alors (C x ) c = (C c ) x, C x D x = (C D) x et C x D x = (C D) x. 32

CHAPITRE 6. INTÉGRALES MULTIPLES 33 Il e est de même avec les uios et itersectios déombrables. Preuve du lemme 6.1.1. Soit C l esemble des parties C A B telles que, pour tout x E et tout y F, C x B et C y A. Il est clair que C est ue tribu. Pour achever la preuve, il reste à remarquer que C cotiet les rectagles C = A B. C est le cas puisqu alors, pour tous x E et y F, C x = { B si x A si x / A B et Cy = { A si y B si y / B A. Aisi, C est ue tribu qui cotiet les rectagles : elle cotiet doc la tribu produit A B. L iclusio iverse découle de la défiitio de C. Théorème 6.1.3. Soit (E, A, µ) et (F, B, ν) deux espaces mesurés σ-fiis. (i) Il existe ue uique mesure m sur (E F, A B) telle que, pour tous A A et B B, o ait m(a B) = µ(a)ν(b), avec la covetio 0 + = 0. Cette mesure est σ-fiie. O la ote gééralemet µ ν et o l appelle mesure produit de µ et ν. (ii) Pour tout C A B, les applicatios x ν(c x ) et y µ(c y ) sot respectivemet A-mesurable et B-mesurable et µ ν(c) = ν(c x ) µ(dx) = µ(c y ) ν(dy). (6.1) E Avat de ous lacer das la démostratio, il ous faut itroduire ue otio très importate e itégratio et probabilités il s agit de la otio de λ-système ou de classe mootoe. Notos qu il existe autat de défiitios de ces objets que de mathématicies. Nous utiliseros ici le terme de λ-système sous l acceptio suivate. Défiitio 6.1.4. Ue famille Λ de parties de E est appelée λ-système si (i) E Λ, (ii) si (A ) N est ue suite croissate d élémets de Λ, alors A = A Λ, (iii) si A et B sot das Λ avec A iclus das B, alors B\A est das Λ. Remarque 6.1.5. Tout comme pour les tribus, il existe u plus petit λ-système coteat ue partie S : il s agit de l itersectio de tous les λ-systèmes coteat S (itersectio o vide car P(E) e fait partie). O le ote Λ(S). Lemme 6.1.6. Soit Λ u λ-système stable par itersectio fiie. Alors Λ est ue tribu. Démostratio. Comme E Λ, Λ est stable par complémetaire d après (iii) et, e particulier, Λ. Soit A et B das Λ. Alors A B = (A c B c ) c appartiet à Λ. Par récurrece, o e déduit que Λ est stable par uio fiie. Soit (A ) N ue suite d élémets de Λ. O peut alors écrire A comme la réuio croissate des esembles ( p k=0 A k) p N qui sot das Λ. Aisi, Λ est stable par uio déombrable et est doc ue tribu. Il est bie plus facile e pratique de motrer qu ue famille de parties est u λ-système qu ue tribu. Le résultat suivat motre que cela suffit das certais cas. O doe à toutes les variates de ce résultat le om de théorème des classes mootoes bie que la versio ci-dessous fasse appel aux λ-systèmes. Théorème 6.1.7 (Théorème des classes mootoes). Si S est ue famille de parties de E fermée pour l itersectio fiie, alors Λ(S) = σ(s). F

CHAPITRE 6. INTÉGRALES MULTIPLES 34 Démostratio. Il suffit, au vu du lemme 6.1.6, de motrer que Λ(S) est stable par itersectio fiie. Soit B S fixé et Λ B = {A Λ(E) ; A B Λ(S)}. O vérifie sas problème que Λ B est u λ-système coteat S et doc Λ(S), c est-à-dire que Soit maiteat C Λ(S) et B S, A Λ(S), A B Λ(S). Λ C = {A Λ(E) ; A C Λ(S)}. D après ce qui précède, Λ C est u λ-système coteat S. Doc pour tout C Λ(S), Λ C = Λ(S). Fialemet Λ(S) est stable par itersectio fiie, c est doc ue tribu et σ(s) Λ(S). Comme ue tribu est u λ-système l iclusio précédete est ue égalité. La famille fermée pour l itersectio fiie est très souvet ue algèbre de Boole. Défiitio 6.1.8. Ue algèbre de Boole A sur E est u sous-esemble o vide de P(E) tel que (i) la partie vide appartiet à A, (ii) A est stable par passage au complémetaire, (iii) A est stable par réuio fiie. Exemple 6.1.9. L algèbre de Boole que ous recotreros le plus souvet das ce chapitre est l algèbre de Boole egedrée par R c est-à-dire la plus petite algèbre de Boole coteat R. Nous la oteros F. Il est facile de se covaicre qu elle est formée des réuios fiies de rectagles disjoits. Théorème 6.1.10 (Uicité du prologemet d ue mesure). Soit A ue algèbre de Boole sur E et µ et ν deux mesures σ-fiies sur σ(a) telles que (i) pour tout A A, µ(a) = ν(a), (ii) il existe (E ) N ue suite croissate d élémets de A telle que E = E et pour tout N, µ(e ) = ν(e ) < +. Alors µ et ν coïcidet sur σ(a). Démostratio. Supposos das u premier temps que µ et ν soiet fiies. O pose Λ = {A σ(a) ; µ(a) = ν(a)}. Motros que la famille Λ est u λ-système. Il est clair que E Λ et que Λ est stable par uio fiie. Soit (A ) N ue suite croissate d élémets de Λ. Alors µ( A ) = lim µ( k=0 A k) = lim ν( k=0 A k) = ν( A ), car, pour tout N, k=0 A k Λ. Soit A et B das Λ avec A iclus das B. Puisque µ(e) et ν(e) sot fiis, et B Λ, o a µ(b) = ν(b) < +. O e déduit µ(b\a) = µ(b) µ(a) = ν(b) ν(a) = ν(b\a), et doc B\A est das Λ. Aisi, Λ est λ-système qui cotiet A doc Λ(A) Λ. Par défiitio de Λ, Λ σ(a). Doc, d après le théorème des classes mootoes, Λ(A) = σ(a). O a doc obteu Λ σ(a) = Λ(A) Λ,

CHAPITRE 6. INTÉGRALES MULTIPLES 35 ou ecore Λ = σ(a) : les mesures µ et ν coïcidet sur la tribu egedrée par A. Supposos à préset que µ et ν soiet uiquemet σ-fiies et soit (E ) N la suite doée par l hypothèse (ii). O défiit pour tout N les mesures µ et ν sur σ(a) par A A, µ (A) = µ(a E ) et ν (A) = ν(a E ). Les mesures µ et ν sot fiies et coïcidet sur A doc sur σ(a) d après la première partie de la preuve. Efi, pour tout A σ(a), puisque (A E ) N ue suite croissate d élémets de σ(a), µ(a) = lim µ (A) = + ce qui achève la preuve. lim µ(a E ) = + lim ν(a E ) = + lim + µ (A) = ν(a), Preuve de l uicité de la mesure produit du le théorème 6.1.3. Supposos qu il existe ue autre mesure m telle que, pour tous A A et B B, o ait m (A B) = µ(a)ν(b), c est-à-dire que m et m coïcidet sur l esemble des rectagles. Elles coïcidet doc sur l algèbre de Boole egedrée par les rectagles. Les mesures µ et ν état σ-fiies, il existe deux suites croissates (E ) N et (F ) N d élémets de A et B respectivemet telles que, pour tout N, µ(e ) et ν(f ) soiet fiis et E = E et F = F. La suite de rectagles (E F ) N est telle que (E F ) = E F et m(e F ) = µ(e )ν(f ) = m (E F ) < +. Les mesures m et m sot doc σ-fiies et elles coïcidet doc, e vertu du théorème d uicité 6.1.10 sur la tribu egedrée par l algèbre de Boole egedrée par les rectagles qui est autre que la tribu produit. Preuve de l existece de la mesure produit du théorème 6.1.3. Cosidéros la foctio suivate : C A B, m(c) = ν(c x ) µ(dx). (6.2) Das u premier temps, motros que cette défiitio a u ses, c est-à-dire que x ν(c x ) est ue foctio A-mesurable positive (pour que so itégrale par rapport à µ soit défiie). Ce résultat ous sera égalemet utile plus tard, ous le mettos doc e exergue ci-dessous. Lemme 6.1.11. Si C A B, la foctio x ν(c x ) est mesurable sur (E, A) et la foctio y µ(c y ) est mesurable sur (F, B). Preuve du lemme 6.1.11. Il suffit de démotrer la première assertio. Supposos das u premier temps que ν est fiie. Soit C l esemble des parties C A B telles que x ν(c x ) soit mesurable. Nous allos motrer que C est u λ-système coteat F l algèbre de Boole egedrée par R. Comme le plus petit λ-système coteat F (qui est stable par itersectio fiie) est la tribu egedrée par F (mais aussi par R), c est doc que C = A B. Si C = A B, alors ν(c x ) = 1 A (x)ν(b) et doc C C. Si C = i=1 Ci où les (C i ) 1 i sot des rectagles deux à deux disjoits, o a ν(c x ) = i ν(ci x) et x ν(c x ) est mesurable e tat que somme de foctios mesurables. D où F C. Motros à préset que C est u λ-système. Il est clair que C = E F C car alors C x = F pour tout x E et x ν(f ) est mesurable. Soit (C ) N ue suite croissate d élémets de C et C sa limite. Pour tout x E, d après le théorème de covergece mootoe appliqué à la suite croissate (1 C x ) N, ν(c x ) coverge vers ν(c x ). Doc la foctio x ν(c x ) est mesurable e tat que limite d ue suite de foctios mesurables. Efi, si C et D sot das C avec C D alors (D\C) x = D x \C x et. Comme ν est supposée fiie, x ν((d\c) x ) = ν(d x ) ν(c x ) est mesurable comme différece de foctios mesurables borées. E

CHAPITRE 6. INTÉGRALES MULTIPLES 36 Si ν est seulemet σ-fiie, soit (F ) N ue suite croissate d élémets de B dot la réuio est F et telle que ν(f ) soit fii pour tout N. Soit C A B et, pour tout N, posos C = C (E F ). D après la première partie de la démostratio, la foctio x ν(c x ) est mesurable. Par covergece mootoe, il e est de même pour x ν(c x ). O sait à préset que l applicatio m est bie défiie par (6.2). Motros qu il s agit d ue mesure. Il est clair que m( ) = 0. Soit (C ) N ue suite d élémets de A B deux à deux disjoits et C leur réuio. O a C x = C x avec (C x ) N deux à deux disjoits das B, d où ν(c ) = ν(c x ). Mais alors, e utilisat la commutatio des siges somme et itégrale pour la suite de foctios mesurables positives (1 C x ) N, Eν(C x ) µ(dx) = 0 Eν(C x ) µ(dx) = 0 m(c ). Il reste à vérifier que m affecte la mesure souhaitée aux rectagles. Si C est le rectagle A B, o a m(c) = ν(c x ) µ(dx) = 1 A (x)ν(b) µ(dx) = µ(a)ν(b). E E De même o motre que C F µ(cy ) ν(dy) défiit ue mesure sur A B qui coïcide avec m sur les rectagles. Par uicité, cette mesure est égale à m et l o obtiet la relatio (6.1). Le premier exemple à doer est celui de la mesure de Lebesgue sur R d mui de sa tribu boréliee B(R d ) = B(R) B(R). Théorème 6.1.12 (Mesure de Lebesgue sur R d ). Il existe ue uique mesure λ d sur (R d, B(R d )) telle que, pour tout produit d itervalles I 1 I d, λ d (I 1 I d ) soit égal au produit des logueurs des itervalles (I j ). De plus, λ d est le produit d fois de la mesure de Lebesgue sur (R, B(R)). Cette mesure est appelée mesure de Lebesgue sur R d. De plus, la mesure λ d est l uique mesure sur B(R d ) telle que 1. λ d ([0, 1] d ) = 1, 2. a R d, B B(R d ), λ d (a + B) = λ d (B). Remarque 6.1.13. O pourrait soulever ici le poit de rigueur suivat : soit ((E i, A i, µ i )) 1 i espaces mesurés σ-fiis. Il existe de ombreuses maières de costruire ue tribu et ue mesure produit sur E 1 E par récurrece. Obtiet-o toujours la même? Rassuros-ous tout de suite : la répose est oui et la otatio (E 1 E, A 1 A, µ 1 µ ) a bie u ses (et u seul). 6.2 Théorèmes de Toelli et Fubii Remarque 6.2.1. L égalité (6.1) s écrit ecore [ ] 1 C dµ ν = 1 C (x, y)ν(dy) µ(dx) = E F E F F [ ] 1 C (x, y)µ(dx) ν(dy). (6.3) E Ceci sigifie que calculer l itégrale de la foctio idicatrice d u élémet de la tribu produit reviet à itégrer l itégrale des sectios, l ordre des opératios e jouat pas de rôle. Comme ous l avos déjà remarqué lors de la costructio de l itégrale, o est e droit d espérer que cette propriété s étede à toutes les foctios mesurables positives défiies sur l espace produit. Le théorème de Toelli assure que c est effectivemet le cas. Théorème 6.2.2 (Toelli). Soit f ue foctio mesurable de (E F, A B) das R +, µ et ν deux mesures σ-fiies, respectivemet sur (E, A) et (F, B).

CHAPITRE 6. INTÉGRALES MULTIPLES 37 (i) Les foctios partout défiies x f(x, y) µ(dx) sot respectivemet A et B-mesurables. F f(x, y) ν(dy) et y (ii) Les égalités suivates ot lieu das R + : [ ] fdµ ν = f(x, y)ν(dy) µ(dx) = E F E F F E [ ] f(x, y)µ(dx) ν(dy). (6.4) E Démostratio. Motros das u même temps le poit (i) pour la première foctio et la première égalité du poit (ii). Le raisoemet se fait comme d habitude e trois étapes (idicatrice, étagée positive, mesurable positive) et à chaque fois, o doit motrer (i) x E, y f(x, y) est B-mesurable et positive, (ii) x F f(x, y) ν(dy) est A-mesurable et positive, (iii) la relatio (6.4) est vérifiée par f. Étape 1. Si f est l idicatrice d u élémet C de A B alors, (i) est assuré par le lemme 6.1.1 puisque y f(x, y) est l applicatio y 1 Cx (y), (ii) est assuré par le lemme 6.1.11 et l égalité (6.4) est autre que l égalité (6.3) qui a été prouvée das le théorème 6.1.3. Étape 2. Si f est ue foctio étagée positive le résultat découle de la liéarité de l itégrale et de la stabilité de la mesurabilité par combiaiso liéaire. Étape 3. Si f est mesurable positive, d après le théorème 2.3.3 d approximatio, il existe ue suite (f ) N croissate de foctios étagées positives qui coverge simplemet vers f. Doc, pour tout x E, (y f (x, y)) N est ue suite de foctios mesurables positives qui coverge vers y f(x, y) qui est doc mesurable positive. Le théorème de covergece mootoe assure que f(x, y) ν(dy) = lim f (x, y) ν(dy) = lim f (x, y) ν(dy). F F La foctio x F f(x, y) ν(dy) est doc A-mesurable comme limite de foctios mesurables. De plus, E F [ f dµ ν CM = lim f dµ ν étape2 = lim E F E [ ] CM = lim f (x, y)ν(dy) µ(dx) CM = ce qui achève la preuve. E F F F ] f (x, y)ν(dy) µ(dx), [ ] f(x, y)ν(dy) µ(dx), E F Corollaire 6.2.3. Soit f ue foctio mesurable sur (E F, A B) à valeurs complexes. Alors f est itégrable pour la mesure µ ν si et seulemet si l ue des deux coditios suivates est réalisée : [ ] [ ] E f(x, y) ν(dy) F µ(dx) < + ou F f(x, y) µ(dx) E ν(dy) < +. Avat d éocer u théorème aalogue à celui de Toelli mais adapté aux foctios o écessairemet positives, doos quelques précisios. O dit qu ue foctio f est défiie presque partout sur u espace mesuré (E, A, µ) s il existe u esemble égligeable N tel que f soit défiie sur E\N. O dira alors que f est mesurable pour la tribu iduite par A sur E\N. O dira que f est itégrable si E\N f dµ < +, et, das ce cas, o otera ecore Ef dµ l itégrale f dµ. Cette otatio est justifiée par le fait que si g est ue foctio mesurable sur (E, A) E\N telle que g E\N = f alors f L 1 (E\N, µ E\N ) si et seulemet si g L 1 (E, µ) et das ce cas, f dµ = g dµ = g dµ. E\N E\N E

CHAPITRE 6. INTÉGRALES MULTIPLES 38 Théorème 6.2.4 (Fubii). Soit f ue foctio itégrable sur (E F, A B, µ ν). Alors, (i) pour presque tout x E, la foctio y f(x, y) est das L 1 (ν) ; de plus la foctio x F f(x, y) ν(dy), défiie µ p.p., est µ-itégrable. (ii) pour presque tout y F, la foctio x f(x, y) est das L 1 (µ) ; de plus la foctio y Ef(x, y) µ(dx), défiie ν p.p., est ν-itégrable. (iii) O a efi [ ] [ ] E F fdµ ν = E f(x, y)ν(dy) F µ(dx) = F f(x, y)µ(dx) E ν(dy). Démostratio. Démotros par exemple (i) et la première égalité de (iii) pour ue foctio à valeurs das R. D après le théorème de Toelli, o a [ ] f(x, y) ν(dy) µ(dx) = f dµ ν. E F E F Il résulte alors de la propositio 5.2.4 que x f(x, y) ν(dy) est fiie sauf peut-être sur esemble µ-égligeable N. Doc si x / N, la foctio y f(x, y) est ν-itégrable. O décompose f e la différece de ses parties positive et égative : f = f + f. Si x / N, les foctios y f + (x, y) et y f (x, y) sot ν-itégrables et o a x N c, f(x, y) ν(dy) = f + (x, y) ν(dy) f (x, y) ν(dy). D après le théorème de Toelli, les foctios x f(x, y) ν(dy) sot mesurables sur E\N mui de la tribu iduite et o a [ ] [ ] f ± (x, y) ν(dy) µ(dx) = f ± (x, y) ν(dy) µ(dx) = f ± dµ ν < +. E\N F E F E F Par coséquet, x F f(x, y)ν(dy) défiie sur E\N est itégrable comme combiaiso liéaire de deux foctios itégrables. O a efi f dµ ν = f + dµ ν f dµ ν E F = = = ce qui achève la preuve. E F E\N E\N E\N E F [ ] f + (x, y) ν(dy) µ(dx) F [ f + (x, y) ν(dy) F [ ] F f(x, y) ν(dy) µ(dx) = F E [ ] f (x, y) ν(dy) µ(dx) E\N F ] f (x, y) ν(dy) µ(dx) [ ] f(x, y) ν(dy) µ(dx), F Remarque 6.2.5. Lorsque l o veut sigifier les variables d itégratio das l itégrale multiple, o ote souvet µ(dx)ν(dy) pour dµ ν, µ ν(d(x, y)) ou ecore µ ν(dx, dy), ce qui est justifié par le théorème de Fubii. 6.3 Exemples d utilisatio 6.3.1 Exemples de mesures produit Soit α et β deux réels strictemet positifs et µ et ν les mesures de desités respectives par rapport à la mesure de Lebesgue sur R : x R, f µ (x) = αe αx 1 {x>0}, et f ν (x) = βe βx 1 {x>0}.

CHAPITRE 6. INTÉGRALES MULTIPLES 39 O souhaite détermier la mesure pour µ ν de l esemble A = {(x, y) ; 0 < x < y}. Il est facile de détermier les sectios horizotale et verticale de A : { { ]x, + [ si x > 0, x R, C x = et y R, C y ]0, y[ si y > 0, = sio, sio, Pour tout x > 0, Aisi, ν(c x ) = f ν (y) ν(dy) = C x µ ν(a) = ]x,+ [ βe βy λ(dy) = e βx. ν(c x ) µ(dx) = (e βx )αe αx λ(dx) = R + α α + β. O a de même µ(c y ) = 1 e αy qui redoe bie l expressio de µ ν(a). 6.3.2 Mesure produit de mesures à desité par rapport à la mesure de Lebesgue Soit µ et ν deux mesures sur R admettat respectivemet pour desité par rapport à la mesure de Lebesgue les foctios mesurables positives g µ et g ν. Soir f mesurable positive de R 2 das R. Le théorème de Toelli et la défiitio d ue mesure à desité assuret que ( ) ( ) f dµ ν = f(x, y) µ(dx) ν(dy) = f(x, y)g µ (x) λ(dx) g ν (y) λ(dy) R 2 ( ) = f(x, y)g µ (x)g ν (y) λ(dx) λ(dy) = fg µ g ν dλ λ. R 2 Aisi, la mesure produit admet g µ g ν pour desité par rapport à la mesure de Lebesgue sur R 2. 6.3.3 Normalisatio de la mesure gaussiee O se propose de motrer que I = + 0 e x2 /2 dx = π 2. Soit f défiie sur R 2 + par f(x, y) = y exp( y 2 (1 + x 2 )). La foctio f est cotiue sur R 2 + doc B(R 2 +)-mesurable et positive. Le théorème de Toelli s applique ici. A 0 O a doc [ exp( y 2 (1 + x 2 )) f(x, y) dy = 1 + x 2 R + D autre part, avec y > 0 fixé, A 0 O a doc f(x, y) dx = e y2 /2 ] A 0 = 1 1 + x 2 exp( A2 (1 + x 2 )) 1 + x 2 A + ( ) 1 f(x, y) λ(dy) λ(dy) = R + R + 1 + x 2 λ(dx) = π 2. A 0 R + e (yx)2 /2 ydx u=yx = e y2 /2 ya ( ) f(x, y) λ(dx) λ(dx) = I 2. R + Le théorème de Toelli fourit le résultat aocé. 0 1 1 + x 2. e u2 /2 du A + Ie y2 /2.

CHAPITRE 6. INTÉGRALES MULTIPLES 40 6.3.4 Trasformée de Fourier de la mesure de Cauchy O souhaite motrer que Re itx 1 π 1 1 + x 2 λ(dx) = e t. Remarque 6.3.1. La mesure µ de desité 1 1 par rapport à la mesure de Lebesgue sur R π 1 + x2 est appelée mesure de Cauchy. Remarquos que ϕ µ est pas dérivable e 0 et que la foctio idetité est pas itégrable par rapport à µ. Soit a > 0. Rappelos que la trasformée de Fourier de la foctio g a : x e a x est égale t R, ĝ a (t) = e itx e a x a λ(dx) = a 2 + t 2. Pour t R fixé, itroduisos la foctio cotiue sur R 2 La majoratio R f t (u, x) = e i(u+t)x e u e a x. f t (u, x) e u e a x assure que f t est itégrable pour la mesure de Lebesgue λ 2 sur R 2. Le théorème de Fubii assure alors ] f t (u, x)λ 2 (du, dx) = [e itx e a x e ixu e u e itx λ(du) λ(dx) = 1 + x 2 e a x λ(dx) = [e u ] e i(t+u)x e a x λ(dx) λ(du) = a a 2 + (t + u) 2 e u λ(du). O a doc motré que R e itx 1 + x 2 e a x λ(dx) = a a 2 + (t + u) 2 e u λ(du). Das l itégrale de droite, opéros le chagemet de variables z = (t + u)/a. Il viet R e itx 1 + x 2 e a x λ(dx) = e az t 1 + z 2 λ(dz). Il reste à utiliser le théorème de covergece domiée pour détermier la limite des deux itégrales lorsque a ted vers 0. Remarquos bie que l o a les domiatios suivates : e itx 1 + x 2 e a x 1 e az t 1 + x 2 et 1 + z 2 1 1 + z 2. O obtiet alors e itx 1 + x 2 λ(dx) = e t 1 + z 2 λ(dz) = πe t.

CHAPITRE 6. INTÉGRALES MULTIPLES 41 6.4 Mesure image et chagemet de variables 6.4.1 Mesure image et chagemet de variables affie La otio de mesure image joue u rôle cetral e probabilités. La mesure image, otée µ ϕ sur (F, B) par ue foctio mesurable h de (E, A) das (F, B) d ue mesure µ est défiie par B B, µ ϕ (B) = µ(ϕ 1 (B)). Rappelos égalemet résultat qui relie les itégrales par rapport à ces deux mesures. Théorème 6.4.1 (Théorème de trasfert). Soit (E, A) et (F, B) deux espaces mesurables et ϕ ue applicatio mesurable de E das F. Soit µ ue mesure sur (E, A). Soit f ue foctio mesurable à valeurs complexes défiie sur (F, B). Alors f est itégrable par rapport à µ ϕ si et seulemet si f ϕ est itégrable par rapport à µ. Das ce cas, f dµ ϕ = f ϕ dµ. F Remarque 6.4.2. Soit ϕ : (E, A) (E, A). Si µ est ivariate par h, c est-à-dire que µ ϕ = µ, alors f L 1 (µ), f dµ = f ϕ dµ. E C est par exemple le cas pour la mesure de Lebesgue et les foctios de traslatio τ a : x x+a. Cette remarque admet ue gééralisatio importate qui a de ombreuses applicatios et est à la base de la démostratio du théorème de chagemet de variables. Propositio 6.4.3. Soit A GL d (R) et b R d. Alors f L 1 1 (λ d ), f(ax + b) λ(dx) = f(x) λ(dx). (6.5) R d det A R d L égalité est vraie das R + pour les foctios mesurables positives. Remarque 6.4.4. La formule (6.5) se reformule e termes de mesure image. Soit A GL d (R) et b R d. L image de la mesure de Lebesgue sur R d par l applicatio x Ax + b est la mesure det A 1 λ d. Preuve de la propositio 6.4.3. La remarque 6.4.2 motre qu il suffit de démotrer le résultat lorsque b = 0. Il faut doc motrer que la mesure image de λ d par A est la mesure det A 1 λ d. Soit ν cette mesure. Remarquos tout d abord que ν est ivariate par traslatio. Soit a R d et B B(R d ), ν(a + B) = λ d (A 1 (a + B)) = λ d (A 1 a + A 1 (B)) = λ d (A 1 (B)) = ν(b). D autre part, ν([0, 1] d ) 0 car ν(r d ) = λ d (R d ) = + et ν(r d ) Z d ν E E ( + [0, 1] d) = ( ν [0, 1] d). Z d Efi ν([0, 1] d ) < + car ν([0, 1] d ) = λ d (A 1 ([0, 1] d )) et A 1 ([0, 1] d ) est compact comme image du compact [0, 1] d par l applicatio cotiue A 1. Aisi, la mesure ν = ν/ν([0, 1] d ) est ivariate par traslatio et ν([0, 1] d ) = 1, il s agit doc de la mesure de Lebesgue sur R d. Il existe doc c R + tel que ν = cλ d. Pour détermier c, il e reste doc plus qu à détermier ν(b)/λ d (B) pour u borélie de mesure de Lebesgue o ulle et fiie bie choisi. O procède pour cela par étapes selo la forme de A.

CHAPITRE 6. INTÉGRALES MULTIPLES 42 - A est ue matrice orthogoale. Si A O d (R) = { O GL d (R), t OO = I d }, il est clair que A 1({ x ; t xx 1 }) = { x ; t xx 1 } doc ν ({ x ; t xx 1 }) ({ = λ d x ; t xx 1 }) ( [ λ d 0, 1/ ] ) d d d d/2 > 0. - A est symétrique défiie positive. Si A S + d (R) GL d(r), A est diagoalisable das le groupe orthogoal : il existe O O d (R) tel que A = OD t O où D =Diag(α 1,..., α d ), α i R +. O choisit B = OD([0, 1] d ) et o a alors ν(b) = λ d (A 1 (B)) = λ d ((OD 1t O)(OD([0, 1] d )) = λ d (O([0, 1] d )) = 1. D autre part, comme D([0, 1] d ) = d i=1 [0, α i], λ d (B) = λ d (O ) ( d d ) [0, α i ] = λ d α i ] = i=1[0, i=1 d α i = det A. - A est seulemet iversible. O peut décomposer A e A = OS avec O O d (R) et S S d (R). Il suffit e effet de poser S = t AA et O = AS 1. Grâce aux résultats précédets, ν(b) = λ d (A 1 (B)) = λ d (S 1 (O 1 (B))) = (det S) 1 λ d ((O 1 (B)) = (det S) 1 λ d (B). Puisque det A = det O det S et det O { 1, 1}, o a bie ν(b) = det A 1 λ d (B). 6.4.2 Théorème gééral du chagemet de variables Soit ϕ u difféomorphisme de classe C 1 d u ouvert de R d sur u ouvert D de R d. Si y, o ote J ϕ (y) le détermiat jacobie de ϕ = (ϕ 1,..., ϕ d ) e y (c est-à-dire le détermiat de la matrice jacobiee) : ϕ 1 ϕ 1 y 1 y d J ϕ (y) = det..... ϕ d y 1 Les ouverts et D sot muis de la mesure de Lebesgue. Théorème 6.4.5 (Chagemet de variables). (i) Soit f ue foctio boréliee positive sur D. Alors f(x) dx = f(ϕ(y)) J ϕ (y) dy. D (ii) Soit f ue foctio boréliee à valeurs complexes sur D. Alors f est itégrable sur D si et seulemet si f(ϕ(y)) J ϕ(y) dy < + et das ce cas, D f(x) dx = 6.4.3 Passage e coordoées polaires ϕ d y d i=1 f(ϕ(y)) J ϕ (y) dy. Passer e coordoées polaires cosiste à cosidérer le difféomorphisme ϕ : R + ] π, π[ R 2 \(R {0}) (r, θ) ϕ(r, θ) = (r cos θ, r si θ).

CHAPITRE 6. INTÉGRALES MULTIPLES 43 La foctio ϕ est bie u difféomorphisme puisque, d ue part, ϕ est bijective de réciproque doée par ( ) ϕ 1 (x, y) = x 2 + y 2, Arg(x + iy), où Arg(z) désige l argumet pricipal (das [ π, π[) de z C. D autre part, ϕ est cotiûmet dérivable : [ ] ϕ cos θ r si θ (r, θ) = et J si θ r cos θ ϕ (r, θ) = r cos 2 θ + r si 2 θ = r. Comme l esemble R {0} est de mesure ulle pour la mesure de Lebesgue sur R 2, pour toute foctio f L 1 C (R2 ), 2π + f(x)λ 2 (dx) = f(x)λ 2 (dx) = f(r cos θ, r si θ)r dr dθ, R 2 R 2 \(R {0}) 0 0 le secod membre s itégrat das u ordre idifféret d après le théorème de Fubii. Exemple 6.4.6 (Ecore ue fois...). D après le théorème de Toelli, ( + 2 + + e dx) x2 = e x2 dx e y2 dy = e (x2 +y 2) dx dy. 0 0 O calcule l itégrale de droite grâce au passage e coordoées polaires : π/2 + e (x2 +y 2) dx dy = e r2 r dr dθ = π [ + re r2 dr = π e r2 R 2 + 0 0 2 0 2 2 + π O retrouve aisi e x2 dx = 2. 0 0 R 2 + ] + 0 = π 4. Exemple 6.4.7 (Volume de la boule uité). La boule euclidiee uité de R d est défiie par B d = { (x 1,..., x d ) R d ; x 2 1 + + x2 d 1} et so volume v d est doé par λ d (v d ). O calcule v d par récurrece. Supposos d 2. D après le théorème de Toelli, v d = 1 {x 2 R d 1 + +x 2 1} dx 1... dx d d [ ) ] = (1 {x 21 + +x 2d 2 1 (x2d 1 +x2d )} dx 1... dx d 2 1 {x 2 d 1 +x 2 1} dx d 1 dx d. d R 2 R d 2 Calculos l itégrale etre crochet (c est ue foctio de (x d 1, x d )) e distiguat deux cas. 1. Si x 2 d 1 + x2 d = 1 alors R d 2 1 {x 2 1 + +x 2 d 2 1 (x2 d 1 +x2 d )} dx 1... dx d 2 = λ d 2 ({0 d }) = 0. 2. Si x 2 d 1 + x2 d < 1, posos x i = u i 1 (x 2 d 1 + x2 d ). Ce chagemet de variables est ue ( ) d 2. simple homothétie dot le détermiat vaut 1 (x 2 d 1 + x2 d ) O obtiet doc v d = R 2 [ B d 2 ( 1 (x 2 d 1 + x 2 d )) d/2 1 du1... du d 2 = v d 2 R 2 ( 1 (x 2 d 1 + x 2 d )) d/2 1 1{x 2 d 1 +x 2 d 1} dx d 1 dx d = v d 2 π π = 2πv d 2 1 + 0 0 (1 r 2 ) d/2 1 1 {r 2 1}r dr dθ ] 1 {x 2 d 1 +x 2 d 1} dx d 1 dx d r(1 r 2 ) d/2 1 dr = 2πv d 2 [ 1 d (1 r2 ) d/2 ] 1 0 = 2π d v d 2.

CHAPITRE 6. INTÉGRALES MULTIPLES 44 Comme v 1 = 2 et v 2 = π, o obtiet immédiatemet le résultat suivat : π d/2 si d est pair, (d/2)! v d = 2 d π (d 1)2 ((d 1)/2)! d! si d est impair.

Chapitre 7 Espaces L p et L p Das toute la suite K désigera idifféremmet le corps des réels ou le corps des complexes. Défiitio 7.0.8. Pour tout réel p > 0, o défiit L p K (E, A, µ) = {f : (E, A) (K, B(K)) mesurable, O utilisera e gééral la otatio L 1 K (µ). Exemple 7.0.9. Si m désige la mesure de comptage sur (N, P(N)), alors } L p K (m) = lp K {(a (N) = ) N, a p < +. Propositio 7.0.10. Pour tout p, L 1 K (µ) est u K-e.v. =0 E } f p dµ < +. Démostratio. O vérifie que L p K (µ) est u s.e.v. du K- e.v. des foctios mesurables de E das K. Il est immédiat que la foctio ulle appartiet à L p K (µ). Soit λ K et f, g Lp K (µ). Les majoratios λf + g p ( λ f + g ) p (2 max( λ f, g )) p 2 p λ p f p + 2 p g p assuret que λf + g est µ-itégrable. Propositio 7.0.11. 1. Si µ(e) < +, alors 0 < p q = L q K (µ) Lp K (µ). 2. Si m est la mesure de comptage sur (N, P(N)), alors 0 < p q = l p K (N) lq K (N). Démostratio. 1) Si 0 < p q, alors f p f q 1 { f 1} + 1 { f 1}. Aisi, dès que f L p K (µ), f p dµ f q dµ + µ({ f 1}) < +. 2) Si 0 < p q, et (a ) N l p K (N) alors lim a = 0. Il existe doc 0 N tel que pour tout 0, a 1. Aisi, pour tout 0, a q a p, d où 0 a q < +. Remarque 7.0.12. Sur (R, B(R)) mui de la mesure de Lebesgue λ, o remarque que x 1 ]0,1](x) x L 1 (λ)\l 2 (λ) et x 1 x 2 + 1 L2 (λ)\l 1 (λ). Il existe doc pas d iclusio etre L 1 (λ) et L 2 (λ). 45

CHAPITRE 7. ESPACES L P ET L P 46 Pour toute foctio f : (E, A) K et pour tout réel p > 0, o défiit la quatité avec la covetio (+ ) 1/p = +. ( 1/p f p = f dµ) p R +, E Théorème 7.0.13 (Iégalité de Hölder). Soiet f, g : E K et p, q > 1 tels que 1/p+1/q = 1 (o dit que p et q sot cojugués). 1. Si f et g sot à valeurs das R + alors (das R + ) 0 fg dµ f p g q. E outre, lorsque f p et g q sot fiis, l iégalité est ue égalité si et seulemet si il existe (α, β) R 2 +\{(0, 0)} tel que αf p = βg q µ-p.p. 2. Si f L p K (µ) et g Lq K (µ) alors fg L1 K (µ) et fg 1 f p g q. E outre, l iégalité est ue égalité si et seulemet si il existe (α, β) R 2 +\{(0, 0)} tel que α f p = β g q µ-p.p. Démostratio. Commeços par établir ue iégalité utile das la suite. O pose pour tout α ]0, 1[ et tout x R +, ϕ α (x) = x α αx. La foctio ϕ α est dérivable sur R + et ϕ α(x) = α(x α 1 1). Par suite, ϕ α < 0 sur ]1, + [ et ϕ α > 0 sur ]0, 1[. Doc, pour tout x R +, ϕ α (x) ϕ α (1) avec égalité ssi x = 1. E reformulat, x α αx + 1 α avec égalité ssi x = 1. E posat x = u/v avec u 0 et v > 0, il viet u α v 1 α αu + (1 α)v avec égalité ssi u = v. (7.1) Remarquos que cette iégalité est ecore vraie pour u, v R +. Reveos à préset à la preuve de l iégalité de Hölder. Si f p ou g q est ulle, alors f ou g est ulle µ-p.p. et il e est de même pour fg. Das ce cas, l iégalité est triviale. C est ecore le cas si f p ou g q vaut +. Supposos doc que ces deux quatités sot strictemet positives et fiies. O pose alors D après l iégalité (7.1), α = 1 p, d où 1 α = 1 q, u = f p f p p fg 1 f p g q p f p + 1 p q g q. q f p g q et v = gq g q. q E itégrat cette relatio par rapport à µ, il viet ( 1 f p 0 fg dµ f p g q p f p dµ + 1 ) g q p q g q dµ = f p g q. q L égalité a lieu ssi f/ f p = g/ g q µ-p.p. Corollaire 7.0.14. Si µ est ue mesure de probabilité, l applicatio r f r est croissate. Théorème 7.0.15 (Iégalité de Mikowski). Si p 1, alors, pour tous f, g L p K (µ), L égalité a lieu ssi f + g p f p + g p.

CHAPITRE 7. ESPACES L P ET L P 47 f = 0 µ-p.p. ou g = αf µ-p.p., pour u α 0 si p 1. f = 0 µ-p.p. ou fg 0 µ-p.p. si p = 1. Démostratio. Si f + g p = 0, l iégalité est triviale. Sio, o itègre par rapport à µ l iégalité f + g p f f + g p 1 + g f + g p 1 avec la covetio x 0 = 1 pour x 0. O obtiet alors f + g p p f f + g p 1 dµ + g f + g p 1 dµ. Si p = 1, l iégalité est établie. Sio, l iégalité de Hölder assure que (puisque (p 1)q = p) f f + g p 1 dµ f p ( ) 1/q f + g (p 1)q dµ = f p f + g p/q p. Aisi, f + g p p ( f p + q p ) f + g p/q p. Il e reste plus qu à simplifier par f + g p/q p p p/q = 1 pour obteir l iégalité souhaitée. qui est strictemet positif et à remarquer que Remarque 7.0.16. Aisi, p est ue semi-orme sur l espace L p K (µ). Pour que ce soit ue orme, il faudrait que f p = 0 implique f = 0, ce qui est faut puisque la ullité de f p implique seulemet f = 0 µ-p.p. Il existe ue faço simple de costruire u espace vectoriel ormé à partir de L p et p : il suffit de quotieter L p par la relatio d équivalece f g ssi f = g µ-p.p. Défiitio 7.0.17. O pose L p K (µ) = Lp K (µ)\. L espace Lp K (µ) mui de l applicatio p est u K-espace vectoriel ormé. O commet l abus bie pratique d idetifier ue foctio à sa classe d équivalece. Théorème 7.0.18. Pour tout p 0, l espace vectoriel ormé (L p K (µ), p ) est complet.

Chapitre 8 Variables aléatoires Soit (Ω, F, P) u espace probabilisé, c est-à-dire que P est ue mesure de probabilité sur l espace mesurable (Ω, F). L espace Ω, supposé o vide, est appelé espace fodametal. U poit ω Ω est ue réalisatio ou ue épreuve. Les élémets de la tribu F, qui sot appelés évèemets, représetet les résultats observables. O évaluera alors la probabilité qu u évèemet A F se réalise e calculat P(A). Pour modéliser le résultat du lacer d u dé à 6 faces, o peut choisir Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, F = P(Ω) et P la mesure uiforme sur Ω. L évèemet «le résultat est pair» se traduit au pla esembliste par l esemble A = {2, 4, 6} et la probabilité que A se réalise vaut 1/2. 8.1 Défiitios géérales Défiitio 8.1.1. Soit (Ω, F) et (E, E) deux espaces mesurables. O appelle variable aléatoire, o otera v.a. das la suite, toute applicatio X mesurable de (Ω, F) das (E, E). Remarque 8.1.2. O parle de v.a. positive si E = R +, de v.a. umérique si E = R, de v.a. réelle ou v.a.r. si E = R et de v.a. etière si E = N. Défiitio 8.1.3. Soit X : (Ω, F, P) (E, E) ue v.a. L applicatio P X : E [0, 1] qui à u élémet B de E associe P X (B) = P(X 1 (B)) = P({X B}) est ue mesure de probabilité sur E, E (c est la mesure image de P par X). Elle est appelée loi de X. O la ote aussi souvet L(X). Das tout le reste du chapitre, o cosidère des v.a. réelles. 8.2 Foctio de répartitio d ue variable aléatoire réelle Défiitio 8.2.1. Soit X ue v.a.r. sur (Ω, F, P). La loi de X est etièremet détermiée par sa foctio de répartitio F X qui est défiie par t R, F X (t) = P X (], t]) = P({X t}). Propositio 8.2.2. Ue foctio F : R [0, 1] est ue foctio de répartitio si et seulemet si, F est croissate, cotiue à droite et admet 0 et 1 pour limites respectives e et +. Démostratio. O a admis au chapitre 3 la correspodace etre les mesures de Stieljes sur R et les foctios croissates de R das R. Si la mesure est ue probabilité, il y a uicité de la foctio si l o impose par exemple qu elle tede vers 0 e. Il y a doc ue bijectio etre les mesures de probabilité sur R et les foctios F croissates, cotiues à droite et admettat 0 et 1 pour limites respectives e et +. Remarquos pour coclure que si µ est ue mesure de probabilité sur (R, B(R)) alors X : (R, B(R), µ) (R, B(R)) défiie par X(ω) = ω a pour loi µ. 48

CHAPITRE 8. VARIABLES ALÉATOIRES 49 Remarque 8.2.3. Rappelos que l esemble D des poits de discotiuité d ue foctio de répartitio F est fii ou déombrable puisqu il s écrit comme la réuio déombrable des esembles { A = x R ; F (x) F (x ) 1 }, avec N et Card(A ). Rappelos que l o peut exprimer la mesure que P X foctio de répartitio. affecte à tout itervalle grâce à la Propositio 8.2.4. Soit X ue v.a.r. sur (Ω, F, P). O a alors pour < a < b < + les relatios P X (], a]) = F (a), P X (], a[) = F (a ), P X (]a, + [) = 1 F (a), P X ([a, + [) = 1 F (a ), P X (]a, b]) = F (b) F (a), P X ([a, b]) = F (b) F (a ), P X ([a, b[) = F (b ) F (a ), P X (]a, b[) = F (b ) F (a). 8.3 Exemples de variables aléatoires classiques Défiitio 8.3.1. O dit qu ue loi est discrète si c est ue combiaiso covexe fiie ou déombrable de masses de Dirac. Ue v.a. de loi discrète µ = i I p iδ xi e pred, presque sûremet, qu u ombre fii ou déombrable de valeurs. Remarque 8.3.2. Soit ν ue mesure sur (E, E) et f ue foctio mesurable positive. O dit que f est ue desité de probabilité par rapport à ν si Ef(x) ν(dx) = 1. Si µ est ue mesure de probabilité sur (E, E), o dit que µ admet la desité f par rapport à ν si B E, µ(b) = f(x) ν(dx). Défiitio 8.3.3. Si µ est ue mesure absolumet cotiue par rapport à ue mesure ν, c est-àdire que µ admet ue desité f par rapport à ν, et si X est de loi µ, o dira par abus de lagage que X admet la desité f par rapport à ν. Si ν est la mesure de Lebesgue, o dit simplemet que la loi de X est de desité f. Exemple 8.3.4 (Lois discrètes). Parmi les v.a. discrètes, sigalos quelques exemples des plus classiques. La v.a. X suit la loi de Beroulli B(p), pour p [0, 1], si P({X = 1}) = p et P({X = 0}) = 1 p. biomiale B(, p), pour N et p [0, 1], si P({X = k}) = C k p k (1 p) k pour tout k = 0,...,. λ λk de Poisso P(λ), pour λ > 0, si pour tout k N, P({X = k}) = e k!. géométrique G(p), avec p ]0, 1[, si pour tout k N, P({X = k}) = p(1 p) k 1. Remarque 8.3.5. Ces v.a.r. sot appelées variables aléatoires etières car elles sot à valeurs das N. Notos que leurs lois admettet toutes ue desité par rapport à la mesure γ de comptage sur N. Par exemple, si X suit la loi de Poisso de paramètre 1, pour tout A N, P(X A) = P X (A) = e 1 1 k! = f dγ, A A avec f(k) = e 1 /k! pour tout k N. La foctio f est la desité de P X par rapport à γ. De même, la loi géométrique G(p) admet ue desité par rapport à la loi de Poisso P(λ) mais la réciproque et fausse car la première e charge pas {0} alors que la secode le fait. B

CHAPITRE 8. VARIABLES ALÉATOIRES 50 Exemple 8.3.6. Si X est ue v.a.r. alors Y = 1 {X 1} est ue v.a. (par compositio d applicatios mesurables) discrète puisqu elle pred les valeurs 0 et 1 avec probabilité 1. De plus, P({Y = 1}) = P({X 1}) = 1 P({Y = 0}). La loi de Y est doc la loi de Beroulli de paramètre p = P({X 1}). L autre classe importate de lois classiques est celles des lois à desité par rapport à la mesure de Lebesgue ou absolumet cotiues par rapport à la mesure de Lebesgue. E voici quelques exemples. Exemple 8.3.7 (Lois absolumet cotiues). La v.a. X suit la loi uiforme sur [a, b], avec a < b si sa loi admet la desité (b a) 1 1 [a,b] par rapport à λ. expoetielle E(λ), avec λ > 0 si sa loi admet la desité λe λx 1 {x>0} par rapport à λ. gaussiee N (0, 1) si sa loi admet la desité e x2 /2 / 2π par rapport à λ. gaussiee N (m, σ 2 ) si sa loi admet la desité e (x m)2 /(2σ 2) / 2πσ 2 par rapport à λ. de Cauchy si sa loi admet la desité 1/(π(1 + x 2 )) par rapport à λ. Exemple 8.3.8. Soit la foctio de répartitio F d ue loi µ doée par 0 si x < 0, x/4 si 0 x < 1, F (x) = 1/2 si 1 x < 2, 2/3 + (1 e (x 2) )/3 si x 2. Le graphe de F comporte deux poits de discotiuité e 1 et 2 d amplitudes respectives 1/4 et 1/6. La partie cotiue est dérivable sauf aux poits 0, 1 et 2 de dérivée x R\{0, 1, 2}, f(x) = 1 4 1 ]0,1[(x) + 1 3 e (x 2) 1 ]2,+ [ (x). La mesure µ se représete doc comme µ(dx) = 1 4 δ 1 + 1 6 δ 2 + f(x) λ(dx). Remarque 8.3.9. Attetio, il existe des mesures de probabilité qui ot i partie discrète, i partie absolumet cotiue. La foctio de Lebesgue, costruite à partir de l esemble de Cator, est ue foctio de répartitio cotiue (doc la mesure associée e charge aucu sigleto) et elle est λ-presque partout dérivable de dérivée ulle. 8.4 Momets d ue variable aléatoire réelle Défiitio 8.4.1. Soit X ue v.a. positive ou itégrable. O appelle espérace de X, que l o ote E(X), l itégrale de X par rapport à P soit E(X) = X dp = xp X (dx). Ω Exemple 8.4.2. Si X est ue v.a. étagée, elle s écrit X = k i=1 x i1 Ai avec x i R et A i F pour tout i = 1,..., k. O a alors R E(X) = k x i P(A i ) = i=1 k x i P({ω Ω ; X(ω) = x i }) = i=1 k x i P({X = x i }). i=1

CHAPITRE 8. VARIABLES ALÉATOIRES 51 Exemple 8.4.3. Repreos la loi itroduite das l exemple 8.3.8. Si X admet F pour foctio de répartitio, alors E(X) = 1 1 4 + 2 1 6 + = 7 12 + 1 8 + 1 3 0 dx = Rxf(x) 7 12 + 1 4 (y + 2)e y dy = 41 24. 1 0 x dx + 1 3 2 xe (x 2) dx Défiitio 8.4.4. Soit X ue v.a.r. O dit que X admet u momet d ordre p pour p 1 si E( X p ) est fii. Le momet d ordre p de X est alors E(X p ) = X p dp = x p P X (dx). Remarque 8.4.5. O peut ecore écrire, das R +, E( X p ) = Ω + 0 R pt p 1 P({ X t}) dt. Remarque 8.4.6. Rappelos que si X admet u momet d ordre s, alors elle admet égalemet u momet d ordre r pour tout r s et de plus, [E( X r )] 1/r [E( X s )] 1/s. Ceci s établit e appliquat l iégalité de Hölder aux foctios f = X r et g = 1 et aux réels cojugués p = s/r et 1 q = 1 1/p. Défiitio 8.4.7. Soit X ue v.a.r. admettat u momet d ordre 2. La variace de X, que l o ote V(X) (ou Var(X)), est défiie par V(X) = E ( (X E(X)) 2). Propositio 8.4.8. Soit X ue v.a.r. admettat u momet d ordre 2. Alors la variace de X s écrit ecore E(X 2 ) (E(X)) 2 et V(X) = 0 si et seulemet si X est presque sûremet costate. Démostratio. E développat le carré (X E(X)) 2 puis e preat l espérace, o obtiet formulatio alterative de la variace. Efi, si V(X) = 0, c est que la foctio mesurable positive (X E(X)) 2 est d itégrale ulle et doc ulle presque sûremet. Remarque 8.4.9. L espérace représete la valeur moyee prise par X tadis que la variace mesure la dispersio de X autour de l espérace. 8.5 Foctio caractéristique Défiitio 8.5.1. Soit X ue v.a.r. sur (Ω, F, P). La foctio caractéristique de X est la foctio défiie sur R par t R, ϕ X (t) = E ( e itx) = e itx P X (dx). Propositio 8.5.2. Soit X ue v.a.r. sur (Ω, F, P). Sa foctio caractéristique vérifie les propriétés suivates : 1. ϕ X est défiie et cotiue sur R, 2. Pour tout t R, ϕ X (t) ϕ X (0) = 1, 3. pour tous réels a, b, t, ϕ ax+b (t) = e ibt ϕ X (at). R

CHAPITRE 8. VARIABLES ALÉATOIRES 52 Exemple 8.5.3. Si X suit la loi B(, p) alors ϕ X (t) = E(e itx ) = e itk Cp k k (1 p) k = (1 p + pe it ). k=0 Exemple 8.5.4. Si la loi de X admet la desité f par rapport à la mesure de Lebesgue alors ϕ X (t) = e itx f(x) dx = ˆf(t). R La foctio caractéristique de X est doc la trasformée de Fourier de f. O obtiet aisi par exemple que si X suit la loi de Cauchy alors ϕ X (t) = e t et si X suit la loi N (m, σ 2 ), ϕ X (t) = e imt σ2 t 2 /2. Théorème 8.5.5. Soit X ue v.a. Supposos qu il existe u etier 1, tel que E( X ) soit fii, alors 1. ϕ X est de classe C sur R, 2. pour tout k = 0,...,, ϕ (k) X (0) = ik E(X k ), 3. ϕ X admet le développemet suivat au voisiage de 0 : ϕ X (t) = (it) k E(X k ) + o( t ). k! k=0 Théorème 8.5.6 (Uicité). La foctio caractéristique d ue v.a.r. détermie sa loi. E d autres termes, si deux v.a.r. ot même foctio caractéristique, elles ot même loi. Remarque 8.5.7. Deux v.a. X et Y ot même loi si, pour tout borélie de R, P({X B}) est égal à P({Y B}), ou ecore si E(1 B (X)) = E(1 B (Y )). Ceci est équivalet à la coditio suivate : pour toute foctio f boréliee borée de R das C, E(f(X)) = E(f(Y )). Le théorème ci-dessus assure qu il suffit de motrer l égalité des espéraces pour les foctios f de la forme f( ) = e it. Loi Espérace Variace Foctio caractéristique B(p) p p(1 p) 1 p + pe it B(, p) p p(1 p) (1 p + pe it ) P(λ) λ λ e λ(eit 1) G(p) 1 1 p pe it p p 2 1 (1 p)e it a b U [a,b] e 2 12 t(b a)/2 E(λ) 1/λ 1/λ 2 λ λ it + (b a) 2 it(b+a)/2 si(t(b a)/2) N (m, σ 2 ) m σ 2 e imt σ2 t 2 /2 Remarque 8.5.8. Pour les v.a. à valeurs das N, o préfère souvet cosidérer la foctio géératrice de X, au lieu de sa foctio caractéristique, qui est défiie par s [ 1, 1], G X (s) = E(s X ) = + =0 P({X = })s. Si X admet u momet d ordre 1 alors la série etière est de classe C sur [ 1, 1] et G () (1) = E(X(X 1) (X + 1)).

CHAPITRE 8. VARIABLES ALÉATOIRES 53 8.6 Commet détermier la loi d ue v.a.? O peut utiliser différets outils qui se révélerot plus ou mois efficaces selo les situatios. Exemple 8.6.1. Soit X de loi E(λ). Quelle est la loi de Y = [X] + 1 où [x] désige la partie etière de x? Il est clair que Y est à valeurs das N. Il suffit doc pour détermier la loi de Y de calculer pour tout N, P(Y = ) : P(Y = ) = P([X] = 1) = P( 1 X < ) = 1 λe λx dx = e λ( 1) e λ = (1 e λ )e λ( 1). O recoaît alors que Y suit la loi géométrique de paramètre 1 e λ. Exemple 8.6.2. Soit U ue v.a. de loi uiforme sur [0, 1]. Quelle est la loi de Y = l U? Détermios sa foctio de répartitio. Pour t 0, F Y (t) = 0. Soit t > 0. O a alors F Y (t) = P({Y t}) = P({l X t}) = P( { X e t} ) = 1 e t. O recoaît la foctio de répartitio de la loi expoetielle de paramètre 1. Comme la foctio de répartitio caractérise la loi, L(Y ) = E(1). Exemple 8.6.3. Soit X ue v.a. de loi E(1). Quelle est la loi de Y = l(e X 1)? Soit f mesurable borée. O a alors E(f(Y )) = E(f( l(e X 1))) = y= l(e x 1) = + 0 e y + f(y) (1 + e y ) 2 dy. = 0 f( l(e x 1))e x dx + 0 1 f(y) 2(1 + ch(y)) dy. La loi de Y est la mesure de desité 1 R+ (y)/(2(1 + ch(y))). O peut égalemet caractériser la loi de Y par sa foctio de répartitio F Y (t) = 1/(1 + e t ). Exemple 8.6.4. Soit X ue v.a. de loi de Cauchy. Quelle est la loi de Y = X +? Soit f mesurable borée. E(f(Y )) = = Rf(x + ) 1 1 π 1 + x 2 dx = ],0[f(0) 1 1 π 1 + x 2 dx + f(x) 1 1 R + π 1 + x 2 dx = 1 2 f(0) + Rf(x) 1 1 π 1 + x 2 1 {x>0} dx. O a doc, pour toute foctio f mesurable borée, E(f(Y )) = ν(dy) avec ν(dy) = Rf(y) 1 2 δ 0(dy) + 1 1 π 1 + y 2 1 {y>0} dy. La loi de Y est doc ν. Remarquos que cette mesure est pas discrète et e possède pas de desité par rapport à la mesure de Lebesgue. 8.7 Iégalités classiques Propositio 8.7.1 (Iégalité de Markov). Si X ue v.a. positive, alors, pour tout r 0, P(X r) E(X). r

CHAPITRE 8. VARIABLES ALÉATOIRES 54 Démostratio. Cette iégalité a déjà été établie. Pour l obteir, de remarquer que X = X1 {X r} + X1 {X<r} r1 {X r}, et de predre l espérace das l iégalité ci-dessus. Propositio 8.7.2 (Iégalité de Tchebychev). Si X est ue v.a. de carré itégrable, alors, pour tout r 0, P( X E(X) r) V(X) r 2. Démostratio. Il suffit d appliquer l iégalité de Markov à la v.a. positive Z = (X E(X)) 2. Propositio 8.7.3 (Iégalité de Jese). Soit X ue v.a. ϕ ue foctio covexe telle que X et ϕ(x) soit itégrables. Alors, ϕ(e(x)) E(ϕ(X)). Remarque 8.7.4. Pour e pas se tromper de ses das l iégalité, pesez au cas où ϕ est la foctio valeur absolue. Démostratio. Par défiitio, pour tous x, y R et t [0, 1], ϕ(tx + (1 t)y) tϕ(x) + (1 t)ϕ(y). Soit h > 0. E posat y = th das la relatio ci-dessus, o obtiet, après regroupemet des termes, ϕ(x + h) ϕ(x) ϕ(x + (1 t)h) ϕ(x). h (1 t)h ϕ(x + h) ϕ(x) Ceci assure que, pour tout x R, la foctio h est décroissate sur R +. Elle h admet ue limite fiie ou égale à (ce qui est exclu si l o suppose ϕ à valeurs das R). La foctio ϕ admet doc ue dérivée à droite e x que l o ote ϕ d (x) et, pour tout y R, ϕ(y) ϕ(x) + ϕ d (x)(y x). Il reste à choisir x = E(X), y = X et predre l espérace pour obteir l iégalité de Jese.

Chapitre 9 Idépedace 9.1 Défiitios Défiitio 9.1.1. Deux évèemets A et B sot dit idépedats si P(A B) = P(A)P(B). Remarquos que si deux évèemets A et B sot idépedats alors tout élémet de σ(a), qui est la tribu {, A, A c, Ω}, est idépedat de tout élémet de σ(b). Par exemple, A c et B sot idépedats : P(A c B) = P(B) P(A B) = P(B) P(A)P(B) = (1 P(A))P(B) = P(A c )P(B). Gééralisos à préset la otio d idépedace à des familles quelcoques d évèemets et de tribus. Défiitio 9.1.2. Ue famille quelcoque d évèemets (A i ) i I de F est mutuellemet idépedate si, pour tout J I fii, P( j J A j ) = j J P(A j ). Exemple 9.1.3. O jette deux dés, u bleu, u rouge. Cosidéros les évèemets suivats : A = {le résultat du dé rouge est impair} B = {le résultat du dé bleu est impair} C = {la somme des deux dés est impaire}. Alors A, B et C sot idépedats deux à deux, c est-à-dire que A et B sot idépedats, B et C sot idépedats et A et C sot idépedats, mais A, B et C e sot pas mutuellemet idépedats. E effet, P(A) = P(B) = P(C) = 1/2, P(A B) = P(B C) = P(A C) = 1/4 et P(A B C) = 0. Das toute la suite, o parlera d idépedace pour l idépedace mutuelle. Itroduisos la otio de variables aléatoires idépedates. O e cosidère ici que le cas de variables aléatoires réelles. Le cas gééral est e fait similaire. Propositio 9.1.4. Ue famille fiie (X 1,..., X ) de variables aléatoires réelles sur (Ω, F, P) est idépedate si l ue des quatre assertios équivaletes suivates est satisfaite : 55

CHAPITRE 9. INDÉPENDANCE 56 (i) Pour tous (A i ) 1 i élémets de B(R), P(X 1 A 1,..., X A ) = P({X i A i }). (ii) Pour toutes foctios (f i ) 1 i boréliees de R das C telles que f i (X i ) soit itégrable pour tout i, ( ) E f i (X i ) = E(f i (X i )). (iii) Pour tous (t i ) 1 i réels, i=1 i=1 i=1 ϕ (X1,...,X )(t 1,..., t ) = ϕ X1 (t 1 ) ϕ X (t ). (iv) La loi P (X1,...,X ) du vecteur aléatoire sur (R, B(R )) est égale au produit des lois margiales P X1 P X. Démostratio. Pour démotrer que (i) implique (ii), o remarque que (i) est (ii) pour des foctios idicatrices f i = 1 Ai. Par u raisoemet classique, o éted la propriété aux foctios étagées positives, puis aux foctios mesurables positives, puis aux foctios itégrables réelles et efi aux foctio itégrables complexes. Il est clair que (iii) est u cas particulier de (ii) : o a choisi pour tous t 1,..., t, o a choisit f j ( ) = e it j qui sot borées doc itégrable pour tout mesure de probabilité. D après le théorème de Fubii, ϕ X1 (t 1 ) ϕ X (t ) est la foctio caractéristique de la loi produit P X1 P X. Puisque la foctio caractéristique caractérise la loi, (iii) implique (iv). Pour tous A 1,..., A borélies, (iv) assure que et aisi, (iv) implique (i). P(X 1 A 1,..., X A ) = P (X1,...,X )(A 1 A ) = P X1 P X (A 1 A ) = P({X i A i }), i=1 Défiitio 9.1.5. Ue famille quelcoque de variables aléatoires (X i ) i I sur (Ω, F, P) et à valeurs das (E, E) est (mutuellemet) idépedate si pour tout J I fii, (X j ) j J sot idépedates. 9.2 Exemples Exemple 9.2.1 (Couple de variables aléatoires discrètes). Soit X et Y deux variables aléatoires à valeurs das {x i, i N} et {y j, j N} respectivemet. Alors X et Y sot idépedates si et seulemet s il existe (u i ) i N et (v j ) j N tels que P({X = x i, Y = y j }) = u i v j pour tous (i, j). L implicatio directe est évidete. Itéressos-ous à sa réciproque. Pour tout i N, P({X = x i }) = P({X = x i, Y = y j }) = u i u i v j = u i v j = j N j N j N i N u, i puisque i N,j N u iv j = i N u i j N v j = 1. O a aisi détermié la loi de X (et par symétrie celle de Y ). Efi, pour tous i N et j N, P({X = x i, Y = y j }) = u i v j = P({X = x i }) u i P({Y = y j }) v j i N j N = P({X = x i })P({Y = y j }).

CHAPITRE 9. INDÉPENDANCE 57 Les esembles ((x i, y j )) (i,j) N 2 egedre la tribu produit doc X et Y sot idépedates. Exemple 9.2.2 (Couple de variables aléatoires à desité). O motre de même que si la loi du couple (X, Y ) admet ue desité f par rapport à la mesure de Lebesgue sur R 2 alors X et Y sot idépedates si et seulemet s il existe g et h deux foctios mesurables positives telles que x, y R, f(x, y) = g(x)h(y). Exemple 9.2.3 (Ivariace par rotatio). Soit X et Y deux variables aléatoires idépedates de même loi N (0, 1). Les variables aléatoires U = (X + Y )/ 2 et V = (X Y )/ 2 sot idépedates de même loi N (0, 1). E effet, pour tout foctio boréliee borée f de R 2 das R, o a E(f(U, V )) = E(f((X+Y )/ 2, (X Y )/ 2)) = R 2 f ( (x + y)/ 2, (x y)/ ) e (x 2 +y 2 )/2 2 dx dy 2π O veut poser (u, v) = ((x + y)/ 2, (x y)/ 2). Ceci reviet à faire le chagemet de variables (x, y) = ((u + v)/ 2, (u v)/ 2) de R 2 das R 2 de jacobie 1. Remarquos ecore que x 2 + y 2 est égal à u 2 + v 2 doc R2 E(f(U, V )) = f(u, v) e (u2 +v 2 )/2 du dv. 2π Ceci motre que la loi N (0, 1) N (0, 1) est ivariate par la rotatio d agle π/4. O obtiedrait le même résultat pour toute rotatio das R 2. Exemple 9.2.4 (Loi géométrique). Soit (X ) N ue suite de variables aléatoires idépedates de même loi de Beroulli B(0, 1). O ote défiit la variable aléatoire T = if { 1, X = 1}. Elle représete le temps de premier succès lorsque l o répète successivemet ue même expériece de probabilité de succès p de faço idépedate. C est par exemple le cas d u jeu de pile ou face. Il est clair que T est à valeurs das N. Soit N. Si le premier succès apparaît au temps, c est que les 1 premières tetatives sot des échecs et que la suivate est u succès. O a doc pour tout N, P({T = }) = P({X 1 = 0,..., X 1 = 0, X = 1}) = P({X 1 = 0}) P({X 1 = 0})P({X = 1}) = p(1 p) 1. Aisi, T suit la loi géométrique de paramètre p. 9.3 Somme de variables aléatoires idépedates La loi de la somme de variables aléatoires idépedates est doée par le produit de covolutio de leurs lois. Propositio 9.3.1. Soit X et Y deux variables aléatoires réelles idépedates sur (Ω, F, P). La loi de la somme X + Y est doée par le produit de covolutio P X P Y des lois P X et P Y, défii, pour toute foctio boréliee borée f de R das R, par ( ) ( ) R f d(p X P Y ) = R f(x + y) P Y (dy) R P X (dx). = R f(x + y) P X (dx) R P Y (dy).

CHAPITRE 9. INDÉPENDANCE 58 Démostratio. O écrit O coclut grâce au théorème de Fubii. R f dp X+Y = E(f(X + Y )) = f(x + y) P (X,Y ) (d(x, y)) R 2 = f(x + y) P X (dx)p Y (dy). R 2 Les foctios caractéristiques fourisset u autre moye, souvet très efficace, de détermier la loi de la somme de variables aléatoires idépedates. Propositio 9.3.2. Soit X et Y deux variables aléatoires réelles idépedates sur (Ω, F, P). La foctio caractéristique de X + Y est le produit des foctios caractéristiques de X et de Y. Démostratio. Pour tout t R, ϕ X+Y (t) = E (e it(x+y )) = E ( e itx e ity ) d après la propositio 9.1.4. = E ( e itx) E ( e ity ) = ϕ X (t)ϕ Y (t), Remarque 9.3.3. O predra garde à e pas cofodre les foctios caractéristiques du couple (X, Y ) et de la somme X + Y. Exemple 9.3.4 (Loi de Poisso). Soit X et Y deux variables aléatoires idépedates de lois respectives P(λ) et P(µ). Détermios la loi de Z = X + Y. Méthode 1. Il est clair que Z est à valeurs das N. Soit k N. Alors P({Z = k}) = = k P({X = l, Y = k l}) = l=0 k e l=0 λ λl l! e µ µk l (k l)! (λ+µ) (λ + µ)k = e. k! Aisi, Z suit la loi de Poisso de paramètre λ + µ. Méthode 2. La foctio caractéristique de X se calcule facilemet : ϕ X (t) = k N O e déduit la foctio caractéristique de Z : k P({X = l})p({y = k l}) l=0 λ λk e k! eitk = e λ(eit 1). ϕ Z (t) = ϕ X (t)ϕ Y (t) = e (λ+µ)(eit 1). Comme la foctio caractéristique caractérise la loi, L(Z) = P(λ + µ). Exemple 9.3.5 (Loi de Beroulli). O jette fois ue pièce. Quelle est la loi du ombre de piles obteus? O modélise les résultats des lacers par des variables aléatoires X 1,..., X idépedates de même loi B(p) (avec p = 1/2 si la pièce est équilibrée), l évéemet {X i = 1}

CHAPITRE 9. INDÉPENDANCE 59 représetat le tirage «pile» au lacer i. Le ombre de piles e lacers est doc S = X 1 + + X. Méthode 1. La variable aléatoire S pred les valeurs 0, 1,...,. Soit 0 k. L évèemet {S = k} est la réuio disjoite des évèemets disjoits {X 1 = x 1,..., X = x } sous la cotraite que x 1 + +x = k. Tous ces évèemets ot la même probabilité p k (1 p) k de se réaliser et ils sot au ombre de C k. Aisi, k = 0,...,, P({S = k}) = C k p k (1 p) k. La loi de S est la loi biomiale B(, p). Méthode 2. La foctio caractéristique de X i est égale à t 1 p + pe it, doc ( ) ϕ S (t) = E e it(x 1+ +X ) = [ E ( e itx )] 1 = (1 p + pe it ). O recoaît ici la foctio caractéristique d ue variable aléatoire de loi B(, p). Exemple 9.3.6 (Loi expoetielle). Soit X et Y deux variables aléatoires idépedates de même loi expoetielle E(λ). O cherche à détermier la loi de Z = X + Y. Alors, pour toute foctio boréliee borée f de R das R, E(f(X + Y )) = = R 2 + R + La loi de Z admet la foctio f(x + y)λ 2 e λx e λy dx dy ( v 0 ) f(v)λ 2 e λ(v) du dv = x λ 2 xe λx 1 [0,+ [ (x) pour desité par rapport à la mesure de Lebesgue. u=x = v=x+y R 2 + f(v)1 u v λ 2 e λv du dv R + f(v)λ 2 ve λv dv. Exemple 9.3.7 (Covolutio de desités). L exemple précédet se gééralise de la faço suivate. Soit X et Y deux variables aléatoires réelles idépedates de desités respectives f et g par rapport à la mesure de Lebesgue. La loi de la somme X + Y admet alors ue desité h par rapport à la mesure de Lebesgue, doée par le produit de covolutio des foctios f et g, x R, h(x) = f g(x) = f(x y)g(y) dy = g(x y)f(y) dy. R E effet, si φ est ue foctio boréliee borée, E(φ(X + Y )) = φ(x + y)f(x)g(y) dx dy = φ(z)f(z y)g(y) dy dz = φ(z)h(z) dz. E particulier, les lois gaussiees possèdet la propriété de stabilité par covolutio : N (m 1, σ 2 1) N (m 2, σ 2 2) = N (m 1 + m 2, σ 2 1 + σ 2 2). E termes probabilistes, la somme de deux variables aléatoires idépedates de lois gaussiees suit ue loi gaussiee de moyee la somme des moyees et de variace la somme des variaces. Exemple 9.3.8 (Loi de Cauchy). Soit X et Y deux variables aléatoires idépedates de même loi de Cauchy sur R. La foctio caractéristique de X est la foctio t e t. Doc ( ϕ X+Y (t) = E e it(x+y )) = E ( e itx) E ( e ity ) = e 2 t. D autre part, ( ϕ 2X (t) = E e it(2x)) = e 2 t. Aisi, et de maière assez paradoxale, X + Y et 2X ot même loi. De plus, la variable aléatoire (X + Y )/2 suit ecore la loi de Cauchy. R

CHAPITRE 9. INDÉPENDANCE 60 Exemple 9.3.9 (Somme aléatoire de variables aléatoires). Soit X 1,..., X et N des variables aléatoires réelles idépedates sur (Ω, F, P), N de loi uiforme sur 0,..., et X 1,..., X idetiquemet distribuées. O costruit la variable aléatoire Y de la faço suivate : ω Ω, Y (ω) = 0 si N(ω) = 0 et Y (ω) = X 1 (ω) + + X N(ω) (ω) sio. Notos ϕ et ϕ Y les foctios caractéristiques respectives de X 1 et Y. Pour tout t R, ϕ Y (t) = E ( e ity ) ( ) = E e it(x 1+ +X N ) = = = k=0 k=0 ) E (e it(x 1+ +X k ) 1 {N=k} = ϕ(t) k P({N = k}) = 1 + 1 k=0 k=0 k=0 ) E (e it(x 1+ +X N ) 1 {N=k} ( ) E e it(x 1+ +X k ) E(1 {N=k} ) ϕ(t) k = 1 + 1 1 ϕ(t) +1. 1 ϕ(t)

Chapitre 10 Covergece presque sure et loi des grads ombres 10.1 Lemme de Borel-Catelli Défiitio 10.1.1. Soit (A ) N ue suite d élémets de F. O défiit les élémets de F suivats : lim sup A = 1 k A k et lim if A = 1 k A k. Par défiitio, lim sup A = {ω Ω, N, k, ω A k }. E d autres termes, ω lim sup A si et seulemet si ω appartiet à ue ifiité d esembles (A ) N. Aisi, l évèemet lim sup A est parfois oté «A i.s.» (pour ifiimet souvet). De même, ω lim if A si ω appartiet à tous les esembles (A ) N à partir d u certai rag. Il est clair que lim if A lim sup A. De plus, si (A ) coverge vers A alors A = lim if A = lim sup A. Remarque 10.1.2. Notos F la tribu egedrée par (A k ) k. La suite (F ) est ue suite décroissate de sous-tribus de F. Notos efi F = F la tribu des évèemets termiaux (ou tribu asymptotique). Par défiitio, lim sup A appartiet à F. Théorème 10.1.3 (Lemme de Borel-Catelli). Soit (A ) N ue suite d évéemets. 1. Si 0 P(A ) < +, alors P(lim sup A ) = 0. Autremet dit, avec probabilité 1, au plus u ombre fii d évéemets (A ) N se réaliset. 2. Supposos que les évéemets (A ) N soiet idépedats. Si 0 P(A ) = +, alors P(lim sup A ) = 1. Autremet dit, avec probabilité 1, ue ifiité d évéemets (A ) N se réaliset. Démostratio. Établissos le poit 1. Pour tout N, lim sup A p k A k, et P(lim sup A p ) P( k A k ) k P(A k ) 0, puisque le reste d ue série covergete coverge vers 0. Établissos le poit 2. Pour tout et tout N, P = 1 P = 1 m N A m m N 61 A c m m N (1 P(A m )).

CHAPITRE 10. CONVERGENCE PRESQUE SURE ET LOI DES GRANDS NOMBRES 62 Comme 1 x e x pour tout x 0, P 1 exp A m m N m N P(A m ). Lorsque N ted vers l ifii, m N P(A m) ted vers l ifii et doc P A m = 1. m L évèemet lim sup A s écrit doc comme l itersectio d évèemets de probabilité 1, il est ecore de probabilité 1. Exemple 10.1.4. O jette ue ifiité de fois ue pièce équilibrée. Quelle est la probabilité de faire ue ifiité de fois deux piles cosécutifs? O représete le jeu par ue suite (X ) N de variables aléatoires sur (Ω, F, P) idépedates de même loi B(1/2). Posos A = {X = 1, X +1 = 1}. Clairemet, P(A ) = 1/4 et aisi, P(A ) = +. Cepedat les (A ) e sot pas idépedats, o e peut doc pas appliquer le poit 2 du lemme de Borel-Catelli. Par cotre, la sous-suite (A 2 ) N forme ue suite idépedate et bie sûr P(A 2) = +. Doc, P(A 2 i.s.) = 1 et comme {A 2 i.s.} {A i.s.}, P(A i.s.) = 1. 10.2 Covergece presque sûre Défiitio 10.2.1. Soit (X ) N ue suite de v.a. défiies sur u même espace (Ω, F, P). 1. O dit que la suite (X ) N coverge presque sûremet vers 0, et o écrit X p.s 0, s il existe u esemble P-égligeable N F tel que pour tout ω N c, (X (ω)) N coverge vers 0. 2. Soit X ue autre v.a. défiie égalemet sur (Ω, F, P). O dit que la suite (X ) N coverge p.s presque sûremet vers X, et o écrit X X, si la suite (X X) N coverge presque sûremet vers 0. Posos, pour tous ε > 0 et N, E (ε) = { X > ε} et E(ε) = lim sup E (ε) = 1 k E k (ε). L esemble de covergece de (X ) N vers 0 s écrit alors C = ε>0 0 k { X ε}, aisi que so complémetaire (l esemble de o-covergece) D = C c = ε>0 1 k { X > ε} = ε>0 E(ε). Remarquos que si 0 < ε < ε, alors E(ε ) E(ε), doc D peut ecore s écrire comme l N E(1/l), ce qui assure que D est mesurable. Propositio 10.2.2. Les deux propriétés suivates sot équivaletes : (i) P(D) = 0, (ii) pour tout ε > 0, P(E(ε)) = 0. Démostratio. Il est clair que pour tout ε > 0, E(ε) D doc P(E(ε)) P(D) et aisi (i) implique (ii). La réciproque est assurée par le fait que la réuio déombrable d esembles de probabilité ulle est égalemet de probabilité ulle.

CHAPITRE 10. CONVERGENCE PRESQUE SURE ET LOI DES GRANDS NOMBRES 63 10.3 Loi des grads ombres Théorème 10.3.1. Soit (X ) N ue suite de v.a. idépedates et idetiquemet distribuées. 1. Si X 1 est itégrable, alors S = X 1 + + X p.s. E(X 1). 2. S il existe u réel a R tel que S / p.s. a, alors X 1 est itégrable et E(X 1 ) = a. Démostratio. Démotros le poit 1 sous l hypothèse plus forte que X 1 L 4. Quitte à cosidérer la suite (X E(X )), o peut supposer que les variables aléatoires (X ) sot cetrées. Évaluos alors le momet d ordre 4 de S. Le développemet de S 4 fait apparaître ciq types de termes : X 4 i, X 3 i X j, X 2 i X 2 j, X 2 i X j X k et X i X j X k X l, où les idices sot tous disticts. Par idépedace et cetrage, les termes de types 2, 4 et 5 sot d espérace ulle. O obtiet doc E(S) 4 = E Xi 4 + 6 Xi 2 Xj 2 = E(X1) 4 + 3( 1) [ E(X1) 2 ] 2. 1 i 1 i j Soit ε > 0. D après l iégalité de Markov, P( S / ε) = P ( S 4 4 ε ) E(S4 ) 4 ε 4 E(X4 ) 3 ε 4 + 3 [ E(X 2 1 ) ] 2 2 ε 4 O a doc P( S / ε) < +. D après le lemme de Borel Catelli, P( S / ε i.s.) = 0. D après la propositio 10.2.2, S / coverge presque sûremet vers 0. Démotros le poit 2. Puisque S / coverge presque sûremet vers u réel a, alors X / = S / S 1 / coverge presque sûremet vers 0. Soit ε > 0. P( X / ε, i.s.) = 0. D après le poit 2 du lemme de Borel-Catelli appliqué à la suite d évèemets idépedats ({ X / ε}), P( X ε) < +. Pour coclure, o écrit E( X 1 ) = + 0 0 P( X 1 ε) = 0 P( X 1 t) dt = 0 (+1)ε ε P( X 1 t) dt ε 0 P( X 1 ε) < +. 10.4 Applicatio : méthode de Mote-Carlo O cherche u procédé permettat d obteir ue valeur approchée de l itégrale f dµ R où µ est ue mesure de probabilité sur (R, B(R)) et f ue applicatio boréliee µ-itégrable.

CHAPITRE 10. CONVERGENCE PRESQUE SURE ET LOI DES GRANDS NOMBRES 64 Soit (X ) N est ue suite de variables aléatoires idépedates de même loi µ. Alors la suite (Y ) N est ue suite de variables aléatoires idépedates de même loi et E(Y 1 ) = E(f(X 1 )) = f dµ. Pour motrer que les variables (Y ) sot idépedates, il suffit de voir que pour tout N et toutes foctios boréliees borées g 0,..., g o a E(g 0 (Y 0 ) g (Y )) = E(g 0 (f(x 0 )) g (f(x ))) = E(g 0 (f(x 0 ))) E(g (f(x ))) = E(g 0 (Y 0 )) E(g (Y )), par idépedace de X 0,..., X. La loi des grads ombres appliquée à la suite (Y ) N assure doc que f(x 1 ) + + f(x ) R p.s. f dµ. La méthode de Mote-Carlo propose doc de simuler variables aléatoires idépedates et de même loi µ et d utiliser l approximatio f(x 1 ) + + f(x ) f dµ. Exemple 10.4.1. Soit à calculer 1 0 4 1 x 2 dx. La méthode de Mote-Carlo précoise de simuler U 1,..., U idépedates et de même loi uiforme sur [0, 1] et de proposer comme valeur approchée de l itégrale (qui vaut π) 1 k=1 4 1 Ui 2. 10.5 U autre exemple de covergece presque sûre Soit (X ) N ue suite de variables aléatoires sur (ω, F, P) idépedates et de même loi expoetielle E(1). O ote M = max 1 k X k. Rappelos que la foctio de répartitio de X 1 est doée par F (t) = 1 e t pour tout t 0. O e déduit la foctio de répartitio de M que l o ote F : pour tout t 0, P({M t}) = P( 1 i {X i t}) = F (t) = (1 e t ). Soit ε > 0, ( ) ( M P l 1 ε = F ((1 ε) l ) = 1 1 ) 1 ε = e ε +o( ε). Aisi, P(M (1 ε) l ) < + ce qui implique, d après le lemme de Borel-Catelli, que P({M (1 ε) l, i.s.}) = 0. E d autres termes, la limite iférieure de la suite M / l est supérieure ou égale à 1 ε pour tout ε > 0 doc supérieure ou égale à 1. La secode partie est u peu plus délicate. Soit ε > 0. ( ) ( M P l 1 + ε = 1 F ((1 + ε) l ) = 1 1 1 ) 1+ε = ε (1 + o(1)).

CHAPITRE 10. CONVERGENCE PRESQUE SURE ET LOI DES GRANDS NOMBRES 65 Calcul de pi par Mote Carlo 3.9 3.8 3.7 3.6 3.5 3.4 3.3 3.2 3.1 3.0 2.9 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Fig. 10.1 Approximatio par la méthode de Mote-Carlo

CHAPITRE 10. CONVERGENCE PRESQUE SURE ET LOI DES GRANDS NOMBRES 66 Cette fois-ci, la majoratio coduit au terme gééral d ue série divergete. Il faut utilisé u argumet dit «de blocs». O cosidère la sous-suite ( k = [(k + 1) δ ]) k N avec δε > 0 et [ ] la partie etière. Alors, k N P({M k (1 + ε) l k }) k N 1 [(k + 1) δ (1 + o(1)) < +. ] ε O coclut comme das la première partie, grâce au lemme de Borel-Catelli, que la limite supérieure de M k / l k est iférieure ou égale à 1. Aisi, la suite (M k ) k N coverge presque sûremet vers 1. Reste à reveir à la suite etière. Pour tout N, il existe k N tel que k < k+1. Le fait que les suites (M ) et k soiet croissates assuret l ecadremet Pour coclure, il suffit de remarquer que l k l k+1 M k l k M l M k+1 l k+1 l k+1 l k. lim k l k [(k + 1) δ ] = lim l k+1 k [(k + 2) δ ] = 1 Remarque 10.5.1. U argumet similaire peut être utilisé pour établir la loi des grads ombres sous l hypothèse optimale que X 1 est itégrable.

Chapitre 11 Covergece e loi et théorème limite cetral 11.1 Covergece e loi O sait que deux variables aléatoires réelles X et Y sot égales e loi (ou que P X et P Y sot égales) si et seulemet si leurs foctios répartitios sot égales, ou si pour toute foctio cotiue borée φ : R R, E(ϕ(X)) = E(ϕ(Y )) ou ecore si X et Y ot même foctio caractéristique. O souhaite à préset défiir la otio de covergece e loi, c est-à-dire, de doer u ses à l idée suivate : état doé (X ) N et X des variables aléatoires, commet dire que la loi de X «coverge» vers la loi de X. La répose est doée sous la forme d ue défiitio-théorème. Défiitio 11.1.1. Soit (X ) N et X des variables aléatoires réelles défiies sur (Ω, F, P). O dit que X coverge e loi vers X, et o ote X équivaletes suivates sot vérifiées : L 1. lim F X (t) = F X (t) e tout poit de cotiuité de F X ; X si l ue des trois coditios 2. lim E(φ(X )) = E(φ(X)) pour toute foctio φ : R R cotiue borée ; 3. lim ϕ X (t) = ϕ X (t) pour tout t R. Remarque 11.1.2. Il faut bie remarquer que la covergece se fait au iveau des lois et doc au iveau des mesures de probabilité sur R. O dit aussi que P X coverge faiblemet vers la loi P X. Exemple 11.1.3. Soit X ue variable aléatoire de loi N (0, 1). Alors la suite (X ) N défiie par X = ( 1) X coverge vers X e loi. E effet, par parité de la desité de la loi N (0, 1) sur R, X et X ot même loi et X suit la loi N (0, 1) pour tout. O peut remarquer que la suite (X ) e coverge pas vers X presque sûremet puisque X 2+1 X = 2X et aisi, P(X 2+1 X 1) e ted pas vers 0. Exemple 11.1.4. Soit (X ) 1 ue suite de variables aléatoires idépedates de loi expoetielle de paramètre 1 et, pour tout 1, M = max 1 i X i. Alors Z = M l coverge e loi vers ue variable aléatoire Z de foctio de répartitio F Z (t) = e e t pour t R. F Z (t) = P(Z t) = P(M t + l ) = P( i = 1,...,, X i t + l ) = P(X i t + l ) = P(X i t + l ) = i=1 (1 e (t+l )) = (1 e t 67 ) e e t.

CHAPITRE 11. CONVERGENCE EN LOI ET THÉORÈME LIMITE CENTRAL 68 Exemple 11.1.5. Soit (X ) N ue suite de variables aléatoires de lois respectives B(, p ) où (p ) est ue suite d élémets de [0, 1] telle que p coverge vers λ > 0. Alors X coverge e loi vers ue variable aléatoire X de loi de Poisso de paramètre λ. ϕ X (t) = k=0 Cp k k (1 p ) k e itk = ( 1 + p (e it 1) ) ( = 1 + p (e it ) 1). Pour tout z C, (1 + z/) coverge vers e z doc ϕ X (t) eλ(eit 1), qui est la foctio caractéristique d ue variable aléatoire de loi P(λ). O peut aussi remarquer que pour tout k N et tout k, Or et ( P(X = k) = C k p k (1 p ) k = (p ) k k!! ( k 1 p ( k)!! ( 1) ( k + 1) k = ( k)! k 1 1 p ) k [ ( = exp ( k) l 1 p )] e λ. ) k. Aisi, pour tout k, P(X = k) coverge vers la probabilité qu ue v.a. de loi de Poisso de paramètre λ soit égale à k. 11.2 Le théorème limite cetral O sait que si (X ) N est ue suite de variables aléatoires itégrables, idépedates et de même loi alors S = X 1 +... + X p.s. E(X 1), e vertu de la loi forte des grads ombres. La questio qui peut veir à l esprit est : quelle est la vitesse de cette covergece? E d autres termes, S / E(X 1 ) est petit quad est grad, mais petit commet? Examios u exemple éclairat. Soit (X ) 1 ue suite de variables aléatoires idépedates de même loi N (m, σ 2 ). Alors S suit la loi N (m, σ 2 ), S / la loi N (m, σ 2 /), S / m la loi N (0, σ 2 /) et efi ( /σ)(s / m) la loi N (0, 1). E particulier, ( ) S V(X 1 ) E(X L 1) N (0, 1). Le poit extraordiaire est que ce résultat est vrai e toute gééralité. Théorème 11.2.1. Soit (X ) 1 ue suite de variables aléatoires idépedates de carré itégrable et de même loi. Alors V(X 1 ) ( ) S E(X 1) Démostratio. Quitte à cosidérer les variables aléatoires Y = X E(X ), V(X ) L N (0, 1).

CHAPITRE 11. CONVERGENCE EN LOI ET THÉORÈME LIMITE CENTRAL 69 o peut supposer, sas perte de gééralité, que les variables aléatoires (X ) sot cetrées (leur espérace est ulle) et réduites (leur variace vaut 1). Pour tout 1, otos Calculos la foctio caractéristique de Z : Z = X 1 + + X. ϕ Z (t) = E(exp(itS / )) = ϕ X1 (t/ ). Puisque X 1 admet u momet d ordre 2, sa foctio caractéristique admet le développemet limité suivat : ϕ X1 (u) = E(e iux 1 ) = 1 + iue(x 1 ) + (iu)2 2 E(X2 1) + o ( u 2) = 1 u2 2 + o( u 2). O obtiet aisi ϕ Z (t) = (1 t2 2 + o( 1) ) /2 e t2, qui est la foctio caractéristique d ue variable aléatoire de loi N (0, 1). 11.3 Applicatios O cherche à estimer par u sodage le taux d abstetio d ue électio prochaie. O iterroge persoes qui répodet oui ou o à la questio posée (o rage les sas opiios das l ue des deux catégories). Commet estimer la proportio de votats et doer ue fourchette? O modélise cette situatio e se doat X 1,..., X des variables aléatoires idépedates de même loi de Beroulli B(p). La petite subtilité est que p est icou. La loi des grads ombres assure que X := X 1 + + X p.s. E(X 1) = p. La proportio de 1 fourit u estimateur de p. D autre part, le théorème limite cetral assure que ( X p ) L N (0, 1), p(1 p) E particulier, ( P a p(1 p) ( X p ) ) b P(a Y b), où Y suit la loi N (0, 1). O sait que P( Y 1.96) = 0.95. O a doc ( ( P X p ) ) 1.96 p(1 p) 0.95. Si l o est fort e iéquatios et équatios du secod degré, o peut réécrire la relatio ci-dessus de la maière suivate : P ( p [ X, X + ]) 0.95. P p X + r2 2 r r 2 1 + r2 4 + X (1 X ) ; X + r2 2 + r 4 + X (1 X ) 1 + 0.95. r2 r 2 O obtiet doc aisi ue fourchette qui cotiet p avec ue probabilité asymptotique (quad est grad) de 0.95. O parle alors d itervalle de cofiace pour p. Remarque 11.3.1. La logueur de l itervalle est de l ordre de C/. Aisi, pour diviser par deux l icertitude due à l aléa, il faut multiplier par 4, ce qui, pour les istituts de sodage, est ue mauvaise ouvelle... Ils ot doc pris le parti de e pas les metioer...