Appendice A1. Lemme de classe monotone

Appendice A1. Lemme de classe monotone Le lemme de classe monotone est un outil de théorie de la mesure très utile dans de nombreux raisonnements de théorie des probabilités. Nous en donnons ici la version qui est utilisée en de nombreux endroits dans ce cours. Soit E un ensemble quelconque, et soit P(E) l ensemble de toutes les parties de E. Si C P(E), σ(c ) désigne la plus petite tribu sur E contenant C (c est aussi l intersection de toutes les tribus contenant C ). Définition. Un sous-ensemble M de P(E) est appelé classe monotone si : (i) E M. (ii) Si A,B M et A B, alors B\A M. (iii) Si on se donne une suite croissante (A n ) n N telle que A n M pour tout n N, alors A n M. n N Toute tribu est aussi une classe monotone. Comme dans le cas des tribus, on voit immédiatement que toute intersection de classes monotones est encore une classe monotone. Si C est une partie quelconque de P(E), on peut donc définir la classe monotone engendrée par C, notée M (C ), en posant M (C ) = M classe monotone, C M Lemme de classe monotone. Si C P(E) est stable par intersections finies, alors M (C ) = σ(c ). Démonstration. Puisque toute tribu est une classe monotone, il est clair qu on a M (C ) σ(c ). Pour établir l inclusion inverse, il suffit de montrer que M (C ) est une tribu. Or une classe monotone est une tribu si et seulement si elle est stable par intersections finies (en effet, par passage au complémentaire, elle sera alors stable par réunion finies, puis par passage à la limite croissant par réunion dénombrable). Montrons donc que M (C ) est stable par intersections finies. Posons pour tout A P(E), M. J.-F. Le Gall, Mouvement brownien, martingales et calcul stochastique, Math matiques et Applications 71, DOI: 10.1007/978-3-642-31898-6, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013 167

168 Appendice A1. Lemme de classe monotone M A = {B M (C ) : A B M (C )}. Fixons d abord A C. Puisque C est stable par intersections finies, il est clair que C M A. Vérifions ensuite que M A est une classe monotone: E M A est immédiat. Si B,B M A et B B, on a A (B \B) = (A B )\(A B) M (C ) et donc B \B M A. Si B n M A pour tout n et la suite B n croît, on a A ( B n ) = (A B n ) M (C ) et donc B n M A. Puisque M A est une classe monotone qui contient C, M A contient aussi M (C ). On a donc montré A C, B M (C ), A B M (C ). Ce n est pas encore le résultat recherché, mais on peut appliquer la même idée une seconde fois. Précisément, on prend maintenant A M (C ). D après la première étape de la preuve, C M A. En reprenant exactement les mêmes arguments que dans la première étape, on obtient que M A est une classe monotone. Il en découle que M (C ) M A, ce qui montre bien que M (C ) est stable par intersections finies et termine la preuve. Voici quelques conséquences du Lemme de classe monotone qui sont utilisées dans ce cours : 1. Soit A une tribu sur E et soient µ et ν deux mesures de probabilité sur (E,A ). Supposons qu il existe une classe C A stable par intersections finies, telle que σ(c ) = A et µ(a) = ν(a) pour tout A C. Alors µ = ν. (On utilise le fait que G := {A A : µ(a) = ν(a)} est une classe monotone.) 2. Soit (X i ) i I une famille quelconque de variables aléatoires et soit G une soustribu sur le même espace de probabilité. Pour montrer que les tribus σ(x i,i I) et G sont indépendantes, il suffit d établir que (X i1,...,x ip ) est indépendant de G, pour tout choix de la sous-famille finie {i 1,...,i p } I. (Observer que la classe des événements qui dépendent d un nombre fini des variables X i,i I est stable par intersection finie et engendre σ(x i,i I).) 3. Soit (X i ) i I une famille quelconque de variables aléatoires et soit Z une variable aléatoire réelle bornée. Soit aussi i 0 I. Pour voir que E[Z X i, i I ]=E[Z X i0 ], il suffit de montrer qu on a E[Z X i0, X i1,...,x i p ]=E[Z X i0 ] pour tout choix de la sous-famille finie {i 1,...,i p } I.(Observer que la classe des événements A tels que E[1 A Z]=E[1 A E[Z X i0 ]] est une classe monotone.) Cette dernière conséquence est utile dans la théorie des processus de Markov.

Appendice A2. Martingales discrètes Dans cet appendice, nous rappelons sans démonstration, pour la commodité du lecteur, les résultats sur les martingales et surmartingales à temps discret qui sont utilisés dans le Chapitre 3. La preuve de tous les énoncés qui suivent peut être trouvée dans le Chapitre V du traité classique de Dellacherie et Meyer [2], et dans beaucoup d autres ouvrages traitant des martingales discrètes (voir en particulier Neveu [8]). Commençons par rappeler la définition. On se place sur un espace de probabilité (Ω,F,P), et on fixe une filtration discrète, i.e. une famille croissante (G n ) n N de sous-tribus de F. On note aussi G = G n n=0 la plus petite tribu qui contient toutes les sous-tribus G n. Définition. Une suite (Y n ) n N de variables aléatoires intégrables, telle que, pour tout n N, Y n est G n -mesurable, est appelée martingale si, pour tous 0 m<n, E[Y n G m ]=Y m ; surmartingale si, pour tous 0 m<n, E[Y n G m ] Y m ; sous-martingale si, pour tous 0 m<n, E[Y n G m ] Y m. Ces notions dépendent bien sûr de la filtration (G n ) n N, qui est fixée dans la suite. Inégalité maximale. Si (Y n ) n N est une surmartingale, alors, pour tout λ > 0 et tout k N, [ ] λ P Y n > λ E[ Y 0 ] + 2E[ Y k ]. sup n k Inégalité de Doob dans L p. Si (Y n ) n N est une martingale, alors pour tout k N et tout p > 1, [ E sup 0 n k Y n p] ( p ) p E[ Yk p ]. p 1 J.-F. Le Gall, Mouvement brownien, martingales et calcul stochastique, Math matiques et Applications 71, DOI: 10.1007/978-3-642-31898-6, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013 169

170 Appendice A2. Martingales discrètes Remarque. Cette inégalité n a d intérêt que si E[ Y k p ]<, sans quoi les deux côtés sont infinis. Si Y = (Y n ) n N est une suite de variables aléatoires réelles, et a < b, le nombre de montées de Y le long de [a,b] avant l instant n, noté Mab Y (n) est le plus grand entier k tel que l on puisse trouver une suite croissante m 1 < n 1 < < m k < n k d entiers positifs inférieurs ou égaux à n tels que Y mi < a, Y ni > b, pour tout i {1,...,k}. Inégalité des nombres de montées de Doob. Si (Y n ) n N est une surmartingale, alors pour tout n N et tous a < b, E[M Y ab (n)] 1 b a E[(Y n a) ]. Cette inégalité est un outil essentiel pour montrer les théorèmes de convergence pour les martingales et surmartingales discrètes, dont nous rappelons deux cas importants. Théorème de convergence pour les surmartingales discrètes. Si (Y n ) n N est une surmartingale, et si la suite (Y n ) n N est bornée dans L 1, alors il existe une variable Y L 1 telle que p.s. Y n Y. n Théorème de convergence pour les martingales discrètes fermées. Soit (Y n ) n N une martingale. Il y a équivalence entre : (i) La martingale (Y n ) n N est fermée, au sens où il existe Z L 1 (Ω,F,P) telle que Y n = E[Z G n ] pour tout n N. (ii) La suite (Y n ) n N converge p.s. et dans L 1 vers une variable notée Y. (iii) La suite (Y n ) n N est uniformément intégrable. Si ces propriétés sont vérifiées, la limite de la suite (Y n ) n N est Y = E[Z G ]. Nous rappelons maintenant deux versions du théorème d arrêt dans le cas discret. Un temps d arrêt (discret) est une variable aléatoire T à valeurs dans N { }, telle que {T = n} G n pour tout n N. La tribu du passé avant T est G T = {A G : A {T = n} G n, pour tout n N}. Théorème d arrêt pour les martingales discrètes fermées. Soit (Y n ) n N une martingale fermée, et notons Y la limite (p.s. et dans L 1 ) de Y n quand n. Alors pour tout choix des temps d arrêt S et T tels que S T, on a Y T L 1 et Y S = E[Y T G S ] avec la convention que Y T = Y sur l ensemble {T = }, et de même pour Y S. Théorème d arrêt pour les surmartingales discrètes (cas borné). Si (Y n ) n N est une surmartingale, alors pour tout choix des temps d arrêt S et T bornés et tels que S T, on a

Appendice A2. Martingales discrètes 171 Y S E[Y T G S ]. Nous terminons avec une variante du théorème de convergence pour les surmartingales discrètes, concernant le cas rétrograde. On se donne une filtration rétrograde, c est-à-dire une famille croissante de sous-tribus (H n ) n N indexée par les entiers négatifs (de telle sorte que la tribu H n est de plus en plus petite quand n ). Une famille (Y n ) n N de variables aléatoires intégrables, indexée aussi par les entiers négatifs, est une surmartingale rétrograde si, pour tout n N, Y n est H n -mesurable et si, pour tous < m n 0, E[Y n H m ] Y m. Théorème de convergence pour les surmartingales discrètes rétrogrades. Si (Y n ) n N est une surmartingale rétrograde, et si la suite (Y n ) n N est bornée dans L 1, alors la suite (Y n ) n N converge p.s. et dans L 1 quand n. Il est crucial pour les applications développées dans le Chapitre 3 que la convergence ait aussi lieu dans L 1 dans le cas rétrograde (comparer avec le théorème analogue dans le cas direct ).

Références 1. C. DELLACHERIE, P.-A. MEYER. Probabilités et potentiel. Chapitres I à IV. Hermann, Paris, 1975. 2. C. DELLACHERIE, P.-A. MEYER. Probabilités et potentiel. Chapitres V à VIII. Théorie des martingales. Hermann, Paris, 1980. 3. N. IKEDA, S. WATANABE. Stochastic differential equations and diffusion processes. North- Holland, Amsterdam-New York, 1981. 4. K. ITÔ. Selected papers. Edited and with an introduction by S.R.S. Varadhan and D.W. Stroock. Springer, New York, 1987. 5. I. KARATZAS, S. SHREVE. Brownian motion and stochastic calculus. Springer, Berlin, 1987. 6. H.P. MCKEAN. Stochastic integrals. Academic Press, New York 1969. 7. J. NEVEU. Bases mathématiques du calcul des probabilités. Masson, Paris, 1970. 8. J. NEVEU. Martingales à temps discret. Masson, Paris, 1972. 9. D. REVUZ, M. YOR. Continuous martingales and Brownian motion. Springer, Berlin, 1991. 10. L.C.G. ROGERS, D. WILLIAMS. Diffusions, Markov processes and martingales : Itô calculus. Wiley, New York, 1987. 11. D.W. STROOCK, S.R.S. VARADHAN. Multidimensional diffusion processes. Springer, Berlin, 1979. J.-F. Le Gall, Mouvement brownien, martingales et calcul stochastique, Math matiques et Applications 71, DOI: 10.1007/978-3-642-31898-6, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013 173

Index aire de Lévy, 115 approximation d une intégrale stochastique, 89 associativité de l intégrale stochastique, 84, 88 càdlàg, 45 calcul stochastique avec le supremum, 113 continuité de la filtration brownienne, 103 continuité des martingales browniennes, 103 covariance (fonction de), 9 critère d unicité de Yamada-Watanabe, 165 critères de Kazamaki et Novikov, 109 crochet de deux martingales locales, 70 de deux semimartingales, 73 début d un ensemble progressif, 39 diffusion branchante de Feller, 140 domaine du générateur, 128 équation différentielle stochastique, 146 cas lipschitzien, 148 espace de probabilité filtré, 33 espace gaussien, 6 existence faible pour une EDS, 147 filtration, 33 complète, 34 conditions habituelles, 34 continue à droite, 34 fonction à variation finie, 57 variation totale, 58 formule d intégration par parties, 93 formule d Itô, 91 cas du mouvement brownien, 94 extension à une fonction sur un ouvert, 95 formule de Cameron-Martin, 111 formule de Dynkin, 142 formule de Feynman-Kac, 141 formule de Tanaka, 117 générateur d un semigroupe de transition, 128 cas des solutions d EDS, 157 cas du mouvement brownien, 129 inégalité de Doob dans L p, 43 inégalité de Kunita-Watanabe, 71 inégalité maximale, 43 inégalités de Burkholder-Davis-Gundy, 99 indistinguable, 18 intégrale de Wiener, 18, 87 intégrale par rapport à un processus à variation finie, 61 intégrale stochastique cas d une martingale bornée dans L 2, 82 cas d une martingale locale, 86 cas d une semimartingale, 88 intervalles de constance d une martingale, 98 inversion du temps, 31 lemme de classe monotone, 167 lemme de Gronwall, 149 lemme de Kolmogorov, 19 loi de l arcsinus, 32 loi de temps d atteinte brownien, 30 cas avec dérive, 111 transformée de Laplace, 51 loi du logarithme itéré, 32 loi du point de sortie d un intervalle, 51 loi du tout ou rien, 23 lois marginales de dimension finie, 9 pour un processus de Markov, 122 martingale, 40 à temps discret, 169 J.-F. Le Gall, Mouvement brownien, martingales et calcul stochastique, Math matiques et Applications 71, DOI: 10.1007/978-3-642-31898-6, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013 175

176 Index arrêtée à un temps d arrêt, 50 fermée, 48 régularité des trajectoires, 45 théorème de convergence, 48 uniformément intégrable, 48 martingale exponentielle, 95 du mouvement brownien, 41 martingale locale, 61 martingales locales orthogonales, 71 mesure de Wiener, 22 propriété de quasi-invariance, 111 mesure gaussienne, 10 modification, 18 moments d une intégrale stochastique, 85, 87 mouvement brownien, 22 (F t )-mouvement brownien, 41, 94 construction canonique, 23 en dimension d, 30, 118 mouvement brownien géométrique, 161 noyau de transition, 121 pont brownien, 31 pré-mouvement brownien, 15 principe de réflexion, 29 problème de Dirichlet, 113 processus élémentaire, 81 adapté, 34 mesurable, 34 progressif, 34 processus à accroissements indépendants, 40 martingales associées, 41 processus à variation finie, 60 processus aléatoire, 6 processus d Ornstein-Uhlenbeck, 160 processus de Bessel, 161 processus de branchement continu, 138 processus de diffusion, 159 processus de Feller, 127 cas des solutions d EDS, 157 processus de Lévy, 137 processus de Markov, 122 cas des solutions d EDS, 156 construction canonique, 124 processus gaussien, 7 propriété de Markov forte, 136 cas des solutions d EDS, 159 cas du mouvement brownien, 27 propriété de Markov simple, 135 cas du mouvement brownien, 17 résolvante d un semigroupe de transition, 125 représentation des martingales comme intégrales stochastiques, 100 semigroupe de Feller, 127 semigroupe de transition, 121 semimartingale continue, 73 solution forte d une EDS, 147 sous-martingale, 40 à temps discret, 169 surmartingale, 40 à temps discret, 169 temps d arrêt, 35 cas du mouvement brownien, 27 réduisant une martingale locale, 62 temps d entrée dans un ensemble, 40 théorème d arrêt, 49 cas des surmartingales, 52 théorème d extension de Kolmogorov, 9, 123 théorème de caractérisation de Lévy, 96 théorème de Dubins-Schwarz, 97 théorème de Girsanov, 106 théorème de Yamada-Watanabe, 147 trajectoires d un processus aléatoire, 18 tribu du passé avant un temps d arrêt, 35 cas brownien, 27 tribu progressive, 35, 81 unicité faible pour une EDS, 147 unicité trajectorielle pour une EDS, 147 variable aléatoire gaussienne, 1 variation quadratique d une martingale locale, 64 d une semimartingale, 73 du mouvement brownien, 64 vecteur gaussien, 3