4 ème parie Mouvemens vibraoires - ndes. Table des maières 1. Le mouvemen reciligne sinusoïdal -Le M.R.S. 1 -Différence de phase 3 -Viesse e accéléraion 4 -Applicaions 6 -Aspecs énergéiques 8 2. omposiion de mouvemens recilignes sinusoïdaux 9 3. La résonance 13 4.ropagaion d'une vibraion le long d'une droie 14 5.ropagaion d'une vibraion sinusoïdale 16 6. ropriéés générales des ondes -Inerférences 20 -rincipe de Hugens 24 -Réflexion des ondes 25 -Réfracion 27 -Dispersion 28 -Diffracion 28 -ndes saionnaires 29 -Effe Doppler 33 7. ndes maérielles - ndes élecromagnéiques 36 -ndes sonores 37 -ndes élecromagnéiques 40 8. Inerférences e diffracion d'ondes lumineuses 44 6 niveau A
h. 1 L e m o u v e m e n r e c i l i g n e s i n u s o ï d a l. 1.Inroducion. Le erme périodique qualifie ou mouvemen ou événemen qui se répèe à inervalles réguliers. Un mouvemen es périodique si la posiion, la viesse e l'accéléraion reprennen la même valeur après des durées égales appelées périodes. Exemples de mouvemens périodiques : baemen cardiaque, mouvemen de la erre auour du soleil,... Un mouvemen vibraoire es un mouvemen périodique qui s'effecue de par e d'aure d'une posiion d'équilibre. m Exemple : considérons un obje solide suspendu à un ressor; sous l'acion du poids de ce solide, le ressor s'allonge jusqu'à ce que la force de rappel exercée par le ressor soi compensée par le poids du solide. A l équilibre, le solide es immobile à la posiion. Eloignons l obje d une disance de sa posiion d équilibre ; il es alors soumis à une force de rappel supplémenaire, proporionnelle à l allongemen e qui a pour valeur f = -k. Si on le lâche, il se me à osciller; son mouvemen es un mouvemen vibraoire. Elémens caracérisiques d'un mouvemen vibraoire. E E ' A Un sens posiif es choisi sur la rajecoire L'origine des mesures es généralemen la posiion d'équilibre 0 L'élongaion es la valeur algébrique de la disance L'ampliude A es égale à l'élongaion maximale n appelle vibraion ou oscillaion le raje parcouru par le mobile pour repasser à la même posiion, dans le même sens. (EE'; E e E' éan les posiions exrêmes du mobile.) La période es la durée d'une vibraion 2.Le mouvemen reciligne sinusoïdal (M.R.S.). E A onsidérons un poin en mouvemen circulaire uniforme de viesse angulaire e ', projecion du poin sur un segmen de droie parallèle à un diamère du cercle parcouru par le poin. L'élongaion du poin ' es la projecion du veceur, veceur qui ourne à la viesse angulaire consane (=2/T); ce veceur es appelé E veceur ournan associé au mouvemen vibraoire du poin '. Le poin ' es animé d'un mouvemen vibraoire, en raison même de la définiion d'un el mouvemen ; ce mouvemen qui s effecue sur un segmen de droie es appelé mouvemen reciligne sinusoïdal. ndes - 6 niv A - (1) 1
3. Elongaion d'un poin en M.R.S. Si, en =0, le poin coïncide avec la posiion d'équilibre : Si, en =0, ne coïncide pas avec la posiion d'équilibre : 0 L'équaion du mouvemen de ' s'écri : = sin = A sin L'équaion du mouvemen de ' s'écri : = sin (+) = A sin ( +) L'angle es la phase à l'origine. 4.Mouvemen amori - Mouvemen enreenu. Dans la plupar des cas réels (i.e. masse suspendue à un ressor, balançoire, diapason, corde vibrane d'un insrumen de musique,...), l'ampliude de la vibraion diminue au fil du emps en raison des froemens ( principalemen les froemens sur l'air ambian); l'énergie cinéique de vibraion E k diminue e de la chaleur es dissipée dans le milieu exérieur. n parle dans ce cas de mouvemen vibraoire amori. Si la force de froemen es inférieure à une valeur criique, l'ampliude diminue de manière exponenielle. Bien qu'on ne puisse éliminer les froemens qui accompagnen le mouvemen vibraoire d'un obje macroscopique, on peu souven compenser ces froemens en apporan de l énergie au ssème oscillan; c'es le rôle du ressor d'une monre, du poids d'une horloge à balancier, de la pile d'une monre à quarz ou à diapason,... n parle dans ce cas de mouvemen vibraoire enreenu. Dans d aures cas, (suspension d un véhicule auomobile, par exemple), des froemens son volonairemen provoqués pour limier la durée des oscillaions ; c es le rôle des amorisseurs. ndes - 6 niv A - (1) 2
5.Différence de phase enre deux grandeurs sinusoïdales de même pulsaion. 1 2 2 1 La différence de phase enre deux grandeurs sinusoïdales 1 e 2 es égale à l'angle formé par les veceurs ournans associés à 1 e 2. Si le veceur ournan associé à 1 sui celui qui es associé à 2, on di que 1 es en reard de phase de sur 2.. A la différence de phase correspond un reard dans le emps égal à : 2 as pariculiers. Différence de phase 1 e 2 1, 2 2k concordance de phase -max. en même emps -min. en même emps -s'annulen en même emps 1, 2 (2k+1) opposiion de phase -s'annulen en même emps - 1 es maximum quand 2 es minimum e vice-versa. 1, 2 (2k+1)/2 quadraure de phase 1 es exremum quand 2 es nul e vice-versa. Exercice 1.1 aracérisez les différences de phase suivanes : /2, 5/2, 3, 12, 7/2, /4, 16, 6, 12/2, 18/4, 3/5. ndes - 6 niv A - (1) 3
6.Viesse e accéléraion d'un poin mobile en M.R.S. La viesse es la dérivée première de la foncion posiion c'es-à-dire de l'élongaion, : v = ( )' = A cos(+) = A sin(++/2) La viesse es en avance de phase de /2 sur l'élongaion. L'accéléraion es la dérivée seconde de l'élongaion : a=( )''=(v )'=- A 2 sin ( +)= A 2 sin(++) (*) L'accéléraion es en opposiion de phase avec l'élongaion. Remarques imporanes. La relaion (*) ci-dessus monre que : a = - 2 En muliplian chaque membre de cee dernière égalié par m, on obien : ma = F =-m 2. ee expression monre que la force es proporionnelle à l'élongaion si le mouvemen es sinusoïdal. La réciproque s'énonce :"Toue force proporionnelle à l'élongaion produi un mouvemen reciligne sinusoïdal". Sa démonsraion nécessie des ouils mahémaiques rop complexes e ne peu, de ce fai, êre abordée ici. Sur le schéma suivan, on rouvera le veceur ournan associé au mouvemen de ' ainsi que les veceurs viesse e accéléraion du poin en M..U.; on remarquera que les projecions de ces veceurs son égales aux expressions calculées ci-dessus e que les déphasages son bien ceux déerminés par calcul. v a + v a La figure ci-dessous monre les variaions relaives de, v e a au cours du emps., v, a v v a a ' ndes - 6 niv A - (1) 4
7.Exercices. 1.2 Une paricule en M..U. dans un plan horizonal a- -elle : a- une viesse consane? b- une énergie cinéique consane? c- une quanié de mouvemen consane? d- une accéléraion consane? e- une énergie mécanique consane? 1.3 Mêmes quesions pour une paricule en M.R.S. dans un plan horizonal = A sin ( +) v = A cos ( +) a = - A 2 sin ( +) a = - 2. sin x x si x<0,25 rad 1.4 Vrai ou faux? Un mobile en mouvemen reciligne sinusoïdal : a- subi une force qui varie sinusoïdalemen au cours du emps; b- voi son énergie cinéique osciller avec la même période que celle de son mouvemen; c- a une accéléraion maximale là où sa viesse es exrémale; d- a une viesse nulle lorsque son énergie poenielle es maximale; e- accélère parfois dans le sens opposé à celui du mouvemen 1.5 ombien de emps fau-il pour qu'un poin mobile en M.R.S. passe de =0 à =A? De =0 ( sens +) à =0 (sens -)? De =0 (sens +) à =-A? De =0 à =A/2 (sens +)? 1.6 Soien 1 = 4 sin(10-/6) e 2 = 6 sin(10+/3). omparez 1 e 2 au poin de vue A, e ; représenez les veceurs ournans associés e dessinez les courbes = f() pendan 2 périodes. 1.7 Le graphique ci-dessous représene la dépendance au emps de la viesse d'une paricule en mouvemen reciligne sinusoïdal. v 0 2 4 6 (s) alculer la période e la fréquence du mouvemen. Tracer les graphiques =f() e a=f() correspondans. 1.8 Que vau l'élongaion d'un mobile en MRS d'ampliude 12 cm e de fréquence 15 Hz, 0,02 s après le passage par l'origine? 1.9 alculez la fréquence d'un MRS d'ampliude 10 cm qui aein pour la première fois l'élongaion =2 cm 0,001 s après le passage par l'origine. 1.10 L'élongaion d'un MRS aein 1/4 de sa valeur de crêe 1/20 de seconde après le passage par l'origine. Que vau la fréquence? 1.11 Un poin en MRS se rouve à 4,5 cm de l'origine 0,2 s après le passage par celle-ci. Que vau la fréquence si l'ampliude es de 6 cm? 1.12 ombien de emps fau-il pour que l'élongaion d'un MRS de fréquence 54 Hz e d'ampliude 8 cm s'accroisse de 3 à 7 cm? ndes - 6 niv A - (1) 5
1.13 Une masse de 500 g suspendue à un ressor es animée d'un mouvemen vibraoire sinusoïdal d'ampliude 10 cm e de période 0,5 s. 1 alculez sa viesse : a) lorsqu'elle passe par la posiion d'équilibre prise comme origine des élongaions (sens posiif); b) lorsqu'elle se rouve à l'une des exrémiés de la rajecoire (=A); c) lorsqu'elle se rouve à 2 cm de l'origine en se mouvan dans le sens négaif. 2 alculez l'accéléraion aux rois posiions précédenes. 3 alculez la force de rappel aux mêmes posiions. 4 alculez l'énergie cinéique maximale de cee masse e son énergie poenielle aux rois posiions ciées. 1.14 Un corps poncuel es animé d'un mouvemen vibraoire d'ampliude 5 cm e don l'accéléraion es elle que a=-16. 1 alculez la période e la fréquence du mouvemen. 2 Ecrire les expressions de l'élongaion e de la viesse du poin en foncion du emps. R : T=1,57 s 1.15 Une peie masse de 100 g es animée d'un mouvemen de ranslaion reciligne sinusoïdal auour d'un poin fixe. Quand la masse se rouve à 1 cm de, la force de rappel a une inensié de 36 10-3 N. Déerminez la période du mouvemen ainsi produi. n prendra comme poin origine le poin e comme insan iniial celui où le mobile es en, animé d'une viesse de 30 cm/s dans le sens adopé comme posiif sur la rajecoire. Ecrivez les équaions générales donnan la posiion du mobile, sa viesse, son accéléraion e la force de rappel. Déerminez : 1 l'insan où le mobile passe pour la première fois au poin d'abscisse -3 cm, en se mouvan dans le sens négaif; 2 l'énergie cinéique e l'énergie poenielle que possède le mobile à ce insan. R : 1,047 s ; =0,05 sin 6 ; v=0,3 cos 6 ; a=-1,8 sin 6 ; f=-0,18 sin 6 ; =0,63 s ; E c =288 10-5 J ; E p =162 10-5 J 8.Applicaions : mouvemen d'un poin maériel soumis à une force de rappel. A.Mouvemen d'une masse suspendue à un ressor. (scillaeur harmonique simple) m L'éude saique du ssème monre que la force de rappel es proporionnelle à l'allongemen : f = -k. où k es la consane de rappel du ressor (en N/m) e, l'allongemen du ressor. Sachan que f=m.a, la relaion précédene s'écri : f a k m m (1) r, (cf. page 4), une force proporionnelle à l'élongaion produi un M.R.S.; on peu donc écrire : a = - 2. (2) En comparan les relaions (1) e (2), on obien : 2 k m 2 m.4. 2 2 m k La période d'oscillaion es proporionnelle à m e inversemen proporionnelle à k. haque oscillaeur (ressor + masse) possède une période propre e donc, une fréquence propre. ndes - 6 niv A - (1) 6
B. Le pendule simple. Le pendule simple es un ssème idéalisé composé d'une masse poncuelle suspendue à un poin fixe par un fil sans masse. L'éude expérimenale monre que le mouvemen es périodique si l'angle es pei (<4 ) : on parle d'isochronisme des peies oscillaions. L'éude saique d'un el ssème monre que la force résulane agissan sur la masse es la composane du poids angenielle à la rajecoire; c'es une force de rappel proporionnelle à l'élongaion. (La composane du poids normale à la rajecoire es compensée par la ension T du fil). L L En effe, dans le riangle BD : F=G.sin=mg.sin Dans le riangle AB : AB=L.g Dans l'hpohèse où es pei : sin g Sous cee hpohèse, la rajecoire de la masse se confond avec un segmen de droie horizonal. Alors : F = -mg./l (Signe - car F e son opposés) F T B Sachan que F = m.a, on a: F g a. (1) m L A G N D uisque la force es proporionnelle à l'élongaion, le mouvemen es un M.R.S. e on peu écrire : a = - 2. (2) En comparan les relaions (1) e (2), on obien : 2.=g./L 4 2. T 2 g. L T 2 L g Le pendule simple possède donc une période propre; dans les condiions précisées ci-dessus, il perme de mesurer g avec précision par mesure de L e T. Exercices. 1.16 ommen varien l'énergie oale d'un pendule, sa période e la viesse de la masse à la posiion d'équilibre si on double sa masse sans changer sa longueur? 1.17 Représener le veceur accéléraion d'un pendule simple en différens poins de sa rajecoire. ndes - 6 niv A - (1) 7
9.Aspecs énergéiques. Lorsqu'un corps de masse m es animé d'un mouvemen vibraoire, il possède à ou insan une énergie cinéique de vibraion : E k = ½ m v 2 = ½ m A 2 2 cos 2 (+) L'énergie cinéique de l'obje es nulle aux exrémiés de la rajecoire; elle es maximale à la posiion d'équilibre: E k max = ½ m A 2 2 S'il n' a pas de froemen, l'énergie oale de l'oscillaeur rese consane au fil du emps; pendan l'oscillaion, l'énergie cinéique se ransforme en énergie poenielle de déformaion e réciproquemen. A ou insan : E k = ½ m A 2 2 cos 2 (+) e : E p = E k max - E k = ½ m A 2 2 - ½ m A 2 2 cos 2 (+) = ½ m A 2 2 sin 2 (+) = ½ m 2 2 = ½ k 2 Remarque. E -A 0 A Energie oale Energie poenielle Energie cinéique L'obje en vibraion es soumis à une force de rappel F=-k., force proporionnelle à l'élongaion : F Une force exérieure, opposée à la force de rappel, es nécessaire pour déformer le ressor avan oue oscillaion; le ravail de cee force exérieure es socké sous forme d'énergie poenielle de déformaion du ressor E p = ½ k 2 ; remarquons que la mesure de ce ravail es égale à la mesure de l'aire sous la courbe dans le graphique F=f() F rappel ndes - 6 niv A - (1) 8 F exérieure