Chapitre VII : FONCTIONS NUMÉRIQUES DE DEUX VARIABLES RÉELLES

Chapitre VII : FONCTIONS NUMÉRIQUES DE DEUX VARIABLES RÉELLES I Fonctions continues sur ) Exemples de fonctions réelles de deux variables réelles Définition : On appelle fonction de dans toute fonction qui, à chaque couple, de associe un unique réel noté,. Exemple : Les fonctions :, ln, :, et :, 2 3 3 2 sont des fonctions définies de dans. Exemple 2 : En économie, on utilise les fonctions de production de Cobb-Douglas : ce sont les fonctions qui, à deux variables réelles (quantité de travail) et (capital investi) associent la production totale définie par :, où et sont strictement positifs. Définition 2 : On appelle fonction polynomiale de toute combinaison linéaire de fonctions de la forme, où et sont des entiers naturels. Exemple 3 : Les fonctions :, 3 5 5 et :, 2 2 sont des fonctions polynomiales de. Exemple 4 : Les fonctions :, et :, sont des fonctions polynomiales de particulières. On les appelle fonctions coordonnées. 2) Graphe et lignes de niveau Définition 3 : On appelle graphe de l ensemble des points,, de tels que,. Le graphe de est une surface (ou nappe) de l espace d équation,. Exemple 5 : Exemples de graphes de fonctions de f(x,y)=x²+y² 8 7 6 5 4 3 2 0-2 -,7 -,4 -, -0,8-0,5-0,2 0, 0,4 0,7,3,6,9 x -2 x,6 x 0,7 x -0,2 x -,

g(x,y)=2(x²+y²)exp(-x²-y²) 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, 0-2 -,7 -,4 -, -0,8-0,5-0,2 0, 0,4 0,7,3,6,9 2,5 0,5 0-0,5 - -,5-2 h(x,y)=exp(-x²-y²) 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, 0-2 -,7 -,4-,-0,8-0,5-0,2 0, 0,4 0,7,3,6,9 x -2 x,5 x 0,8 x 0, x -0,6 x -,3 Définition 4 : Pour tout réel, on appelle ligne de niveau de l ensemble des points, de tels que,. Les lignes de niveau d une fonction de dans sont des courbes. Remarque : Sur les trois graphes précédents, les lignes de niveaux sont représentées par les courbes «horizontales» dont tous les points ont la même cote. 2

3) Continuité a. Distance euclidienne Définition 5 : Pour tous points, et =(, de R, on appelle distance de à le réel noté, et défini par, = ( +(. Remarque 2 : c est une définition déjà rencontrée en géométrie, elle était notée. Cette notation n a pas de sens ici car A et B sont des couples de. b. Définition Définition 6 : Soit une fonction définie sur et, un point de. On dit que est continue en si, et seulement si, pour tout >0, il existe un réel >0 tel que, pour tout, R :, ( ( On dit que est continue sur lorsque est continue en tout point de. Remarque 3 : On peut également écrire : est continue en, si, et seulement si, >0, >0 tel que,, R,, (, (, c. Propriétés Théorème : Toute somme, combinaison linéaire, produit, quotient (de dénominateur non nul) de fonctions continues sur est continue sur. Remarque 4 : Les fonctions polynômes et les fonctions coordonnées sont donc continues sur. Théorème 2 : Si est une fonction continue sur à valeurs dans (intervalle de ) et si est une fonction continue de à valeurs dans, alors la fonction composée est continue sur. II Calcul différentiel pour les fonctions définies sur ) Calcul différentiel d ordre a. Définitions Définition 7 : Si, pour tout fixé dans, la fonction (, est dérivable sur, alors la fonction qui, à tout couple, R, associe le nombre dérivé de la fonction (, en s appelle dérivée partielle d ordre de par rapport à la première variable (ici ) et se note. On définit de même sur la fonction, la dérivée partielle d ordre de par rapport à la deuxième variable (ici ). Exemple 6 : La fonction :(, 3 5 + +5 a pour dérivées partielles d ordre :, =6 5 + et, =9 0 3

Exemple 7 : La fonction : (, ln ( + + a pour dérivées partielles d ordre : 2, = + + et 2 ( (, = + + Définition 8 : On appelle gradient de en,, le vecteur de M, noté,, qui se lit «nabla de en,» et défini par :, = ( (, ( (,. Exemple 8 : En reprenant la fonction de l exemple 6 :, = 6 5 + 9 et en particulier, = 6 5+ 0 9+0 = 0 8 b. Fonctions de classe Définition 9 : Soit une fonction définie sur. On dit que est de classe sur lorsque admet des dérivées partielles d ordre sur et que chacune d elles est continue sur. Remarque 5 : Toute fonction de classe sur est continue sur. Théorème 3 : Toute somme, combinaison linéaire, produit, quotient (de dénominateur non nul) de fonctions de classe sur est de classe sur. Remarque 6 : Les fonctions polynômes et les fonctions coordonnées sont donc de classe sur. Théorème 4 : Si est une fonction de classe sur à valeurs dans (intervalle de ) et si est une fonction de classe de à valeurs dans, alors la fonction composée est de classe sur. c. Développement limité d ordre Théorème 5 : Soit, un couple de. Si est une fonction de classe sur alors, pour tout couple, de :, + = (, + ( (, h+ ( (, + h + (h, où désigne une fonction continue en 0,0 telle que 0,0 =0. Définition 0 : L égalité précédente est le développement limité d ordre de en,. Il peut également se noter :, + = (, + ( (, h + h + (h, Théorème 6 : Le développement limité d ordre de en, est unique. Exemple 9 : En reprenant la fonction de l exemple 6 : Le développement limité d ordre de en, est : +h,+ = (, + ( (, h + h + (h, 3+( 0 8 h + h + (h, =3 0h+8 + h + (h, 4

2) Calcul différentiel d ordre 2 a. Définitions Définition : Soit une fonction admettant des dérivées partielles d ordre sur. ) Si admet elle aussi une dérivée partielle d ordre par rapport à la première variable sur, alors on dit que admet une dérivée partielle d ordre 2 par rapport à la première variable sur et on la note, (. 2) Si admet une dérivée partielle d ordre par rapport à la deuxième variable sur, alors on dit que admet une dérivée partielle d ordre 2 par rapport à la première variable puis par rapport à la deuxième variable sur et on la note, (. 3) Si admet une dérivée partielle d ordre par rapport à la deuxième variable sur, alors on dit que admet une dérivée partielle d ordre 2 par rapport à la deuxième variable puis par rapport à la première variable sur et on la note, (. 4) Si admet une dérivée partielle d ordre par rapport à la deuxième variable sur, alors on dit que admet une dérivée partielle d ordre 2 par rapport à la deuxième variable sur et on la note, (. Remarque 5 : On retrouve l ordre de dérivation avec les écritures suivantes :, ( = ( ( : On dérive deux fois par rapport à la première variable ;, ( = ( ( : On dérive par rapport à la première variable puis la deuxième ;, ( = ( ( : On dérive par rapport à la deuxième variable puis la première ; ( = ( ( : On dérive deux fois par rapport à la deuxième variable., Exemple 0 : En reprenant la fonction de l exemple 6 : ( (, =6,,,, ( (, =8 0 ( (, =8 0 ( (, =8 0 Exemple : En reprenant la fonction de l exemple 7 :, ( (, = 2( + + 2 2 ( + + = 2( + + ( + +, ( (, =2, ( (, =2 2 ( + + = 2 ( + + = 4 ( + + 4 ( + +, ( (, = 2( + + 2 2 ( + + = 2( + ( + + Remarque 6 : Dans les deux exemples précédents, les fonctions, ( et, ( sont égales. En général, les fonctions, ( et, ( ne sont pas égales mais il existe une condition suffisante pour qu elles le soient (voir le paragraphe suivant). 5

Définition 2 : On appelle matrice hessienne de en,, la matrice de M, noté,, qui se lit «nabla 2 de en,» et définie par :, =, ( (,, ( (,, ( (,, ( (,. Exemple 2 : En reprenant la fonction de l exemple 6 : 6, = 8 0 8 0 8 0 et plus particulièrement, 6 28, = 28 28 b. Fonctions de classe Définition 3 : Soit une fonction définie sur. On dit que est de classe sur lorsque admet des dérivées partielles d ordre 2 sur et que chacune de ces quatre dérivées partielles est continue sur. Remarque 7 : Toute fonction de classe sur est de classe sur. Théorème 7 : Toute somme, combinaison linéaire, produit, quotient (de dénominateur non nul) de fonctions de classe sur est de classe sur. Remarque 8 : Les fonctions polynômes et les fonctions coordonnées sont donc de classe sur. Théorème 8 : Si est une fonction de classe sur à valeurs dans (intervalle de ) et si est une fonction de classe de à valeurs dans, alors la fonction composée est de classe sur. Théorème 9 : Théorème de Schwartz Si est une fonction de classe sur alors, ( =, (. Remarque 9 : Si est une fonction de classe sur, alors sa matrice hessienne en tout point, de est une matrice symétrique. c. Développement limité d ordre 2 Théorème 0 : Soit, un couple de. Si est une fonction de classe sur alors, pour tout couple, de :, + = (, + ( (, h+ ( (, 2, ( (, h +2, ( (, h +, ( (, +(h + (h, où désigne une fonction continue en 0,0 telle que 0,0 =0. Définition 4 : L égalité précédente est le développement limité d ordre 2 de en,. Il peut également se noter :, + = (, + ( (, h + 2 (h ( (, h +(h + (h, Remarque 9 : L expression ( (, h est le produit matriciel de la matrice ligne par la matrice hessienne, puis par la matrice colonne. 6

Théorème : Le développement limité d ordre 2 de en, est unique. Exemple 3 : En reprenant la fonction de l exemple 6 : Le développement limité d ordre 2 de en, est :,,, 2,, 0 8 28 6 2 28 28, 0 8 2 6 28 28 28, 0 8 2 6 28 28 28, 0 8 3 28 4, III Extrema d une fonction de deux variables réelles ) Notions de topologie Définition 5 : Soit un point de et un réel strictement positif. On appelle boule ouverte de centre et de rayon l ensemble, noté ;, des points, de tels que,. La boule est dite fermée et notée ; lorsque,. Exemple 4 : Dans cet exemple, le point 2 ;3 ; et ; car, ; car, mais ; ; et ; car, > Remarque 0 : En posant ;, ;, tel que et ;, tel que 7

Définition 6 : Une partie de est dite ouverte ou «un ouvert de» lorsque pout tout point de, il existe une boule ouverte de centre entièrement incluse dans. Une partie de est dite fermée ou «un fermé de» lorsque son complémentaire est un ouvert. Exemple 5 : L ensemble, toute boule ouverte de et tout ensemble de la forme,, (où,, et sont réels ou infinis) sont des ouverts de. Toute boule ouverte de et tout ensemble de la forme,, (où,, et sont réels) sont des fermés de. Définition 7 : Une partie de est dite bornée lorsqu il existe un réel strictement positif tel que, pour tout point, de,. Remarque : Autrement dit : une partie de est bornée lorsqu elle est incluse dans une boule fermée de centre 0,0. Exemple 6 : Tout ensemble de la forme,, ou,, (où,, et sont réels) sont des ensembles bornés de. 2) Définitions Les définitions de la continuité, de la classe et de la classe vues précédemment s adaptent aux fonctions définies seulement sur une partie de. Dans toute la suite, désigne une fonction définie sur une partie de. Définition 8 : ) On dit que admet un maximum local en, lorsqu il existe une boule centrée en, telle que, pour tout, B, (, (,. Le maximum est global lorsque l inégalité est vraie pour tout,. 2) On dit que admet un minimum local en, lorsqu il existe une boule centrée en, telle que, pour tout, B, (, (,. Le minimum est global lorsque l inégalité est vraie pour tout,. Exemple 7 : La fonction :(, + est une fonction positive :, R, (, 0, or 0,0 =0 donc, R, (, (0,0. admet donc un minimum global en 0,0. Théorème 2 : Une fonction continue sur une partie fermée et bornée de est une fonction bornée sur. De plus, elle atteint ses bornes : autrement dit, elle admet un minimum global et un maximum global. 3) Conditions d existence d un extremum local a. Condition nécessaire Définition 9 : Soit une fonction admettant des dérivées partielles d ordre sur. On appelle point critique de tout point, tel que, = 0 0. Remarque 2 : Autrement dit, un point critique de annule ses deux dérivées partielles d ordre. 8

Exemple 8 : En reprenant la fonction de l exemple 7, admet le couple (0,0) comme unique point critique. 2 En effet, ( (, =0 + + 2 2 =0 =0 (, =0 2 + + Théorème 3 : Condition nécessaire d extremum sur un ouvert Soit une fonction de classe sur un ouvert de. Si admet un extremum (local ou global) en un point, de, alors est un point critique de. Remarque 3 : La réciproque est fausse : n admet pas d extremum (local ou global) en tous ses points critiques. Mais une fonction de classe sur un ouvert de n ayant pas de point critique ne peut pas avoir d extremum sur. Remarque 4 : Si l ensemble n est pas un ouvert, la fonction peut admettre un extremum (local ou global) en un point autre qu un point critique. b. Condition suffisante Théorème 4 : Condition suffisante d extremum sur un ouvert Soit une fonction de classe sur un ouvert de et, un point critique de sur. ) Si les valeurs propres de, sont strictement positives, alors admet un minimum local en,. 2) Si les valeurs propres de, sont strictement négatives, alors admet un maximum local en,. 3) Si les valeurs propres de, sont non nulles et de signes contraires, alors n admet pas d extremum local en, : le point, est appelé point col ou point selle. 4) Si l une des valeurs propres de, est nulle, on ne peut rien conclure directement par l étude de la matrice hessienne. Remarque 5 : On peut montrer ensuite que l extremum local obtenu est global mais ce théorème ne permet pas de répondre à ce problème. Une étude spécifique sur la fonction sera menée. Exemple 9 : En reprenant la fonction de l exemple 7, admet le couple (0,0) comme unique point critique. De plus,, ( (, = 2( + + ( + +, ( (0,0 =2 4, ( (, = ( + +, ( (0,0 =0 4, ( (, = ( + +, ( (0,0 =0, ( (, = 2( + ( + +, ( (0,0 =2 9

On en déduit la matrice hessienne : 0,0 = 2 0 0 2 Cette matrice admet 2 comme valeur propre (d ordre 2), elle est strictement positive donc admet un minimum local en (0,0). En observant la fonction, on démontre que ce minimum est global :, R, + 0 donc + + et donc ln( + + 0 Ainsi,, R, (, (0,0 : admet un minimum global en (0,0) qui a pour valeur 0. III Un peu de Scilab : surfaces (nappes) de l espace La fonction fplot3d : On construit les vecteurs x et y contenant les vecteurs lignes,,,,,,, (avec un pas assez petit), on déclare la fonction dont on veut tracer la nappe : pour cela on utilise l instruction fplot3d(x,y,f). Exemple 9 : function [z]=f(x,y),z=x^2+y^2,endfunction x=-3:0.:3 ; y=x ; fplot3d(x,y,f) Remarque 3 : Pour visualiser d autres facettes de la nappe, on peut utiliser l option «pivoter» en haut à gauche de la fenêtre graphique. Un clique droit permet de faire tourner le graphe. Remarque 4 : Il existe aussi l option plot3d(x,y,z)mais la création de z est plutôt fastidieuse, on se contentera de la fonction fplot3d qui fait très bien le travail! Remarque 5 : La fonction contour(x,y,f,n), connaissance non exigible, donne lignes de niveau associées à une fonction de deux variables, régulièrement espacées entre le niveau minimal et le niveau maximal atteints dans la plage des, considérés. 0

Exemple 0 : function [z]=f(x,y),z=x^2*y^2*exp(-(x^2+y^2)),endfunction x=-4:0.:4 ; y=x ; fplot3d(x,y,f) function [z]=f(x,y),z=x^2*y^2*exp(-(x^2+y^2)),endfunction x=-4:0.:4 ; y=x ; contour(x,y,f,20) Les «taches sombres» sont les valeurs de z (autrement dit des niveaux associés)