Université Pris Descrtes UFR de Mthémtiques et Informtique Espces euclidiens et optimistion - Licence 3e nnée Emen du /0/06 - Correction Eercice. fpq,. L fonction t ÞÑ? t est dérivle pour tout t 0, donc f est différentile dès que 0, cr composée de fonctions différentiles. Or 0 0, donc f est différentile pour tout 0. En fit f est ussi différentile en 0, cr }fpq} }}}} }}}} }} op}}q, donc on peut écrire un développement limité de f en 0 insi fp0 uq u}u} 0 0 u}u} fp0q 0 op}u}q, donc f est différentile en 0 et s différentielle est nulle. Clculons l mtrice jcoienne de f pour 0 : Bf pq B Bf B pq Bf B pq Bf B pq donc l mtrice jcoienne de f s écrit pour 0, Jfpq???? De plus pour 0 on vu que l différentielle de f est nulle, donc on 0 0 Jfp0q. 0 0. Ecrivons le développement limité de f en : pour tout u P E on f p uq gp uqhp uq pgpq Dgpq.u }u}ε puqqphpq Dhpq.u }u}ε puqq, puisque g et h sont différentiles en. Ici les fonctions ε : E Ñ R et ε : E Ñ E tendent vers 0 en 0 (vers 0 P E pour ε et vers 0 P R pour ε ). Donc, f p uq gpqhpq tpdgpq.uqhpq gpqpdhpq.uqu }u}ε puqhpq pdgpq.uqpdhpq.uq pdgpq.uq}u}ε puq }u}ε puqphpq Dhpq.u }u}ε puqq.
Tous les derniers termes (e et 3e ligne) peuvent s écrire }u}ε 3 puq vec ε : E Ñ E qui tend vers 0 en 0, cr on lors ε 3 puq ε puqhpq }u} pdgpq.uqpdhpq.uq pdgpq.uqε puq ε puqphpq Dhpq.u }u}ε puqq et on ε puqhpq, pdgpq.uqε puq et ε puqphpq Dhpq.u }u}ε puqq qui tendent ien vers 0 en 0, insi que pdgpq.uqpdhpq.uq cr Dgpq et Dhpq étnt des plictions linéires }u} continues, il eiste M 0 et N 0 tels que Dgpq.u M}u} et }Dhpq.u} N}u}, et donc }u} pdgpq.uqpdhpq.uq M}u} N}u} MN}u}, }u} ce qui tend vers 0 lorsque u tend vers 0. Ainsi fp uq gpqhpq tpdgpq.uqhpq gpqpdhpq.uqu }u}ε 3 puq. L ppliction ψ : u ÞÑ pdgpq.uqhpq cr gpqpdhpq.uq est clirement linéire, et continue }pdgpq.uqhpq gpqpdhpq.uq} M}u}}hpq} gpq N}u} pm}hpq} gpq N q}u}, donc f est ien différentile en et s différentielle s écrit Df pq.u pdgpq.uqhpq gpqpdhpq.uq. 3. On gpq }}, y ce qui est différentile pour 0 puisque lors, y 0 et donc? est dérivle en, y. D près l règle des différentielles de fonctions composées on Dgpq.u B F, uy, uy, y }} }}, u. 4. On fpq gpqhpq vec gpq }} et hpq. Donc pour tout 0 et u P E, B F Df pq.u pdgpq.uqhpq gpqpdhpq.uq }}, u, uy }}u }} }}u. Si E R, on peut retrouver l mtrice jcoienne de f en clculnt Dfpq.p, 0q et Dfpq.p0, q : Dfpq.p, 0q }} }}p, 0q }} p, q }}p, 0q }},, }} }} ce qui correspond ien à l première colonne de Jfpq otenue à l première question, et Dfpq.p0, q }}p0, q }} }} p, q }}p0, q }}, }}, }} ce qui correspond à l deuième colonne de Jfpq.
Eercice. On fpq p4 3 4, q, donc les points critiques vérifient 4 3 4 0 0 3 0 0 or or 0. Les points critiques sont p0, 0q, p, 0q et p, 0q. L mtrice hessienne de f s écrit Hfp, yq 4 0. 0 pour p0, 0q : on Hfp0, 0q 4 0, 0 dont les vleurs propres sont 4 et, donc p0, 0q est un point selle de f. pour p, 0q : on 8 0 Hfp0, 0q, 0 dont les vleus propres sont 8 et, donc p, 0q est un minimum locl de f. pour p, 0q : l mtrice hessienne de f est l même que précédemment, donc p, 0q est ussi un minimum locl de f.. On peut remrquer que fpq 4 p q, et nous vons fp, 0q fp, 0q. Donc fpq fp, 0q fp, 0q pour tous, y P R : p, 0q et p, 0q sont les deu minim glou de f. f n ps de mimum glol puisqu il n ps de mimum locl. Eercice 3. C t P R 3, gpq 0u pour gpq 3.. On gpq p,, q et Hgpq 0 0 0 0. 0 0 0 Hgpq est une mtrice symétrique positive pour tout P R 3, donc g est une fonction convee. 3. C est convee cr C t P R 3, gpq 0u vec g convee. En effet, soient, y P C et λ P r0, s. On gpλ p λqyq λgpq p λqgpyq cr g est convee. Or gpq 0 puisque P C, et de même gpyq 0. De plus comme λ et λ sont positifs, on en déduit que λgpq p λqgpyq 0, et donc qu gpλ p λqyq 0, ce qui siginifie que λ p λqy P C. Ainsi C est convee. C est non vide puisque p0, 0, 0q P C. 3
4. Pour trcer C on peut voir directement qu il s git d un proloïde ou ien remrquer d ord que 3 0 si P C ; ensuite que lorsque 3 0 est fié, les points p,, 3 q qui vérifient 3 correspondent à un disque horizontl de ryon p 3 q et de centre p0, 0, 3 q. C correspond donc à une union de disques horizontu centrés sur l e po 3 q et de ryons croissnts vec 3. En fit on peut pr eemple trcer l coure p0,? 3, 3 q pour 3 0, ce qui corrrepond u grphe de l fonction rcine crrée en prennt l e p0 3 q comme scisse et po q comme ordonnée, puis on trce des cercles horizontu centrés sur l e verticl et pssnt pr les points de l coure. C comprend tous les points à l intérieur et sur l frontière de l surfce trcée en leu. 5. Le prolème pp q correspond ectement u prolème de projection sur l ensemle C. Comme C est convee fermé non vide, ce prolème dmet une solution unique que l on ppelle projeté de y sur C. 6. J et g sont des fonctions C et on Jpq p yq pp q, p q, 3 q et gpq p,, q. gpq est toujours non nul, et donc en prticulier gp q 0, et donc vérifie les conditions de Krush-Kuhn-Tucker : il eiste µ 0 tel que soit solution de Jpq µ gpq 0 vec µgpq 0. Si gpq 0 (contrinte ctive) : lors les équtions deviennent : p q µ 0 Jpq µ gpq 0 p q µ 0 gpq 0 3 µ 0 3 0 & % {p µq 3 µ{ p µq µ 0 4 p µq p µq 3 µ 3 0
On p µq µ 0 p µq µ 4. µ est solution évidente de cette éqution, et donne l solution p{, {, {q. Ensuite on fctorise : p µq µ 4 0 µ 3 µ µ 4 0 pµ qpµ 3µ 4q 0 9 6 0 donc µ est l seule solution réelle. Si gpq 0 (contrinte inctive) : lors µ 0 et les équtions deviennent Jpq 0 gpq 0 p q 0 p q 0 3 0 3 0 3 0 3 0 ce qui n ps de solution puisque 0 0 Ainsi finlement les équtions n ont qu une solution qui correspond donc forcément à. Ainsi p{, {, {q. 5