Formes d une fonction polynôme du second degré Élie Arama cbea 13 septembre 2017
1 Forme développée 2 Forme canonique et extrema 3 Forme factorisée et signe
1 Forme développée
Définition Soient a, b et c trois réels (a 0). On appelle fonction polynôme du second degré, toute fonction f définie sur R par : f(x) = ax 2 + bx + c La courbe représentative d une telle fonction s appelle parabole.
Remarques Dans l expression d une fonction polynôme du second degré, les coefficients b et c peuvent être nuls, en revanche a est toujours différent de 0 car dans le cas contraire l expression ne serait tout simplement plus de degré 2 mais de degré 1! Dans le cas particulier où a = 1 et b = c = 0, on retrouve la fonction carré.
Exemples f(x) = 2x 2 + 3x + 5 g(x) = 4x 2 + x + 7 h(x) = x 2 1 i(x) = 3x 2 6x
Application Parmi les expressions suivantes, lesquelles sont celles de fonctions polynômes du second degré? f 1 (x) = x 2 + 2x 8 f 2 (x) = 3x 2 + 5x 1 f 3 (x) = x + 2 f 4 (x) = 1 x 2 f 5 (x) = (x 4)(x + 1) x 2 f 6 (x) = x4 9 x 2 +3 f 7 (x) = 1 2 x(7 1 3 x) f 8 (x) = 6x 2 5x x + 12
Application Parmi les expressions suivantes, lesquelles sont celles de fonctions polynômes du second degré? f 1 (x) = x 2 + 2x 8 Second degré : a = 1, b = 2 et c = 8; f 2 (x) = 3x 2 + 5x 1 f 3 (x) = x + 2 f 4 (x) = 1 x 2 f 5 (x) = (x 4)(x + 1) x 2 f 6 (x) = x4 9 x 2 +3 f 7 (x) = 1 2 x(7 1 3 x) f 8 (x) = 6x 2 5x x + 12
Application Parmi les expressions suivantes, lesquelles sont celles de fonctions polynômes du second degré? f 1 (x) = x 2 + 2x 8 Second degré : a = 1, b = 2 et c = 8; f 2 (x) = 3x 2 + 5x 1 Second degré : a = 3, b = 5 et c = 1; f 3 (x) = x + 2 f 4 (x) = 1 x 2 f 5 (x) = (x 4)(x + 1) x 2 f 6 (x) = x4 9 x 2 +3 f 7 (x) = 1 2 x(7 1 3 x) f 8 (x) = 6x 2 5x x + 12
Application Parmi les expressions suivantes, lesquelles sont celles de fonctions polynômes du second degré? f 1 (x) = x 2 + 2x 8 Second degré : a = 1, b = 2 et c = 8; f 2 (x) = 3x 2 + 5x 1 Second degré : a = 3, b = 5 et c = 1; f 3 (x) = x + 2 Pas second degré mais affine : a = 0; f 4 (x) = 1 x 2 f 5 (x) = (x 4)(x + 1) x 2 f 6 (x) = x4 9 x 2 +3 f 7 (x) = 1 2 x(7 1 3 x) f 8 (x) = 6x 2 5x x + 12
Application Parmi les expressions suivantes, lesquelles sont celles de fonctions polynômes du second degré? f 1 (x) = x 2 + 2x 8 Second degré : a = 1, b = 2 et c = 8; f 2 (x) = 3x 2 + 5x 1 Second degré : a = 3, b = 5 et c = 1; f 3 (x) = x + 2 Pas second degré mais affine : a = 0; f 4 (x) = 1 x 2 Second degré : a = 1, b = 0 et c = 1; f 5 (x) = (x 4)(x + 1) x 2 f 6 (x) = x4 9 x 2 +3 f 7 (x) = 1 2 x(7 1 3 x) f 8 (x) = 6x 2 5x x + 12
Application Parmi les expressions suivantes, lesquelles sont celles de fonctions polynômes du second degré? f 1 (x) = x 2 + 2x 8 Second degré : a = 1, b = 2 et c = 8; f 2 (x) = 3x 2 + 5x 1 Second degré : a = 3, b = 5 et c = 1; f 3 (x) = x + 2 Pas second degré mais affine : a = 0; f 4 (x) = 1 x 2 Second degré : a = 1, b = 0 et c = 1; f 5 (x) = (x 4)(x + 1) x 2 Pas second degré mais affine : a = 0; f 6 (x) = x4 9 x 2 +3 f 7 (x) = 1 2 x(7 1 3 x) f 8 (x) = 6x 2 5x x + 12
Application Parmi les expressions suivantes, lesquelles sont celles de fonctions polynômes du second degré? f 1 (x) = x 2 + 2x 8 Second degré : a = 1, b = 2 et c = 8; f 2 (x) = 3x 2 + 5x 1 Second degré : a = 3, b = 5 et c = 1; f 3 (x) = x + 2 Pas second degré mais affine : a = 0; f 4 (x) = 1 x 2 Second degré : a = 1, b = 0 et c = 1; f 5 (x) = (x 4)(x + 1) x 2 Pas second degré mais affine : a = 0; f 6 (x) = x4 9 x 2 +3 Second degré : a = 1, b = 0 et c = 3; f 7 (x) = 1 2 x(7 1 3 x) f 8 (x) = 6x 2 5x x + 12
Application Parmi les expressions suivantes, lesquelles sont celles de fonctions polynômes du second degré? f 1 (x) = x 2 + 2x 8 Second degré : a = 1, b = 2 et c = 8; f 2 (x) = 3x 2 + 5x 1 Second degré : a = 3, b = 5 et c = 1; f 3 (x) = x + 2 Pas second degré mais affine : a = 0; f 4 (x) = 1 x 2 Second degré : a = 1, b = 0 et c = 1; f 5 (x) = (x 4)(x + 1) x 2 Pas second degré mais affine : a = 0; f 6 (x) = x4 9 x 2 +3 Second degré : a = 1, b = 0 et c = 3; f 7 (x) = 1 2 x(7 1 3 x) Second degré : a = 1 6, b = 7 2 et c = 0; f 8 (x) = 6x 2 5x x + 12
Application Parmi les expressions suivantes, lesquelles sont celles de fonctions polynômes du second degré? f 1 (x) = x 2 + 2x 8 Second degré : a = 1, b = 2 et c = 8; f 2 (x) = 3x 2 + 5x 1 Second degré : a = 3, b = 5 et c = 1; f 3 (x) = x + 2 Pas second degré mais affine : a = 0; f 4 (x) = 1 x 2 Second degré : a = 1, b = 0 et c = 1; f 5 (x) = (x 4)(x + 1) x 2 Pas second degré mais affine : a = 0; f 6 (x) = x4 9 x 2 +3 Second degré : a = 1, b = 0 et c = 3; f 7 (x) = 1 2 x(7 1 3 x) Second degré : a = 1 6, b = 7 2 et c = 0; f 8 (x) = 6x 2 5x x + 12 Pas second degré à cause de x.
Remarque L expression «ax 2 + bx + c» est la forme développée d une fonction polynôme du second degré.
2 Forme canonique et extrema
Théorème Toute fonction polynôme du second degré f : x ax 2 + bx + c admet une forme dite canonique, c est-à-dire qu il existe α et β réels tels que : f(x) = a(x α) 2 +β Exemple Soit f la fonction polynôme du second degré définie sur R par : f(x) = 2x 2 4x + 8 La forme canonique de la fonction f est : f(x) = 2(x 1) 2 + 6
Démonstration Soit f : x ax 2 + bx + c une fonction polynôme du second degré. Puisque a 0, on peut factoriser f(x) de la manière suivante : f(x) = ax 2 + bx + c ( = a x 2 + b a x + c ) a
Démonstration (suite) En remarquant que x 2 + b a x = ( x + b ) 2 2a b 2, on obtient : 4a 2 [ ( f(x) = a x + b ) ] 2 b2 2a 4a 2 + c a [ ( = a x + b ) ] 2 2a 4a 2 où = b 2 4ac ( = a x + b ) 2 + 2a 4a En posant α = b 2a et β = 4a, on retrouve bien : f(x) = a(x α) 2 +β
Définition Dans la démonstration précédente, le nombre réel = b 2 4ac s appelle le discriminant du polynôme ax 2 + bx + c.
Application Quelle est la forme canonique de f : x 3x 2 12x + 27?
Application Quelle est la forme canonique de f : x 3x 2 12x + 27? f(x) = 3 ( x 2 4x + 9 ) [ ] = 3 (x 2) 2 4+9 = 3(x 2) 2 + 15
Théorème Toute fonction polynôme du second degré f : x ax 2 + bx + c admet un extremum sur R en α = b 2a. Cet extremum a pour valeur β = f(α) ou encore 4a. Exemple Reprenons la fonction f : x 2x 2 4x + 8 de l exemple précédent dont la forme canonique est : f(x) = 2(x 1) 2 + 6 D après le théorème précédent, on peut affirmer que f admet un minimum en 1 ayant pour valeur 6.
Démonstration D après le théorème démontré précédemment, on sait que tout fonction polynôme du second degré admet une forme canonique : f(x) = a(x α) 2 +β Puisque l expression (x α) 2 est un carré, on peut affirmer que : (x α) 2 0 En fonction du signe de a, on a les deux cas de figure suivants : Si a > 0 alors : a(x α) 2 0 a(x α) 2 +β β f admet un minimum en α ayant pour valeur β = f(α). Si a < 0 alors : a(x α) 2 0 a(x α) 2 +β β f admet un maximum en α ayant pour valeur β = f(α).
Remarque Le point de coordonnées (α;β) = ( b 2a ; 4a) correspond au sommet de la parabole d équation : y = ax 2 + bx + c.
Application Dresser le tableau de variations de f définie sur R par : f(x) = 3x 2 12x + 27
Application Dresser le tableau de variations de f définie sur R par : f(x) = 3x 2 12x + 27 On a vu précédemment que la forme canonique de f est : f(x) = 3(x 2) 2 + 15 f admet donc un minimum (a > 0) en 2 ayant pour valeur 15. On obtient donc le tableau de variations suivant : x 2 + + + f 15
3 Forme factorisée et signe
Théorème Soit f : x ax 2 + bx + c une fonction polynôme du second degré et = b 2 4ac son discriminant. Si > 0, alors il existe deux réels x 1 et x 2 tels que : f(x) = a(x x 1 )(x x 2 ) Si = 0, alors il existe un unique réel x 0 tel que : f(x) = a(x x 0 ) 2 Si < 0, alors f(x) n admet pas de forme factorisée.
Corollaire Soit f une fonction polynôme du second degré. Si > 0, alors le signe de f est donné par le tableau suivant en fonction du signe de a (on suppose que x 1 < x 2 ). a > 0 a < 0 x x 1 x 2 + x x 1 x 2 + f(x) + 0 0 + f(x) 0 + 0 Si = 0, alors f est toujours du signe de a et s annule en x 0. Si < 0, alors f est toujours du signe de a et ne s annule pas sur R.
Définition Les valeurs pour lesquelles une fonction polynôme s annule sont appelées racines ou zéros de la fonction.
Exemple Soit f la fonction polynôme du second degré définie sur R par : f(x) = 2x 2 + 8x 6 Puisque = 8 2 4 ( 2) ( 6) = 16 > 0, la fonction f admet la forme factorisée suivante : f(x) = 2(x 1)(x 3) Grâce à cette forme, on voit que f possède deux racines : 1 et 3. Le signe de f peut être résumé dans le tableau suivant. x f(x) 1 3 + 0 + 0
Exemple Soit g la fonction polynôme du second degré définie sur R par : g(x) = x 2 + 2x + 1 Puisque = 2 2 4 1 1 = 0, la fonction g admet la forme factorisée suivante : g(x) = (x + 1) 2 On voit que g admet une unique racine : 1. La fonction g est positive sur R.
Exemple Soit h la fonction polynôme du second degré définie sur R par : h(x) = 4x 2 x + 3 Puisque = ( 1) 2 4 4 3 = 47 < 0, la fonction h n admet pas de forme factorisée et ne possède donc pas de racine réelle. La fonction h est strictement positive sur R.
Démonstration Nous allons démontrer le théorème ainsi que son corollaire. Soit f : x ax 2 + bx + c une fonction polynôme du second degré. On a vu dans la démonstration du théorème concernant la forme canonique que : [ ( f(x) = a x + b ) ] 2 2a 4a 2
Démonstration (suite) Si > 0, on peut donc écrire : [ ( f(x) = a x + b ) 2 2a ( = a x + b )( 2a + 2a = a ( x b 2a ( ) 2 ] 2a )( x + b 2a 2a x b+ 2a ) ) Ainsi, f(x) = a(x x 1 )(x x 2 ) avec x 1 = b 2a et x 2 = b+ 2a.
Démonstration (suite) En dressant le tableau de signe de l expression (x x 1 )(x x 2 ) on peut démontrer la première partie du corollaire : x x x 1 x x 2 (x x 1 )(x x 2 ) x 1 x 2 + 0 + + 0 + + 0 0 + Ainsi, f est du signe de a à l extérieur de ses racines et du signe contraire de celui de a à l intérieur de ses racines.
Démonstration (suite) Si = 0, on a directement : ( f(x) = a x + b ) 2 2a Ainsi, f(x) = a(x x 0 ) 2 avec x 0 = b 2a. De plus, f est du signe de a puisqu un carré est toujours positif.
Démonstration (suite) Si < 0, la fonction f ne possède pas de racine puisque l équation : [ ( a x + b ) ] 2 2a 4a 2 = 0 encore équivalente à : ( x + b ) 2 = 2a 4a 2 ne peut pas posséder de solution puisque le carré d un nombre réel est toujours positif. Ainsi, f(x) ne peut pas se factoriser en facteurs du premier degré.
Démonstration (suite) La dernière partie du corollaire se démontre en remarquant que ( ) x + b 2 2a étant toujours strictement positif, f est forcément 4a 2 toujours du signe de a.
Application Quelle est la forme factorisée de la fonction f : x 3x 2 9x 30?
Application Quelle est la forme factorisée de la fonction f : x 3x 2 9x 30? Calculons le discriminant de f : = ( 9) 2 4 3 ( 30) = 81+360 = 441 Puisque > 0, la fonction f possède deux racines : x 1 = ( 9) 441 2 3 = 2 x 2 = ( 9)+ 441 2 3 = 5 On a donc : f(x) = 3(x + 2)(x 5).
Application Quel est le signe de f sur R?
Application Quel est le signe de f sur R? Le signe de f peut être donné par le tableau suivant. x f(x) 2 5 + + 0 0 +
Application Résoudre l équation du second degré : 4x 2 150x + 675 = 0.
Application Résoudre l équation du second degré : 4x 2 150x + 675 = 0. Calculons le discriminant de f : x 4x 2 150x + 675. = ( 150) 2 4 4 675 = 11700 Puisque > 0, l équation f(x) = 0 possède deux solutions réelles : x 1 = ( 150) 11700 2 4 = 150 11700 8 5,23 x 2 = ( 150)+ 11700 2 4 = 150+ 11700 8 32,27
Application Résoudre l inéquation du second degré : 6x 2 + x 1 0.
Application Résoudre l inéquation du second degré : 6x 2 + x 1 0. Calculons le discriminant de f : x 6x 2 + x 1. = 1 2 4 6 ( 1) = 25 Puisque > 0, la fonction f possède deux racines réelles : x 1 = 1 25 2 6 = 1 2 x 2 = 1+ 25 2 6 = 1 3
Application (suite) On peut donc résumer le signe de f dans le tableau suivant. x 1 2 1 3 + f(x) + 0 0 + Une simple lecture du tableau ci-dessus nous permet d affirmer que l ensemble des solutions de l inéquation f(x) 0 est : ] ; 1 ] [ [ 1 2 3 ;+
Fonction du second degré (Wikipédia) ; Second degré 1reS (Yvan Monka) ; 1 Second degré Cours (PolyMatheux) ; Maths collection Indice (Bordas) : pages 10 15. Liens et références