Corrigé du Brevet Blanc2014 - Mathématiques Exercice 1 : quantité Prix unitaire HT Table HT Chambre double 5 75 5 75=375 Chambre simple 1 45 45 Petit déjeuner 132 12=11 12 132 Taxe de séjour 11 0,95 10,45 Total HT 562,45 TVA : 7% 7 562,45 = 39,3715 100 Total TTC 562,45 +39,3715 =601,8215 Exercice 2 : 1. Etendue de la série : 9,40-6,67 = 2,73. Interprétation : Le SMIC a augmenté de 2,73 euros entre 2001 et 2011. 2. L effectif total de la série est 11. 11 2 =5,5 donc la médiane de la série est la 6ème valeur c est-à-dire 8,27 euros (SMIC en 2006). 3. Pourcentage d augmentation entre 2001 et 2002 : 0,16 ó0,024 => environ 2,4% d augmentation. 6,67 Pourcentage d augmentation entre 2007 et 2008 : 0,19 ó0,023 => environ 2,3% d augmentation. 8,44 Le pourcentage d augmentation est supérieur entre 2001 et 2002. Paul n a donc pas raison. Exercice 3 : 1. Le nombre d équipes est un diviseur du nombre de fourmis rouges et du nombre de fourmis noires car toutes les fourmis doivent se trouver dans une équipe et chaque équipe est constituée de la même façon. De plus on cherche le nombre maximal d équipes donc ce nombre doit être le plus grand diviseur commun au nombre de fourmis rouges et au nombre de fourmis noires c est-à-dire : PGCD ( 6510 ; 4650). Utilisons l algorithme d Euclide : 6510 = 4650 1+1860 4650=1860 2+930 1860=930 2+0 Le dernier reste non nul est 930 donc PGCD ( 6510 ; 4650)=930. La reine pourra constituer au maximum 930 équipes.
2. Soit x la taille d une fourmi noire. Il y a 6510 fourmis noires donc en file indienne, elles forment donc une colonne de 6510 x=6510 x cm. Une fourmi rouge mesure 2 mm, c est-à-dire 0,2 cm de plus qu une fourmi noire, donc la taille d une fourmi rouge est de x+0,2. Il y a 4650 fourmis rouges donc en file indienne elles forment une colonne de 4650 (x+0,2) cm. En tout l ensemble des fourmis forment une file indienne de 42,78 m de long c'est-à-dire 4278 cm. On a donc l équation : 6510 x+4650 (x+0,2)=4278 6510 x + 4650 x+4650 0,2=4278 (développement du membre de gauche) 11160 x + 930 = 4278 11160 x = 4278 930 11160 x = 3348 x = 3348 11160 x =0,3 La taille d une fourmi noire est de 0,3 cm (soit 3 mm) donc la taille d une fourmi rouge est de 5 mm. Exercice 4 : 1. a) Nombre choisi : 1,2 : Le programme de calcul donne : 1,2 4+6=10,8. b) Nombre choisi : x : Le programme de calcul donne : 4x+6 2. Le résultat du programme de calcul doit être 15 donc : 4x+6 = 15 4x+6 = 15 4x=15 6 4x=9 x= 9 4 x=2,25. Le nombre que l on doit choisir est 2,25 (ou 9 4 ). Exercice 5 : Lectures graphique : 1. A 2,5 km d un central Marie obtient un débit de connexion de 10 Mbits/s. 2. Paul obtient 20 Mbits/s donc il habite 1,5 km du central.
3. Pour que le débit soit au moins de 15 Mbits/s on doit habiter à une distance maximale de 2 km. Exercice 6 : a) A = 3 5( 20 7) 21 5 A = 3 5 20 3 5 7 21 5 A = 3 5 20 3 7 5 21 5 A = 3 100 21 5 21 5 A = 3 100 A = 3 10 A = 30 A est bien un nombre entier. b) B = 4 99 1100 8 176 B = 4 9 11 100 11 8 16 11 B = 4 3 11 10 11 8 4 11 B = 12 11 10 11 32 11 B = ( 12 10 32) 11 B = 10 11 Exercice 7 : 1) Le triangle EFG est rectangle en E donc : Si on applique la trigonométrie : l hypoténuse est le côté GF, et par rapport à l angle ÆEGF, le côté EG est le côté adjacent et le côté EF est le côté opposé. Donc : cos ÆEGF= EG GF donc EG = GF cos ÆEGF => réponse A fausse. sin ÆEGF = EF => la réponse C est vraie. GF Si on applique le théorème de Pythagore : GF 2 =EG 2 +EF 2 Donc : EG 2 =GF 2 EF 2 => réponse B fausse. 2) Le point K appartient au cercle de diamètre [IJ]. Or : Si un triangle est inscrit dans un cercle et que l un de ses côtés est un diamètre de ce cercle alors ce triangle est rectangle. Donc le triangle IJK est rectangle en K. Si un triangle est rectangle alors ses angles aigus sont complémentaires (somme des mesures d angle égale à 90 ). Donc : ÆIJK = 90-32 = 58 => Réponse C. 3) 1 ère méthode : IGJH est un parallélogramme et ÆIGJ = 110. Or : Dans un parallélogramme les angles consécutifs sont supplémentaires ( somme des mesures égale à 180 ).
Donc : ÆGIH = 180 ÆIGJ ÆGIH = 180 110 = 70. De plus les angles ÆGIJ et ÆJIH sont adjacents donc : ÆJIH = ÆGIH - ÆGIJ = 70 30 = 40. => Réponse B. 2 ème méthode : Dans le triangle IGJ : ÆJGI =110 et ÆGIJ =30. Or la somme des mesures des angles d un triangle est égale à 180. Donc : ÆGJI = 180 ( ÆJGI +ÆGIJ ) ÆGJI = 180 (110+30) ÆGJI =180 140 ÆGJI =40 Je sais que : ÆGJI et ÆIJH sont alternes-internes et les droites (GI) et (JH) sont parallèles ( car IGJH est un parallélogramme). Or : Si deux angles alternes-internes sont formés par deux droites parallèles coupées par une sécante alors ils sont de même mesure. Donc ÆGJI = ÆIJH = 40. 4) Calcul de ST : STUV est un rectangle donc le triangle STU est rectangle en T et : SU=2 PU=2 3,2=6,4cm. On applique la trigonométrie : cos ÆUST = ST SU Donc ST=SU cos ÆUST ST = 6,4 cos 30 ó 5,54 cm. => ce n est qu une valeur approchée! => réponse A fausse. Calcul de TU : sin ÆUST = TU SU Donc TU = SU sin ÆUST TU = 6,4 sin 30 = 3,2 cm => réponse C vraie. Calcul de ÆSPV : STUV est un rectangle donc l angle ÆVST est un angle droit. ÆPST = 30 donc : ÆVSP = 90- ÆPST = 90 30=60. De plus, dans un rectangle les diagonales se coupent en leur milieu et sont de même longueur donc SP=PV. Le triangle SPV est donc un triangle isocèle. Or un triangle isocèle ayant un angle de 60 est un triangle équilatéral. Donc ÆSPV = 60. => réponse B fausse. 5) D après la question précédente, ÆSPV = 60 donc les diagonales (SU) et (TV) ne sont pas perpendiculaires. => réponse A fausse. D après la question précédente le triangle SPV est un triangle équilatéral, il en est de même pour le triangle TPU, donc il n est pas rectangle-isocèle. => réponse B fausse.
Les diagonales d un rectangle sont de même longueur et se coupent en leur milieu donc : PS = PT = PU = PV. Le cercle de centre P passant par S passe donc aussi par T, U et V. => réponse C vraie. 6) Tous les quadrilatères n ont pas leurs côtés opposés parallèles, il ne sont donc pas tous des parallélogrammes. => réponse A fausse. Tous les rectangles n ont pas leurs quatre côtés de même longueur, ils ne sont donc pas tous des losanges. => réponse B fausse. Tous les carrés ont quatre angles droits, ce sont donc des rectangles particuliers. => réponse C vraie.
Exercice 8 : 1. Les points C, B, A sont alignés. Les points C, D, E sont alignés. Les droites (AE) et (BD) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès on a : BC AC = DC EC = BD AE DC, donc 6 = 1,10 1,50 On obtient DC= 1,1 6 1,50. C'est à dire DC=4,40 m 2. D [EC], donc ED=EC DC=6 4,40=1,60m 3. Puisque que la fillette passe à 1,40 m derrière la voiture et que ED = 1,60 m, alors elle se situe entre les droites (AE) et (BD). Comme la fillette a la même taille que le segment [BD], elle se situe donc dans la zone ( en gris) où le conducteur ne peut pas la voir. Exercice 9 : 1. C est le milieu de [BD]. Donc BC=CD=3 cm et BD=6 cm. Dans le triangle ABC, [AC] est le plus grand côté. D'une part AC 2 =5 2 =25 D'autre part AB 2 +BC 2 =4 2 +3 2 =16+9=25 On obtient l'égalité AC²=AB²+BC². D'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABC est rectangle en B. 2. Le triangle DBE est rectangle en B, en effet : - Les points A,B et E sont alignés donc ÂBE =180. - D'après la question précédente ÂBC = 90. Donc DCE = ÂBE ÂBC = 180 90 = 90
3. Dans le triangle DBE rectangle en B, d'après le théorème de Pythagore on a : ED 2 =BD 2 +BE 2 ED 2 =6 2 +7 2 ED 2 =36+49=85 ED= 85, donc ED 9,2 cm Exercice 10 : 1.a. Le périmètre d'un carré gris de côté c=7cm est égal à p=4 c=4 7 = 28 cm 1.b. Longueur du rectangle noir : L=AB 2 c=30 2 7=16 cm Largeur du rectangle noir : l=bc 2 c=24 2 7=10 cm Donc le périmètre du rectangle noir est : P=2 L+2 l =2 16+2 10 = 52 cm 2. On pose x le longueur du côté d'un carré gris. La somme des périmètres des quatre carrés gris est : S=4 (4 x)=16 x Le périmètre du rectangle noir est : P=2 L+2 l=2 (30 2 x)+2 (24 2 x)=60 4 x+48 4 x=108 8 x Les deux quantités étant égales nous obtenons l'équation : 16 x=108 8 x 16 x+8 x=108 24 x=108 x= 108 24 x=4,5 L'équation a pour solution 4,5. Ce nombre étant compris entre 0 et 12 (la moitié de BC), il répond au problème. Donc il est possible que le périmètre du rectangle noir soit égal à la somme des périmètres des quatre carrés gris. (Lorsque que le carré gris à 4,5 cm de côté.)