M42. Compléments d analyse (résumé).

Université d Evry-Val-d Essonne. Année 2008-09 D. Feyel M42. Compléments d analyse (résumé). Table. I. Rappels sur les suites. Limites supérieure et inférieure. II. Topologie élémentaire. III. Fonctions convexes, logarithmiquement convexes. IV. La fonction Γ. V. Théorie de Fourier élémentaire. VI. Formule d Euler-MacLaurin. VII. Egale continuité. I. Rappels. IR est un corps commutatif totalement ordonné et complet. Cela signifie que a) Il a deux lois de composition internes, l addition notée + et la multiplication notée ou x. c) Il est totalement ordonné. d) Toute partie bornée possède une borne supérieure, c est-à-dire un plus petit majorant. Naturellement les propriétés a), b), c) sont liées entre elles : i) IR est un groupe commutatif sous l addition, avec élément neutre noté 0. ii) IR = IR {0} est un groupe commutatif sous la multiplication, avec élément neutre (élément unité) noté 1. iii) La multiplication est distributive par rapport à l addition : a(b + c) = ac + bc. iv) La relation d ordre est compatible avec + et a b a + c b + c, et si x > 0 ax bx Remarquer que IR est archimédien, ce qui signifie que les entiers n 0 ne sont pas bornés. En effet, s ils avaient une borne supérieure M, on aurait n IN n + 1 M n M 1 M M 1 0 1, absurde 1

On en déduit aussi que la borne inférieure de la suite 1/n est 0. En effet, on a toujours 0 1/n, donc 0 ε = Inf n (1/n) qui existe. Si l on avait ε 0, on aurait n 1/ε pour tout n IN. Une suite x n IR converge vers x si l on a ε > 0, n 0 tel que x n x < ε pour tout n n 0 On peut encore dire que pour tout ε > 0, on a x n ]x ε, x + ε[ pour presque tout n, c est-à-dire pour tous les n sauf peut-être un nombre fini d entre eux. Toute suite croissante et bornée converge vers sa borne supérieure, toute suite décroissante et bornée converge vers sa borne inférieure. En particulier, la suite 1/n tend vers 0. Extension aux sous-ensembles non bornés de IR. Si A IR n est pas majoré, on pose Sup A = +. Cela permet de dire (abusivement) que toute suite croissante bornée ou non, converge (éventuellement vers + ). Rappelons que + est un symbole, mais pas un nombre réel. Il n y a en effet aucune définition générale cohérente d expressions telles que ou 0.. Limites supérieure et inférieure. Soit x n une suite bornée ou non. Posons v n = Sup x k k n u n = Inf k n x k La suite u n est croissante, la suite v n est décroissante, et u n v n. Par suite u = Sup n u n v = Inf n u n. u n u n+1 u v v n+1 v n On appelle v la limite supérieure de la suite x n, u est la limite inférieure. Ainsi v = Inf n Sup x k k n u = Sup n Inf k n x k La suite x n est bornée si et seulement si u et v sont des nombres finis. Noter que la suite u n converge vers u, et que v n converge vers v. On a donc aussi v = Lim Sup x k n k n u = Lim n Inf k n x k 2

ce qui s écrit plus simplement (notation) v = LimSup x n n u = LimInf n x n 1 Proposition : Une suite x n bornée est convergente si et seulement si ses limites supérieure et inférieure coïncident. En ce cas, elle converge vers la valeur commune. Exercice classique : soit x n une suite. Alors Lim Sup n x 1 + x 2 + + x n n LimSup x n n et pour des x n > 0 Suites de Cauchy. Lim Sup n n xn LimSup n x n+1 x n Une suite réelle x n est de Cauchy si x n x m tend vers 0 quand n et m tendent (tous les deux) vers +. Lim n,m x n x m = 0 2 Proposition : Les suites convergentes sont les suites de Cauchy. Démonstration : On montre facilement que les limites inférieure et supérieure coïncident. Si x IR, son développement décimal par défaut à 10 n près est une suite de Cauchy (et même croissante) qui converge vers x. Même chose pour le développement décimal par excès (suite décroissante). Propriété analogue pour les développements dyadiques etc.. 3

II. Topologie élémentaire. On se place ici dans IR d. La distance de deux points x et y est définie par d(x, y) = d x i y i 2 i=1 Il s agit de la distance naturelle de la géométrie euclidienne, c est pourquoi on l appelle la distance euclidienne. On pose aussi x = d x i 2 qu on appelle la norme euclidienne de x. On a donc d(x, y) = x y. Noter que dans IR (d = 1), on a x = x, d(x, y) = x y. On a les propriétés suivantes i=1 a) d(x, z) d(x, y) + d(y, z) (inégalité triangulaire) b) d(x, y) = d(y, x) (symétrie) c) d(x, y) = 0 x = y. Boules ouvertes, boules fermées. La boule ouverte de centre x 0 et de rayon r 0 est l ensemble B(x 0, r) = { x / d(x, x 0 ) < r } = { x / x x 0 < r } Noter que la boule ouverte de rayon nul est vide. La boule fermée de centre x 0 et de rayon r 0 est l ensemble B (x 0, r) = { x / d(x, x 0 ) r } = { x / x x 0 r } Noter que la boule fermée de rayon nul est réduite à {x 0 }. Voisinages, ensembles ouverts. Un sous-ensemble V IR d est un voisinage de x s il contient une boule ouverte non vide centrée en x : il existe ε > 0 tel que B(x, ε) V. 4

Un sous-ensemble G IR d est ouvert s il est un voisinage de chacun de ses points. 3 Proposition : a) Ø et IR d sont ouverts dans IR d. b) l intersection de deux ouverts est un ouvert. c) la réunion d un nombre quelconque (fini ou infini) d ouverts est un ouvert. d) les boules ouvertes sont des ensembles ouverts (c est cohérent!). Distances équivalentes. Posons δ(x, y) = Sup i x i y i. Il est facile de voir que δ possède les mêmes propriétés a), b), c) que la distance euclidienne. On dit que δ est aussi une distance. Or on a δ(x, y) d(x, y) δ(x, y) d En ce cas on dit que les deux distances d et δ sont équivalentes. On a une propriété analogue pour δ (x, y) = i x i y i qui est aussi une distance, et de plus Les trois distances sont équivalentes. δ(x, y) d(x, y) δ (x, y) δ(x, y).d 4 Théorème : Si deux distances sont équivalentes, les ensembles ouverts sont les mêmes. (Attention, les boules sont différentes, faire un dessin). Ensembles fermés, adhérence. Un ensemble F est fermé si son complémentaire est ouvert. 5 Proposition : a) Ø et IR d sont fermés dans IR d. b) la réunion de deux fermés est un fermé. c) l intersection d un nombre quelconque (fini ou infini) de fermés est un fermé. Un point x adhère à un ensemble A si toute boule ouverte B(x, ε) non vide rencontre A : il existe y A tel que x y < ε. 6 Proposition : x est adhèrent à A si et seulement s il existe une suite x n A telle que x n x 0. L adhérence d un ensemble A est l ensemble A de ses points adhérents. Evidemment A A. 7 Proposition : F est fermé si et seulement s il est égal à son adhérence. 5

Valeurs d adhérence d une suite. Une suite x n IR d possède une valeur d adhérence x IR d si la suite x n entre infiniment souvent dans toute boule non vide de centre x. Cela s écrit A comparer avec x n converge vers x : ε > 0, n 0, n n 0 tel que x n B(x, ε) ε > 0, n 0, tel que n n 0, x n B(x, ε) (voyez l inversion des deux quantificateurs). Si x n converge vers x, alors x est une valeur d adhérence de la suite x n, la réciproque est en fausse, selon l exemple suivant : x n = 1 n ne converge pas, mais ± 1 sont deux valeurs d adhérence Exemple : dans IR, la limite supérieure et la limite inférieure sont deux valeurs d adhérence. Ce sont en fait la plus grande et la plus petite des valeurs d adhérence. 8 Théorème : Pour que x soit une valeur d adhérence de la suite x n, il faut et il suffit qu il existe une suite extraite x nk convergeant vers x. Cela signifie qu il existe une suite d entiers n k tendant vers, et telle que x nk quand k. x Ensembles compacts. Un sous-ensemble K IR d est compact si toute suite x n K possède une valeur d adhérence x appartenant à K. 9 Théorème : Sont équivalentes a) K est compact b) K est fermé et borné. c) K est fermé, et pour tout ε > 0 on peut couper K en un nombre fini de sous-ensembles K i de diamètres diam(k i ) < ε. 6

III. Fonctions convexes, logarithmiquement convexes. Une fonction est convexe sur un intervalle ouvert ]a, b[ si les cordes sont audessus des arcs, c est-à-dire si (faire un dessin) pour tous x, y ]a, b[ et tout t [0, 1]. f((1 t)x + ty) (1 t)f(x) + tf(y) 10 Proposition : si x < y < u < z, on a f(y) f(x) y x f(u) f(y) u y f(z) f(y) z y 11 Proposition : si u < x < y < z, on a f(x) f(u) x u f(y) f(x) y x f(z) f(x) z x 12 Corollaire : La dérivée à droite f d (x) existe et est croissante. Même chose pour la dérivée à gauche. De plus f g(x) f d (x). 13 Corollaire : Toute fonction convexe est continue. 14 Corollaire : Soit f une fonction dérivable. Elle est convexe si et seulement si sa dérivée est croissante. 15 Proposition : Soit f une fonction deux fois dérivable. Elle est convexe si et seulement si sa dérivée seconde est f 0. 16 Théorème : Soit f une fonction continue. Pour qu elle soit convexe, il suffit qu elle soit semi-convexe, c est-à-dire pour tous x, y ]a, b[. ( ) x + y f 2 1 [f(x) + f(y)] 2 Une fonction f > 0 sur ]a, b[ est log-convexe si la fonction Log f(x) est convexe. Cela s écrit pour touts x, y ]a, b[ et tout t [0, 1]. f((1 t)x + ty) f(x) 1 t f(y) t 7

Une fonction continue est log-convexe si et seulement si ( ) x + y f f(x)f(y) 2 pour tous x, y ]a, b[. Comme la moyenne géométrique AB est toujours majorée par la moyenne arthmétique (A + B)/2, on voit qu une fonction log-convexe est convexe. Il est clair que le produit de deux fonctions log-convexes est log-convexe. il y a mieux : 17 Théorème : La somme de deux fonctions log-convexes est log-convexe. Démonstration : Posons ( ) x + y Q(λ) = λ 2 f(x) 2λf + f(y) 2 Ce trinôme est toujours 0 puisque son discriminant = 4f((x + y)/2) 4f(x)f(y) est 0. Si g est aussi log-convexe, on a pour h = f + g et pour tout λ IR ( ) x + y λ 2 h(x) 2λh + h(y) 0 2 de sorte que le discriminant = 4h((x + y)/2) 4h(x)h(y) 0. Cela exprime que h = f + g est log-convexe puisqu elle est continue. Fonctions convexes de plusieurs variables. La définition est la même que pour une variable. Une fonction définie sur une boule de IR d (ou sur un ouvert convexe G ) est convexe si f[(1 t)x + ty] (1 t)f(x) + tf(y) pour tous x, y G et t [0, 1]. On a alors 18 Théorème : Soit f de classe C 2. Elle est convexe sur G si et seulement si sa matrice hessienne [ 2 ij f] ij est de type positif. Cela signifie que la forme quadratique suivante est positive quels que soient les nombres ξ i. ξ i ξ j ijf(x) 2 0 i,j 8

En dimension deux (et seulement dans ce cas), il faut et il suffit que le déterminant 2 1,1f 2 2,2f ( 2 1,2f) 2 soit 0, et que 2 1,1f 0. IV. La fonction Γ. Considérons pour x > 0 la suite On a G n (x) = G n+1 (x) G n (x) n x n! x(x + 1) (x + n) = ( 1 + 1 ) x n 1 + x + 1 n Par conséquent la suite G n (x) est croissante, et converge donc vers une fonction 1 Γ(x) = Lim G n(x) = Sup G n (x) n On va montrer que Γ(x) < + pour tout x > 0. On a Γ(1) = Lim n n.n!/(n + 1)! = 1. Ensuite G n (x + 1) = G n (x) nx/(x + n + 1) Γ(x + 1) = xγ(x) donc sur les entiers Γ(k + 1) = k! par récurrence. En particulier Γ(2) = Γ(1) = 1. On a Log G n (x) = x Log n Log n! n n Log(x + k) de sorte que G n est log-convexe, donc convexe. En particulier G n (x) 1 pour x [1, 2], et donc aussi Γ(x) 1 pour x [1, 2]. Vu la relation Γ(x + 1) = xγ(x), on voit que Γ(x) < + pour tout x > 0. Comme Γ(x) est limite de fonctions log-convexes, elle est elle-même log-convexe. en particulier elle est continue. Alors 19 Théorème : La fonction Γ a les propriétés a) Γ(x + 1) = xγ(x), Γ(1) = 1. b) elle est log-convexe. k=1 De plus, c est la seule fonction ayant les propriétés a) et b). 9

Démonstration : Soit F (x) une fonction satisfaisant à a) et b). On a F (x) = = F (x + n + 1) x(x + 1) x + n = G F (x + n + 1) n(x) n x n! = G n (x) e v n(x) où v n est convexe puisque F (x + n + 1)/n x n! est log-convexe. Par suite v n (x) = Lim n Log[F (x)/g n(x)] = Log[F (x)/γ(x)] = v(x) La fonction v(x) = Lim n v n (x) est convexe, elle est périodique v(x + 1) = v(x). Elle est donc constante, égale à v(1) = 0. Par suite F (x) = Γ(x). 20 Corollaire : On a la formule intégrale Γ(x) = 0 t x 1 e t dt Démonstration : L intégrale est finie pour x > 0, soit F (x) sa valeur. On a F (1) = 1 (trivial), et F (x + 1) = xf (x) (intégration par parties). Il reste à voir qu elle est log-convexe. Or, elle est convexe, car pour s [0, 1] t (1 s)x+sy (1 s)t x + st y puisque l exponentielle x t x est convexe. Ainsi F est continue. De plus, pour λ IR, λ 2 t x + 2λt (x+y)/2 + t y 0 puisque l exponentielle x t x est log-convexe. Ainsi pour tout λ IR λ 2 F (x) + 2λF ((x + y)/2) + F (y) 0 de sorte que Log F est semi-convexe, et finalement convexe puisqu elle est continue (car convexe!). Alors F = Γ. 21 Proposition : Γ( 1 2 ) = π. Démonstration : On change de variable t = u 2 /2 dans l intégrale Γ( 1 2 ). On calcule ensuite l intégrale double Γ( 1 2 )2 en coordonnées polaires. On trouve Γ( 1 2 )2 = π. Formule de Stirling. n! (n/ e) n 2πn quand n Plus précisément pour x 1 ( x ) x ( x ) x 2πx xγ(x) 2πx e 1/12x e e Exercice. Montrer que pour θ [0, 1], Γ(n + θ) n θ Γ(n) quand n. 10

V. Théorie de Fourier élémentaire. Soit f une fonction 2π-périodique, continue, ou continue par morceaux, ou plus généralement intégrable-riemann sur [ π, π]. On définit ses coefficients de Fourier et la somme de Fourier partielle a n = 1 π f(t) e int dt 2π π f n (x) = n k= n a n e inx Les fonctions e n (x) = e inx forment un système orthonormé pour n ZZ On a alors f n 2 = n n 1 π e n (x)e m (x)dx = δ n,m 2π π 1 π f(x)f 2π n (x)dx = π n a k 2 n a k 2 = 1 π f(x)f 2π n (x)dx 1 [ fn 2 + f 2] π 2 n a k 2 = f n 2 f 2 n où l on utilise la notation f 2 = 1 π f(t) 2 dt. Par suite 2π π n a k 2 f 2, n + a k 2 f 2 En particulier a k tend vers 0 quand k tend vers ±. On dit que f est lipschitzienne en un point x 0 s il existe une constante k telle que f(x) f(x 0 ) k x x 0 pour tout x. Evidemment f est alors continue en x 0. Noter que si f est dérivable en x 0, elle est lipschitzienne en x 0. Il suffit même qu elle ait une dérivée à droite et une dérivée à gauche en x 0. 11

22 Théorème de Dirichlet : Si f est lipschitzienne au point x 0, alors f n (x 0 ) tend vers f(x 0 ) quand n tend vers +. On a donc f(x 0 ) = a n e inx 0 Démonstration : On peut supposer x 0 ±π. On utilise la fonction suivante appelée noyau de Dirichlet pour n 0 D n (t) = sin(nt + t/2) sin(t/2) = n e k (t) Cette égalité se démontre facilement par récurrence. Noter qu elle implique 1 π D n (t)dt = 1. On a alors 2π π 1 π n f(x 0 + t)d n (t)dt = a k e ikx 0 = f n (x 0 ) 2π π n 1 π [f(x 0 + t) f(x 0 )]D n (t)dt = f n (x 0 ) f(x 0 ) 2π π Comme f est lipschitzienne en x 0, la fonction ϕ(t) = f(x 0 + t) f(x 0 ), ϕ(0) = 0 t est bornée et intégrable-riemann sur [ π, π]. Il en est de même de la fonction On a alors f n (x 0 ) f(x 0 ) = 1 2π n g(t) = f(x 0 + t) f(x 0 ), g(0) = 0 sin (t/2) π π g(t) sin (nt + t/2)dt = Im 1 π h(t)e n (t)dt 2π π où h(t) = g(t) e it/2 est intégrable-riemann. Le dernier membre est donc un coefficient de Fourier de h : il tend vers 0 quand n tend vers +. 23 Remarques : a) On a évidemment supposé f réelle, le cas complexe s en déduit aisément. b) On peut en fait démontrer le théorème sous des hypothèses plus générales. Nous nous contenterons de ce cas. c) Si f est uniformément lipschitzienne, on peut voir que les majorations se font uniformément par rapport à x 0, de sorte que f n converge uniformément vers f. En ce cas, on obtient f 2 = Lim n n a k 2 = n 12 + a k 2

qu on appelle égalité de Bessel, mais n est rien d autre qu un généralisation du théorème de Pythagore. d) Cette égalité de Bessel vaut en fait pour toute fonction intégrable-riemann, et même davantage. Exemples : 1 o. On prend la fonction H(x) impaire, valant 1 sur ]0, 1[, H(0) = H(π) = 0 prolongée par périodicité (fonction créneau). On trouve a 0 = 0 et pour n 0 a n = 1 π H(x)e n (x)dx = i π sin nxdx = i 2π π π 0 nπ [1 ( 1)n ] donc a 2k = 0 et a 2k+1 = 2i (2k + 1)π. Finalement H(x) = 4 π k 0 sin(2k + 1)x 2k + 1 Observer que la convergence est uniforme sur tout segment [a, b] ]0, π[, car H est de classe C 1 sur un tel segment. 2 o. Cette relation s intègre, et l on obtient pour x π x = 4 π k 0 1 cos(2k + 1)x (2k + 1) 2 qui converge uniformément vers la fonction en dents de scie. 3 o. Une autre fonction en dents de scie est la fonction périodique valant x sur ] π, π[ et 0 en π. On trouve a 0 = 0 et pour n 0 a n = 1 π x e n (x)dx = i π x sin nxdx = i 2π π π 0 n ( 1)n Finalement pour x < π x = 2 n 1 x 2 = 4 n 1 n+1 sin nx ( 1) n n+1 1 cos nx ( 1) 13 n 2

4 o. Soient α ZZ, et f la fonction périodique valant cos αx pour x π. On a a n = 1 π cos αx e inx dx = 1 2π π 2π et finalement a n = 1 [ sin(α n)x + 2π α n π cos αx sin πα π 0 [cos(α n)x + cos(α + n)x]dx ] x=π sin(α + n)x = ( 1)n α sin πα α + n x=0 π α 2 n 2 = 1 α + 2α n 1 ( 1) n α 2 n 2 cos nx En prenant x = π, on trouve le développement d Euler de la cotangente π cotg πα = 1 α + n 1 2α α 2 n 2 On peut en déduire le développement (toujours d Euler) du sinus en produit infini ) (1 α2 sin πα = πα n 1 n 2 Ce sont en effet deux fonctions ayant la même dérivée logarithmique pour α < 1, et équivalentes lorsque α 0. 5 o. Exercice : en déduire la formule des compléments pour x ]0, 1[ et retrouver Γ( 1 2 ) = π. Γ(x)Γ(1 x) = π sin πx 14

VI. Formule d Euler-MacLaurin Soit f une fonction suffisamment dérivable. Rappelons d abord comment on démontre la formule de Taylor sur [a, b]. On pose g(x) = f(x) + (b x)f (x) + 1 2! (b x)2 f (x) + + 1 n! (b x)n f (n) (x) On constate que g (x) se réduit à 1 n! (b x)n f (n+1) (x), grâce au fait que la dérivée de xn x n 1 est. Il n y a plus qu à écrire le reste sous forme intégrale n! (n 1)! R n = g(b) g(a) = b a 1 n! (b x)n f (n+1) (x)dx Or les polynômes xn ne sont pas les seuls à avoir cette propriété. Parmi les n! autres, les plus célèbres sont les polynômes de Bernouilli, définis par a) B 0 (x) = 1 b) B n(x) = B n 1(x) n! (n 1)! Cela ne les caractérise pas (puisque les monômes ont aussi cette propriété). On ajoute la condition suivante c) 1 0 B n(t)dt = 0 pour n 1. Evidemment les monômes n ont pas cette dernière propriété. Celle-ci permet de calculer les B n par récurrence. Ensuite, on écrit comme plus haut en se plaçant cette fois sur [0, 1] g(x) = f(x) + B 1 (1 x)f (x) + 1 2! B 2(1 x)f (x) + + 1 n! B n(1 x)f (n) (x) On obtient On a alors pour un certain ξ ]0, 1[ g(1) g(0) = 1 n! 1 0 g (x) = B n(1 x) f (n+1)(x) n! B n (1 x)f (n+1) (x)dx = 1 n! B n(1 ξ)f (n+1) (ξ) Posons pour simplifier f = f(1) f(0), et b n = B n (0). On obtient g(1) g(0) = f 1 2 [f (0) + f (1)] + b 2 2! f + + b n n! 15 f (n)

soit f = 1 2 [f (0) + f (1)] b 2 2! f b n n! f (n) + 1 1 B n (1 x)f (n+1) (x)dx n! 0 ou, en remplaçant f par une primitive, ce qui est préférable 1 0 et le reste vaut f(t)dt = 1 2 [f(0) + f(1)] b 2 2! f b n n! f (n 1) + R n R n = 1 n! 1 0 B n (1 x)f (n) (x)dx = 1 n! B n(1 ξ)f (n) (ξ) Cela étant, on a par récurrence B n (1 x) = ( 1) n B n (x), donc b n = 0 pour n 3 impair. Il vient donc avec le reste 1 0 f(t)dt = 1 2 [f(0) + f(1)] n k=1 b 2k (2k)! f (2k 1) + R 2n R 2n = 1 1 B 2n (x)f (2n) (x)dx = 1 (2n)! 0 (2n)! B 2n(ξ)f (2n) (ξ) On calcule les b n par récurrence en faisant successivement f(x) = x 2, x 4,. On trouve b 0 = 1,, b 1 = 1 2, b 2 = 1 6, b 4 = 1 30, b 6 = 1 42, b 8 = 1 30 On peut ajouter les intervalles les uns aux autres, ce qui conduit à la formule p 0 f(t)dt = 1 2 [f(0) + f(p)] n k=1 avec le reste (E(x) est la partie entière par défaut de x) b 2k (2k)! [f (2k 1) (p) f (2k 1) (0)] + R 2n R 2n = 1 p B 2n (x E(x))f (2n) (x)dx = 1 (2n)! 0 (2n)! B 2n(ξ E(ξ))f (2n) (ξ) 16

20 dx On calcule Log 2 = 10 x Log 2 = 1 2 ( 1 10 + 1 ) + 1 1 + + 20 11 19 1 ( 1 12 10 2 1 ) 20 2 + 6 ( 1 720 10 4 1 ) 20 4 +R 2 On trouve R 2 < 10 8, et Log 2 = 0, 69314718... En appliquant la formule à la fonction f(x) = e λx, on trouve tous calculs faits λ e λ 1 = 1 λ n 2 + k=1 b 2k λ 2k (2k)! λ2n B 2n (ξ n ) (2n)! de sorte que les b k /k! sont les coefficients du développement en série de la fonction λ/(e λ 1). On montre plus bas que le rayon de convergence est 2π. Le nombre ξ n appartient à ]0, 1[, et le reste tend vers 0 quand n tend vers. En posant λ = 2ix, on trouve [ ] x 2 x cotg x = 1 2 6 + x4 90 + x6 945 + x8 9450 + On a vu plus haut le développement d Euler de la cotangente π cotg πα = 1 α + 2 n 1 πα cotg πα = 1 2 n 1 α α 2 n 2 [ ] α 2 n 2 + α4 n 4 + πα cotg πα = 1 2 [ α 2 ζ(2) + α 4 ζ(4) + ] où ζ(2n) = k 1 k 2n. On en déduit que le rayon de convergence de ce développement en série entière est 1, donc que celui de la série de λ/(e λ 1) est 2π. Enfin on a ζ(2) = π2 6 π4 π6 π8, ζ(4) =, ζ(6) =, ζ(8) = 90 945 9450, 17

La formule d Euler-MacLaurin ressemble à celle de Taylor, mais ce n est pas une simple analogie. On a en effet λ = λ e λ 1 (eλ 1) et pour λ < 2π λ = n 0 b n n! λn n 0 λ n n! En remplaçant formellement λ par l opérateur de dérivation D sur les polynômes de degré n, on trouve (compte tenu de ce que D n+1 = 0) D = n 0 b n n! Dn n 0 D n n! soit f = n 0 f (x) = n 0 b n n! Dn b n n! Dn [f + f ] 2! + [ f(x + 1) f(x) ] et en remplaçant f par f, on retrouve la formule d Euler-MacLaurin pour les polynômes. On voit que d une certaine manière, on a inversé la formule de Taylor. C était un point de départ possible. Signalons enfin la fonction génératrice des polynômes de Bernouilli t e xt e t 1 = n 0 B n (x) t n n! pour t < 2π, que l on démontre facilement grâce à la définition des B n. 18

VII. Egale continuité. 24 Lemme de Dini : Si une suite f n de fonctions continues sur un compact K de IR d tend vers 0 en décroissant, elle converge uniformément. Démonstration : Au cas contraire, il existe ε > 0 et une suite x n telle que f n (x n ) ε. Pour m n, on a f m (x n ) f n (x n ) ε. Soit x une valeur d adhérence de la suite x n. On a f m (x) ε pour tout m, ce qui contredit l hypothèse f m (x) 0. Soit A une partie de IR d. Des fonctions f i sont dites également continues sur A si elles ont le même module de continuité uniforme. Cela signifie qu il existe une fonction ϕ(t) tendant vers 0 avec t et telle que pour tout i et tous x, y A on ait f i (x) f i (y) ϕ( x y ) On voit que les fonctions f i sont uniformément continues, et toutes de la même façon. On donnera des exemples plus bas. Si des f i sont également continues sur A et si la fonction h(x) = Sup i f i (x) est finie en un point x 0, alors h est finie continue en tout point x de A. On a en effet f i (x) f i (x 0 ) + ϕ( x x 0 ) h(x) h(x 0 ) + ϕ( x x 0 ) < + De plus h est uniformément continue car pour tous x, y A h(x) h(y)+ϕ( x y ) et h(y) h(x)+ϕ( x y ) h(x) h(y) ϕ( x y ) Mais alors, si f n est une suite également continue sur A et bornée en un point x 0, les deux suites de fonctions g n (x) = Inf f k(x) et h n (x) = Sup f k (x) k n admettent le même module de continuité uniforme que la suite f n. Elles sont donc uniformément continues, ainsi que n k g(x) = LimInf f n(x) et h(x) = LimSup f n (x) n n sont toutes deux finies et continues sur A. On en déduit le 25 Théorème d Ascoli : Si une suite f n est également continue sur un compact K et converge simplement vers une fonction f, alors elle converge uniformément. 19

Démonstration : La suite h n g n considérée ci-dessus converge en décroissant vers 0, elle converge donc uniformément d aprèsle lemme de Dini. Comme on a f n f h n g n, on voit que f n tend vers f uniformément. 26 Remarque : Il suffit que f n converge sur un ensemble D dense dans K puisqu alors les deux fonctions continues g et h coïncideront sur D, et donc sur K. Exemples 1 o. Supposons que les fonctions f n soient dérivables, et que les dérivées f n soient également bornées sur [a, b]. On a donc une constante k telle que f n(x) k pour tout x [a, b] et tout n IN. Le théorème des accroissements finis donne pour x, y [a, b] f n (x) f n (y) k x y On dit que les f n sont équilipschitziennes, i.e. que ϕ(t) = kt est un module commun de continuité uniforme. La suite f n est donc également continue. Si elle converge simplement, elle converge uniformément. 2 o. On peut appliquer cela à la suite (1 + x/n) n. 3 o. Si des fonctions f n convexes sur ]a 0, b 0 [ sont également bornées, alors elles sont également continues sur tout segment [a, b] ]a 0, b 0 [, car on peut montrer qu elles y sont équilipschitziennes. En particulier, elles convergent uniformément sur [a, b] dès qu elles convergent simplement. 20