Analyse fréqentielle des systèmes analogiqes L'analyse fréqentielle d'n système consiste principalement dans la détermination de sa fonction de transfert harmoniqe, pis en l'étde de son modle G( et son argment φ(, en fonction de la plsation o de la fréqence. A. Représentation des fonctions de transfert harmoniqe A.. Diagramme de Nyqist Une première représentation pet être obtene en traçant dans le plan complexe le lie des points représentant H(j c est-à-dire définis par : por l ensemble des valers de. [ H(j ] x Re y Im H( j [ ] A.. Diagramme de Bode La représentation de Bode décrit l évoltion d ne fonction de transfert par l intermédiaire de dex corbes distinctes : son modle G( et son argment φ(. Afin de povoir caractériser la réponse d n système linéaire à tot type de signax, dont les spectres pevent s étendre des très basses ax très hates fréqences, il est indispensable de connaître son comportement harmoniqe por ne très large gamme de fréqences. Por compresser cette gamme dynamiqe, la représentation graphiqe de Bode tilise ne échelle logarithmiqe por l axe des abscisses correspondant à la plsation o à la fréqence. L amplitde de la réponse pet également s étendre sr plsiers ordres de grander. On tilise donc également ne échelle des ordonnées logarithmiqe. En pratiqe, la corbe de gain est tracée en décibels (db : G(dB log G( La variation de la phase reste qant à elle bornée. On pet donc tiliser ne échelle des ordonnées linéaire por la corbe de phase. On appelle représentation dans le plan de Bode d'ne fonction de transfert harmoniqe H(j l'ensemble des dex diagrammes sivants : - la corbe de gain : tracé d modle G(dB en décibels en fonction de la plsation o de la fréqence en échelle logarithmiqe; S. Tisserant ESIL Traitement d signal 8-9 5 -
- la corbe de phase : tracé de l'argment φ( de la fonction de transfert, exprimé en radians o degrés, en fonction de la plsation o de la fréqence en échelle logarithmiqe. En échelle logarithmiqe les plsations et sont séparées d ne nité : log log log log log Un tel intervalle de plsations [, ], o de fréqences [f, f], est appelé décade. Comme en msiqe, n intervalle dont la fréqence maximale est doble de la fréqence minimale [f, f] constite ne octave. L intervalle [, ] covre également ne octave. A titre d illstration nos avons matérialisé (fig. 5- dex décades : [., ] et [, ], et trois octaves [.,.], [, ] et [5, ]. Fig. 5- : Décades et octaves A.3. Décomposition des fonctions de transfert Nos avons v qe sovent la fonction de transfert harmoniqe d'n système pet se mettre sos la forme d n qotient de dex polynômes en p j. Notons {z k } k, m et {p k } k, n les racines d nmérater N(p et d dénominater D(p respectivement. Les racines d nmérater représentent les zéros de la fonction de transfert et les racines d dénominater ses pôles. En tilisant lers racines nos povons factoriser les dex polynômes, ce qi nos donne por la fonction de transfert : H (p N(p D(p m (zk A k m (pk k p p Les coefficients des dex polynômes étant réels, les zéros et les pôles pevent être réels, éventellement nls, o complexes conjgés dex à dex. Por dex racines complexes conjgées, r et r *, nos avons : * ( r p (r p r Re (r p p S. Tisserant ESIL Traitement d signal 8-9 5 -
Posons : r et Re(r r Il est habitel d écrire n tel terme sos la forme sivante : ( r p(r * p j Celle-ci fait apparaître ne plsation caractéristiqe. Il sera sovent tile par la site de choisir ne telle plsation caractéristiqe comme nité de référence. Ainsi nos introdisons la variable rédite définie comme le rapport sivant : L tilisation d ne variable rédite permet d alléger les écritres, par exemple le terme d ordre précédent devient : ( j * ( r p(r p Une fonction de transfert pet donc se décomposer en n prodit-qotient de termes de degrés infériers o égax à. Le diagramme de Bode simplifie l étde d ne fonction de transfert harmoniqe qi se décompose comme le prodit et/o le qotient de plsiers fonctions harmoniqes. Considérons par exemple ne fonction de transfert H(j qi pet se décomposer en trois fonctions de transfert pls simples de la manière sivante : H(j H( j H ( j H (j 3 Por le modle et l argment nos povons écrire : G ( G ( G( G (j 3 [ H( j ] Arg[ H (j ] Arg[ H (j ] Arg[ H (j ] Arg 3 Ce qi nos donne por le gain en décibels : Soit encore : logg( logg( logg ( logg3( G(dB G(dB G (db G3(dB S. Tisserant ESIL Traitement d signal 8-9 5-3
En représentation de Bode les corbes de gain et de phase de la fonction H(j s'obtiennent simplement par addition et sostraction graphiqes des corbes de gain et de phase de H (j, H (j et H 3 (j. A.. Diagrammes asymptotiqes Il est sovent tile d étdier le comportement ax limites des très basses fréqences (limite statiqe et des très hates fréqences d comportement d n système. En échelle logarithmiqe cela correspond ax dex limites à l infini de l axe des abscisses : log log Nos chercherons systématiqement ces dex asymptotes por tote fonction de transfert. On appelle diagrammes asymptotiqes les diagrammes de Bode rédits à lers asymptotes. Le diagramme asymptotiqe d gain, facile à obtenir, nos permettra sovent de caractériser le comportement global d n filtre. L abscisse d point d intersection de dex asymptotes de la corbe de gain, lorsq il existe, constite ne plsation de brisre. En conséqence de ce qe nos avons v dans le paragraphe précédent, les diagrammes asymptotiqes d ne fonction de transfert qi se décompose comme le prodit-qotient de fonctions s obtiennent par addition-sostraction des diagrammes asymptotiqes de chacne de ces fonctions. A.5. Bande passante à 3 db La corbe de gain d n circit réel présente tojors ne borne spériere : n gain ne pet pas physiqement être infini. Par rapport a maximm atteint par le modle de la fonction de transfert on définit, lorsqe cela est possible, ne o dex plsations de copre ( b < h por lesqelles le gain est égal a gain maximm divisé par : G max G( b G( h L intervalle compris entre ces dex plsations de copre [ b, h ] est appelé bande passante d filtre. En décibels cette définition des plsations de copre correspond ax points d'intersection de la corbe de gain avec ne droite horizontale sitée à -3 db sos le maximm ( log 3.. La figre 5- illstre cette définition. C est porqoi nos parlons de bande passante à 3 db. Por nos étdes nos tiliserons cette définition qi atorise des calcls assez simples. Mais por d atres applications il est possible de définir ne bande passante avec ne atre référence ( db, db, etc.. Cela dépend de la sensibilité d montage placé à la sortie d circit étdié. S. Tisserant ESIL Traitement d signal 8-9 5 -
En fonction de la bande passante, nos définissons qatre types de filtres : - filtre passe-bande ( [ b, h ] : la bande passante admet dex bornes finies ; - filtre passe-bas ( [, h ] : la limite infériere est ; - filtre passe-hat ( [ b, [ : la limite spériere est infinie ; - filtre cope-bande ( [, b ] [ h, [ : la bande passante est scindée en dex intervalles. Fig. 5- : Définition de la bande passante à 3 db B. Fonctions de transfert de base Dans la site de ce chapitre nos allons passer en reve qelqes fonctions de transfert harmoniqes classiqes. Nos commençons par les fonctions de base qe nos retroverons ensite dans l étde générales des fonctions de transfert. B.. La fonction constante Commençons par ne fonction de transfert d ordre, c est-à-dire n terme constant réel positif o négatif : H (j A Son étde est triviale. Les corbes de gain (fig. 5-3 et de phase (fig. 5- sont des droites horizontales : φ si A > G (db log A et φ π si A < Le lie de Nyqist se résme à n point (fig. 5-5. S. Tisserant ESIL Traitement d signal 8-9 5-5
Fig. 5-3 : Corbe de gain d n terme réel constant (ici A < Fig. 5- : Corbe de phase d n terme réel constant (ici A < Fig. 5-5 : Lie de Nyqist d n terme réel constant (ici A < B.. Fonction élémentaire d premier ordre : dérivater Nos considérons ne fonction de transfert d premier ordre de la forme : H(j j avec > Elle correspond à n zéro réel nl de mltiplicité. Cette fonction de transfert est celle d n dérivater governé par l éqation différentielle sivante : S. Tisserant ESIL Traitement d signal 8-9 5-6
s(t d e(t dt Le modle et l argment de cette fonction de transfert sont faciles à calcler : G( et φ π où est la variable rédite. Ce qi nos donne por le gain en décibels : G(dB log log Dans la représentation de Bode la corbe de gain G(dB tracée par rapport à log est ne droite. Par définition, nos dirons q il s'agit d'ne droite de pente, copant l'axe horizontal en (. Une pente correspond à ne variation d gain de 6 db par octave o db par décade. En effet : G G db ( G db ( log por ne octave, donc G log 6 db; por ne décade, donc G db. log Le lie de Nyqist (fig. 5-7 est le demi-axe imaginaire positif. log Fig. 5-6 : Corbe de gain d n dérivater S. Tisserant ESIL Traitement d signal 8-9 5-7
Fig. 5-7 : Corbe de phase d n dérivater Fig. 5-8 : Lie de Nyqist d n dérivater Les figres et 5 représentent les corbes de gain et de phase por ne fonction élémentaire d ordre. B.3. Fonction élémentaire d ordre n Considérons la fonction de transfert définie comme la pissance n-ième de la fonction de transfert d n dérivater : n H(j j avec > et n entier non nl Elle correspond à n zéro o à n pôle réel nl de mltiplicité n. C est n zéro (racine d nmérater por n positif et pôle (racine d dénominater por n négatif. En tilisant la variable rédite /, nos povons écrire la fonction de transfert élémentaire d ordre n, sos la forme : H(j Nos en extrayons modle et argment : n e jn π / S. Tisserant ESIL Traitement d signal 8-9 5-8
n G( n et π φ n (π Soit por le gain en décibels : G (db n log n log Dans la représentation de Bode il s'agit d'ne droite de pente n (n db par décade, copant l'axe horizontal en. La figre 5-9 montre ces droites por n -, et. Les corbes de gain ont été tracées en fonction de la variable rédite, sr n pe pls de dex décades centrées sr. Fig. 5-9 : Corbes de gain des fonctions élémentaires d ordre -, et Fig. 5- : Corbes de phase des fonctions élémentaires d ordre -, et S. Tisserant ESIL Traitement d signal 8-9 5-9
Selon la valer de n le lie de Nyqist d ne fonction élémentaire d ordre n est n des demiaxes. Fig. 5- : Liex de Nyqist des fonctions élémentaires d ordre -, et Considérons n intégrater governé par l éqation différentielle sivante : s Si nos dérivons cette éqation nos obtenons : (t e(t dt Prenons la transformée de Forier : ds(t dt e(t S(j j S(j E( j H( j j E(j Nos trovons ne fonction de transfert élémentaire d ordre n -. Nos povons généraliser l interprétation de la fonction de transfert : n H(j j avec > Por n positif elle correspond à n dérivater d ordre n, por n négatif à n intégrater d ordre n. C. Fonction de transfert fondamentale d premier ordre Considérons la fonction de transfert harmoniqe sivante : H(j avec j > S. Tisserant ESIL Traitement d signal 8-9 5 -
Il est facile de déterminer l éqation différentielle, reliant entrée et sortie, à laqelle elle correspond : ds(t s(t e(t dt Le système est dit d premier ordre fondamental, o principal, car il fait intervenir la dérivée première d signal de sortie et acne dérivée d signal d entrée. La fonction de transfert harmoniqe pet être écrite en tilisant la variable rédite : Elle a por modle : H(j j G( avec Si nos réécrivons la fonction nos en dédisons facilement son argment : H (j j φ( arctan arctan En effet l argment est compris entre -π/ et, pisqe les parties réelle et imaginaire de la fonction de transfert sont respectivement positive et négative. Por le gain en décibels nos avons : G (db log log ( log Etdions les asymptotes d gain et de la phase. Por la limite statiqe, à très basse fréqence, lorsqe tend vers, le terme en tend vers, et le gain en décibels tend vers. L argment φ tend également vers. G(dB et φ L asymptote se confond avec l axe horizontal. Ax très hates fréqences, lorsqe tend vers l infini, le terme en se comporte comme. D atre part, l argment φ tend vers -π/. π G(dB log log et φ L asymptote est ne droite de pente - db/décade. Les dex asymptotes de la corbe de gain se copent en c. C'est la fréqence de brisre. Le gain por cette plsation vat : S. Tisserant ESIL Traitement d signal 8-9 5 -
G(dB log 3 db et la phase est égale à -π/. Les figres 5- et 5-3 présentent les corbes de gain et de phase sr n pe pls de dex décades centrées sr, en tilisant la variable rédite /. Les asymptotes ont été tracées de part et d atre de la plsation de brisre. Fig. 5- : Corbe de gain de la fonction fondamentale d er ordre Fig. 5-3 : Corbe de phase de la fonction fondamentale d er ordre Le lie de Nyqist est défini par : x y Essayons de trover ne relation entre x et y. Comme x est ne fonction monotone de, nos povons inverser la première relation por exprimer en fonction de x : x Reportons dans l expression de y, il vient : et x [, ] x x S. Tisserant ESIL Traitement d signal 8-9 5 -
En élevant a carré il vient : Ce qi nos donne : y x x x y x ( x avec y < y x x y x Il s agit de l éqation d n cercle de centre (/, et de rayon /, dont nos ne conservons qe la moitié telle qe y <. Fig. 5- : Lie de Nyqis de la fonction fondamentale d er ordre D. Fonction de transfert fondamentale d dexième ordre D.. Définition Considérons la fonction de transfert harmoniqe sivante : H(j avec et j réels positifs Il est facile de déterminer l éqation différentielle, reliant entrée et sortie, à laqelle elle correspond : ds(t d s(t s(t e(t dt dt Le système est dit d dexième ordre fondamental, o principal, car il fait intervenir les dérivées première et dexième d signal de sortie et acne dérivée d signal d entrée. Elle nos servira de prototype por l étde des atres fonctions de transfert d second ordre. Commençons par en étdier le modle. Nos traiterons l argment pls loin. Le modle et le gain en db ont por expressions : S. Tisserant ESIL Traitement d signal 8-9 5-3
S. Tisserant ESIL Traitement d signal 8-9 5 - G( log (db G Por alléger les notations et les calcls tilisons la variable rédite / : ] log [( G(dB ( G( Nos notons f( le terme sos le radical dans l expression d modle : ( ( f D.. Diagramme asymptotiqe et allre générale Commençons notre étde par la recherche des asymptotes. A très basse fréqence, lorsqe tend vers, il est évidemment qe le modle tend vers et le gain vers db. Ax très hates fréqences le terme sos le radical f( se décompose en la somme de dex termes, le premier de degré et le second de degré. Lorsqe tend vers l infini le premier est dominant et l ensemble se comporte comme : ( ( f Nos avons donc por les asymptotes : log log G(dB G(dB La première asymptote se confond avec le demi-axe horizontal. La seconde est ne droite de pente (- db/décade, copant l axe horizontal en. Les dex asymptotes de la corbe de gain se copent en, qi représente donc la plsation de brisre.
Fig. 5-5 : Diagramme asymptotiqe d ne fonction de transfert fondamentale d dexième ordre Ce diagramme asymptotiqe nos donne ne première idée d comportement de la fonction de transfert. Nos allons préciser cette information en étdiant la variation de la corbe de gain en fonction de la fréqence. Por cela nos povons dériver le gain en décibels par rapport à : d G(dB d ln f ( d f ( d Por étdier le signe de cette dérivée il sffit de connaître celi de la dérivée de f( : d f ( ( 8 ( d Cette dérivée s annle por. Elle pet également s'annler por : si < En reportant les expressions de la fonction f( et de sa dérivée nos avons : d G(dB d ln ( ( Si le diagramme asymptotiqe est indépendant d paramètre, celi-ci infle sr la forme effective de la corbe de gain. Por > /, la corbe de gain est monotone décroissante. Por < /, elle présente n maximm por la plsation : m infériere à. Le maximm vat alors : S. Tisserant ESIL Traitement d signal 8-9 5-5
G max G max (db log D.3. Recherche des pôles Por étdier pls précisément la corbe de gain selon les valers d paramètre nos devons chercher les pôles de la fonction de transfert. Por cela nos devons résodre l'éqation d dexième degré sivante : p p où la variable p remplace j. Elle a por discriminant rédit : ' La natre des pôles dépend de la valer d paramètre, avec trois cas possibles : - > : dex pôles réels distincts ; - : n pôle réel doble ; - < : dex pôles complexes conjgés. Etdions la corbe de gain por ces trois cas. D.. Dex pôles réels distincts ( > Lorsqe le paramètre est spérier à, l'éqation admet dex racines réelles : p p Remarqons qe ces racines sont inverses l ne de l atre. En effet : p p ( D atre part ces racines sont négatives. Prenons les valers absoles por définir dex qantités et : Avec ces notations, nos povons réécrire le dénominater de la fonction de transfert : S. Tisserant ESIL Traitement d signal 8-9 5-6
S. Tisserant ESIL Traitement d signal 8-9 5-7 (j (j p (p p (p p p Soit encore en factorisant et : j j j j j Définissons dex plsations caractéristiqes et : Celles-ci vérifient : ce qi signifie q en échelle logarithmiqe l intervalle [, ] est centré sr. Nos avons en effet : log (log log Dans ce cas la fonction de transfert s écrit donc : j j (j H Nos avons le prodit de dex fonctions de transfert fondamentales d premier ordre : (j H (j H (j H avec : j (j H et j (j H Nos avons étdié ces fonctions dans le paragraphe C. Nos savons également qe les corbes de gain en décibels et de phase pevent être obtenes par addition des corbes de ces dex fonctions :
G (db log φ( arc tan et G (db log φ ( arc tan Commençons par tracer les diagrammes asymptotiqes. Par exemple por la fonction de transfert H nos avons : G(dB G(dB log ϕ π ϕ Ces dex asymptotes s interceptent por la plsation de brisre. Le diagramme asymptotiqe de la fonction H est similaire avec ne plsation de brisre. Nos povons tracer les dex diagrammes asymptotiqes (fig. 5-6. Por tracer ces corbes nos avons pris / et, por n domaine covrant a total environ 5 décades. Constatons q'en échelle logarithmiqe est le milie de l'intervalle [, ]. Fig. 5-6 : Diagrammes asymptotiqes des dex fonctions de transfert fondamentales d premier ordre ( > Nos obtenons ensite le diagramme asymptotiqe de H(j en faisant la somme de ces dex diagrammes. Il apparaît ainsi trois intervalles délimités par et, qi constitent dex points de brisre. Por <, l asymptote se confond avec l axe des abscisses : G(dB. Por < <, l asymptote est ne droite "de pente passant par " : G(dB log S. Tisserant ESIL Traitement d signal 8-9 5-8
Lorsqe tend vers l infini, l asymptote est ne droite "de pente passant par ". En effet la somme des dex asymptotes nos donne : log log log log C est-à-dire : G (db log Nos retrovons la droite de pente db/décade, copant l axe horizontal en qe nos avions calclé a débt de notre étde ( D... Remarqons la continité des asymptotes. Fig. 5-7 : Corbe de gain d ne fonction de transfert fondamentale d dexième ordre ( > Fig. 5-8 : Corbe de phase d ne fonction de transfert fondamentale d dexième ordre ( > S. Tisserant ESIL Traitement d signal 8-9 5-9
Sr la figre 5-8 nos avons tracé le diagramme de phase. La phase de chacne des fonctions d premier ordre varie entre et -π/ lorsqe varie de à l infini. La phase de la fonction d dexième ordre, somme des dex premières, varie donc entre et -π. Le tracé d diagramme asymptotiqe fait également apparaître les trois domaines por lesqels les asymptotes sont, -π/ et -π respectivement. D.5. Pôle réel doble ( Lorsqe le paramètre est égal à, le dénominater de la fonction de transfert fondamentale d dexième ordre admet alors ne racine doble, ce qi nos donne : La fonction de transfert s'écrit donc : p p (p ( j H(j j ( j où est pôle de mltiplicité. Elle a por gain et phase : G(dB log log φ( arc tan arc tan ( ( Fig. 5-9 : Corbe de gain d ne fonction de transfert fondamentale d dexième ordre ( S. Tisserant ESIL Traitement d signal 8-9 5 -
Fig. 5- : Corbe de phase d ne fonction de transfert fondamentale d dexième ordre ( Il est facile de tracer les corbes de gain et de phase dans la représentation de Bode. G(dB G(dB log x φ φ π Les asymptotes ne présentent q ne sele plsation de brisre. Lorsqe la plsation tend vers l infini l asymptote de la corbe de gain est encore ne droite de "pente passant par ". D.6. Dex pôles complexes conjgés ( < Dans le troisième cas, avec n paramètre inférier à, l éqation associée a dénominater admet dex racines complexes conjgées : p j p j Nos ne povons pas décomposer la fonction d second ordre. Nos devons étdier le modle et l'argment de la fonction de transfert directement. Por le modle nos avons : Ce qi nos donne en décibels : G( ( G(dB log [( ] S. Tisserant ESIL Traitement d signal 8-9 5 -
Nos connaissons déjà les asymptotes ( D.. Nos savons également qe l évoltion de la corbe de gain dépend d paramètre comparé à /. Les dex cas sont présentés sr la figre 5-. Fig. 5- : Corbe de gain d ne fonction de transfert fondamentale d dexième ordre (/ < < en ble, < / en vert Dans le premier cas, la corbe de gain, tojors sitée sos les asymptotes, est décroissante. Dans le second cas, la corbe de gain, tojors sitée a-desss des asymptotes, présente n maximm por ne valer m (calclée en D. légèrement infériere à. Il y a résonance. Intéressons nos maintenant à la phase de la fonction de transfert. Por pls de clarté réécrivons la fonction de transfert en mltipliant nmérater et dénominater par le complexe conjgé d dénominater : H(j j ( j ( Nos en dédisons les informations sivantes por la phase : cos φ( sin φ( ( ( Le sins de la phase est tojors négatif, celle-ci est donc comprise entre -π et. Por inférier à le cosins est positif, la phase est alors comprise entre -π/ et. De même elle est comprise entre -π et -π/ por spérier à. Ce qe nos povons résmer sos la forme sivante, avec continité en (φ -π/ : S. Tisserant ESIL Traitement d signal 8-9 5 -
φ( arc tan φ( arc tan π por < por > Fig. 5- : Corbe de phase d ne fonction de transfert fondamentale d dexième ordre (/ < < en ble, < / en vert L'allre de la corbe de phase ne dépend pas de, q il y ait o non résonance d gain. C est ce qe nos vérifions sr la figre 5- où la corbe de phase a été tracée por ne valer de spériere à / et ne valer infériere à /. Fig. 5-3 : Liex de Nyqis d ne fonction de transfert fondamentale d dexième ordre por trois valers de Le lie de Nyqist d ne fonction de transfert fondamentale d dexième ordre est défini par : S. Tisserant ESIL Traitement d signal 8-9 5-3
S. Tisserant ESIL Traitement d signal 8-9 5 - ( y ( x L allre des corbes est indiqée sr la figre 5-3 por trois valers d paramètre. E. Filtres d dexième ordre Appliqons ce qe nos venons de présenter à l analyse de qatre filtres d dexième ordre. Nos commençons par n filtre passe-bas. E.. Filtre passe-bas d dexième ordre Un tel filtre correspond à la fonction de transfert harmoniqe fondamentale d dexième ordre qe nos avons étdiée dans le paragraphe précédent : j H(j En général on choisit de manière à éviter le phénomène de résonance ( > /. La limite statiqe ( d gain est égale à et la corbe de gain est monotone décroissante lorsqe la fréqence croît. Les basses fréqences sont donc pe atténées alors qe les hates fréqences le sont fortement. Il s agit donc d n filtre passe-bas. Calclons la borne spériere de sa bande passante. Travaillons avec la variable rédite, et cherchons tel qe : G ( G( max Ce qi est éqivalent à : ( Elevons cette éqation a carré, il vient : ( sachant qe les soltions de celle-ci ne sont pas totes soltions de la première. Nos avons donc l éqation sivante : (
qe nos povons traiter comme ne éqation d dexième degré en. Elle a por discriminant rédit : ' ( Celi-ci étant positif, l éqation admet dex soltions. Celles-ci sont de signes opposés pisqe ler prodit est égal à. Sele la soltion positive pet être retene, c est-à-dire : ( ( La borne spériere de la bande passante est donnée par la racine positive donc : Et : ( h ( E.. Filtre passe-hat d dexième ordre Considérons ne fonction de transfert harmoniqe de la forme : H(j j Soit encore en tilisant la variable rédite : H(j j avec Cette fonction de transfert a por modle : G( ( La fonction de transfert pet se décomposer comme le prodit de dex fonctions : avec : H (j H(j H (j S. Tisserant ESIL Traitement d signal 8-9 5-5
H(j et H( j j Ce qi nos donne por le gain en décibels : avec : Soit : G(dB G (db G (db G(dB log log G (db log ( G(dB log log log [( ] [( ] Etdions le diagramme asymptotiqe de cette corbe de gain. Tot d abord remarqons qe la représentation de la corbe de gain G (db est très simple. Il s agit d ne droite de pente db/décade copant l axe horizontal en. Il sffit de faire la somme de cette droite avec les asymptotes de G (db, ce qi nos donne : G(dB log G(dB log log log La plsation de brisre est. Cela correspond a diagramme asymptotiqe d n filtre passehat. Cependant si le diagramme asymptotiqe ne dépend pas des valers d paramètre, il n en est pas de même de la forme de la corbe de gain. Calclons la dérivée par rapport à de G(dB, c est-à-dire la somme des dérivées de G (db et G (db. La première dérivée est facile à calcler. Nos avons déjà calclé la seconde dans le paragraphe D.. Nos avons donc : Soit encore : d G(dB d d G(dB d ln ln ln ( ( ( ( [( ] Le dénominater est positif, le signe de cette dérivée est donc donné par le nmérater : N ( N( ( S. Tisserant ESIL Traitement d signal 8-9 5-6
S. Tisserant ESIL Traitement d signal 8-9 5-7 Celi-ci s annle por : si selement et si < Nos observons à novea n phénomène de résonance por < < /, sinon la fonction est monotone croissante. Les dex cas ont été tracés sr la figre. Lors de la réalisation d n filtre passe-hat on évite en général le phénomène de résonance en choisissant > /. Calclons la limite infériere de la bande passante dans ce cas. Le gain maximm est atteint à la limite des très hates fréqences et vat. Nos cherchons donc tel qe : G ( G( max Ce qi est éqivalent à : ( Elevons cette éqation a carré, il vient : ( sachant qe les soltions de celle-ci ne sont pas totes soltions de la première. Nos avons donc l éqation sivante : ( qe nos povons traiter comme ne éqation d dexième degré en. Elle a por discriminant rédit : ( ' Celi-ci étant positif, l éqation admet dex soltions. Celles-ci sont de signes opposés pisqe ler prodit est égal à. Sele la soltion positive pet être retene, c est-à-dire : ( ( La borne infériere de la bande passante est donnée par la racine positive donc : ( et ( b
Fig. 5- : Corbe de gain d n filtre passe-hat d dexième ordre (/ < en ble, < / en vert E.3. Filtre passe-bande d dexième ordre Considérons ne fonction de transfert harmoniqe de la forme : Soit en tilisant la variable rédite : H(j K j j j H(j K j avec De même nos avons por le modle et le gain en décibels : G( K ( G(dB log K log log [( ] La corbe de gain apparaît donc comme la somme de trois termes qe nos avons étdiés pls avant dans ce chapitre. Sr la figre 5-5 nos avons tracé en vert les dex premiers termes (en pointillés et tirets respectivement et le diagramme asymptotiqe d troisième. Cela nos a servi por constrire le diagramme asymptotiqe de G(dB, en roge. S. Tisserant ESIL Traitement d signal 8-9 5-8
Fig. 5-5 : Corbe de gain d n filtre passe-bande d dexième ordre Il s'agit d'n filtre passe-bande. Le maximm d gain semble être atteint por (. Ce qe nos povons vérifier par le calcl. La dérivée de G(dB par rapport à est égale à : Soit : d G(dB d d G(dB d ln ln ln ( ( ( ( Rédisons a même dénominater : d G(dB d ln ( ( [( ] Soit en développant : d G(dB d ln [( ] Ce qi nos donne : d G(dB d ln [( ] S. Tisserant ESIL Traitement d signal 8-9 5-9
Nos trovons donc n maximm en, qelqe soit la valer de. Le gain est alors égal à : K G max Déterminons la bande passante à 3 db de ce filtre. Cherchons tel qe : C'est-à-dire : K G max G( K ( En simplifiant par K, pis en élevant a carré nos obtenons : Soit : Ce qi nos donne : ( 8 8 ( ( ( ± Nos obtenons dex éqations d dexième degré : ± qi ont le même discriminant rédit : ' Celi-ci étant positif, chaqe éqation admet dex soltions réelles. Nos avons donc qatre soltions : r ± ± dont nos ne conservons qe les racines positives. Ce qi nos donne por les limites de la bande passante : b h Nos povons remarqer qe : S. Tisserant ESIL Traitement d signal 8-9 5-3
b h Cela signifie q en échelle logarithmiqe la bande passante est centrée sr : log log b h (log b log h Remarqons également qe la bande passante ne dépend pas de la qantité K. Elle a por larger : B h b La sélectivité d filtre pet être caractérisée par n facter de qalité Q défini par : Q B Un filtre sélectif (bande passante étroite se caractérise par n facter de qalité important. Por le filtre qe nos venons d étdier nos avons : Q La figre sivante présente la corbe de gain dans le plan de Bode por trois valers d facter de qalité d filtre, la constante K a été ajstée por assrer le même gain maximm. Fig. 5-6 : Corbes de gain d n filtre passe-bande d dexième ordre por différents facters de qalité S. Tisserant ESIL Traitement d signal 8-9 5-3
On rencontre sovent la forme canoniqe de la fonction de transfert de dexième ordre fondamentale en remplaçant le paramètre par le facter de qalité, ce qi donne : H(j j Q j Q Por déterminer le lie de Nyqist d n filtre passe-bande d dexième ordre nos povons écrire sa fonction de transfert harmoniqe sos la forme sivante : H(j K La partie réelle d dénominater est constante et sa partie imaginaire covre R. Le lie d dénominater est la droite verticale d éqation x et son inverse est le cercle passant par x et x / (cf. annexe en fin d chapitre F. Le facter K correspond à ne homothétie de centre O et de rapport K. Le lie de Nyqist d filtre étdié est donc le cercle passant par x et x K/. Fig. 5-7 : Lie de Nyqist d n filtre passe-bande d dexième ordre (K> E.. Filtre cope-bande d dexième ordre Considérons ne fonction de transfert harmoniqe de la forme : H(j j Utilisons la variable rédite por exprimer la fonction de transfert : S. Tisserant ESIL Traitement d signal 8-9 5-3
Le gain a por expression : G(dB H(j j log log [( ] La gain qe nos étdions pet s écrire comme la somme de dex termes, qe nos notons G (db et G (db respectivement. La corbe de gain G (db a déjà été étdiée. Par contre le terme d premier degré est absent a nmérater. Nos remarqons q alors le gain s annle por. En décibels le gain tend alors vers -. La corbe de gain G (db présente donc ne asymptote spplémentaire verticale por. Nos en dédisons le diagramme asymptotiqe de la corbe de gain G(dB : x x x G(dB G(dB log G(dB G (db G(dB G (db log G(dB G (db log G(dB La corbe de gain a été tracée sr la figre 5-8. Il s'agit d'n filtre cope-bande, qi rejette n domaine en plsation ator de. Fig. 5-8 : Corbe de gain d n filtre cope-bande d dexième ordre Por vérifier l'évoltion de G(dB nos povons dériver par rapport à, en tilisant le résltant déjà obten D.. Por nos avons : S. Tisserant ESIL Traitement d signal 8-9 5-33
Ce qi nos donne : d G(dB d d G(dB d ln ln ln ( ( ( ( Rédisons a même dénominater, il vient : d G(dB d Soit en développant : ln [( ] ( ( ( [( ] d G(dB d ln ( ( [( ] Ce qi nos donne : d G(dB d ln ( ( [( ] Cette dérivée est d signe de. La fonction est donc décroissante por <, pis croissante por >. Calclons la bande passante de ce filtre. Le gain maximm est atteint lorsqe tend vers zéro o vers l'infini. Il est égal à. Nos cherchons o x tels qe : C'est-à-dire : G max G( ( Ce qi nos donne en élevant a carré : ( ( ( En prenant la racine nos obtenons dex éqations : Soit encore : ± ± S. Tisserant ESIL Traitement d signal 8-9 5-3
Nos avons rencontré et résol ces éqations dans le paragraphe E3. Nos savons q elles admettent dex racines positives, ce qi nos donne por les limites de la bande passante : b h La bande passante comprend dex intervalles : [, b ] et [ h, [. Por déterminer le lie de Nyqist de ce filtre cope-bande nos povons écrire la fonction de transfert sos la forme sivante : H(j j La partie réelle d dénominater est constante et sa partie imaginaire covre R. Le dénominater correspond donc à la droite verticale x et son inverse est le cercle passant par x et x. Fig. 5-9 : Lie de Nyqist d n filtre cope-bande d dexième ordre F. Qelqes exemples de filtres particliers Nos passons ici en reve qelqes familles de filtres particliers sovent tilisés dans la pratiqe. F.. Filtres de Btterworth Les filtres de Btterworth sont les pls plats dans ler bande passante. Por les filtres d ordre, tels qe cex étdiés dans le paragraphe précédent, ils correspondent à /. De manière générale n filtre de Btterworth passe-bas d ordre n ( a n gain exprimé en fonction de sa plsation rédite de la forme : S. Tisserant ESIL Traitement d signal 8-9 5-35
Soit en décibels : G( n n G(db log ( Il s agit d n filtre passe-bas de gain maximm et ayant por asymptote à hate fréqence ne droite de pente - n db/décades, avec ne fréqence rédite de brisre indépendante de n. D atre part : G( soit 3 db Fréqences de brisre et de copre sont donc identiqes. Calclons la dérivée d gain, nos avons : n d G( n d n 3 / ( Cette dérivée étant tojors négative la corbe de gain est monotone et ne présente acne ondlation en particlier dans sa bande passante. Fig. 5-3 : Corbes de gain de filtres passe-bas de Btterworth d ordre à 5 La fonction de transfert H(j d ordre n possède nécessairement n pôles. Nos povons par exemple écrire : n H(j H(p (p pk avec p j k S. Tisserant ESIL Traitement d signal 8-9 5-36
En remarqant qe prendre le complexe conjgé d ne fonction de transfert revient à changer le signe de la variable j : n * H ( j H( j H( p (p pk k nos povons écrire por le gain : H (p n (p pk k n n ( p pl (pk p l k Le gain a donc n pôles de signes opposés dex à dex. Cherchons ces pôles. En posant p j nos avons à résodre : n n n ( p ( p Ce qi nos donne por p n soltions sr le cercle nité : Soit encore : p p j(k π / n e j(k n π / n e avec avec k,...,n k,..., n Por p nos avons donc n soltions : j(k n π / n p ± e avec k,..., n Ces pôles sont visalisés por n et 5 sr la figre 5-3. Fig. 5-3 : Pôles d gain d n filtre de Btterworth d ordre o 5. Les pôles de la fonction de transfert, à partie réelle négative, sont indiqés en roge S. Tisserant ESIL Traitement d signal 8-9 5-37
La fonction de transfert de Btterworth est constrite en choisissant les pôles à partie réelle négative, en roge sr la figre. C est-à-dire : pk j(k n π / n e avec k,...,n Les atres pôles correspondent alors à la fonction conjgée. En combinant les pôles conjgés dex à dex nos povons écrire la fonction de transfert d n filtre de Btterworth d ordre n sos la forme sivante : Avec selon la parité de n : H(j Bn (j n k n Bn (p pcos π p n k n k n B (p ( p pcos π n p n k por n pair por n impair Por les premiers ordres nos avons : B(p p B (p p p B3(p B (p ( p ( p p (.765 p p (.878 p p F.. Filtres de Chebychev Les filtres de Chebychev présentent n front de transition pls raide qe les filtres de Btterworth, mais a prix d ondlations dans la bande passante. Un filtre de Chebychev passe-bas d ordre n ( a n gain exprimé en fonction de sa plsation rédite de la forme : G( ε Cn ( où C n ( est n polynôme de Chebychev (cf. G... Le paramètre ε est appelé facter d ondlation o ronflement. S. Tisserant ESIL Traitement d signal 8-9 5-38
Por spérier à C n ( est ne fonction croissante, le gain dimine donc a-delà de la plsation caractéristiqe. Par contre por inférier à le polynôme C n ( présente n zéros, n extrema et oscille entre - et. Nos avons donc : Soit en décibels : Cn ( log ε G( ( ε G(dB Nos avons tracé l allre des corbes de gain jsq à n 5. On observe qe l amplitde des ondlations dans la bande passante est infériere à : G log ( ε Por notre illstration nos avons choisi G 3 db. D atre part, totes les corbes passent par G(dB G por. Fig. 5-3 : Corbes de gain por des filtres de Chebychev d ordre à 5, por des ondlations de G 3 db. Les pôles de la corbe de gain ont por expression (k,,n- : k k p ± sh( ν sin π jch( ν cos π n n avec ν n argsh ε S. Tisserant ESIL Traitement d signal 8-9 5-39
Ils se sitent sr ne ellipse. Sr la figre 5-33 nos montrons la distribtion de ces pôles por n et 5. Nos nos choisi n facter d ondlation de.3 db. La fonction de transfert de Chebychev est constrite en choisissant les pôles à partie réelle négative, en roge sr la figre. Les atres pôles correspondent alors à la fonction conjgée. Fig. 5-33 : Pôles d gain d n filtre de Chebychev d ordre o 5. Les pôles de la fonction de transfert, à partie réelle négative, sont indiqés en roge Les coefficients de la fonction de transfert dépendent d facter d ondlation. F.3. Filtres de Bessel Les filtres de Bessel sont des approximations de filtres à phase linéaire, c est-à-dire dont la phase varie linéairement avec la fréqence. Cela permet de limiter les distorsions des signax. En effet si on ne sohaite acne distorsion, c est-à-dire qe le signal en sortie a la même forme qe le signal en entrée, il fat qe le signal n ait sbi q ne amplification/atténation et n retard pr : s(t A e(t τ Soit par transformation de Forier : j τ S (j A E(j e j τ H(j A e Dans la pratiqe n tel filtre n est pas réalisable. Il comporterait n nombre infini de pôles. Mais les filtres de Bessel en sont ne bonne approximation. Un filtre de Bessel passe-bas d ordre n ( a ne fonction de transfert harmoniqe exprimée en fonction de sa plsation rédite de la forme : H(j A Dn (j D n est n polynôme de Bessel, de degré n, défini par la relation de récrrence : S. Tisserant ESIL Traitement d signal 8-9 5 -
avec Dn (x ( n Dn (x x Dn (x por D (x et D(x x n Le nmérater A est égal a coefficient d terme de degré d d polynôme (normalisation en gain. La plsation caractéristiqe n est pas la plsation de copre. Lorsqe celle-ci est choisie comme plsation caractéristiqe (normalisation en fréqence, les coefficients d polynôme de Bessel sont à modifier : k c d k dk Les figres sivantes montrent ne comparaison de trois filtres d ordre avec la même fréqence de copre : Bessel, Btterworth et Chebychev avec n facter d ondlation de 3 db. Le front d atténation d filtre de Bessel est nettement moins raide. Fig. 5-3 : Comparaison des corbes de gain de trois filtres d ordre, en vert Bessel, en roge Btterworth et en ble Chebychev à 3 db. Por mesrer la linéarité de la phase nos tilisons la vitesse de grope définie par : d Φ( D ( d S. Tisserant ESIL Traitement d signal 8-9 5 -
Cette qantité est tracée sr la figre 5-36 por les trois filtres tilisés comme référence dans ce paragraphe. Por le filtre de Bessel elle est constante jsq à la fréqence de copre. Cette caractéristiqe assre ne faible distorsion dans la bande passante d filtre. Fig. 5-35 : Comparaison des corbes de gain de trois filtres d ordre, en vert Bessel, en roge Btterworth et en ble Chebychev à 3 db. Fig. 5-36 : Comparaison des vitesses de grope de trois filtres d ordre, en vert Bessel, en roge Btterworth et en ble Chebychev à 3 db. S. Tisserant ESIL Traitement d signal 8-9 5 -
G. Annexe G.. Qelqes transformations dans le plan complexe Dans ce chapitre, por l étde des liex de Nyqist nos avons e besoin de l inverse d ne droite dans le plan complexe et de l homothétie d n cercle passant par l origine. Nos rappelons dans ce paragraphe ces dex résltats. Commençons par déterminer l inverse d ne droite verticale qe nos povons paramétrer par : x a y avec a constant et variable réelle. L inverse de cette droite est défini par le lie des points tels qe : Soit : a j z a j a a x a y a Il est facile de vérifier qe la variation de x en fonction de est monotone avec : x [, /a] si a > et x [/a, ] si a <. Nos povons donc essayer d exprimer en fonction de x : a a x a ( a x x ± a ( a x x En reportant dans l expression de y il vient : Elevons a carré : x a ( a x y m m a x x ( a x a x ( a x x x y x x y x y a a a a a Nos obtenons l éqation d n cercle de centre (/a, et de rayon /a, donc passant par les points x et x /a. Calclons la transformée par l homothétie de centre O de rapport k, d n cercle passant par x et x R. Ce cercle a por éqation : S. Tisserant ESIL Traitement d signal 8-9 5-3
( x R y R Notons (x, y les coordonnées de la transformée de (x, y par l homothétie. Nos avons : x' k x y' k y Et reportant dans l éqation d cercle il vient : x' k R y' k R (x' k R y' k R Nos obtenons l éqation d n cercle de centre (kr, et de rayon kr, donc passant par les points x et x kr. G.. Polynômes de Chebychev Les polynômes de Chebychev sont définis par la relation de récrrence sivante : avec Cn (x x Cn (x Cn (x por C (x et C(x x n Le polynôme C n (x est n polynôme de degré n. Le coefficient d terme en x n est n-. Nos allons étdier ici qelqes propriétés tiles des polynômes de Chebychev. Tot d abord nos avons : C n [cos(x] cos(nx Nos povons vérifier cette propriété par récrrence. Elle est vraie por et. Vérifions qe si elle est vraie jsq à n-, elle l est également por n : C n [cos(x] cos(xcos[(n x] cos[(n x] cos(nx cos[(n x] cos[(n x] cos(nx Cette propriété nos permet de donner ne formlation valable sr l intervalle [-, ], à savoir : x [, ] Cn (x cos[n arccos(x] Donc : x [, ] Cn (x S. Tisserant ESIL Traitement d signal 8-9 5 -
Cherchons les racines d polynôme sr cet intervalle [-, ] : (x C n Nos avons donc n racines distinctes : π cos[n arccos(x] n arccos(x k π r k k cos π n avec k,...,n Pisqe le polynôme C n (x est de degré n, totes ses racines sont comprises entre - et. Cherchons les extrema de C n (x sr [-, ]. Nos povons calcler sa dérivée sr cet intervalle : Qi s annle por : d Cn (x dx sin[n arccos (x] n x Ce qi nos donne n extrema différents : Ces extrema ont por amplitde : n arccos (x k π k π m k cos avec k n,..., n k Cn (mk cos[n arccos(mk ] cos(k π ( Remarqons qe x est n tojors n maximm qel qe soit n : Por x nos avons : n Cn ( C n π ( cosn C C n n ( ( ( (n / por n pair por n impair Por x > on montre facilement par récrrence qe : n n Cn (x x x x x qi est ne fonction monotone croissante. S. Tisserant ESIL Traitement d signal 8-9 5-5