Alyse et géométrie M. Ali coes, memre de l Istitut (Acdémie des scieces), rofesseur eux de WItt et méciue sttistiue utiue Itroductio Mo cours cette ée ortit sur les résultts récets (oteus e collortio vec C. Cosi [4]) sur les reltios etre le système de méciue sttistiue utiue costruit ds [2] (elé système C) et l costructio de l eu uiversel de Witt our ue clôture lgériue, du cors fii,. Pour remier et s u isomorhisme du groue multilictif de, vec le groue des rcies de l uité (ds!) d ordre remier à, ous costruisos ue rerésettio -diue idécomosle π σ du système C (défii sur #) comme edomorhismes dditif de l eu de Witt uiversel de,. Les rerésettios oteues sot les logues -diues des rerésettios irréductiles comlexes ssociées ux étts extrémux KMs du système C. Le rôle de l foctio zêt de riem comme foctio de rtitio ds le cs comlexe est teu ds le cs -diue r les foctios L -diues et les reltios de divisio des olylogrithmes -diues ermettet de démotrer l logue -diue de l coditio KMs. ous motros ue l théorie d iwsw ermet d étedre l théorie KMs à u revêtemet du groue dditif de! (comlétio d ue clôture lgériue de & ). Présettio du système BC Le système C est u eu ocommuttif dot l costructio est semlle à celle de l eu des oérteurs de Hecke à rtir des doule clsses de gl 2 (#) ds gl 2 (&). o remlce gl 2 r le groue ffie P = x +. L lgère de Hecke $ # oteue est hutemet o-trivile même sur! et s rerésettio régulière egedre u fcteur de tye iii 1 et ue «évolutio ds le tems» s t Î ut( $! ). L étude des étts KMs motré ue : 1. L foctio de rtitio est l foctio zêt de riem. 2. u ôle de zêt o ue trsitio de hse vec risure de symétrie sotée.
80 Li Coes 3. Les étts de vide (temérture ulle) doet l isomorhisme du cors de clsse glol our &. L lgère de Hecke $ # cotiet l lgère de groue ZQ [ / Z]. soiet er () ÎZQ [ / Z, ] les géérteurs coiues our r Î Q/ Z. Pour Î, o défiit u edomorhisme s de ZQ [ / Z] tel ue σ(( e γ)) = e( γ) our tout g Î Q/ Z et ue lictio dditive +r telle ue Ces lictios vérifiet les reltios de comtiilité suivtes σ = σ σ, ρ+ = ρ+ ρ+,, (1) m m m m m ρ+ ( σ ( xy ) )= xρ+ ( y), xy, ZQ [ / Z ] (2) m m m σρ+ =( c, ) ρ+ σ (3) c c où ( c, )= gcd( c, ) est le lus grd diviseur commu de et c, = /( c, ), c = c/( c, ). L lgère de Hecke $ # dmet ue résettio comme roduit croisé ZQ [ / Z]& +r N. elle est egedrée r ZQ [ / Z], et les élémets +m, m *, our Î, ui vérifiet les reltios µ + xµ * = ρ + ( x), µ * x = σ ( x) µ *, xµ + = µ + σ ( x), m+ = m+ m+, m* = mm * *, mm * + =, m m m m isi ue mm + * m = m* mm+ our ( m, )=1. Tout élémet de $ # s écrit de mière uiue comme somme fiie de moômes où r covetio +m +m xm *, (, )=1, xîzq [ / Z], = m =1. 1 1 * Système BC, W0( F) et rerésettios -diues Le oit de dért de otre trvil est l similitude etre les reltios (1), (2) et (3) et celles ue stisfot les edomorhismes de Froeius F et les «Verschieug» V ds l costructio de Witt uiverselle (cf. [3]). Le focteur " 0 de Witt ρ+ : ZQ [ / Z] Z[ Q/ Z], ρ+ (( e γ)) = e( γ ). γ = γ L icrtio l lus simle de l costructio de Witt uiverselle est le focteur ui ssocie à l eu commuttif A l eu " 0 ( A)= K 0 ( ed A)/ K 0 ( A) ui clssifie les edomorhismes (E, f ) où E désige u module roectif de tye fii sur A et fîed A( E) u edomorhisme de E. Les oértios ds " 0 ( A) sot celles de somme directe et de roduit tesoriel sur les edomorhismes. Les structures imorttes sot l sectio de Teichmüller lictio multilictive t : A " 0( A), f!t( f)=[ f]=( A, f) ; les edomorhismes de Froeius F our Î, vec F ( E, f)=( E, f );
LYse et géométrie 81 les Verschieug, lictios dditives V, Î, où V ( f ) est l mtrice comgo du olyôme X - f ; les comostes ftôme gh :" 0( A) A our Î, gh ( E, f)= Trce( f ). Prmi les omreuses roriétés géérles de cette costructio, otos les reltios suivtes, (1) F $ V ( x)= x. (2) V( F( xy ) )= xv( y). (3) si ( m, )=1, V $ F = F $ V. m m (4) Pour Î, V( x) V( y)= V( xy). (5) Pour Î, F ( t( f)) = t ( f ). (6) Pour m, Î, gh ( F ( f)) = gh ( f). (7) gh m m mgh m / ( f) sim ( Vm( f)) = 0 sio. soit k u cors lgériuemet clos. o lors u isomorhisme coiue de l eu de groue #[ k ] vec " 0 [ k] ui ssocie u diviseur x k ( ) #[ ] l somme des relevés de Teichmüller t( x ) " 0[ k]. L edomorhisme de Froeius F corresod à l edomorhisme g! g ds le groue multilictif de k. soit k =, ue clôture lgériue du cors fii,. Le groue multilictif de k est isomorhe o coiuemet u groue m ( ) des rcies de l uité (ds!) d ordre remier à, ue l o idetifier u sous groue ( Q/ Z) ( ) de Q/ Z des frctios dot le déomiteur est remier à. o ote r l roectio turelle de Q/ Z sur ( Q/ Z) ( ). soit X l esemle des isomorhismes du groue multilictif de, vec m ( ). o otiet l reltio suivte etre W0( F) et le système C. Théorème 3.1 À tout s Î X, σ : F µ ( ) % C, corresod u isomorhisme d eux, +s W ( F ) Z[( Q/ Z) ( ) ] Z[ Q/ Z] Z[( Q/ Z) ( ) ] 0 +s Les Froeius F et Verschieug V de W0( F) sot les restrictios des edomorhismes s et des +r de ZQ [ / Z] r r σ F = σ σ, σ V = r ρ σ (4) o e déduit ue rerésettio π, σ du système C, i.e. de $ # sur W0( F ), o π, σ( x) ξ = σ+ - 1( r( x)) ξ, (5) our tous x Î W0( F ), x Î ZQ [ / Z] et, our Î π ( µ *)= F, π ( µ + )= V. (6), σ, σ
82 Li Coes Le focteur "( A) ous utilisos les résultts de P. Crtier (cf. [3]) sur l eu uiversel "( A) our A ue, lgère, ce ui doe l isomorhisme WF ( )=( W ( F )) I ( ) (7) où I( )Ì est l esemle des etiers remiers à et " l costructio de Witt isotyiue. Cet isomorhisme ous ermet de rologer l rerésettio π, σ e ue rerésettio -diue. L eu uiversel "( A) défii ds [3] s otiet r comlétio de " 0 ( A) mis l structure uiforme imliuée déed de l structure lgériue de A et s seulemet de l eu " 0 ( A ), même si l o tiet comte des structures sulémetires doées r les F et V. soit Λ( A)=1 + ta[[ t]] le groue multilictif des séries formelles à coefficiets ds A. o eut itroduire l eu uiversel "( A) comme comlétio de " 0 ( A) e utilist u résultt de g. lmkvist [1] ui motre ue le olyôme crctéristiue des edomorhismes doe u ivrit comlet L: " ( A) Λ( A), L( E, f)= det(1 tm( f )) 1 0 dot l imge est le groue multilictif des frctios rtioelles à coefficiets ds A de l forme (1 + t )/(1 + t ). L eu "( A) des vecteurs de Witt s otiet lors e rologet les oértios de " 0 ( A) u groue formel Λ( A)=1 + ta[[ t]] des séries formelles à coefficiets ds A et e utilist l iectio A :"( A) Λ( A), ui ssocie u vecteur de Witt ( x ) Î le roduit fx()= t (1 xt ) 1. L dditio et l multilictio des vecteurs de Witt sot doées e comostes r des olyômes uiversels à coefficiets etiers. Les edomorhismes de Froeius F sot eux ussi doés r des olyômes et l o r exemle F ( x) = x + 3x 3 1 1 3 3 F ( x) = x 3x x 3x + 3x 3 2 2 3 1 3 3 3 2 6 F ( x) = 3x x 9x x 8x + 3x 3 3 1 6 3 1 3 3 2 3 3 9 soit # ( ) le loclisé de # e. L exoetielle de rti-hsse u ses ds L( #( )) t t E()= t hex( t)= ex ( t+ + + ) Λ (# ) 2 ( ) et de lus, (1) E (t) est u idemotet de L( #( )). (2) Pour Î I( ), l série E( )()= t 1 V ( E )() t Λ (# ( ) ) détermie u idemotet. Qud vrie ds I(), les E () formet ue rtitio de l uité. (3) Pour Ï, F( E)()=1(= t 0 L) et F ( E )()= t E ( t), k. 2 k
LYse et géométrie 83 dditio et multilictio des vecteurs de Witt se locliset à tout sous-esemle de stle r l oértio diviseurs de. o ote " le focteur de Witt our l esemle des uissces de. soit A ue # ( ) -lgère, l lictio y A " A Λ A E : ( ) ( ), x =( x )!y ( x)( t)= h ()= t E ( x t ) A x est u isomorhisme sur l lgère réduite L( A) E. Pour Î I( ), y -1 A $ F est u isomorhisme de L( A) E ( ) vec " ( A). o otiet isi u isomorhisme Θ A I :"( A) " ( A) ( ) ui est doé e comostes r ( ( x) ) = F ( x), x " ( A), I( ). Θ A k k o liue ce résultt à A =,. o sit lors ue, comme A est rfit de crctéristiue, l eu " ( A)est l uiue -eu strict R (R séré comlet our l toologie -diue, o diviseur de zéro) de cors résiduel,. otos! l comlétio -diue d ue clôture lgériue de &. soit Q " ur Ì C l comlétio de l extesio & ur o rmifiée mximle de &. lors W ( F) est l eu des etiers = Ì & & " ur " ur comlétio du sous eu egedré r les rcies de l uité. o doc u isomorhisme coiue WF ( ) I( ), x!( F ( x)) N. (8) otos e m, mî I( ) les vecteurs de comostes toutes ulles suf ue, égle à 1. otos & cyc le cors cyclotomiue strit, uotiet de l eu de groue QQ [ / Z] r l idél J egedré r les 1 1 = e ( ), our ³ 2. soit & cyc, Ì & cyc le =0 sous-cors de & cyc egedré sur & r le groue m ( ) Ì& cyc des rcies de l uité d ordre remier à. À tout s Î X corresod u uiue logemet r : Q cyc, C ui doe l iverse de s u iveu résiduel. o eut lors rologer l rerésettio π, σ du système C de (5) et l o otiet, Théorème 3.2 Soit s Î X et r : Q cyc, C le logemet ssocié. L rerésettio π, σ de l lgère $ # se rologe à WF ( ). Pour Î I( ), les π σ( µ ) et our x Î ZQ [ / Z], les π σ ( x) sot des oérteurs -liéires tels ue π ( µ ) ε = ε, π (( e/ )) ε = ρζ ( m ) ε,, m, I( ). σ De lus m m σ m / est l iverse du Froeius. π σ( µ )= 1 Fr - m
84 Li Coes soit J Ì H # l idél iltère egedré r les 1 -e ( -k ), k Î. C est le oyu ( de l rerésettio π σ idéedmmet de s. soit $ ) # le uotiet r # de l sous-lgère de $ # egedrée r ZQ [ / Z], +m, m* ( ) our Î I( ). L lgère $ # est egedrée r Z[( Q/ Z) ( )], et les +m, m* our Î I( ). il existe u uiue ( ) $ # utomorhisme Fr Î ut( ) de cette lgère tel ue Fr(( e γ)= e( γ), γ µ ( ), Fr( µ + )= µ +, Fr( µ *)= µ *, I( ) L o retrouve le uotiet H# / J comme u roduit croisé de l forme ( ) # # Fr, # H / J = H. Le choix de s Î X iterviet de mière essetielle ds cette costructio comme le motre le résultt suivt, Théorème 3.3 Soit s Î X et r : Q cyc, C le logemet ssocié. Les ( rerésettios π σ restreites à $ ) # sot -liéires, idécomosles et deux à deux iéuivletes. Les rerésettios π σ de $ # sot # -liéires, idécomosles et π σ et π σ sot éuivletes sur # si et seulemet si il existe Î ut(, ) tel ue σ = σ$ α. Coditio KMS, lyse -diue et olylogrithmes L formultio lgériue de l coditio KMs est l églité ϕ( xσ ( y)) = ϕ( yx), xy,!, (9) β où est ue forme liéire sur l lgère! et σ β Î ut(!) est u utomorhisme. Le cs comlexe Les résultts de [2] motret ue les étts KMs β extrémux sot, our >1 de l forme ϕ Tr( π β ρ( Xe ) H), ( X)=, Tr( e βh) βρ X $ # (10) où H est l Hmiltoie, oérteur de multilictio r log ds l se coiue e de l esce de Hilert ( 2 ( ) et π ρ l rerésettio irréductile de $ & doée r π ( µ ) ε = ε, π ( µ *)= π ( µ ), * π (( e/ )) ε = ρζ ( m ) ε, (11) ρ m m ρ ρ ρ m / où r Î # # * détermie u logemet ds! du cors cyclotomiue & cyc. ds otre cs l lgère est ( ) ( ) C Z ZC A = H = H Ä. (12) m
LYse et géométrie 85 L logue du Hmiltoie ui ds le cs comlexe est simlemet He = log( ) e s otiet ds le cs -diue e utilist le logrithme d iwsw, log, x log (1 x)=, x, x <1 =1 ui se rologe à! de telle sorte ue log ( )=0 et log ( xy)= log ( x) + log ( y), xy,!. Les utomorhismes σ ( β) ( ) Îut ( $! ) Pour remier o ote =4si =2, = si ¹ 2, et += ( -1) l idictrice d euler de. Le domie turel ui remlce ds le cs -diue le groue dditif! des «temértures iverses» β de l coditio KMs β est le groue dditif D ={! < 1/( 1) }. soit Z ( ) Q le groue multilictif des frctios rtioelles de umérteur et déomiteur remiers à. Lemme 4.1 Soit r # ( ). Il existe ue uiue foctio lytiue D!,! r ( ) telle ue r( ) = r our tout =1-k+ vec k etier. o Pour Î D, l lictio r ( ):= rex (( 1) log ()), r D. (13) Z r! r( ) C (14) ( ) est u homomorhisme de groues. de lus our r ( 1 ) ( 2 ) ( 1 + 2 ) (0) # ( ) r r = r r, D (15) Proositio 4.2 (1) Pour Î D il existe u uiue utomorhisme ( ) ( Îut ( $ )! ) tel ue σ β (2) O ( β) σ ( β) µ γµ * ( + ( ) )= µ ( γ ) µ * e + e,, I( ), γ ( Q/ Z) ( ). (16) ( β 1 ) ( β 2 ) ( β 1 + β 2 ) (0) σ $ σ = σ $ σ, β D (17) et s (0) est u utomorhisme d ordre fii +. Pour costruire les étts KMs β, i.e. les formes liéires : $!!, (1)=1, telles ue ( ) ( ) ϕ( xσ β ( y)) = ϕ( yx), xy, $!, ( )
86 Li Coes il fut doer, our r : Q comlexe, cyc, C, u ses à l somme formelle, logue du cs Z(, β)= ρ( ζ m ) m β, β D m I( ) ds le domie -diue. o utilise our cel l costructio clssiue, [5], où les B sot les omres de eroulli. o ote = ex( log ( )). / Lemme 4.3 Pour f Î, f ¹ 0, multile de, l exressio Z ρ c β β f (, β, f):= 1 ρ ζc 1 1 ( / ) f β 1 c 1 c< f c =0 B, β D, défiit ue foctio méromorhe (vec u lus u ôle simle e =1) ds le disue D et e déed s du choix de f. o ote Z ρ (, β)= Z ρ(, β, f ) idéedmmet du choix de f. (18) Polylogrithme et cyclotomie L vérifictio de l coditio KMs β our tout β se rmèe r lyticité u cs où β est u etier égtif de l forme 1-k+. ds ce cs o utilise les reltios de divisio des olylogrithmes. o défiit des frctios rtioelles ( () z our β etier égtif, r les églités z z z ( ()= z ( 1( z), ( 0()= z. 1 z Lemme 4.4 Soiet >1,, Î. Alors o ose 1 B si 1 1 ( / ), / 1 z / ( )= ( z z =0 B, si z/ =1. f 1 Y f B ( / )= 1 z / ( ), f, f 0 f =0 Lemme 4.5 Soit β u etier égtif de l forme =1 -m=1-k+, o lors Z m Y m ρ(, β)= 1 ρ m 1Ym. (19) Ce lemme rmèe l démostrtio du lemme 4.7 ci-dessous à l vérifictio des reltios de divisio des olylogrithmes.
LYse et géométrie 87 Coditio KMS β Le théorème suivt doe l costructio de formes liéires vérifit l ( coditio KMs β. o défiit ue forme liéire ϕ βρ, sur $ )! our tout Î D r (vec m, ÎI( ) remiers etre eux), ρ(, β), = =1, ϕ βρ, ( µ + ( ) µ * e Z m )= si m 0, sio. Théorème 4.6 Pour tout Î D, ¹1, et r ÎHom( Qcyc,, C) l forme liéire, vérifie l coditio KMS β : ϕ βρ ( ) ϕβρ, ( xσ( β) ( y)) = ϕβρ, ( yx), xy, $!. L foctio de rtitio est l foctio L (-diue) our le crctère c =1, O Z( ) ¹ 0 Z( )= (,1). L our Î D et u ôle e =1de résidu -1. L démostrtio utilise le lemme suivt sur les lictios +r. Lemme 4.7 Pour tout Î I( ) et Î D, ¹1, o βρ, + 1 βρ, ϕ ( ρ ( X)) = βϕ ( X), X # [ µ ( )] (20) Pour ormliser les formes liéires ϕ βρ, il fut étudier l foctio de rtitio et ses zéros. elle est doée r c Z( ):= (1)= 1 1 β β ϕβρ, β 1 1 c< c ( )( ) =0 1 β C est l foctio L : Z( )= L (,1) our le crctère c =1. elle u ôle e =1de résidu 1 1 c< c + 1 1= =. c B. L théorie d iwsw doe ue série formelle h( T) Î [[ T]] telle ue Pour =0 o (21) ((1 + ) 1 β 1) Z( β)= η ((1 + ) β 1) (22) Z(0)= 1 c (1 ). 2 c 1 c< c
88 Li Coes Pour >2 o = et le résidu de h(0) vut -1. Pour =2 o ussi 1 ( ) [[ ]] 2 h T T de sorte ue Z(β) e s ule s. Cel ermet de ormliser les formes liéires ϕ βρ, et de détermier l limite des étts ssociés ud 1. Proositio 4.8 Qud 1 o limz β Z β β 1 si # sio ( ) 1 ρ(, )= 1 0. o otiet isi l rerésettio régulière et ds ce cs l utomorhisme s (1) red l forme très simle σ (1)( µ + e( γµ ) )= µ + e( γ ) µ * * ds le cs -diue l logue de l risure de symétrie du cs comlexe résulte du lemme suivt, Lemme 4.9 Soit >2 et Î ut(( Q/ Z) ( )). Si ± { 1}o Z ρ (23) (, β)= Z θ ρ(, β), / ( / )( ) $ Q Z, β D. (24) Si { ± 1} et =1 -m=1-k+, k >0, lors les formes liéires ϕ βρ, et ϕ βθ, $ ρ sot distictes. isi ds le cs -diue et cotriremet u cs comlexe, le groue de symétrie ut(( Q/ Z) ( )) est s totlemet risé et il reste ue ivrice otrivile r le sous-groue ± { 1}. Cel corresod e fit l ullité des foctios L our les crctères imirs ds le cs -diue. Prologemet u revêtemet Le o cdre our l théorie KMs s otiet e exloitt l théorie d iwsw des foctio L. Le domie turel our l vrile β est le revêtemet M du groue dditif de! décrit ds (25). L formule ((1 + ) 1 β 1) Z( β)= η((1 + ) β 1) motre ue λ =(1 +) β est u meilleur rmètre ue β. ous motros ue l costructio des étts KMs β, ϕ βρ,, our Î D, se rologe turellemet u revêtemet de! doé r l homomorhisme de groues M = D(1,1 ) λ β = ( λ log λ l )= log (1 + ) C (25)
LYse et géométrie 89 où M = D(1,1 - ) est le disue ouvert ds! de ryo 1, vu comme groue multilictif. Cet homomorhisme est surectif et de oyu le groue m des rcies de l uité d ordre ue uissce de. il défiit r restrictio ue iectio l :{ l M l 1 < 1/( 1) } D (26) dot l iverse est doé r D )β! ψ( β)=(1 + ) β = ex( β log (1 + )). (27) Ceci ermet de cosiderer D comme sous-groue de M. L costructio des utomorhismes σ ( β) et des étts KMs β se rologe u revêtemet M de!. isi ( ) our l Î M, il existe u uiue utomorhisme σλ [ ] Îut ( $! ) tel ue σλ [ ]( µ ( γ ) µ * ( / ) + e )= ω( / ) λ µ + e( γµ ) *,, I( ), γ ( Q/ Z) ( ), (28) i où w( r) est l ottio stdrd our r (0) et i log () r ()= r log (1 + ) # (29) défiit u homomorhisme de # () vers le groue dditif #. o lors Théorème 4.10 Il existe ue fmille lytiue de formes liéires ψ λρ,, l Î M, ( sur $ )! telles ue ψ λρ, () 1 = 1. ψ λρ, vérifie l coditio KMS ψ ( xσ[ λ]( y)) = ψ ( yx), xy, $!. (30) λρ, λρ, Pour Î D et λ =(1 +) β o ψ = Z( β) -1ϕ. λρ, o otiet le résultt e comrt 1 c< f c βρ, =0 ( ) Z c β β c f ρ(, β):= 1 1 1 ρ( ζ / ) f β 1 B c vec les foctios L (-diues) L c c f (, ):= 1 1 β 1 β βχ χ() f β 1 c B 1 c< f c où χ est u crctère de dirichlet rimitif. =0
90 Li Coes Lemme 4.11 Soit / Îm ( ), il existe cd (, c) Î! tels ue Z ρ (, β)= cdχ L βχd d β χ β (, ) (, ) 1 1 (1 () (( 1 ( 1 ) d où d divise, χ est u crctère rimitif de coducteur f ui divise m= / d et ( vrie rmi les diviseurs remiers de m/ f remiers à f. Référeces [1] lmkvist g., «The grothedieck rig of the ctegory of edomorhisms», J. of Alger, 28, 1974, 375-388. [2]. ost J., Coes., «Hecke lgers, Tye iii fctors d hse trsitios with soteous symmetry rekig i umer theory», Select Mth. (New Series), vol. 1, 1995, 3, 411-457. [3] Crtier P., «groues formels ssociés ux vecteurs de Witt géérlisés», Comt. Red. Acd. Sci. Pris, ser. - 265, 1967, 49-52. [4] Coes., Cosi C., «o the rithmetic of the C-system», rxiv:1103.4672. [5] Wshigto L., Itroductio to cyclotomic fields (secod editio), grdute Texts i Mthemtics, 83, sriger-verlg, ew York, 1997. coféreces setemre 2010, ue coférece à rome, cdemi dei licei. ovemre 2010, ue coférece à ihp, Pris. Jvier 2011, ue coférece à ihes. Mrs 2011, deux coféreces à Joh s Hokis Uiversity. Mi 2011, ci coféreces à Vderilt Uiversity. Mi 2011, ue coférece à Tours. ulictios Coes., «The C-system d L-fuctios», J. J. Mth., 6, 2011, 1-44. Coes., «The Witt costructio i chrcteristic oe d utiztio. ocommuttive geometry d glol lysis», Cotemorry Mthemtics, 546, 2011. Coes., Cosi C., «o the rithmetic of the C-system», rxiv:1103.4672. Coes., Chmseddie., «sectrl ctio for roertso-wlker metrics», rxiv:1105.4637.