Chapitre 6 Fonctions usuelles Objectifs Définir et étudier les fonctions logarithmes, eponentielles Définir et étudier les fonctions puissances Comparaison Définir et étudier les fonctions hyperboliques, leurs propriétés Inversion des fonctions hyperboliques et des fonctions circulaires Plan 6 Fonctions usuelles 6 I) Fonctions logarithmes et eponentielles 6 ) Logarithme népérien 6 ) Logarithmes de base a 6 ) La fonction eponentielle 65 ) Fonctions eponentielles de base a 66 II) Fonctions puissances 67 ) Racines nièmes 67 ) Puissance rationnelle 68 ) Puissance irrationnelle 69 ) Croissance comparée de ces fonctions 69 III) Fonctions hyperboliques 7 ) Définitions 7 ) Trigonométrie hyperbolique 7 ) Inversion des fonctions hyperboliques 7 IV) Fonctions circulaires 7 ) Rappels 7 ) Inversion des fonctions circulaires 75 V) Eercices 77 I) Fonctions logarithmes et eponentielles ) Logarithme népérien La fonction dt fonction t est continue sur ]; [, elle admet une unique primitive qui s annule en, c est la
6 Chapitre 6 : Fonctions usuelles Définition 6 L unique primitive de la fonction est notée ln On a donc >, ln() = sur ]; [ qui s annule en est appelée logarithme népérien, elle dt t Cette fonction est donc dérivable sur I =]; [ et ln () =, elle est donc strictement croissante sur I Soit y >, la fonction f : ln(y) et dérivable sur I et f () = y y =, on en déduit que f() = ln()+c où c est une constante, on a ln(y) = f() = ln() + c = c, par conséquent on obtient : théorème 6 (Propriété fondamentale du logarithme), y >, ln(y) = ln() + ln(y) Conséquences : Si u est une fonction dérivable qui ne s annule pas, alors [ln( u )] = u u, y R, ln( y ) = ln( ) + ln( y ), y R, ln( y ) = ln( ) ln( y ) n Z, R, ln( n ) = n ln( ) théorème 6 (Limites du logarithme népérien) lim ln() = ; lim ln() = ; + ln() ln() lim = ; lim = Courbe représentative : ln ln 5 5 théorème 6 (Inégalité de conveité) >, ln() ) Logarithmes de base a théorème 6 Soit f :]; [ R une application dérivable telle que, y >, f(y) = f() + f(y), alors il eiste une constante k telle que >, f() = k ln()
Fonctions logarithmes et eponentielles 65 On peut montrer que le théorème reste vrai si on remplace f dérivable par f continue Lorsque k = la fonction f est nulle, lorsque k, il eiste un unique réel a > différent de tel que ln(a) = ln(), ce qui donne f() = k ln(a) Définition 6 Soit a R + \ {}, on appelle logarithme de base a la fonction notée log a et définie sur ]; [ par log a () = ln() ln(a) Remarques :, y R +, log a (y) = log a () + log a (y) log a () = et log a (a) = On note e l unique réel strictement positif tel que ln(e) =, on a alors ln = log e La fonction log a est dérivable et >, log a() = log a = log a ) La fonction eponentielle ln(a) La fonction ln est strictement croissante sur I =]; [, elle définit donc une bijection de I sur J = Im(ln), comme elle est continue on a Im(ln) =] lim ln; lim ln[= R Définition 6 La réciproque est appelée fonction eponentielle et notée ep, elle est définie par : ep : R ]; [ ep() = y tel que y > et ln(y) = Propriétés : La fonction ep est strictement croissante sur R et continue, de plus ep() = et ep() = e La fonction ln est dérivable sur ]; [ et sa dérivée ne s annule pas, donc la fonction ep est dérivable sur R et ep () = ln (ep()) = ep() Dans un repère orthonormé, la courbe de la fonction ep et celle de la fonction ln sont symétriques par rapport à la première bissectrice 5 C ep C ln 5
66 Chapitre 6 : Fonctions usuelles Soient, y R, notons X = ep() et Y = ep(y) alors X et Y sont dans ]; [ on peut donc écrire ln(xy ) = ln(x) + ln(y ) ce qui donne + y = ln(xy ), par conséquent ep( + y) = XY = ep() ep(y), on peut donc énoncer : théorème 65 (Propriété fondamentale de l eponentielle) Il en découle en particulier que ep( ) =, y R, ep( + y) = ep() ep(y) ep() Notation : On déduit de ce théorème que pour tout entier n Z et pour tout réel on a ep(n) = [ep()] n En particulier on a pour =, ep(n) = [ep()] n = e n Si p et q sont deu entiers premiers entre eu avec q et si r = p q, alors ep(qr) = ep(r)q = e p, comme ep(r) > on peut écrire ep(r) = q e p = e r [cf fonctions puissances] On convient alors d écrire pour tout réel : Les propriétés s écrivent alors : e +y = e e y e =, e = e, n Z, en = [e ] n ep() = e Si u désigne une fonction dérivable alors [e u ] = u e u R, e + théorème 66 (Limites de la fonction eponentielle) lim e =, lim e =, e lim e =, lim = Il en découle que lim e = ) Fonctions eponentielles de base a théorème 67 Soit f : R ]; [ une fonction dérivable telle, y R, f( + y) = f()f(y), alors il eiste un réel k tel que R, f() = e k Il eiste un réel a > tel que ln(a) = k, on peut donc écrire f() = e ln(a) Définition 6 Soit a >, on appelle eponentielle de base a, la fonction notée ep a définie sur R par : R, ep a () = e ln(a) Remarques :, y R, ep a ( + y) = ep a () ep a (y) ep a () =, ep a () = a et R, ep e () = e La fonction ep a est dérivable et R, ep a() = ln(a) ep a () ep = a ep a Lorsque a, la fonction ep a est bijective et sa réciproque est log a
Fonctions puissances 67 Comme pour la fonction eponentielle [de base e] on montre que r Q, ep a (r) = a r Par conséquent on pose pour tout réel : ep a () = a Avec cette notation on a [, y R, a, b ]; [) : a = ep( ln(a)) ln(a ) = ln(a) a +y = a a y, a = et a = a a = a, d où a y = a a y [a ] y = ep(y ln(a )) = ep(y ln(a)) = a y et donc ( ) = a a a b = ep( ln(a)) ep( ln(b)) = ep( ln(ab)) = (ab) et donc Si, a = b b = a ( a b ) = a b Seul un réel strictement positif peut être élevé à une puissance quelconque, par eemple est égal à [d après la définition ci-dessus] ep ( ) = ep( ln()) II) Fonctions puissances ) Racines nièmes Les puissances entières sont supposées connues Soit n un entier, on note f n la fonction définie sur R par f n () = n Cette fonction est continue dérivable sur R et f n() = n n Lorsque n est pair : La fonction f n définit une bijection strictement croissante de I = [; [ sur l intervalle J = f n < R + >= R +, la bijection réciproque est appelée racine nième elle est notée n et définie par : n : [; [ [; [ n = y tel que y et y n = Cette fonction est continue, strictement croissante sur [; [ mais dérivable seulement sur ]; [ (car f n s annule en et f n () = ), au point d abscisse il y a une tangente verticale Sa dérivée est donnée par : [ n ] n = f n( n ) = n Courbe représentative : n Propriétés : soient, y [; [, [ n ] n = et n n = Si > alors n = n, car n > et [ n ] n = = On en déduit alors que [ n ] = n n n y = n n y Si alors n = n et donc p Z, n p = [ n ] p
68 Chapitre 6 : Fonctions usuelles Lorsque n est impair : La fonction f n définit une bijection strictement croissante de R sur l intervalle f n < R >= R, la bijection réciproque est appelée racine nième elle est notée n et définie par : n : R R n = y tel que y n = Cette fonction est continue, strictement croissante sur R mais dérivable seulement sur R (car f n s annule en et f n () = ), au point d abscisse il y a une tangente verticale Sa dérivée est donnée par : [ n ] = n f n( n ) = n Courbe représentative : n Propriétés : soient, y R, [ n ] n = et n n = n = n [fonction impaire] Si > alors n = n, car n > et [ n ] n = = On en déduit alors que [ n ] = n n n y = n n y Si alors n = n et donc p Z, n p = [ n ] p ) Puissance rationnelle Définition 65 Soit r Q et p q le représentant irréductible de r, c est à dire r = p q avec p Z, q N et q premier avec p On pose par définition pour R : r = q p (sous réserve d eistence) La fonction ainsi définie est continue sur son ensemble de définition et dérivable sauf peut-être en Il est important de prendre le représentant irréductible de r sinon la définition n a pas de sens, par eemple on aurait = ( ) = ( ) = ( ) = Ensemble de définition : la fonction f r : r avec r = p irréductible est définie sur : q R + : si p < et q est pair R + : si p >, p impair et q pair R : si p < et q impair [dans ce cas f a la même parité que p] p > p pair et q impair [auquel cas f r est paire] R : si ou p >, p impair et q impair [auquel cas f r est impaire] Propriété : Lorsque > on a r = e r ln() Conséquences :
Fonctions puissances 69 Lorsque la fonction f r : r est paire on a R, r = e r ln( ) Lorsque la fonction f r est impaire on a r = εe r ln( ) avec ε = D fr \ {}, [ r ] = r r Lorsque r ]; [ la fonction f r est continue en mais pas dérivable Il y a cependant une tangente verticale pour la courbe représentative Par contre elle est dérivable en lorsque r Toutes les propriétés des puissances, établies dans le paragraphe sur les fonctions eponentielles, sont valables ) Puissance irrationnelle Si α est un irrationnel et si > alors on a déjà adopté la notation suivante : α = ep (α) = e α ln() Cela définit une fonction f α continue et dérivable sur ]; [ avec la formule : [ α ] = α α si α > On a lim f α () = si α < Dans le premier cas on pose α =, dans le second cas il y a une asymptote verticale Lorsque α > : α si α > = e (α ) ln() si < α <, lorsque α > on a une tangente horizontale et lorsque α < on a une tangente verticale 5 α < α > α = < α < 5 Courbe de la fonction α Pour les réels strictement positifs, on peut définir les puissances complees à l aide de l eponentielle complee en posant z = e z ln() ) Croissance comparée de ces fonctions Définition 66 Soit f et g deu fonctions qui ne s annulent pas au voisinage d un point a, on dit que f et négligeable devant g f() au voisinage de a lorsque : lim a g() = Comparaison des puissances : si α < β alors α est négligeable devant β au voisinage de et β est négligeable devant α au voisinage de C est à dire : α lim β = et lim β + α =
7 Chapitre 6 : Fonctions usuelles Comparaison des puissances et des logarithmes : si α et β sont des réels strictement positifs, alors [ln()] β est négligeable devant α au voisinage de et ln() β est négligeable devant au voisinage de α C est à dire : [ln()] β lim α = et lim α ln() β = + Comparaison des puissances et des eponentielles : si α est un réel et si β >, alors α est négligeable devant e β au voisinage de, c est à dire : lim α e β = III) Fonctions hyperboliques ) Définitions Définition 67 Pour R, on pose ch() = e + e [cosinus hyperbolique], sh() = e e th() = sh() ch() = e e e [tangente hyperbolique] + e [sinus hyperbolique] et Le cosinus hyperbolique : la fonction ch est paire, définie continue dérivable sur R et ch () = sh(), on en déduit le tableau de variation et la courbe : 5 ch Quelques propriétés : R, ch() ch() lim = et lim ch() e = Le sinus hyperbolique : la fonction sh est impaire, définie continue dérivable sur R et sh () = ch(), on en déduit le tableau de variation et la courbe :
Fonctions hyperboliques 7 6 sh 6 Quelques propriétés : R, ch() + sh() = e et ch() sh() = e >, < sh() < ch() lim sh() = et lim sh() e = La tangente hyperbolique : la fonction th est impaire, définie continue dérivable sur R et th () = ch () sh () ch = () ch, on en déduit le tableau de variation et la courbe : () 5 th 5 Quelques propriétés : R, < th() < >, th() < ) Trigonométrie hyperbolique R, ch () sh () = Formules d addition :, y R on a : ch( + y) = ch()ch(y) + sh()sh(y) sh( + y) = sh()ch(y) + ch()sh(y) th() + th(y) th( + y) = + th()th(y) En particulier : ch() = ch () = + sh () sh() = sh()ch() th() = th() + th ()
7 Chapitre 6 : Fonctions usuelles Transformations de somme en produit :, y R, en posant p = + y y = p q, on obtient : ch() + ch(y) = ch( +y y )ch( ) ch() ch(y) = sh( +y y )sh( ) sh() + sh(y) = sh( +y y )ch( ) sh( + y) th() + th(y) = ch()ch(y) et q = y, on a = p + q et Il est possible d étendre ces fonctions au complees, en posant pour z C : ch(z) = ez + e z et sh(z) = e z e z On peut déduire des formules d Euler que pour tout réel, cos() = ch(i) et i sin() = sh(i) ) Inversion des fonctions hyperboliques La fonction ch définit une bijection de [; [ sur l intervalle [; [, la bijection réciproque est notée argch [argument cosinus hyperbolique] et définie par : argch : [; [ [; [ argch() = y tel que y et ch() = y Cette fonction est continue sur [; [, strictement croissante, dérivable sur ]; [ mais pas en (car la dérivée de ch s annule en et ch() = ), sa dérivée est : >, argch () = sh(argch()) = Courbe représentative 5 C ch argch C argch 5 Propriétés :, argch(ch()) =, ch(argch()) =, argch() = ln( + ) lim argch() = et lim argch() ln() = La fonction sh définit une bijection de R sur R, la bijection réciproque est notée argsh [argument sinus hyperbolique] et définie par : argsh : R R argsh() = y tel que sh() = y Cette fonction est continue sur R, strictement croissante, dérivable sur R (car la dérivée de sh ne s annule pas), sa dérivée est : R, argsh () = ch(argsh()) = + Courbe représentative
Fonctions hyperboliques 7 C sh argsh C argsh Propriétés : R, argsh(sh()) = et sh(argsh()) = R, argsh( ) = argsh() R, argsh() = ln( + + ) >, < argsh() lim argsh() = et lim argsh() ln() = La fonction th définit une bijection de R sur ] ; [, la bijection réciproque est notée argth [argument tangente hyperbolique] et définie par : argth : ] ; [ R argth() = y tel que th() = y Cette fonction est continue sur ] ; [, strictement croissante, dérivable sur ] ; [ (car la dérivée de th ne s annule pas), sa dérivée est : ] ; [, argth () = th (argth()) = Courbe représentative C argth argth C th Propriétés : R, argth(th()) = et ] ; [, th(argth()) = ] ; [, argth( ) = argth() >, argth() > ] ; [, argth() = ( ) + ln
7 Chapitre 6 : Fonctions usuelles IV) Fonctions circulaires ) Rappels Soit un réel, le plan P étant muni d un repère orthonormé direct (O, u, v ), soit M() le point du cercle trigonométrique tel que ( u, OM ) = (mod ) alors les coordonnées de M() sont (cos(), sin()), lorsque cela est possible, on pose tan() = sin() cos() sin() M tan() cos() O Le réel représente également la longueur de l arc de cercle (AM) avec A(, ), le cercle étant orienté dans le sens direct Quelques propriétés : R, cos () + sin () = Les fonctions sinus et cosinus sont -périodiques définies continues dérivables sur R, à valeurs dans [ ; ], et on a sin = cos et cos = sin La fonction tangente est -périodique, définie continue dérivable sur R \ { + k} et on a tan () = + tan () = cos () Les fonctions sinus et tangente sont impaires alors que la fonction cosinus est paire 5 C sin C cos 5 On a les relations sin( + ) = sin() et cos( + ) = cos() On a les valeurs remarquables : 6 sin() cos() tan(), C tan
Fonctions circulaires 75 comme sin( ) = sin() et cos( ) = cos(), on peut compléter le tableau avec les valeurs,, 5 6 et, la parité permet ensuite d avoir un tableau de à Formules d addition :, y R on a : cos( + y) = cos() cos(y) sin() sin(y) sin( + y) = sin() cos(y) + cos() sin(y) tan() + tan(y) tan( + y) = tan() tan(y) R, sin(), cos() et tan() Etension : on peut prolonger les fonctions sinus et cosinus à C en posant cos(z) = eiz + e iz e iz e iz i et sin(z) = ) Inversion des fonctions circulaires La fonction Arcsin : la fonction sin est strictement croissante sur I = [ ; ], elle définit une bijection de I sur J = [sin( ); ] = [ ; ] La bijection réciproque est notée arcsin [arcsinus], elle est définie par : arcsin : [ ; ] [ ; ] arcsin() = y tel que y [ ; ] sin(y) = Cette fonction est strictement croissante et continue sur [ ; ], elle est dérivable sur ] ; [ mais pas en ni en [tangente verticale en ces points], on a la formule suivante : ] ; [, arcsin () = cos(arcsin()) = C arcsin C sin arcsin Propriétés : [ ; ], sin(arcsin()) = [ ; ], arcsin(sin()) = [ ; ], arcsin( ) = arcsin() [fonction impaire] [ ; ], cos(arcsin()) = [ ; ], arcsin(cos()) = La fonction f : arcsin(sin()) n est pas l identité, elle est - périodique et impaire, il suffit donc l étudier sur [; ], mais elle vérifie f( ) = f(), la droite = [; ], intervalle sur lequel f() = est donc un ae de symétrie et l étude se réduit à La fonction Arccos : la fonction f : [; ] [ ; ] définie par f() = cos(), est continue et strictement décroissante, elle définit donc une bijection de [; ] sur [ ; ] Par définition, la bijection réciproque est appelée
76 Chapitre 6 : Fonctions usuelles fonction arccosinus et notée arccos, elle est définie par : arccos : [ ; ] [; ] arccos() = y tel que y [ ; ] cos(y) = Cette fonction est strictement décroissante et continue sur [ ; ], elle est dérivable sur ] ; [ mais pas en ni en [tangente verticale en ces points], on a la formule suivante : ] ; [, arccos () = sin(arccos()) = C arccos arccos C cos Propriétés : [ ; ], cos(arccos()) = [; ], arccos(cos()) = [ ; ], sin(arccos()) = [ ; ], arccos() + arcsin() = [ ; ], arccos( ) = arccos() La fonction f : arccos(cos()) n est pas l identité, elle est - périodique et paire, il suffit donc l étudier sur [; ] intervalle sur lequel f() = La fonction Arctan : la fonction f :] ; [ R définie par f() = tan(), est continue et strictement croissante, elle définit donc une bijection de ] ; [ sur R Par définition, la bijection réciproque est appelée fonction arctangente et notée arctan, elle est définie par : arctan : R ] ; [ arctan() = y tel que y ] ; [ tan(y) = Cette fonction est strictement croissante, continue et dérivable sur R et on a la formule suivante : R, arctan () = + tan (arctan()) = +
Eercices 77 C tan arctan C arctan Propriétés : R, tan(arctan()) = ] ; [, arctan(tan()) = R, arctan( ) = arctan() R +, arctan() + arctan( ( ) = ) R, arctan() = arcsin + R, arctan() = Arg( + i) V) Eercices Eercice 6 Résoudre les équations suivantes : a) = b) = c) log a () = log (a) d) log () log () = Eercice 6 Simplifier les sommes : n ch(a + kb) et n sh(a + kb) k= k= Eercice 6 Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes et calculer leur dérivée : a) f() = th() th () b) f() = arcsin(th()) c) f() = arctan(sh()) d) f() = arctan(th()) ( ) + e) f() = arcsin arcsin() f) f() = + arcsin()) ( g) f() = arctan + ( h) f() = arctan ) sin() + sin() )
78 Chapitre 6 : Fonctions usuelles Eercice 6 Étudier les fonctions suivantes : a) arcsin(sin()) b) arccos(cos()) c) arctan(tan()) d) arctan(tan()) + arccos(cos()) Eercice 65 a) Soit z = + iy C, montrer que : i) Si > alors Arg(z) = arctan( y ) ii) Si < et y > alors Arg(z) = arctan( y ) + iii) Si < et y < alors Arg(z) = arctan( y ) b) Soit z C \ R Im(z), montrer que Arg(z) = arctan( z + Re(z) ) Soit f : [a; b] C \ R une fonction continue Montrer que la fonction Arg(f) est continue c) Montrer que R, arctan() = arcsin( ) + Eercice 66 ( ) Soit f() = arcsin() + arctan Ensemble de définition de f? Dérivabilité de f? Calculer + f et en déduire une simplification de f() Eercice 67 Montrer que la fonction f() = arctan( + ) + arctan() est constante sur R Eercice 68 Soit f : R R une fonction continue en telle que R, f() = f() Montrer que f est constante