MATHÉMATIQUES I Définitions Si f est une fonction de classe C définie sur un ouvert Ω IR et à valeurs réelles, on notera, pour p 1, f p = f o f o f p fois, fonction définie sur le sousdomaine de Ω défini par { x Ω f( x) Ω, f ( x) Ω f,, p 1 ( x) Ω} On appelle pcycle de f un ensemble de p éléments {, x p 1 } Ω tel que f( ) = x 1,, f( x p ) = x, On appelle multiplicateur du cycle p f( x 1 p 1 ) = la quantité ( f p ) ( ) = f ( )f ( x 1 ) f ( x p 1 ) Un point x Ω est dit ppériodique s il est élément d un pcycle ; un point 1périodique est encore appelé point fixe Le multiplicateur d un point périodique est alors le multiplicateur du cycle le contenant, qui n est autre que le multiplicateur de comme point fixe de f p Le cycle (ou le point p périodique) sera dit attractif, super attractif, indifférent ou répulsif suivant que la valeur absolue de son multiplicateur est strictement inférieure à 1, égale à 0, égale à 1 ou strictement supérieure à 1 On pourra être amené à utiliser un théorème de fonctions implicites dans IR On pourra alors admettre le résultat suivant : Théorème : Soit Ω un ouvert de IR, F:Ω IR une fonction de classe C 1, et (, y 0 ) un point de Ω, tels que F Fx ( 0, y 0 ) = 0, ( x y 0, y 0 ) 0 Alors il existe ε, η> 0 tels que si on pose I = ] ε, + ε[, J = ] y 0 η, y 0 + η[, l ouvert V = I J est inclus dans Ω et il existe une fonction g : ] ε, + ε[ ] y 0 η, y 0 + η[ de classe C 1 telle que : ( xy, ) V, F( xy, ) = 0 y = gx ( ) Le thème général du problème est l étude globale de la méthode de Newton appliquée aux polynômes Concours CentraleSupélec 000 1/5
Partie I La méthode de Newton pour les polynômes réels Soit P : IR IR une fonction polynomiale non constante et Ω = { x IR P ( x) 0} Si x Ω, on définit N P ( x) comme étant l abscisse de l intersection de la tangente en ( x, P( x) ) au graphe de P avec l axe des x IA Montrer que : x Ω, N P x) Px ( ) = P ( x) IB IB1) Si x Ω, calculer N P ( x) IB) Soit a un nombre réel Montrer que si Pa ( ) = 0, P ( a) 0 alors a est un point fixe super attractif de N P Si a est un zéro d ordre p de P montrer que N P peut se prolonger par continuité en a qui devient un point fixe attractif de N P de multiplicateur 1 1 p Si x Ω, on dira que la suite de Newton de x par P est bien définie si l on peut définir une suite ( x n ) telle que = x et : n IN, x n Ω et x n + 1 = N P ( x n ) Dans ce cas, cette suite ( ) sera la suite de Newton de x par P x n IC Montrer que si la suite de Newton de x par P est bien définie et converge vers a IR alors Pa ( ) = 0 ID Soit réciproquement a IR un zéro de P ID1) Montrer l existence de ε > 0 tel que si y a < ε alors la suite de Newton de y par P est bien définie et converge vers a On appelle Ia ( ) le plus grand intervalle contenant a et formé de points dont la suite de Newton par P converge vers a ID) Montrer que c est un intervalle ouvert ; on l appelle le bassin immédiat de a Concours CentraleSupélec 000 /5
IE IE1) On suppose que P a au moins deux racines réelles Soit le plus petit zéro de P ; on suppose que ξ, le plus petit zéro de P vérifie ξ> a _ et que P ne s annule pas sur ], ξ [ Montrer que le bassin immédiat de a _ est égal à ], ξ [ IE) On suppose que le bassin immédiat du zéro a de P est de la forme ]α, β[, α, β IR Montrer successivement que N P (]αβ[, ) ]α, β[, que P( α)p ( α)p( β)p ( β) 0, et enfin que N P ( α) = β, N P ( β) = α Ce cycle peutil être attractif? IF Les hypothèses de la question IE étant toujours vérifiées, montrer que le bassin immédiat de a contient un zéro de P IG On suppose P de degré d possédant d zéros distincts Montrer que N P attire tout zéro de P vers un zéro de P a _ Partie II Étude algébrique Soit P un polynôme de IC [ X ] de degré d (on note d ( P) = d ) Dans cette partie la dérivation est à prendre au sens de la dérivation formelle des polynômes ou plus généralement des fractions rationnelles et N P est la fraction rationnelle N P ( X) = X PX ( ) P ( X) IIA Montrer que si P a d zéros distincts alors R = N P vérifie R = Q S, Q, S IC [ X ], PGCD( Q, S) = 1, d ( Q) = d, d ( S) = d 1 (*) et R possède d points fixes super attractifs (Un point fixe super attractif de R est un point z IC tel que Rz () = z, R () z = 0 ) IIB Soit réciproquement R une fraction rationnelle vérifiant ( ) Montrer qu il existe P IC [ X ], de degré d, possédant d zéros distincts, tel que R = N P IIC Deux fractions rationnelles f, g sont dites semblables s il existe une similitude Tz () = az + b ( ab, IC, a 0 ) telle que si D, D désignent les domaines de définition de f, g (c estàdire le complémentaire dans IC de l ensemble des pôles) alors T ( D) = D et z D, f() z = T 1 o g o T () z Concours CentraleSupélec 000 3/5
Si ab, IC, a 0 et si Tz () = az + b montrer que N Po T est semblable à N P IID Déterminer N P pour PX ( ) = X, PX ( ) = X 1 : montrer que si P est un z z 1 polynôme de degré alors N P est semblable à z a ou bien à z a + z IIE Pour m IC on définit P m () z = z 3 + ( m 1)z m= ( z 1) ( z + z+ m), N m () z = N Pm () z Montrer que si P est un polynôme de degré 3 alors soit N est semblable à z P z a soit il existe m IC tel que N est semblable à 3 P N m IIF Quel est l intérêt des résultats des deux questions précédentes pour l étude des suites de Newton par les polynômes de degré 3? Partie III Étude analytique du cas cubique réel Dans cette partie on suppose m IR, on garde les notations du IIE et on s intéresse au comportement des suites de Newton des nombres réels par IIIA IIIA1) Montrer que P m a trois zéros (complexes) distincts si et seulement si m, m 1 4 IIIA) On suppose m > 1 : montrer que la suite de Newton de tout réel x par est définie et converge vers un réel à préciser P m IIIB IIIB1) Montrer que si m < 1 4, m alors P m possède trois zéros réels distincts, soient : 1 + 1 4m 1 1 4m 1, a m =, b m = Si de plus m < 0, montrer qu il existe m ]0, 1 4[ tel que N m soit semblable à N m IIIB) On supposera désormais dans cette partie que m [ 01, 4[ P m possède alors trois zéros réels distincts, soient : 1 + 1 4m 1 1 4m 1, a m =, b m = ± 1 m IIIB3) On pose = ± et on désigne par ]α( m), β( m)[ le bassin immédiat de a m 3 Montrer que la fonction xa N m ( x) est strictement décroissante + sur, a m [ et strictement croissante sur ]0, [ ] Concours CentraleSupélec 000 4/5 P m
m 0 IIIB4) Montrer que la fonction M m = N m o N m est définie sur un intervalle + + ]x 1, x 1 [ ]x0, [ où Nm ( x 1 ) = + +, N m ( x 1 ) = + On désigne par fonction M m ξ, ξ le plus petit et le plus grand zéro est strictement décroissante sur ]x 1, ξ [ de M m Montrer que la et strictement croissante sur ]ξ + +, x 1 [ IIIB5) Montrer que l intervalle [ ξ, ξ + ] est inclus dans le bassin immédiat de a m IIIB6) Déduire de IIIB4 et IIIB5 que { α( m), β( m) } est le seul cycle de N m IIIB7) 1 Montrer que α() 0 = β() 0 et en déduire que α() 0 = 5 IIIB8) On pose Fm (, x) = M m ( x) x Si u est un réel, un développement limité à l ordre 1 de la fonction ma F( m, 1 + um) 5 peut être obtenu grâce à un logiciel de calcul formel On trouve : 35u + 5 7 5 + o ( m ) En déduire, avec toutes les justifications nécessaires, un développement limité à l ordre 1 de α en 0 IIIC IIIC1) Montrer qu il existe une et une seule valeur m 0 de m IR telle que 0 soit périodique pour N m Donner une valeur approchée à 10 3 près par défaut de en indiquant l algorithme utilisé IIIC) Montrer qu il existe η > 0 tel que si m m 0 < η alors N m admet un cycle attractif d ordre qui attire 0 FIN Concours CentraleSupélec 000 5/5