Exercices sur les suites numériques

Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 0-03 Exercices sur les suites numériques I Pour démarrer Exercice (Un vrai-faux) La somme de deux suites croissantes est croissante Le produit de deux suites réelles minorées est minoré 3 Le quotient de deux suites convergentes est convergente 4 La somme de deux suites divergentes est divergente 5 La somme de deux suites bornées est une suite bornée 6 Le produit de deux suites bornées est une suite bornée Pour terminer : 7 Une suite qui diverge est non bornée 8 Une suite strictement croissante tend nécessairement vers + 9 Une suite qui tend vers + est nécessairement croissante Exercice (Un peu de technique) Étudier les limites des suites définies par : a)u n = sin(n ) n 3 + 5n, b)u n = n 5n 3 + cos n + c)u n = n + + cos n d)u n = n + n n n n e)u n = 4 + 8 + 6 + + n Exercice 3 (Sommes de termes positifs) Paul m a dit : «en ajoutant indéfiniment des nombres positifs, on obtient des sommes aussi grandes que l on veut» L affirmation de Paul est-elle vraie? Chloé m a dit : «en ajoutant indéfiniment des nombres de plus en plus proches de 0, on ne peut pas obtenir de somme très grande» Voici un exemple, permettant de réfléchir à l affirmation de Chloé On pose pour n, S n = + + + n Démontrer que pour n, on a S n n En déduire la limite de la suite (S n ) L affirmation de Chloé est-elle vraie? Exercice 4 (Un peu d algorithmique) Soit u la suite définie par u n+ = u n + u n et u 0 = Écrire une suite d instructions Maple permettant de calculer les 0 premiers termes Conjecturer la nature de u Déterminer la monotonie de u En déduire que la suite u ne peut converger vers 0 3 Montrer que u diverge (on pourra raisonner par l absurde) 4 Écrire une procédure utilisant une boucle while permettant de déterminer le plus petit entier n tel que u n 0 /8

Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 0-03 Exercice 5 Déterminer la limite de la suite de terme général partie entière (on pourra encadrer) n E(kx) où x est un réel et E désigne la Exercice 6 (Apprendre à encadrer) Démontrer à l aide du théorème des gendarmes que la suite de terme général : u n = n + + n + + + n + n est convergente et donner sa limite La suite (u n ) est-elle croissante? Exercice 7 (Étude d une somme télescopique) Déterminer des réels a et b tels que pour tout k N, on ait : k = a k + b k + En déduire pour n, la valeur de la somme S n = déterminer sa limite Exercice 8 (Cette série de Riemann converge) Pour n, on pose s n = k= k= k En déduire que la suite (S n) est convergente et Demander la limite de s n à votre calculatrice Nous démontrerons ce joli résultat un peu plus tard Déterminer la monotonie de (s n ) 3 Montrer que pour tout entier k, on a : En déduire que (s n ) est majorée k k k 4 Montrer que (s n ) converge, donner un majorant de sa limite Exercice 9 (Constante d Euler) Pour n, on pose H n = général u n = H n ln n et v n = u n n k= k k= k et on note u et v les suites de terme Montrer que pour n, on a n+ ln(n + ) ln n n intégrale) (on pourra écrire ln(n + ) ln n à l aide d une Montrer que les suites u et v sont adjacentes On note γ leur limite commune, on l appelle la constante d Euler 3 Justifier que pour tout n, u n γ n 4 En déduire une valeur approchée de γ à 0 3 près 5 Retrouver ainsi un équivalent simple de H n 6 En déduire la limite de H n H n Exercice 0 (Moyenne arithmético-géométrique) On considère deux suites (u n ) et (v n ) définies par u 0 > 0 et v 0 > 0 et les relations suivantes : u n+ = u n v n et v n+ = u n + v n On ne sait toujours pas si la constante d Euler est un nombre irrationnel /8

Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 0-03 Justifier que pour tout n N on a u n > 0 et v n > 0 Montrer que pour tous réels x et y, on a xy x +y 3 En déduire que pour tout n N, u n v n 4 En déduire que les suites u et v sont monotones 5 Démontrer que les suites u et v sont convergentes et convergent vers une même limite Exercice (a n négligeable devant n! qui est négligeable devant n n ) Soit a > 0 On pose u n = an n! (a) Écrire u n comme un produit de n termes à l aide du symbole n (b) Justifier l existence d un entier N tel que k N, (c) En déduire que lim an n! = 0 a k k= Démontrer aussi que lim n! n n = 0 On note alors an = o(n!) et n! = o(n n ) II Un peu plus raffiné Exercice (Bien choisir ε) Soit u une suite qui converge vers l Démontrer que si l >, on a n 0 N, n n 0, u n > Si l, a-t-on n 0 N, n n 0, u n? Exercice 3 La suite de terme général sin n π 3 est-elle convergente? Expérimenter à l aide de Maple ou de votre calculatrice Exercice 4 (Bien extraire) Soit (u n ) une suite réelle On suppose que les suites extraites (u n ), (u n+ ) et (u 3n ) convergent vers respectivement l, l et l 3 Déterminer une suite extraite de (u n ) et de (u 3n ) Que peut-on en déduire? Démontrer que la suite (u n ) est convergente Exercice 5 Soit (u n ) une suite et (u φ(n) ) une suite extraite de (u n ) Montrer que toute suite extraite de (u φ(n) ) est une suite extraite de (u n ) Exercice 6 (Divergence de cos n) Démontrer que pour n N, on a cos(n + ) + cos(n ) = cos(n) cos() En déduire que si cos n tend vers un réel l, alors l = 0 3 Conclure à une absurdité en utilisant la formule de duplication du cosinus (expression de cos n à l aide cos n) Nous proposons une deuxième méthode 4 Déterminer une infinité d entiers naturels n tels que cos n En déduire qu il existe une extractrice φ telle que n N, cos(φ(n)) 3/8

Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 0-03 5 Démontrer de même qu il existe une extractrice σ telle que En déduire que cos n diverge n N, cos(σ(n)) Exercice 7 (Savoir extraire) Soit (u n ) une suite réelle Parmi les suites ci-dessous, trouver celles qui sont extraites d une autre, on précisera les extractrices : Exercice 8 (Suites d entiers convergentes) Démontrer que si une suite u converge, alors u 3n, u 6n, u n, u 3 n, u 3 n+, u n, u n+ n 0 N, n n 0, u n+ u n En déduire qu une suite d entiers convergente est nécessairement stationnaire 3 Culturel : on note a n désigne la n-ième décimale de π (a) Quelle est la nature de la suite (a n )? (b) Quelle est la limite de la suite de terme général a k 0 k? Exercice 9 (Notion de valeur d adhérence) Soit u une suite et l un réel Le but de l exercice est de démontrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes : k= (i) Pour tout ε > 0, il existe une infinité d indices n tels que u n l < ε (ii) Il existe une suite extraite de u qui converge vers l Lorsque l une de ces deux conditions est réalisée, on dit que l est une valeur d adhérence de u Démontrer que (ii) implique (i) On suppose que (i) est vérifiée Démontrer qu il existe une application φ : N N strictement croissante telle que n N, uφ(n) l n + En déduire (ii) III Problèmes Exercice 0 (Équivalent de la série harmonique) Pour n, on pose H n = harmonique Soit n N Écrire la différence H n H n à l aide du symbole, puis montrer que k= Cela définit la série k H n H n Si l on suppose que la suite (H n ) converge vers l, que dire de la limite de H n H n? On appelle série de terme général (u n) la suite de terme général u k Vous les étudierez en détail l année prochaine k= 4/8

Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 0-03 3 En déduire que la suite (H n ) diverge vers + Nous proposons maintenant une autre méthode, qui apportera une information supplémentaire La technique utilisée est importante, on l appelle comparaison d une somme à une intégrale 4 Soit n Démontrer que pour k compris entre et n, on a k+ k + k dt t k En déduire que ln n + n H n ln n + 5 En déduire un équivalent de H n Commenter Exercice (Une suite de rationnels qui converge vers un irrationnel) On note u et v les suites de terme général u n = k! et v n = u n + n! pour n k=0 Montrer que les suites u et v sont adjacentes et convergent vers une même limite l Valeurs approchées de l : (a) Justifier que pour n, on a u n l n! (b) Déterminer un entier N à partir duquel le nombre u N est une approximation de l à 0 6 près (c) Donner la partie entière et les cinq premières décimales de l 3 Reconnaissez-vous ce nombre l? (a) Démontrer que I n = 0 ( t) n e t dt n! tend vers 0 quand n tend vers + (b) Appliquer la formule de Taylor avec reste intégral à la fonction x e x et montrer que l est égal à un nombre célèbre 4 Une limite irrationnelle : on va montrer que l est un nombre irrationnel On raisonne par l absurde et on suppose que l = p q avec p et q dans N (a) Démontrer que pour tout n, on a u n < l < v n (on pourra remarquer que les suites u et v sont strictement monotones à partir de n = et partir de l encadrement u n+ l v n+ ) (b) Justifier que les nombres lq! et q!u q sont des entiers, conclure 5 Une autre approximation de l : (a) Déterminer la limite de la suite de terme général w n = ( + n) n (b) Tracer un graphique qui permette de comparer la rapidité de convergence de w par rapport à u Exercice (Théorème de Cesàro) Soit (u n ) n une suite qui converge vers un réel l On définit alors la suite (M n ) n par M n = n (u + u + + u n ) Le nombre M n est la moyenne arithmétique des n premiers termes de la suite (u n ) On fixe ε > 0, montrer qu il existe un rang n 0 tel que pour tout n n 0, on ait : (u n0 l) + (u n0+ l) + + (u n l) n ε 5/8

Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 0-03 Montrer ensuite qu il existe un rang n tel que pour tout n n, on ait : (u l) + (u l) + + (u n0 l) n ε 3 Conclure avec soin que si la suite (u n ) converge vers l, alors (M n ) converge aussi vers l (ce résultat porte le nom de théorème de Cesàro) 4 Montrer que la réciproque du théorème de Cesàro est fausse 5 Application : soit (a n ) une suite asymptotiquement arithmétique, ie la suite de terme général a n+ a n converge vers un réel l Montrer que la suite ( a nn )n converge aussi vers l (on dit aussi que a n est équivalent à nl lorsque n est au voisinage de + ) Exercice 3 (Une suite définie implicitement) Soit n Le but de l exercice est de montrer que l équation (E n ) : x n + x n + + x = admet une unique solution positive que l on notera u n On étudie ensuite la convergence de la suite (u n ) n On note f n la fonction définie par f n (x) = x n + x n + + x Soit n, démontrer que la fonction f n réalise une bijection de R + sur un intervalle à préciser En déduire que l équation (E n ) admet une unique solution positive que l on note u n 3 Calculer u et u Donner une valeur approchée de u 3, u 4, u 5 4 Soit n Exprimer f n+ (u n ) en fonction de u n En déduire par l absurde que u n+ u n Que peut-on en déduire pour la suite u? 5 Démontrer que la suite u est convergente On note l sa limite 6 Justifier que pour n, on a u n < 7 Démontrer que pour n, u n+ n ( + 5 ) n+ En déduire la limite de la suite (u n+ n ) n 8 Démontrer que pour n, on a u n u n+ n = u n En déduire la valeur de l IV Suites récurrentes Exercice 4 Étudier la suite définie par u n+ = 6 (u n + 8) et u 0 R + Exercice 5 On considère la suite u définie par u n = + + + + } {{ } n termes Calculer u 5 puis étudier la suite u Exercice 6 (Sinus itéré) On considère la suite définie par u n+ = sin(u n ) et u 0 [0, π ] Prenez une calculatrice, et avec u 0 = par exemple «itérer le sinus» Que remarque-t-on? Démontrer que l équation sin x = x admet une unique solution dans [0, π ] 3 Démontrer que pour tout n N, u n [0, π ] 4 Démontrer que la suite u converge, préciser la limite 6/8

Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 0-03 Exercice 7 Le but de l exercice est d étudier la suite définie par u n+ = +u n Justifier que pour tout n N, u n [0, ] f : x + x Soit n N, le réel f f(u n ) est un terme de la suite u n Lequel? et u 0 0 On note 3 Démontrer par récurrence que les suites (u n ) n et (u n+ ) n sont monotones de sens contraire en utilisant la question précédente et les variations de f sur I 4 En déduire que les suites (u n ) n et (u n+ ) n sont convergentes et préciser leur limite (on pourra chercher avec la calculatrice les points fixes de f f) 5 En déduire que la suite u est convergente, préciser sa limite Exercice 8 Étudier la suite définie par u n+ = (7u n 6) 3 (u n ) et (u n+ ) qui sont monotones) et u 0 R (on pourra étudier les suites extraites Exercice 9 (Racines carrées) Soit u la suite définie par u n+ = (u n + u n ) et u 0 = Montrer que la suite est bien définie et que pour tout n N, u n Montrer que u est convergente, on note l la limite Rapidité de convergence : (a) On pose f : x (x + x ) Montrer à l aide de l inégalité des accroissements finis que pour tout x sqrt, f(x) f(y) x y (on dit que f est lipschitzienne) En déduire que pour tout n N, u n l ( )n (b) A partir de quel entier n, u n est une approximation de l à 0 6 près? 3 Encore plus fort : convergence quadratique : soit n N (a) montrer que u n+ = (u n a) u n (u n ) (b) En déduire que si u n ε, alors u n+ ε Ceci prouve que le nombre de chiffres exacts dans l approximation de par u n est au moins multiplié par à chaque itération V Comparaison des comportements asymptotiques Exercice 30 (Est-ce équivalent?) Justifier que ln( + n ) n et sin n n Les équivalents suivants sont-ils vrais? n + n, e n+ e n, (n + ) n (n + )! n!, ln(n + ) ln n, n + n Exercice 3 Donner un équivalent simple des suites de termes généraux suivants : 50n4 3n + 5n 3n, 5 + 3 + 4 n, en 3e n+, 3n + 0 ln(n 007 ), n + n + 5 + 4, ln(n + ) ln(n + ) n 3 + e /n 6 n 3n 5 + e n 7/8

Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 0-03 Exercice 3 Soient u et v deux suites Montrer que si u est négligeable devant v alors u + v est équivalente à v Exercice 33 (Une suite définie implicitement ) Montrer que pour tout n N, l équation x + ln x = n d inconnue x R + possède une et une seule solution que nous noterons u n Montrer que la suite (u n ) n est croissante et déterminer sa limite 3 En déduire que u n n 4 Montrer que u n n ln n VI Suites complexes 007n Exercice 34 Soit (z n ) la suite de nombres complexes définie par z n+ = ei z n de premier terme z 0 C Montrer que (z n ) converge Exercice 35 Montrer que le théorème de Bolzano-Weierstrass est vrai pour les suites complexes Exercice 36 (Une suite simple mais bien complexe) Soit z un complexe On étudie la nature de la suite (z n ) n Déterminer sa limite lorsque z Soit α un réel Montrer que si la suite de terme général v n = e inα converge alors α πz (on pourra regarder ) Étudier la réciproque (on observera en particulier que la suite (e in ) n est divergente) v n+ v n 3 Pour votre culture, on peut démontrer que si α est irrationnel, la suite de terme général e inα diverge mais en plus admet tous les points de S comme valeurs d adhérence! Voir devoir maison 8/8