Cours de maths en 4 ème. Le cosinus. Cours de mathématiques en quatrième - Tous nos cours sur https://www.mathovore.fr/cours-maths

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Vers le COSINUS d'un ANGLE aigu xoy étant un angle aigu, mène par les points A,B,C,D les perpendiculaires à la demi-droite [Ox). Elles coupent la demi-droite [Ox) respectivement en E,F,G,H. Mène par les points I,J,K,L les perpendiculaires à la demi-droite [Oy); elles coupent [Oy) en M,N,P,Q. Après avoir effectué les mesures nécessaires, complète le tableau suivant et calcule les quotients (à 0,01 près): OA OB OC OD AB AC BD OI OJ OK OL IJ IK JL OE OF OG OH EF EG FH OM ON OP OQ MN MP NQ OE OA OF OB OG OC OH OD EF AB EG AC FH BD OM OI ON OJ OP OK OQ OL MN IJ MP IK NQ JL Que peux-tu remarquer?..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

LE COSINUS D UN ANGLE AIGU - Définition Étant donné un angle aigu xoy, de mesure α. Par un point A de [Ox), on mène la perpendiculaire au côté [Oy) de l angle. Cette perpendiculaire coupe [Oy) en H. x A α O On appelle cosinus de l angle H y xoy, noté cos xoy OH ou cosα, le quotient OA cos xoy = OH OA Ce quotient ne dépend pas de la position du point A (même si A est sur le côté [Oy) et H sur [Ox). Remarque : cos α< 1 car OH < OA (OH est la plus courte distance de O à (AH)) - Utilisation de la calculatrice Lecture d un cosinus : La valeur d un cosinus est indiquée par la fonction cos Exemple : La calculatrice étant en mode «degré», 50 cos ou cos 50 indique : 0,64278761 qui est une valeur approchée de ce cosinus. En général, la valeur utilisée est donnée avec trois chiffres après la virgule, soit, pour cet exemple : cos50 0,643 Recherche d un angle dont on connaît le cosinus : La valeur de l angle est indiquée par la fonction 1 cos ou INV cos ou 2nd cos

Exemple : Remarques : La calculatrice étant en mode «degré», 3 On donne cos α= les manipulations indiquées ci-dessus (différentes selon le modèle de calculatrice) 7 donnent l indication : 64, 62306647 On obtient donc : α 64,6 cos0 = 1 cos90 = 0 C est le cas où : OH = OA (A et H étant confondus) C est le cas où : OH = 0 (H et O étant confondus) - Cosinus d un angle du triangle rectangle En considérant le triangle rectangle OAH vu plus haut, on remarque que OH est un côté de l angle droit (celui qui est un côté de l angle α) et que OA est l hypoténuse. Le cosinus d un angle d un triangle rectangle est le quotient du côté adjacent à cet angle et de l hypoténuse. A C B cosb = AB BC cosc = AC BC - Utilité du cosinus Il complète la propriété de Pythagore en permettant le calcul d un côté ou d un angle d un triangle rectangle. Recherche d un côté de l angle droit G EFG est un triangle rectangle en E ; on sait que : F = 50 et FG = 7 cm. EF cos F = FG EF cos50 = 7 EF = 7 cos 50 7 cm EF 4,5 cm 50 E F

Recherche de l hypoténuse MNP est un triangle rectangle en M ; on sait que : N = 25 et MN = 4,5 cm. cos N = MN NP P 4,5 cos 25 = NP 4,5 NP = 25 cos 25 M NP 5 cm N Recherche d un angle ABC est un triangle rectangle en A ; on sait que : AC = 3 cm et BC = 7 cm. AC cos C = BC C 7 cm 4 cos C = 7 4 cm C 55 Par conséquent : B = 90 C 90 55 = 35 Cos 60 A B On considère un triangle ABC équilatéral dont le côté mesure a. [AH] est une hauteur de ce triangle. Les angles du triangle ABC sont égaux à 60 B 60 On trouve le cosinus de 60 en calculant, par exemple, le cosinus de l angle B du triangle rectangle ABH. H BH cos B = AB a 2 a 1 cos 60 = = on simplifie par a a 2 a 1 cos 60 = 2 A 60 C Rappel : égalités équivalentes (utiles pour les calculs de ce chapitre) ax b = b x = a = a b x 6 6 comme : 2 3= 6 3= 2 = 2 3

COSINUS d un ANGLE AIGU - Mesures de cosinus Le quart de cercle représenté ci-contre est de rayon 1.(1dm). Il s agit de mesurer les cosinus des angles représentés. Exemple : fof = 50 Of Of cos 50 = = = Of OF 1 Il suffit donc de mesurer [Of] pour connaître une valeur approchée du cosinus de 50. Tu peux vérifier ces valeurs en utilisant ta calculatrice (cosinus «machine») Mesure de l angle 50 Mesure du cosinus 0,65 Cosinus «machine» 0,643 - ABC étant un triangle rectangle en A, complète le formulaire puis le tableau numérique : B + C =........ cos B......... donc : AB =........ et : BC =........ 2 2 AB + AC = C......... donc : AC =........ et : BC =.............. cos B 60 50 cos B C 45 38 cos C AB 4 2 8 BC 6 8 AC 15

Exercices 2 On a besoin de calculer les distances BC et AC. Pour cela, on mesure [AB]. (On trouve : AB = 500 m). Avec un théodolite, on vise à partir de A les points B et C ; on trouve 70. On vise aussi, à partir de B, les points A et C ; on trouve 55. On appelle [AH] la hauteur du triangle ABC issue de A - Calcule l angle BCA.Quelle est donc la nature du triangle ABC? - Déduis alors la longueur AC. - Calcule BC après avoir calculé BH.

Devoir 1 - Les diagonales d'un rectangle ABCD, de centre I, mesurent 11 cm et font un angle AID de 54. a) Démontre que: ADB = 63. b) Calcule AD, ABD et AB. Donne les longueurs à 0,1 cm près. c) Calcule le périmètre et l'aire du rectangle ABCD. - On considère un cercle de centre I et de rayon 6,5 cm. [AB] est un diamètre de ce cercle. M est un point du cercle tel que AM = 6,6 cm. a) Quelle est la nature du triangle ABM? Justifie la réponse en énonçant la propriété nécessaire. b) Calcule BM et les angles du triangle ABM.

Devoir 2 - Construis le triangle ABC tel que : AB = 5 cm ; AC = 13 cm ; IJ = 6 cm. I étant le milieu de [AB] et J le milieu de [AC]. a) Démontre que le triangle AIJ est rectangle. b) Calcule BC. c) Calcule les angles non droits (à 1 près) du triangle ABC. - Pierre voit un bateau [AB] de 10 m de long sous un angle de 1 : Le triangle ABP formé par Pierre (P) et le bateau [AB] est rectangle en B. L angle APB est égal à 1. a) Calcule l angle BAP. b) Calcule PA puis PB. c) À quelle distance Pierre se trouve-t-il du bateau? - Un pentagone régulier ABCDE est inscrit dans un cercle de centre O et de rayon 5 cm. (Fais d'abord au brouillon un schéma à main levée) a) Démontre que l'angle AOB mesure 72.Construis alors ce pentagone en utilisant ton rapporteur. b) Pourquoi le triangle AOB est-il isocèle? c) H étant le milieu de [AB], calcule BOH puis BH. Calcule enfin AB.

Vers le COSINUS d'un ANGLE aigu xoy étant un angle aigu, mène par les points A,B,C,D les perpendiculaires à la demi-droite [Ox). Elles coupent la demi-droite [Ox) respectivement en E,F,G,H. E F G H Mène par les points I,J,K,L les perpendiculaires à la demi-droite [Oy); elles coupent [Oy) en M,N,P,Q. P Q M N Après avoir effectué les mesures nécessaires, complète le tableau suivant et calcule les quotients (à 0,01 près): OA OB OC OD AB AC BD OI OJ OK OL IJ IK JL 3,1 4,95 8,4 11,5 1,85 5,3 6,6 2,8 5 9,2 11,7 2,2 6,4 6,7 OE OF OG OH EF EG FH OM ON OP OQ MN MP NQ 2,8 4,5 7,65 10,45 1,7 4,85 5,95 2,5 4,5 8,3 10,6 2 5,8 6,1 OE OA OF OB OG OC OH OD EF AB EG AC FH BD 0,90 0,91 0,91 0,91 0,92 0,92 0,90 0,89 0,90 0,90 0,91 0,91 0,91 0,91 OM OI ON OJ OP OK OQ OL MN IJ MP IK NQ JL - Que peux-tu remarquer? Les quotients obtenus sont très voisins. En vérité, ils sont égaux et ne dépendent que de l angle xoy. Ce nombre est appelé le cosinus de l angle de 25. La calculatrice donne une valeur approchée de ce nombre: cos 25 0,906307787

COSINUS d un ANGLE AIGU - Mesures de cosinus Le quart de cercle représenté ci-contre est de rayon 1.(1dm). Il s agit de mesurer les cosinus des angles représentés. Exemple : fof = 50 Of Of cos 50 = = = Of OF 1 Il suffit donc de mesurer [Of] pour connaître une valeur approchée du cosinus de 50. Tu peux vérifier ces valeurs en utilisant ta calculatrice (cosinus «machine») Mesure de l angle 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Mesure du cosinus 1 0,98 0,94 0,86 0,77 0,65 0,5 0,34 0,17 Cosinus «machine» 1 0,985 0,940 0,866 0,766 0,643 0,5 0,342 0,174 90 0 0 - ABC étant un triangle rectangle en A, complète le formulaire puis le tableau numérique : B + C = 90 cos B 2 2 2 + = cos C AB AC BC = AB donc : AB = BCcos B AC et : = AC donc : AC = BCcos C BC et : AB BC = cos B AC BC = cos C B 60 45 50 52 61,9 cos B 0,5 0,707 0,643 0,616 0,471 C 30 45 40 38 28,1 cos C 0,866 0,707 0,766 0,788 0,882 AB 4 2 3,86 4,93 8 BC 8 2,83 6 8 17 AC 6,93 2 4,6 6,3 15

Exercices 2 H On a besoin de calculer les distances BC et AC. Pour cela, on mesure [AB]. (On trouve : AB = 500 m). Avec un théodolite, on vise à partir de A les points B et C ; on trouve 70. On vise aussi, à partir de B, les points A et C ; on trouve 55. On appelle [AH] la hauteur du triangle ABC issue de A - Calcule l angle BCA.Quelle est donc la nature du triangle ABC? La somme des angles d un triangle est égale à 180 : ( ) ( ) BCA = 180 BAC + CBA = 180 70 + 55 = 180 125 = 55 Le triangle ABC a deux angles égaux à 55 ; il est donc isocèle de base [BC]. - Déduis alors la longueur AC. Le trian gle ABC est isocèle ; il a donc deux côtés égaux AC = AB = 500 m - Calcule BC après avoir calculé BH. Dans le triangle ABH, rectangle en H : BH cos B = AB soit : BH = ABcos B = 500 cos 25 287 m H est le milieu de [BC] puisque la hauteur [AH] est l axe de symétrie du triangle isocèle ABC. BC = 2BH 2 287 = 574 m