Mathématiques - ECS1 12 Polynˆomes à une indéterminée Lycée La Bruyère 30 avenue de Paris 78000 Versailles c 2016, Polycopié du cours de mathématiques de première année.
12 Polynômes 12.1 Objectifs Ensemble K[X] des polynômes à coefficients dans K. Opérations algébriques. Degré. Ensembles K n [X] des polynômes à coefficients dans K de degré au plus n. Division euclidienne. Racines, ordre de multiplicité d une racine. Caractérisation de la multiplicité par factorisation d une puissance de (X a). Théorème de d Alembert-Gauss. Par convention deg(0) =. Multiples et diviseurs. Cas du trinôme. Résultat admis. Exemples simples de factorisation dans C[X] et R[X] de polynômes de R[X]. Les méthodes devront être indiquées. 12.2 Fonctions polynômes A toute liste (a 0, a 1,..., a n ) d un nommbre fini de réels, on associe l application La fonction p est appelée fonction polynôme. p : R R x a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n x n Si p, q sont deux fonctions polynômes définies par p : R R, a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n x n, et q : R R, x b 0 + b 1 x + b 2 x 2 +... + b m x m on peut définir les fonctions polynômes p + q, pq par (p + q)(x) = p(x) + q(x), (pq)(x) = p(x) q(x), x R Si par exemple, m n, on aura pour x R et (p + q)(x) = (a 0 + b 0 ) + (a 1 + b 1 )x +... + (a m + b m )x m + a m+1 x m + a n x n (pq)(x) = (a 0 b 0 )+(a 1 b 0 +a 0 b 1 )x+...+(a k b 0 +a k 1 b 1 +...+a 0 b k )x k +...+(a n b 0 +a n 1 b 1 +...+a n m b m )x n On obtient donc les coefficients de p + q et pq à partir de ceux de p et q en regroupant les coefficients des monômes en x de même degré. Remarque 1. On peut remplacer l ensemble R par l ensemble C et définir des fonctions polynômes complexes. 2
12.2 Fonctions polynômes 3 Objectif : L objectiif de ce chapitre est d étudier les principales propriétés d un objet (?) appelé polynôme et défini par une expression de la forme n a j X j j=0 où n N et (a 0, a 1,..., a n ) K n+1 avec K = R ou C et où X sera appelée l indéterminée. Dans toute la suite, K désignera R ou C. 12.2.1 Suites à support fini. Définition 12.2.1. On dit qu une suite (a n ) est à support fini s il existe N N tel que pour tout n N, n N, a n = 0. En d autres termes, dire qu une suite est à support fini signifie qu elle est nulle à partir d un certain rang. 12.2.2 Polynômes à une indeterminée Définition 12.2.2. Définition d un polynôme. On appelle polynôme à une indeterminée sur K toute expression de la forme a n X n où la suite (a n ) d éléments de K est à support fini. L élément a i s appelle coefficient d indice i du polynôme A = a n X n. Le polynôme dont tous les coefficients sont nuls. s appelle le polynôme nul. On le note 0. Remarque 2. L expression X 0 désigne le polynôme constant 1. Remarque 3. Soit P un polynôme donné par P = a n X n. Comme la suite (a n ) est à support fini, il existe N N tel que a n = 0 pour tout entier n dès lors que n > N. On a alors P = a 0 X 0 + a 1 X 1 +... + a N X N. Les sommes de ce chapitre sont donc en fait des sommes finies. Remarque 4. On identifie les polynômes constants avec les scalaires : le polynôme ax 0 sera simplement noté a. n Remarque 5. On pourra, si besoin, identifier un polynôme P = a k X k avec la fonction polynôme associée définie sur K par p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n x n. Définition 12.2.3. On appelle indéterminée, le polynôme noté X, dont le seul coefficient non nul est le coefficient d indice 1, qui est égal à 1.
4 Polynômes Définition 12.2.4 (Définition de l égalité de deux polynômes). Deux polynômes A = a k X k et B = b k X k seront dits égaux si et seulement pour tout k N, a k = b k. Deux polynômes sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coefficients d indice i pour tout i N. Définition 12.2.5 (Définition de l addition de deux polynômes). Soient deux polynômes A = a k X k et B = b k X k. On appelle somme de A et B, et on note A + B, le polynôme dont le coefficient d indice n N est a n + b n. On a donc A + B = (a k + b k )X k. Définition 12.2.6 (Définition du produit d un polynôme par un scalaire.). Etant donnés un polynôme A = a n X n et un scalaire λ K, on appelle produit de A par le scalaire λ, et on note λa, le polynôme dont le coefficient d indice n N est λa n. On a donc λa = λa n X n. Définition 12.2.7 (Définitiondu produit de deux polynômes.). Soient deux polynômes A = a n X n et B = b n X n. On appelle produit de A et B, et on note AB, le polynôme dont le coefficient d indice n est c n = n a k b n k = 1 i, j n i+ j=n a i b j = a 0 b n + a 1 b n 1 +... + a n b 0. On a donc AB = c n X n où c 0 = a 0 b 0, c 1 = a 0 b 1 + a 1 b 0, c 2 = a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0, etc. Remarque 6. On a AB = BA : le produit des polynômess sur K est commutatif. C est clair n n d après la définition du produit puisque c n = a k b n k = b j a n j. ( j=n k) j=0 Proposition 12.2.1. Quels que soient les polynômes A et B et l entier n 1, on a la formule du binôme n ( ) n (A + B) n = A k B n k k
12.2 Fonctions polynômes 5 Exercice 1. Soient les polynômes A = 1 + mx + ( ) m 2 X 2 + ( m 3) X 3 +... + X m et B = 1 mx + ( ) m 2 X 2 ( m 3) X 3 +... + ( 1) m X m. Exprimer le coefficient d indice p du produit AB. Quelles identités portant sur les coefficients binômiaux peut-on en tirer? Remarque 7. On a (AB)C = A(BC) quels que soient les polynômes A, B, C : le produit des polynômess sur K est associatif. 12.2.3 Degré d un polynôme Définition 12.2.8. Soit P un polynôme défini par P = a k X k. Si P n est pas le polynôme nul, on appelle degré de P et on note deg P, le plus grand des indices des coefficients non nuls de P : deg P = max{k N a k 0} Si P est le polynôme nul, on adopte la convention deg 0 =. Définition 12.2.9. Soit P un polynôme non nul de degré n N. Alors a n 0 et a n est appelé le coefficient dominant de P. Lorsque a n = 1, on dit que P est unitaire ou normalisé. n De plus, on peut écrire P = a k X k. Remarque 8. Lorsque l on manipule un polynôme P = oublier qu alors a n 0. n a k X k de degré n, il ne faut pas Exemple 12.2.1. P = 1 + X + X 3 R[X] est unitaire de degré 3. Remarque 9. Soit n N. L ensemble des polynômes P de degré au plus n est noté K n [X]. On étend l addition de N et les relations et < à N { } de la façon suivante : pour tout n N, < n pour tout n N, ( ) + n = n + ( ) =, + ( ) =. Proposition 12.2.2. Quels que soient les polynômes P et Q, on a deg(pq) = deg P + deg Q, deg(p + Q) max{deg P, deg Q}
6 Polynômes Corollaire 12.2.3. Quels que soient les polynômes P, Q de K[X] : PQ = 0 si et seulement si P = 0 ou Q = 0. Corollaire 12.2.4. Soient P, Q deux polynômes de K[X]. Si PQ = 1 alors P et Q sont des polynômes constants non nuls inverses l un de l autre. 12.2.4 Composition de deux polynômes Par convention, pour tout Q K[X], Q 0 désigne le polynôme constant égal à 1. Définition 12.2.10. Soient P = a k X k et Q deux polynômes. On appelle polynôme composé de P et Q le poynôme noté P Q défini par P Q = a k Q k Exemple 12.2.2. Si P = 1 + X et Q = X 2 alors P Q = 1 + X 2, Q P = (1 + X) 2 = 1 + 2X + X 2, P P = 2 + X. Proposition 12.2.5. Si P et Q sont deux polynômes non nuls alors deg P Q = deg P deg Q Exercice 2. Soit A C[X] tel que A(X) = A( jx) avec j = e 2iπ/3. Montrer qu il existe P C[X] tel que A = P(X 3 ). 12.3 Dérivation dans K[X] 12.3.1 Définition Définition 12.3.1. Soit P = a k X k un polynôme. On appelle polynôme dérivé de P le polynôme noté P défini par P = (k + 1)a k+1 X k Si P est constant alors P = 0 et si P est non constant, en notant d = deg P 1, on a d 1 d P = (k + 1)a k+1 X k = ka k X k 1. k=1
12.4 Division euclidienne dans K[X] 7 Exemple 12.3.1. Si P = 3X 5 + 4X 2 + X + 7 alors P = 15X 4 + 8X + 1. Proposition 12.3.1. Quelque soit les polynômes P et Q, et le scalaire λ K on a : (1) (P + Q) = P + Q (2) (λp) = λp (3) (PQ) = P Q + PQ Proposition 12.3.2. Quelque soit le polynôme P et l entier naturel n 1, on a (P n ) = np P n 1 Proposition 12.3.3. Quelque soit les polynômes P et Q, on a (P Q) = Q (P Q) Définition 12.3.2. Soit P un polynôme et k N. On appelle polynôme dérivé d ordre k du polynôme P le polynôme noté P (k) défini par récurrence de la manière suivante : P (0) = P et k N, P (k) = (P (k 1) ) Formule de Leibniz. Soit P et Q deux polynômes et n N. n ( ) n (PQ) (n) = P (k) Q (n k) k 12.4 Division euclidienne dans K[X] 12.4.1 Division euclidienne Définition 12.4.1. On dit que le polynôme B divise le polynôme A ou que A est un multiple de B ou que B est un diviseur de A s il existe un polynôme C tel que A = BC. Le polynôme C est alors appelé le quotient de A par B. Exemple 12.4.1. X 1 divise X 3 1 car X 3 1 = (X 1)(X 2 + X + 1) Exemple 12.4.2. X 2 + 1 divise X 4 1 car X 4 1 = (X 2 1)(X 2 + 1) Théorème de la division euclidienne. Soient A, B deux polynômes avec B 0. Il existe un unique couple (Q, R) K[X] 2 tel que A = BQ + R, deg R < deg B
8 Polynômes Le polynôme A s appelle le dividende, B le diviseur, Q le quotient et R le reste. Pratique de la division euclidienne 4X 3 3X 2 + X 4 X + 2 ( 4X 3 8X 2 ) 4X 2 + 5X 9 0 + 5X 2 + X 4 (5X 2 + 10X) 0 9X 4 ( 9X 18) 14 Exercice 3. Faire la division euclidienne de 4X 4 + X 3 2X 2 5 par 2X 2 + X + 1. Exercice 4. Soient λ et µ les restes des divisions euclidiennes d un même polynôme P par X a et X b avec a b. Trouvez le reste de la division euclidienne de P par (X a)(x b). 12.5 Racines d un polynôme. Ordre de multiplicité d une racine. 12.5.1 Racines d un polynôme. Caractérisations. Définition 12.5.1. Soit P un polynôme et α K. On dit que α est racine de P si P(α) = 0. Exemple 12.5.1. Le polynôme X 2 + 1 considéré dans R[X] n a pas de racine. Considéré dans C[X], X 2 + 1 possède deux racines : i et i. Proposition 12.5.1. Soit P un polynôme et α K. Le reste de la division euclidienne de P par X α est P(α). Théorème. Soit P un polynôme et α K. On a l équivalence : P(α) = 0 si et seulement si X α divise P. Définition 12.5.2. Soit P un polynôme, r N et α K tel que P(α) = 0. On appelle ordre de multipicité de la racine α l entier naturel r tel que (X a) r divise P mais (X a) r+1 ne dvise pas P.
12.5 Racines d un polynôme. Ordre de multiplicité d une racine. 9 Autrement dit, α est d ordre de multiplicité r si on peut factoriser P par (X a) r mais pas par (X a) r+1. Théorème. Soit P un polynôme, r N et α K tel que P(α) = 0. Le scalaire α est racine de P d ordre de multiplicité r si seulement si il existe Q K[X] tel que P = (X a) r Q et Q(α) 0. Exercice 5. Soit A = 2X 4 4X 3 + 4X 2. Trouver l ordre de multiplicité de la racine 1. Exercice 6. On admet l irrationalité de 2. Soit P un polynôme à coefficients rationnels tels que P( 2) = 0. Montrer que ( 2) est aussi racine de P avec le même ordre de multiplicité. Exercice 7. Soit n N. Montrer que 1 + X + X n n a que des racines simples. 12.5.2 Racines n-èmes d un nombre complexe non nul où n 2. Définition 12.5.3. Soit n N. Les racines n me de l unité sont les racines dans C du polynôme X n 1. Les racines n me de l unité sont les solutions dans C de l équation z n = 1. Si un tel nombre complexe z existe alors nécessairement z = 1 et z peut donc se mettre sous la forme e iθ. L équation z n = 1 devient alors e inθ = 1. e inθ = 1 nθ est de la forme 2kπ où k Z θ est de la forme 2kπ n où k Z Les solutions de l équation z n = 1 sont donc les nombres complexes de la forme e 2ikπ n k Z. Voyons maintenant quel est le nombre de solutions au problème. Pour k Z, posons z k = e 2ikπ n. A quelle condition deux de ces nombres sont-ils égaux? Soient m, m deux entiers relatifs : z m = z m e 2imπ n = e 2im π n e 2i(m m )π n = 1 il existe l Z, m m = ln Par conséquent, si la différence des indices m m est multiple de n, les nombres complexes z m, z m sont égaux. où
10 Polynômes Si les deux indices m, m sont tels que 0 m < m n 1 (c est à dire tous deux compris entre 0 et n 1 mais distincts) il est impossible pour m m d être un multiple entier de n et donc z m et z m sont distincts. Les nombres complexes z 0, z 1,..., z n 1 sont donc des solutions deux à deux distinctes de l équation z n = a. Il y a donc au moins n solutions. Soit un indice k Z. Par division euclidienne, il existe un quotient q Z et un reste r avec 0 r n 1 tel que k = nq + r. On a alors z k = e 2i(nq+r)π n = e 2irπ n +2iqπ = e 2irπ n = z r On vient de montrer que tout nombre complexe solution est égal à l un des nombres complexes z 0, z 1,..., z n 1 et il y a donc au plus n solutions à l équation z n = 1. Il y a donc exactement n racines n me de l unité. Théorème et définition. Etant donné un entier n N, il y a exactement n nombres complexes z tels que z n = 1. Ces nombres sont appelés les racines n-èmes de l unité. Ce sont les nombres complexes suivants : z k = e 2ikπ n ) où 0 k n 1. Exemple 12.5.2. Racines n-èmes de l unité pour n = 2, 3 et 4. 12.5.3 Théorème de D Alembert-Gauss et factorisations. Théorèm de d Alembert-Gauss. Tout polynôme non constant de C[X] admet au moins une racine dans C. Corollaire 12.5.3. Soit P C[X] de degré deg P = n 1. n Il existe alors λ C et x 1, x 2,..., x n C tels que P = λ (X x k ). k=1 En tenant compte des ordres de multiplicité des racines, tout polynôme non constant de C[X] s écrit sous la forme s P = λ (X z k ) r k k=1 avec λ C, z 1,..., z s des nombres complexes deux à deux distincts et r 1,..., r s des entiers naturels non nuls tels que r 1 +... + r s = n. On énonce aussi : Théorème. Tout polynôme non constant de C[X] de degré n admet n racines dans C, si chacune d elles est comptée avec son ordre de multiplicité. n 1 Exemple 12.5.3. X n 1 = (X e 2ikπ n )
12.5 Racines d un polynôme. Ordre de multiplicité d une racine. 11 Exemple 12.5.4. X 4 2X 2 + 1 = (X 2 1) 2 = (X 1) 2 (X + 1) 2 Corollaire 12.5.4. Si P C[X] est un polynôme de degré inférieur ou égal à n ayant au moins n + 1 racines dans C alors P est le polynôme nul. Proposition 12.5.5. Soit P C[X]. P R[X] si et seulement si pour tout z C, P(z) = P(z) Proposition 12.5.6. Soit P R[X]. Si P admet a C pour racine d ordre de multiplicité r alors P admet aussi a C pour racine d ordre de multiplicité r. Proposition 12.5.7. Tout polynôme non constant de R[X] s écrit sous la forme r s P = λ (X x i ) α i (X 2 + p j X + q j ) β j i=1 j=1 où x 1,..., x r sont les racines réelles distinctes de P, α 1,..., α r leur ordre de multiplicité respectifs, (p 1, q 1 ),..., (p s, q s ) des couples de réels tels que pour tout j 1, s, p 2 j r s 4q j < 0 et β 1,..., β s des entiers naturels tels que α i + 2 β j = deg P i=1 j=1 Exercice 8. Soit P R[X], deg P = n 1 et P(k) = 1 k Calculer P(n + 2). pour tout k {1, 2,..., n + 1}. 12.5.4 Factorisation du trinôme bicarré Soient p, q deux réels et le polynôme P(X) = X 4 + px 2 + q. Posons T(X) = X 2 + px + q et = p 2 4q, on a donc P(X) = T(X 2 ). La factorisation de P dépend alors de celle de T : si > 0 alors T possède deux racines réelles distinctes t 1, t 2 et T(X) = (X t 1 )(X t 2 ) de sorte que P(X) = (X 2 t 1 )(X 2 t 2 ). La factorisation complète dépend alors des signes de t 1 et t 2. si = 0 alors T possède une racine réelle double t et T(X) = (X t) 2 de sorte que P(X) = (X 2 t) 2 La factorisation complète dépend alors du signe de t. si < 0 alors on commence par écrire P(X) = (X 2 + q) 2 (2 q p)x 2 et on poursuit avec l identité remarquable a 2 b 2 = (a b)(a + b) puisque 2 q p > 0.
12 Polynômes 12.6 Exercices. Calculs algébriques. Exercice 9. Calculer les produits (X 3 + X 2 X 1)(X 2 2X 1) et (2X 4 X 3 + X 2 + X + 1)(X 2 3X + 1) Exercice 10. Déterminer des polynômes P n, Q n, R n tels que n (X 2 2 cos αx + 1) sin(kα)x n k = P n (X) sin α + Q n (X) sin(nα) + R n (X) sin((n + 1)α) k=1 Exercice 11. Trouver les polynômes P solutions de l équation (1 X)P P = X n On pourra interpréter le membre de gauche comme un polynôme dérivé. Exercice 12. On pose P 0 = 1, P 1 = X et pour tout n N, P n+2 = XP n+1 P n. (1) Montrer que pour tout n N n 2 ( ) n i P n = ( 1) i i (2) Quel est le degré de P n? (3) Etudier la parité de P n. i=0 X n 2i Exercice 13. Montrer que pour tout réel a, cos 3a + 4 cos 2a + 8 cos a + 5 0. Exercice 14. Soit g la fonction définie sur R par : sin x si x 0 g : x x 1 si x = 0 (1) Montrer que g est de classe C 1 sur R et déterminer g (x) pour tout x réel. (2) Montrer qu il existe deux polynômes P n et Q n tels que pour tout n 1 et pour tout x non nul, on ait : g (n) (x) = P n(x) sin (n) (x) + Q n (x) sin (n+1) (x) x n+1 où f (k) (x) désigne la dérivée k-ième de la fonction f. (On déterminera une expression de P n+1 et Q n+1 en fonction de P n et Q n.)
12.6 Exercices. 13 (3) Montrer que P n et Q n sont à coefficients dans Z. Préciser le degré, la parité et le coefficient du terme de plus haut degré de chacun de ces polynômes. (4) En écrivant que sin(x) = x.g(x), déterminer deux nouvelles relations entre P n, Q n, P n+1, Q n+1. En déduire que P n = Q n. Exercice 15. Soient a, b, c trois nombres complexes de modules deux à deux distincts. On suppose que pour tout p {1, 2, 3}, a p + b p + c p R. Montrer que a, b, c sont réels. (On pourra considérer P = (X a)(x b)(x c) et montrer que P R[X]) Division euclidienne, racines, problèmes de factorisation. Exercice 16. Déterminer le reste de la division euclidienne de (a) (cos α + sin αx) n par X 2 + 1 (b) (cos α + sin αx) n par (X 2 + 1) 2 Exercice 17 (Calcul de puissance de matrice). Soit t C et A la matrice 0 t t 2 1 A = t 0 t (1) Exprimer A 2 en fonction de A et I 3 1 t 2 1 (2) Soit n N tel que n 2. Effectuer la division euclidienne de X n par X 2 X 2. (3) Exprimer alors A n en fonction de A et I 3. t 0 Exercice 18 (Calcul de puissance de matrice). Calculer, pour tout entier n, la matrice A n où 3 1 1 A = 2 0 2 3 3 5 sachant que A 2 s exprime en fonction de A et I 3. Exercice 19. Pour tout n N, montrer que le polynôme P = (X 3) 2n + (X 2) n 1 est divisible par (X 3)(X 2) et former le quotient. Exercice 20. Soient m, n, p des entiers naturels. Montrer que le polynôme X 3m+2 + X 3n+1 + X 3p est divisible par X 2 + X + 1.
14 Polynômes Exercice 21. Pour quels entiers naturels non nuls n le polynôme P = (X 1) n (X n 1) a-t-il une racine double? Exercice 22. Soit P le polynôme P(X) = X 6 2X 5 3X 4 + 8X 3 + 12X 2 32X + 16. (1) Montrer que 1 est racine double de P puis déterminer le polynôme Q tel que P(X) = (X 1) 2 Q(X). (2) Déterminer les racines de Q dans C. (3) Factoriser le polynôme P dans R[X]. Exercice 23. Factoriser dans C[X] les polynômes X 6 + 27, X 2n + X n + 1 et X 4 + 4X 3 + 4X 2 + 1. Exercice 24. Factoriser dans C[X] les polynômes (X 2 + 1) 3 + (X 1) 6 et 1 + 2X + 2X 2 +... + 2X n 1 + X n. Exercice 25. Sachant que 2+3i est racine du polynôme P(X) = X 4 2X 3 +6X 2 +22X+13, factoriser ce polynôme dans R[X]. Exercice 26. Factoriser dans R[X] les polynômes X 4 + 1, X 4 + X 2 + 1, X 8 + X 4 + 1. Exercice 27. Soit n N et P = 1 (( 1 + i ) n 2i n X (1 i ) n ) n X. Quel est le degré de P? Montrer que ses coefficients sont réels et que ses racines aussi. Le factoriser. Exercice 28. Une suite (P n ) de fonctions polynômes réelles est définie par la donnée de P 0 : x x et la relation de récurrence : n N, x R, P n+1 (x) = (n + 1) (1) Déterminer P 1, P 2, P 3 et P 4. x 0 ( P n (t)dt + x 1 (n + 1) 1 0 ) P n (t) dt (2) Montrer que, pour tout n, P n est l unique fonction polynôme vérifiant les deux conditions : P n (0) = 0, et x R, P n (x) P n (x 1) = x n
12.6 Exercices. 15 (Pour la suite donnée dans l énoncé, on calculera P n+1 (0), P n+1 (1) et on calculera P n+1 (x) P n+1 (x 1)) On note encore P n le polynôme associé à la fonction polynôme P n. (3) Montrer que, pour tout n N, le polynôme P n est divisible par X(X +1). Factoriser les polynômes P 1, P 2 et P 3. (4) Montrer que le polynôme P n est de degré n + 1 ; calculer son coefficient dominant, ainsi que le coefficient du terme en X n. (5) Montrer que, pour tout n N et tout p N, on a P n (p) = p k n. k=1 Exercice 29. Déterminer tous les polynômes P R[X] vérifiant P(0) = 0 et P(X 2 + 1) = P(X) 2 + 1. On pourra considérer la suite définie par u 0 = 0 et pour tout n N, u n+1 = u 2 n + 1. Exercice 30. Soit A et B deux matrices 2 2 à coefficients dans Z telles que A, A+ B, A+ 2B, A + 3B et A + 4B soient toutes inversibles et leurs inverses sont à coefficients dans Z. Montrer que pour tout réel k, la matrice A + kb est inversible à coefficient dans Z. Exercice 31. Soit l ensemble E défini par E = { P R[X] n(n 1)P = (X 2 1)P } où n est un entier tel que n 2. (1) Montrer que si P E alors deg P = n. (2) Déterminer E. n 1 ( ) kπ Exercice 32 (Produit de sinus). L objectif est de simplifier le produit sin. n (1) Résoudre dans C l équation (z + 1) n 1 = 0 (2) En déduire la factorisation dans C[X] du polynôme (X + 1) n 1. (3) En calculant de deux façons le coefficient du terme de degré 1 de (X + 1) n 1, n 1 ( ) kπ simplifier le produit sin n k=1 k=1 Exercice 33 (Oral ESCP, 2014). Cet exercice propose de déterminer, par différentes méthodes, les polynômes réels P tels que P divise P.
16 Polynômes (1) Déterminer tous les polynômes P R[X] de degré 2 tels que P divise P. (2) Soit P R[X] ( de degré n. Montrer que si P divise P, alors il existe α R tel que : X ) P(X) = n + α P (X) (3) Méthode 1. Soit P R[X] tel que P divise P. (a) Pour k N, déduire de la question 2. une relation de récurrence entre P (k) et P (k+1), où P (k) désigne la dérivée k-ième de la fonction polynomiale identifiée à P. (b) En déduire tous les polynômes P R[X] tels que P divise P. (4) Méthode 2. (a) Déterminer( toutes les fonctions f : R R dérivables sur R telles que x x ) R, f (x) = n + α f (x) (b) En déduire tous les polynômes P R[X] tels que P divise P. (5) Méthode 3. Soit P(X) = n a k X k un polynôme de R[X] de degré n N, tel que P divise P. (a) Établir une relation de récurrence entre les coefficients de P (on pourra utiliser la question 2.). (b) En déduire les polynômes P R[X] solutions. Quelques exercices sur des polynômes classiques. Exercice 34 (Polynômes de Lagrange). Soit n un entier supérieur ou égal à 1 et a 1,..., a n des réels deux à deux distincts. (1) Déterminer un polynôme L 1 R n 1 [X] tel que L 1 (a 1 ) = 1 et pour tout j 2, n, L 1 (a j ) = 0. (2) Soient y 1,..., y n des nombres réels. Montrer qu il existe un et un seul polynôme L de R n 1 [X] tel que pour tout j 1, n, L(a j ) = y j. Exercice 35. Dans cet exercice, on propose quelques applications de la formule d interpolation à l aide des polynômes de Lagrange. n Soit P(X) = a k X k un polynôme de C[X], h C et m C. On pose L k (X) = 0 j n j k ( ) X m jh. (k j)h (1) En reprenant l exercice vu en cours sur les polynômes de Lagrange, montrer que n P(X) = P(m + kh)l k (X). On dit qu on a interpolé le polynôme P aux points m, m + h, m + 2h,..., m + nh.
12.6 Exercices. 17 (2) En déduire la formule n ( ) n ( 1) n k P(m + kh) = n!a n h n. k (3) Utiliser le résultat précédent pour simplifier les sommes s p = p = 0, 1, 2..., n 1 et n. n ( ) n ( 1) k k p pour k (4) En interpolant le polynôme Q(X) = X n aux points 0, 1, 2 n, 3 n,..., n n et à l aide de (3), simplifier la somme n ( ) n s n+1 = ( 1) k k n+1. k Exercice 36 (Polynomes de Bernoulli). Soit n N et (E n ) l équation F(x + 1) F(x) = nx n 1 d inconnue la fonction F : R R. (1) Montrer que si P est un polynôme solution de (E n ) alors deg P = n. (2) Montrer que si P, Q sont deux polynômes solutions de (E n ) alors P Q est constant. (3) Montrer que si P est solution de (E n ) alors 1 n P est solution de (E n 1 ). (4) On pose B 0 = 1 et on définit B n pour n 1 par récurrence : B n est le polynôme tel que B n (x + 1) B n (x) = nx n 1, B n = nb n 1. Calculer B 1, B 2, B 3, B 4. (5) Calculer 1 0 B n (x)dx. (6) Montrer que pour tout entier k 1, B (k) n! n = (n k)! B n k (7) Pour k N, on pose β k = B k (0). Exprimer B n en fonction des β k pour 0 k n. n ( ) n + 1 (8) Montrer que β k = 0. k (9) Montrer que B n (X) = ( 1) n B n (1 X). En déduire le calcul des β 2p+1 et des B 2p+1 ( 1 2 ).