DSCG OPTIONS MODELISATIONS Notions préliminaires. La loi binomiale La loi binomiale s appliqe ans le cas : ne expérience aléatoire à ex isses, cette expérience étant répétée n certain nombre e fois (n fois), ces répétitions étant totes inépenantes les nes es atres. Exemple : n QCM est composé e 0 qestions inépenantes les nes es atres, et por chacne elle il est forni 5 réponses ont ne sele est correcte. On écie e cocher complètement a hasar ne réponse par qestion. La loi binomiale pet s appliqer pisqe l expérience est aléatoire (on choisit a hasar) et à ex isses (c est bon o fax), cette expérience est répétée 0 fois (il y a 0 qestions), ces essais sont inépenants les ns es atres (pisqe les qestions le sont) La probabilité e trover ainsi la bonne réponse à ne qestion est p = = 0,. 5 Celle e trover ne réponse fasse est p = 0,8. Rappel : ne probabilité est tojors n nombre compris entre 0 et On pet représenter cette sitation e la façon sivante 0, 0,8 B F Si on accore point par bonne réponse et 0,5 point par errer, qelle note pet-on espérer? Por chaqe qestion, on pet établir le tablea sivant : On pet alors «espérer» por chaqe qestion n gain e 0, + ( 0,5) 0,8 = 0, 0, 4 = 0,. Ce résltat étant valable por chacne es 0 qestions, il est vraisemblable qe la note obtene sera voisine e. Pls généralement, si la probabilité obtenir la note n est p et celle obtenir la note n est p, il y a e granes chances obtenir à chaqe essai la note pn ( ) + p n. Remarqe : c est le même type e calcl qe celi effecté lorsqe l on vet calcler la moyenne ponérée e ex notes, la note n mnie n coefficient c et la note n n coefficient c. cn + cn On calcle alors c + c En remplaçant c par p et c par p, comme c c p p Points accorés 0,5 Probabilité 0, 0,8 + = + =, on retrove pn ( ) + p n. DSCG Options Moélisations
. Notion e volatilité On observe ans le tablea ci-essos le relevé es cors e ex actions (AGF et Canal+) sr ne année. Date Cors AGF Renement r n Ecart renement à la moyenne Carré e l'écart Cors Canal + Renement Ecart renement à la moyenne Carré e l'écart 30//009 54,60 8,0 30//009 53,80 -,47-3,84 4,75 44,50 76,00 67,4 4543,77 3/0/00 50,5-6,78-9,6 83,90 66,50 5, 6,63 43,9 9/0/00 50,0 0,0 -,8 5,8 93,00 75,98 67,38 4539,87 3/03/00 54,05 7,67 5,9 8,0 30,00 -,50-30,0 905,96 8/04/00 54,65, -,7,60,00-7,83-6,4 69,73 3/05/00 54,50-0,7 -,65 7,0 04,00-3,77 -,37 53,04 30/06/00 55,35,56-0,8 0,67 76,00-3,73 -,3 498,3 3/07/00 55,70 0,63 -,74 3,04 7,00 -,84 -,44 30,84 3/08/00 56,80,97-0,40 0,6 83,90 7,54 -,05, 9/09/00 6,00 7,39 5,0 5,9 69,70-7,7-6,3 66,3 3/0/00 64,50 5,74 3,36,30 70,50 0,47-8,3 66,03 30//00 7,50 0,85 8,48 7,86 45,50-4,66-3,6 54,04 Moyennes,38,06 8,60 996,66 Ecart-Type 4,59 3,57 Ecart-Type annalisé o volatilité Etapes e calcl por les actions AGF : vn vn le renement : on tilise rn =, v n 5,90 09,36 renement moyen : r,38, écart renement à la moyenne : r n carré e l écart : ( ) r n r, r, moyenne e ces carrés : c est la Variance, V écart type : e = V. Ici e 4,59. ( r ) n r =. Ici, V,06, o tilisation irecte e la calclatrice (listes ). écart type annalisé : σ = e 5,90 %. Cette ernière valer est appelée la volatilité e l action AGF. Des calcls semblables montrent qe la volatilité e l action Canal+ est e 09,36 %. On constate qe la volatilité e l'action AGF a été largement infériere à celle e l'action Canal+ en 00. On voit bien ici qe la volatilité renseigne sr les flctations 'ne valer. Le titre Canal+ flcte beacop pls qe le titre AGF. DSCG Options Moélisations
.3 Capitalisation contine Imaginons n placement e 00 a tax annel e 0 % avec ifférentes rées e capitalisation. Capitalisation semestrielle (intérêts versés fois par an). 0. Le capital a bot n an est 00 + = 0, 5. Capitalisation menselle : Capitalisation hebomaaire : Capitalisation jornalière : 0. 00 + 0, 47. 5 0. 00 + 0,5. 5 360 0. 00 + 0,5. 360 On montre mathématiqement qe cette progression est plafonnée. C est la capitalisation «contine» (intervalle e temps infiniment petit entre ex calcls) : 0. Le capital maximm qe l on pisse obtenir est onné par 00e 0,5. La formle générale e capitalisation contine si on place ne somme C0 a tax e t % penant x xi t années (x n étant pas forcément n nombre entier) est C = C0e où i = 00 Généralités sr les options financières Définition : Typologie : ne option financière est le roit, et non l obligation, acheter o e venre n actif à n prix fixé et ce à o avant ne ate fixée. cette éfinition es options financières init ne typologie es options en 4 familles principales : Option achat (Call) possibilités Option e vente (Pt) Le roit acheter n actif est appelé ne option achat o CALL Le roit e venre n actif est appelé ne option e vente o PUT Option Américaine possibilités Option Eropéenne Une option américaine pet être exercée à tot instant jsq à échéance e l option Une option eropéenne ne pet être exercée q à la ate fixée Terminologie : on tilisera ans ce cors le vocablaire sivant : Le prix fixé sera appelé le prix exercice. La ate fixée sera appelé la ate expiration. L actif concerné par l option sera appelé le sos-jacent. Le prix payé par l acheter e l option sera appelé la prime. Remarqes : le sos-jacent pet être tot type actif financier : ne action, ne marchanise, et même ne option. DSCG Options Moélisations 3
Exemples : n céréalier qi craint qe le prix blé ne tombe e 00 à 60 le qintal en raison e la concrrence e noveax pays procters va se covrir avec ne option e vente à 70 le qintal. A cas où le prix chterait jsq'à 60 o 50, l'option li onne le roit e venre à 70 et onc e gagner onc 0 o 0 par qintal. Par contre, si le prix reste à 00, o ne baisse qe jsq à 75, il n exercera pas l option et perra le montant versé por l achat e cette ernière. Soit ne option achat (Call) qi, por ne prime e 8, permet acheter ne certaine action X a prix e 95 (prix exercice) alors q elle vat actellement 00. Le contrat proposé consiste en l achat e 00 Call, por n montant total, onc e 800. On achète 00 contrats en épensant 00 800 = 80 000. Si, à la ate expiration, l action X cote 05, on exerce alors l option, on en achète 0 000 à 95, pis on les reven 05. Le bénéfice réalisé est alors e : 0 000 (05 95) 80 000 = 00 000 80 000 = 0 000. Si, à la ate expiration, l action X cote 90, on n exerce pas l option et on per 80 000. Dans la site e cet exposé, on traitera pls particlièrement le cas es options eropéennes. 3 Le moèle binomial Il s agit e proposer n moèle évoltion e la cotation sos-jacent permettant, entre atres, e éterminer la prime ne option. Ce moèle sera e type «iscret», c est-à-ire qe l on consièrera qe cette évoltion a lie par «sats» sccessifs ne valer à la sivante. La prime e l option, inconne en ce ébt e chapitre sera noté C, en référence a fait qe les options étiées seront type «Call». On notera e même : K le prix exercice e l option, S la valer sos-jacent a moment e la mise en place e l option. 3. Moèle mono périoiqe 3.. Description Ce moèle est basé sr l hypothèse q a cors ne périoe, la cote sosjacent ne pet q agmenter n certain porcentage t o iminer n atre porcentage t. t t Alors, en notant = + et =, on n obtient, en fin e périoe, qe 00 00 ex cotes possibles por le sos-jacent, S et S telles qe Sñ Sñ S. Cette sitation, qi jstifie l emploi terme «binomial» est représentée Fig.. S Fig. S S 3.. Volatilité sos jacent L attribtion a sos-jacent e ex variations en porcentage, ne à la hasse et ne à la baisse pet être réalisé en tilisant la «volatilité historiqe» sos-jacent qi est basée sr le calcl e l écart type es valers prises par ce ernier, par exemple a cors e l année précéente, et exprimer le résltat en porcentage. La volatilité pet alors être consiérée comme n porcentage plasible e variation sos-jacent sr n an, à la baisse o à la hasse. Si on note σ cette volatilité, les inicaters et tilisés précéemment pevent être évalés par : () T = e σ et T = e σ où T est la rée e la périoe tilisée exprimée en années. DSCG Options Moélisations 4
Remarqe : les propriétés e la fonction exponentielle font qe, ans ce cas, on a v =. Exemple : on consière ne action évolant avec ne volatilité e 40 % et cotant actellement 00 ainsi q ne option achat sr cette action otée n prix exercice e 95 ( K = 95 ) avec ne échéance ans exactement 3 mois. Alors, e e σ T 0,4 = =, 4, T 0,4 e σ = = e 0,887, S =, 4 00 =,4 et S = 8,87. On obtient le schéma e la Fig.. 00 Fig.,4 8,87 Remarqe : on a bien 0,887 v =, 4. Si le sos-jacent cote S, on exerce l action et la pls-vale réalisé sr chaqe action est Si le sos-jacent cote S, on n exerce pas l action et la pls-vale réalisé est C = 0. On appelle cette pls-vale la «valer intrinsèqe» e l option achat. Dans le cas n tel moèle, il n y a qe ex montants possibles por cette valer intrinsèqe. C = S K. Exemple : sivant la Fig., la valer intrinsèqe Call est e 7,4 (,4 95) o e 0. 3..3 Le portefeille e simlation Afin e miex appréhener le comportement réciproqe n sos-jacent et n Call associé à ce ernier, on pet constiter n portefeille fictif en : achetant n nombre n e sos-jacents, venant n Call eropéen. A la fin e la périoe, le portefeille vara n S C en cas e hasse et n S C en cas e baisse. Exemple : avec n =, si l action en fin e périoe cote,4, le portefeille vat,4 7,4 = 7,4, pisqe l acheter Call exerce son roit. Si l action en fin e périoe cote 8,87, le portefeille vat 8,87 = 63,74, pisqe l acheter Call n exerce pas son roit. Un tel portefeille comporte n risqe, le résltat n étant pas certain soit 7,4, soit 63,74. Déterminons la valer à onner à n por qe ce ne soit pas le cas. Ceci revient à résore : C C n S C = n S C n S n S = C C n =. S S C C Cet inicater est appelé «le elta» e l option : = (). S S Il mesre la sensibilité cors e l option par rapport a sos jacent. Exemple : on a C = 7,4, C = 0, S =,4 et S = 8,87. C C 7,4 7,4 Alors = = = 0,674. S S,4 8,87 0, 7 On a bien S C = 0,674,4 7,4 55,8 et S C = 0, 674 8,87 55,8. Le portefeille ainsi constité est it «sans risqe». DSCG Options Moélisations 5
3..4 Absence opportnités arbitrage On appelle «opportnité arbitrage» n portefeille ont la valer initiale est négative o nlle ( V 0 = 0 ) et ont la valer à l instant t positif est positive ( V t > 0 ) sans q acn flx financier ne soit interven en son sein. On consière, en général, qe ce type e portefeille n existe pas, où l expression absence opportnité arbitrage. Sos cette hypothèse, n operater ne pet pas gagner pls qe le tax sans risqe r marché sans accepter ne part.. e risqe. En particlier, n marché binomial est sans opportnité arbitrage si et selement si t < r < t. Consiérons notre portefeille e simlation. Il a nécessité ne mise e épart e S C (achat e sos-jacent et vente n Call). S il rapporte atant qe si on avait placé cette somme a tax sans risqe, il vara, à la fin e la périoe, S C e (capitalisation contine) en notant T la rée e cette périoe. D où : ( ) C C C C = ( ) = S S S S S C S C e S C S C e C C C C C = S C e ( ) S ( ) S C C C C e e C = C S C C C C C = e + e C = e C ( e ) + C ( e ) ( e ) ( e ) Donc C = e = e C + C. Posons (3) p = e Finalement, ( ) e C e C C e e. On a alors p = = ( ) C = e pc + p C (4).. Exemple : avec n tax sans risqe annel e 6 %, trois mois représentant année, on a : 0,06 e e 0,887 p = = 0, 4877 et onc p = 0,53. 0, 407 = 0, 4877 7,4 + 0,53 0 3,04. Alors C e 0,06 ( ) Avec cette valer Call, on retrove bien : ne mise e épart e S C = 0,674 00 3,04 = 54,36 0,06 ne valer capitalisée a bot e 3 mois e 54, 36 e 55,8. + C + C C Remarqe : on montre qe le nombre p introit ans la émonstration précéente est compris entre 0 et et q il en est onc e même por p. On consière alors le calcl pc ( ) + p C comme celi e l espérance mathématiqe (la moyenne) es événements C et C e probabilités respectives p et p. La probabilité p porte le nom e «probabilité risqe-netre». La prime e l option est alors la valer actalisée e l espérance e sa valer intrinsèqe en fin e périoe : C = e pc + p C ( ( ) ) DSCG Options Moélisations 6
3. Moèle mlti périoiqe 3.. Description moèle On écope l intervalle e temps T en n périoes ientiqes δ t en conservant le caractère binomial e l évoltion e la cote sos jacent. et oivent être alors recalclés avec la novelle valer δ t. Par exemple, si n =, on a δ t = et on obtient le treillis représenté Fig. 3. S 00 5,9 86,8 3,69 00 Exemple : σ δ t 0,4 = e = e,59 0,4 Fig. 3 = e 0,868. Une action cotant actellement 00 cotera, après ex baisses sccessives : S = 0,868 00 75,36. 75,36 3.. Utilisation treillis Nos allons reprenre l exemple précéent en sbivisant l intervalle T e trois mois en 4. On fait figrer ans le treillis (Fig. 4) les ifférentes valers intrinsèqes e l option à la fin es 4 périoes. Calcls préalables : e e e σ δ t 0,4 / 4 0,4 0,065 = = =,05 et 0,4 0,065 = e 0,9048. 34,99,4 0,5 0,5 00 00 90,48 90,48 8,87 74,08 Fig. 4 49,8 54,8,4 7,4 00 5 8,87 0 67,03 0 On pet alors (Fig. 5) éterminer les ifférentes valers e la prime e l option ne périoe avant, c est-à-ire à la fin e la 3eme périoe en tilisant les formles rδ t C = e pc + p C o δ t = 0, 065 ( ) cas mono périoiqe : ( ) rδ t 0,06 0,065 e e 0,9048 p = = 0, 4938,05 0,9048 où p = 0, 4938 = 0,506. On trove alors C e 0,06 0,065 ( ) = 0, 4938 54,8 + 0,506 7,5 40,34. En procéant ainsi, e proche en proche et à rebors (Fig. 6), on arrive à la valer initiale e la prime e l option : C =,54.? Fig. 5 54,8 7,5 DSCG Options Moélisations 7
54,8 40,34 7,85 7,4 8,6 5,87,54 9,05 5 5,06,46, 0 Fig. 6 0 0 Remarqe : on pet tiliser exactement la même techniqe et les mêmes formles por éterminer la prime n Pt (voir exercice). 3..4 Résmé e la méthoe Por éterminer la prime ne option en tilisant le moèle binomial : Diviser la périoe T en n sbivisions égales. Calcler et à l aie es relations (), pis p à l aie e la relation (3). Etablir le treillis es valers sos-jacent. Calcler les ifférentes valers intrinsèqes à la fin e la ernière étape. Calcler «à rebors» les valers intrinsèqes précéentes à l aie e la formle (4). 4 Le moèle e Black & Scholes L emploi moèle binomial por calcler la prime ne option eropéenne impose le choix n nombre arbitraire e sbivisions (4 ans les exemples précéents) e la périoe e valiité e cette option. Intitivement, pls ce nombre e sbivisions est gran, pls le résltat est précis, mais assi pls le calcl est complexe. L tilisation tabler permet observer l évoltion Call e l exemple étié ans la partie... Les résltats sont regropés ci-essos : n 4 0 5 0 5 C,54,50,,4,33 En faisant tenre n vers +, on obtienrait n moèle e type contin qi tienrait compte, en théorie es variations sos-jacent à chaqe instant, mais les calcls evienraient impossibles à effecter. Cepenant, n moèle contin existe. Il s agit moèle e Black & Scholes. Comme le précéent, ce moèle tilise n portefeille e simlation sans risqe. Sans entrer ans tos les étails, l'hypothèse e base moèle e Black & Scholes est qe les flctations prix e l'actif sos-jacent sivent ne loi normale (loi e Gass). Ceci expliqe la présence e la loi normale centrée réite ans les formles qi vont sivre. DSCG Options Moélisations 8
4. Les formles La valer e la prime ne option eropéenne ayant n prix exercice égal à K, à échéance à la ate T est onné par : (6) C SN ( ) Ke N ( ) = por ne option achat, (7) P Ke N ( ) SN ( ) = por ne option e vente, avec N fonction e istribtion e la loi normale centré réite et : (8) S ln + r + σ T K = (9) = σ T. σ T Remarqe : les valers prises par la fonction N porront être les ans la table e cette loi. Les résltats e et seront alors arronies a /00 eme. On porra assi tiliser n tabler por ne meillere précision. Exemple : reprise e l exemple étié ans la partie... On a S = 00, K = 95, r = 0,06, σ = 0,4, T =. S 00 ln + r + σ T ln + 0,06 + 0, 4 0, 5 K 95 = = 0,434 0, 43. σ T 0,4 = σ T = 0, 434 0,4 0, 34 0, 3. Par lectre e la table, N ( ) 0, 6664, N ( ) 0,590 N ( ) = N ( ) 0,3336, N ( ) N ( ) 0,06 Alors, ( ) ( ) = 0, 409. C = SN Ke N = 00 0, 6664 95e 0,59,33 ( ) ( ) 0,06 P = Ke N SN = 95e 0, 409 00 0,3336 4,9 Remarqes : on obtient le même résltat q en tilisant le moèle binomial avec n = 5. Le moèle e Black & Scholes pet être consiéré comme n cas limite moèle binomial lorsqe n evient très gran. 4. Parité Call-Pt On pet remarqer q n Call et n Pt eropéens ayant le même sos jacent, le même prix exercice et la même ate échéance sont tojors reliés par la relation (0) En effet : P + S = Ke N SN + S ( ) ( ) ( ( )) ( ( ) ) = Ke Ke N ( ) S SN ( ) = Ke N S N + S + + S = C + Ke 0,06 + =,33 + 95 04,9. + = +. C Ke P S Vérification sr l exemple : C Ke e P + S = 4,9 + 00 = 04, 9 L emploi e cette relation pet faciliter le calcl Pt si on connaît éjà le Call : 0,06 C + Ke = P + S P = C + Ke S =, 33+ 95e 00 4,9. DSCG Options Moélisations 9
4.3 Résmé e la méthoe Por éterminer la prime ne option en tilisant le moèle e Black & Scholes : Calcler et à l aie es relations (8) et (9). N à l aie, par exemple, ne table. Déterminer ( ) En éire ( ) N N et ( ) et ( ) N. Calcler C o P à l aie es relations (6) o (7). DSCG Options Moélisations 0