par Gilbert Gastebois

Le gyroscope 1. Schémas par Gilbert Gastebois 2. Étude du mouvement d'une toupie. Une toupie est un gyroscope dont l'une des extrémités de l'axe est posée sur le sol sans possibilité de glissement. : vitesse angulaire de rotation du gyroscope autour de son axe d : distance entre le centre de gravité du disque et le point de contact de son axe avec le sol I : moment d'inertie du gyroscope autour de son axe I p : moment d'inertie du gyroscope autour de l'axe vertical de précession L : vecteur moment cinétique du gyroscope L 0 : vecteur moment cinétique du gyroscope autour de son axe L 0 = I : vecteur moment cinétique du gyroscope autour de la verticale ( précession d : distance du centre de gravité du gyroscope au point de contact avec le sol θ : angle du gyroscope avec la verticale φ : angle du gyroscope autour de la verticale Ω : vitesse angulaire moyenne de rotation du gyroscope autour de la verticale ( vitesse angulaire de précession Ω = dφ/dt τ : vecteur moment du poids par rapport au point de contact avec le support Loi de Newton pour un solide tournant : dl/dt = τ dl x /dt = τ x = mgd sinθ cosφ dl y /dt = τ y = mgd sinθ sinφ dl z /dt = τ z = 0 dl z /dt = τ z = 0 => L z = constante C'est la constance de L z qui explique la précession du gyroscope, en effet quand on abandonne le gyroscope, il tend à s'incliner sous l'effet de τ, ce faisant, L 0z diminue, il faut donc un terme supplémentaire pour maintenir L z constant, ce terme provient de la précession du gyroscope autour de l'axe vertical à la vitesse angulaire Ω

. Vitesse angulaire de précession. dl = L sinθ dφ ( Voir schéma dl/dt = L sinθ dφ/dt dl/dt = L Ω sinθ => dl/dt = Ω ^ L or dl/dt = τ = mgd sinθ L sin θ Ω = mgd sinθ L Ω = mgd Ω étant toujours très inférieur à, est très inférieur à L 0 L² = L 0 ² + ² + 2 L 0 sin θ L 0 >> donc L² = L 0 ² + 2 L 0 sinθ = L 0 ² (1 + 2 /L 0 sinθ / L 0 << 1 donc L = L 0 (1 + / L 0 sinθ L est donc très voisin de L 0 et vaut donc environ I, L = I On a donc I Ω = mgd Ω = mgd Vectoriellement : dl/dt = τ = Ω ^ L = Ω ^ L 0 ( ^ est le produit vectoriel La période de précession est donc Tp = 2π/Ω = 2πI /(mgd La précession est d'autant plus lente que I et sont grands et que le support est proche du centre de gravité du gyroscope. 4. Étude phénoménologique du gyroscope. La deuxième loi de Newton donne l'explication complète de la précession du gyroscope, mais ne donne peut-être pas l'impression d'expliquer vraiment ce fait étonnant qu'une toupie ne tombe pas comme il semble qu'elle devrait le faire, mais qu'au lieu de cela, le seul fait de précesser lentement autour de l'axe vertical l'empêche de tomber. La raison profonde en est l'existence des forces de Coriolis qui s'appliquent sur chaque particule du gyroscope. Ces forces qui apparaissent dans un repère fixe par rapport à l'axe du gyroscope produisent un couple dont le moment total M s'oppose à celui du poids (τ quand le gyroscope précesse à la vitesse angulaire Ω. M = I Ω θ 0 Voir l'établissement de l'expression de M Pour l'explication du démarrage de la précession, voir le paragraphe 5.1 qui suit. 5. Nutation. 5.1 Description Le mouvement de précession du gyroscope à vitesse angulaire Ω constante, n'est pas le mouvement le plus général du gyroscope, c'est une solution possible si on le pousse latéralement avec cette vitesse au départ. Cependant, en général on se contente de le lâcher après l'avoir mis en rotation. Dans ces conditions, le gyroscope commence par tomber, ce mouvement entraîne l'apparition de forces de Coriolis dont le couple fait tourner le gyroscope autour de la verticale, c'est le démarrage de la précession, ce couple incurve la trajectoire. Quand elle atteint la direction horizontale la vitesse angulaire de précession a dépassé Ω, le couple des forces de Coriolis est alors supérieur à τ, le gyroscope remonte donc jusqu'à son altitude de départ ( conservation de l'énergie mécanique du gyroscope où sa vitesse

de précession s'annule, puis le mouvement se répète, on a alors un mouvement en forme de cycloïde ( mouvement d'un point de la circonférence d'une roue de vélo appelé nutation. Ω est alors la vitesse moyenne de précession. Ce mouvement est peu visible en général sauf si la vitesse du gyroscope est assez faible, d'autant plus qu'il s'amortit rapidement à cause des frottements. 5.2. Étude phénoménologique du gyroscope horizontal L'étude du gyroscope est un problème assez complexe de mécanique du solide. On peut cependant obtenir les résultats principaux par une étude phénoménologique approchée sachant que le gyroscope horizontal décrit une cycloïde quand on le lâche sans vitesse initiale. L = L 0 + + L n L 0 = I Ω I p : moment d'inertie autour de l'axe vertical. On étudie le mouvement de l'extrémité du vecteur L 0 que l'on place arbitrairement au centre de gravité du gyroscope. Le mouvement étudié est donc celui du centre de gravité du gyroscope lâché sans vitesse initiale. Sans nutation, L 0 fait un angle α avec l'horizontale, tel que L = L 0 + ( Ln = 0 << L 0 donc α est très petit donc la nutation a un rayon R = En une période de nutation T n, L 0 décrit l'arche d'une cycloïde dont la largeur vaut 2π R = 2π L'extrémité de L 0 tourne donc d'un angle de précession ε = 2π /L 0 = 2π /L 0 en une période T n. Or pendant T n, le gyroscope a tourné d'un angle Ω T n. Ainsi Ω T n = ε = 2π /L 0 = 2π I p Ω Ω T n = 2πI p Ω donc T n = 2πI p La période de nutation du gyroscope vaut T n = 2πI p /I T 0 et ω n = I/I p

La nutation est d'autant plus rapide que I et sont grands et que le support est proche du centre de gravité du gyroscope ( I p plus petit. Son amplitude angulaire α est d'autant plus petite que est grande et que le support est proche du centre de gravité. Pour le lâcher sans vitesse initiale ( cycloïde : α = R/L 0 = /L 0 Ω/L 0 mgd ² α mgd ² = T n ² mgd/(4π²i p L'amplitude maximale de la nutation est alors : A c = d 2α = 2 I p mgd² ² Remarque : Si le gyroscope n'est pas horizontal, en général, les résultats précédents restent approximativement corrects. L'amplitude est juste multipliée par ( θ 0 angle d'inclinaison du gyroscope par rapport à la verticale. T n garde la même expression, mais I p est modifié. 5. Étude complète approchée 5..1 Cas général L'étude qui suit se limite au cas des petits angles de nutation et aux vitesses de précession faible. θ petit et << L 0 ( Rotation rapide du gyroscope : Ω << L = L 0 + + L n = L 0 + L n ( << L 0 L 0 = I Ω = mgd L' = L 0 + = L 0 = I θ petit donc L' sin θ = L' θ = L 0 θ donc L 0 θ = L n et θ 0 + θ = θ 0 Ω I p = I x sin² θ 0 + I cos² θ 0 ( θ petit donc θ 0 pratiquement constant et donc I p constant I x : moment d'inertie autour d'un axe perpendiculaire à l'axe de rotation passant par le point de contact avec le support On étudie le mouvement du gyroscope dans un repère tournant à la vitesse angulaire Ω. Ce repère n'est pas galiléen, il faut donc ajouter les pseudo-forces centrifuge et de Coriolis. On appelle leur moment M f ( comme >> Ω, le moment de la force centrifuge est négligeable devant celui de la force de Coriolis ( leur rapport est voisin de /Ω donc M f = M coriolis On appelle ω θ la vitesse angulaire relative du gyroscope par rapport à O et la vitesse angulaire relative du gyroscope par rapport à l'axe Oz.

La 2 ème loi de Newton est alors : I x dω θ /dt = mg d + M f En absence de nutation le gyroscope est immobile dans le repère tournant donc : mgd + M f = 0 M f = - mgd Ω En présence de nutation, la vitesse angulaire est = Ω +, ce qui donne M f ( Pour ceux qui ne seraient pas convaincus par ce raisonnement, on peut intégrer le moment de la force de Coriolis ( f c = 2 m i v i x sur le gyroscope, on trouve bien : M coriolis. Comme on néglige M centrifuge, on a bien M f M f Ω - I = - mgd - I. On reporte dans la loi de Newton : I x dω θ /dt = mg d - mgd - I I x dω θ /dt ( 1 D'autre part, L nz et L nz = L' sin θ/ = L 0 θ/ = I θ/ (θ petit et L' très voisin de L 0 donc = I θ/(i p On dérive cette expression : d /dt = I /(I p dθ/dt = I /(I p ω θ ( 2 ω θ d /dt donc dω θ /dt d² /dt² or ( 1 donne I x I p d² /dt² donc en posant I n ² = I x I p d² /dt² + I² ² ² = 0 ( Solution : La solution de ( est sinusoïdale : = C cos ( ω n t + Φ avec ω n = I ( 2 donne ω θ d /dt = - C I p ω n sin (ω n t + Φ = - C I p sin (ω n t + Φ ω θ = - C I p sin (ω n t + Φ Période de la nutation : On cherche maintenant les coordonnées v θ et v φ de la vitesse relative du centre de gravité du gyroscope. v θ = d ω θ = - C I p d sin (ω n t + Φ v φ = d = C d cos ( ω n t + Φ A t = 0, le gyroscope est immobile donc v = d Ω + v φmax = 0 et ainsi v φmax = - d Ω = C d donc C = - Ω et Φ = 0 v θ = Ω I p d sin ω n t v φ = - Ω d cos ω n t Cela correspond à un mouvement elliptique en sens inverse des aiguilles d'une montre ( pour une précession directe décrit en un temps : T n = 2π/ω n = 2πI n = I n /I T 0 ou ω n = I

Les deux axes de l'ellipse sont : Axe "vertical" : b = Ω I p d /ω n = mgd² I p ² Axe horizontal : a = Ω d /ω n = mgd² I n ² a/b = I n /I p = (I x /I p 1/2 En général, I p et I x sont voisins donc I n et I p sont également voisins donc a et b sont proches et l'ellipse est proche d'un cercle et le mouvement est proche d'une cycloïde. 5..2 Cas du gyroscope horizontal Pour un gyroscope horizontal, I p = I x = I n et θ 0 = π/2 donc v θ = Ω d sin ω n t v φ = - Ω d cos ω n t On a alors un mouvement circulaire uniforme en sens inverse des aiguilles d'une montre ( pour une précession directe de vitesse relative v r = Ω d Ω d est aussi la vitesse de précession du centre du cercle, cela correspond à un mouvement de roulement sans glissement, c'est à dire à une cycloïde décrite en T n = 2π/ω n = 2πI p T n = 2πI p /I T 0 ou ω n = I/I p Amplitude maximale de la nutation : Le cercle de rayon R est décrit à vitesse constante v r en T n donc 2πR = v r T n R = Ω d I p = mgd²i p ² A c = 2R = 2 I p mgd² ² Remarque : Si l'amplitude est plus faible ( vitesse initiale du gyroscope non nulle, le mouvement de nutation est une épicycloïde ( Mouvement d'un point du rayon d'une roue de vélo. Si l'amplitude est très faible, le mouvement de nutation est assimilable à une sinusoïde ( limite d'une épicycloïde Exemple : Gyroscope horizontal constitué d'un disque fin de rayon R = 5 cm placé à une distance d = R de l'axe tournant à 000 tours/min ( N 0 = 50 Hz et = 14 rd/s. On a alors I = mr²/2 et I p = mr²/4 + mr² = 5 mr²/4 ( I p = 2,5 I T p = 2πI /mgd = πr /g = 5 s T n /I T 0 = 2,5 T 0 ( N n = N 0 /2,5 = 20 Hz α = T n ² mgd /(4π²I p = 5 T 0 ² g /(4π²R = 5 g /(R ² = 1.10-2 rd = 0,6 Cela donne une oscillation de nutation de 1,2 d'amplitude effectuée 20 fois par seconde. C'est difficile à voir! D'autant plus que ça s'amortit rapidement. On voit essentiellement une précession régulière de 5 s de période. Le gyroscope effectue sa précession 0,6 sous l'horizontale, ce qui ne se remarque guère et donne l'impression que le gyroscope reste à l'horizontale pendant sa précession. C'est pourtant cette petite inclinaison qui génère le mouvement de précession.

6. Précession des équinoxes 6.1 Moment de la force gravitationnelle sur une masse elliptique Schéma de la tranche centrée sur P ds = 2 x sinθ x sinθ d En A se trouve le centre de l'astre attracteur de masse m ( Lune ou Soleil placé sur l'écliptique O centre de gravité de la Terre r = OA α angle d'inclinaison de la Terre : 2,5 ( A étant très éloigné, tous les rayons vers A font pratiquement le même angle α par rapport à l'axe Oz ω T vitesse angulaire de la Terre µ masse volumique moyenne de la Terre a rayon équatorial de la Terre b rayon polaire de la Terre La Terre est sensiblement une ellipse ( ou plus exactement un ellipsoïde de révolution autour de son axe des pôles.... On commence par déterminer le moment par rapport à O exercé sur le disque de centre P, d'épaisseur dz, par la masse m A placée en A très éloigné. Pour cela, on intègre dm = F x z - F z x cosθ F = Gm A µ ds dz /(r - z cosα - x cosθ sinα² F x = F sinα Fz = F cosα ds = 2 x sinθ x sinθ dθ d²m = 2 Gm A µ x² sin²θ( z sin α - x cosθ cosα dθ dz /(r - z cosα - x cosθ sinα² On fait un développement limité au 1 er ordre de 1/(r - z cosα - x cosθ sinα², on obtient : d²m = 2 Gm A µ/r² x² sin²θ( z sinα - x cosθ cosα(1 + 2 z/r cos α + 2 x/r cosθ sinα dθ dz L'intégrale sur θ de 0 à π donne : dm = 2 Gm A µ/r² x² ( z sinα (1 + 2 z/r cosαπ/2-2 x²/r cosα sinα π/8 dz

Pour une ellipse on a x² = a² (1 - z²/b² dm = 2 Gm A µ (a² (1 - z²/b² (z sinα (1 + 2 z/r cosαπ/2/r² - 2 a 4 (1 - z²/b² 2 /r cosα sinα π/8dz On obtient le moment total en intégrant dm de -b à +b : M = π Gm A µ cosα sinα (8a²b /15r - 8a 4 b/15r/r² = 8/15 π a²b Gm A µ (b²- a² cosα sinα/r La masse de la Terre m T = 4/ π a²bµ donc M = 2/5 G m T m A (b² - a² cosα sinα/r Ce moment est le moment maximal. A angle droit, le moment est nul. De plus la Lune n'est pas tout à fait sur l'écliptique et se décale par rapport au Soleil. Tout cela fait qu'il faut réduire la valeur de M. L'expérience montre que tout va bien si on prend /4 de la valeur maximale. M moy = /10 Gm T m A /r (b² - a² sinα cosα La Terre subit l'action de la Lune et du Soleil donc M moy = /10 Gm T m L (b² - a² sinα cosα + /10 Gm T m S /r S (b² - a² sinα cosα M moy = /10 Gm T (m L /r S (b² - a² sinα cosα M moy = - /10 Gm T (m L /r S (a² - b² sinα cosα Le moment d'inertie par rapport à son axe de rotation d'un ellipsoïde de révolution homogène de diamètre a vaut I z = 2/5 m T a² et par rapport à un axe perpendiculaire, il vaut I x = 1/5 m T (a² + b². Ainsi, I z = 1/5 m T ( a² - b² et m T ( a² - b² = 5 ( I z On a ainsi : M moy = - /2 G (m L /r S (I z sinα cosα 6.2 Vitesse angulaire de précession Ω La loi de Newton donne : ( cf. L sinα Ω = M moy L Ω = M/sinα L = I z ω T Ω = M moy /(I z ω T sin α= - /2 G (m L /r S (I z cosα/(i z ω T ( Ω < 0 signifie que la précession se fait dans le sens inverse de la rotation de la Terre La période de précession de la Terre est donc T p = 2π/Ω = 8π 2 /( T T cosα G (m L /r S (I z /I z A.N : T T = 86160 s, G(m L /r S = 1,27.10-1 s - ², α = 2,5 (I z /I z = (a² - b²/2a² = (a - b(a + b/2a² = 1/00 (a - b = 21,5 km et (a + b/2 = 670 km T p = 25800 ans Remarque : La Terre n'est pas homogène, elle est plus dense au centre qu'à la périphérie. Ceci modifie le moment M moy et les moments d'inertie I z et I x, mais un calcul précis montre qu'ils sont tous multipliés par le même coefficient k qui dépend du modèle de Terre choisi ( k < 1. Donc M moy = - k/10 Gm T (m L /r S (a² - b² sinα cosα I z = 2k/5 m T a² et I x = k/5 m T (a² + b² donc m T ( a² - b² = 5/k ( I z. On a donc encore M moy = - /2 G (m L /r S (I z sinα cosα

7. Compas gyroscopique Un compas gyroscopique est un gyroscope fixé sur un support à cardans et parfaitement équilibré de manière que son centre de gravité soit exactement sur son axe de rotation. Le bras de levier étant nul, le moment des forces de gravitation ou d'inertie est nul et donc le vecteur L est constant et l'axe du gyroscope garde une direction fixe dans l'univers. Cet axe peut donc servir de référence absolue au cours des voyages interplanétaires. Calcul du moment des forces de Coriolis sur un gyroscope La force de Coriolis n'ayant pas le même sens au dessus de l'axe et en dessous, le moment total de la force de Coriolis sur le cerceau est le double du moment de la force de Coriolis sur un demi-cerceau. On commence par chercher le moment de f c sur un 1/2 cerceau de largeur dr, d'épaisseur dz et de rayon r. On intègre sur θ allant de 0 à π. dm = ρ dr dz r dθ v = r v X = r sinθ θ 0 angle entre l'axe du gyroscope et df c = 2 dm v X = 2 ρ dr dz r dθ r Ω sinθ Le bras de levier de df c est r sinθ d M = df c r sinθ = 2 ρ dr dz r dθ r Ω sinθ r sinθ = 2 ρ dr dz r sin² θ dθ L'intégrale de sin² θ dθ entre 0 et π vaut π/2 donc d²m = π ρ dr dz r Pour le cerceau entier il faut doubler cette valeur donc d²m = 2 π ρ dz r dr Maintenant on cherche le moment sur un disque d'épaisseur dz, c'est l'intégrale de d²m sur r entre 0 et R, l'intégrale de r dr vaut R 4 /4 donc dm = 1/2 π ρ R 4 dz ( π R 2 dz est le volume du cylindre donc ρ π R 2 dz est sa masse dm c dm = 1/2 dm c R 2 ( Pour un cylindre, le moment d'inertie par

rapport à son axe est di = dm c R²/2 donc dm = di Un solide de révolution est assimilable à un empilement de disques donc le moment total M est la somme des dm, les moments d'inertie s'ajoutent donc la somme des di donne I, le moment d'inertie total du gyroscope par rapport à son axe M = I