FONCTIONS EXPONENTIELLES I. Fonction ponntill d bas q 1) Définition On considèr la suit géométriqu d raison q défini par u n q n. Ell st défini pour tout ntir naturl n. En prolongant son nsmbl d définition pour tout rél positif, on définit la fonction ponntill d bas q. Ainsi par mpl : Pour un suit, on a u Pour un fonction, on a f () mais on a aussi f (1,3) 1,3 Définition : La fonction bas q. q, avc q 0, s'appll fonction ponntill d Empl : La fonction ponntill d bas 1, st défini sur R par 1,. Propriété : La fonction ponntill d bas q st défini, strictmnt positiv, continu t dérivabl sur R. ) Propriétés Rlation fonctionnll : Pour tout rél t y, on a q y q q y Propriétés : Pour tout rél t y, on a : a) q 0 1 t q 1 q b) q 1 q c) q y q q y d) n q n q avc n un ntir rlatif. SOS PROF CASABLANCA 06615370 www.prof-casa.sup.fr
II. Fonction ponntill d bas 1) Définition Propriété : Parmi touts ls fonctions q, il n ist un sul dont la tangnt à la courb rprésntativ au point (0 ; 1) a pour cofficint dirctur 1. Définition : Ctt fonction st la fonction ponntill d bas, noté p, tll qu pour tout rél, on a p :. L rél st nviron égal à,718. Rmarqus : Avc la calculatric, on put obtnir un valur approché d. Rmarqu : On vrra qu la fonction ponntill st croissant. Mais sa croissanc st très rapid, ainsi p(1) dépass l milliard. ) Propriétés Propriétés : Pour tout rél t y, on a : a) 0 1 t 1 b) 0 c) y y d) 1 ) y y f) n n avc n un ntir rlatif. SOS PROF CASABLANCA 06615370 www.prof-casa.sup.fr
Méthod : Simplifir ls écriturs Simplifir l'écritur ds nombrs suivants : A 7 6 5 B 5 3 C 1 1 3 6 A 7 7 5 3 5 3(5) 8 5 6 B 5 3 5 ( 6) 3 30 3 303 33 C 1 1 1 6 6 1 1 3 6 ( 1) 3 6 3) Dérivabilité Propriété : La fonction ponntill st continu t dérivabl sur R t p ' Méthod : Dérivr un fonction Dérivr sur R ls fonctions suivants : a) f () 3 b) g( ) 1 c) h() a) f '() 3 b) '( ) 1 1 g c) 1 1 h'( ) ) Variations Propriété : La fonction ponntill st strictmnt croissant sur R. Démonstration : Comm p ' p 0, la fonction ponntill st strictmnt croissant. SOS PROF CASABLANCA 06615370 www.prof-casa.sup.fr
5) Limits n l'infini Propriété : lim 0 t lim 6) Courb rprésntativ On drss l tablau d variations d la fonction ponntill : p ' + p 0 7) Résolution d'équations t d'inéquations Propriétés : Pour tout rél a t b, on a : a) a b a b b) a b a b Méthod : Résoudr un équation ou un inéquation a) Résoudr dans R l'équation 3 0. b) Résoudr dans R l'inéquation 1 1. a) 3 0 3 3 3 0 3 ou 1 Ls solutions sont -3 t 1. b) 1 1 SOS PROF CASABLANCA 06615370 www.prof-casa.sup.fr
1 0 1 0 1 L'nsmbl ds solutions st l'intrvall 1 ;. III. Fonctions d la form u Propriété : Soit u un fonction dérivabl sur un intrvall I. u La fonction st dérivabl sur I. Sa dérivé st la fonction Empl : Soit f () 3 alors f '() 3 Propriété : Soit u un fonction dérivabl sur un intrvall I. u( ) Ls fonctions u( ) t ont l mêm sns d variation. Démonstration : On a ( u )' u' u Comm u 0, u' t ( u )' sont d mêm sign. ( ) u '( ) u. Empl : La fonction 1 1 st décroissant sur ;0 st égalmnt décroissant sur ;0 t sur 0; donc la fonction t sur 0;. Méthod : Etudir un fonction Soit f la fonction défini sur R par f (). a) Calculr la dérivé d la fonction f. b) Drssr l tablau d variation d la fonction f. c) Tracr la courb rprésntativ d la fonction f n s aidant d la calculatric graphiqu. d) Détrminr un valur approché d l'absciss du point d'inflion à la courb. ) Démontrr qu f ''( ) 1. f) En déduir l'absciss du point d'inflion. SOS PROF CASABLANCA 06615370 www.prof-casa.sup.fr
1 f '( ) 1 a) b) Comm 0, f '() st du sign d 1. f st donc croissant sur l'intrvall ; t décroissant sur l'intrvall ;. On drss l tablau d variations : f '() + 0 - f () f () 1 1 c) d) L point d'inflion smbl avoir pour absciss un valur proch d. 1 1 1 1 1 ) f ''( ) 1 SOS PROF CASABLANCA 06615370 www.prof-casa.sup.fr
f) Comm 0, f ''() st du sign d 1. Donc f ''() 0 pour 1 0 soit. f ''() 0 pour 1 0 soit. Ainsi f ' st croissant sur ; t donc f st conv sur ct intrvall. f ' st décroissant sur ; t donc f st concav sur ct intrvall. On n déduit qu la courb rprésntativ d f possèd un point d'inflion d'absciss. SOS PROF CASABLANCA 06615370 www.prof-casa.sup.fr