Corrigé Exercice 1 : BRIDE HYDRAULIQUE AVEC HYPOTHÈSE PROBLÈME PLAN.

TD 6 corrigé - PFS Résolution analytique (Loi entrée-sortie statique) Page 1/1 Corrigé Exercice 1 : BRIDE HYDRAULIQUE AVEC HYPOTHÈSE PROBLÈME PLAN. Question : Réaliser le graphe de structure, puis compléter le en vue d une étude de statique. Pièce (F=4N) Sphère-plan de point de contact I et de normale y Pivot d axe ( Kz, ) () 7, 8, 9 4 (1) 1, 11, 1 Pivot d axe ( Ky, ) () 1,, 6, 13, 14, 15 Pivot glissant d axe ( Iy, ) () Fluide (1) Ressort 5 (connu) NB : Rigoureusement, il ne faudrait pas faire ce graphe dans la position particulière du dessin. Ainsi les ponctuelles en I et J ne seraient plus suivant y. Question 3 : Donner la suite d isolement à effectuer pour pouvoir déterminer la pression p d alimentation du vérin de la bride hydraulique. Isoler {7, 8, 9} AM4 7 et AM1 7 Isoler {4} AM 4 et AMfluide 4 Question 4 : Résoudre vos différents isolements, et exprimer p en fonction de l effort presseur F, de la 1) Isolons {7, 8, 9}. raideur k et des dimensions du système. ) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {7, 8, 9}. - Action mécanique de la pièce sur 8 (sphère-plan de point de contact J et de normale y ) - Action mécanique de 1 sur 7 (pivot d axe ( Kz, ) ) - Action mécanique de 4 sur 7 (sphère-plan de point de contact I et de normale y ) 3) Modélisables avec l hypothèse problème plan ( J, x, y ) par : Fy. X 17 x Y1 7 y Y 47 T pièce8 T 17 T 47 P( J, y ) K y P( I, y ) NB : Avec l'hypothèse problème plan ( J, x, y ), la forme des différents torseurs n est valable uniquement pour des points du plan de symétrie. C est pourquoi le torseur de la pivot n est valable qu au point K et non pas P ( K, z). MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Ingénieur S. Génouël 7/5/1

TD 6 corrigé - PFS Résolution analytique (Loi entrée-sortie statique) Page /1 Comme on souhaite Y47 f( F), il faut ne pas faire apparaître les inconnues de liaison indésirables de la liaison pivot. C'est à dire appliquer le théorème du moment statique en K en projection sur z. M K,{7,8,9} {7,8,9} M z K,{7,8,9} {7,8,9} MK, pièce8 z MK,1 7 z MK,47 z ( a. x?. y) F. y z ( b. x?. y) Y47. y z ( a. x?. y) F. y z ( b. x?. y) Y47. y z a. F by. 4 7 Y 47 af. b 1) Isolons {4}. ) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {4}. - Action mécanique du fluide sur 4 - Action mécanique du ressort sur 4 - Action mécanique de sur 4 (pivot glissant d axe ( Iy, ) ) - Action mécanique de 7 sur 4 (sphère-plan de point de contact I et de normale y ) 3) Modélisables avec l hypothèse problème plan ( J, x, y ) par : p. S. y k L T fluide4 T ressort 4 P( I, y ) X 4 4 x N P ( I, y ) I,4 z T T 74.( L). y P( I, y ) af. y b P( I, y ) Comme on souhaite p f ( F), il faut ne pas faire apparaître les inconnues de liaison indésirables de la liaison pivot glissant. C'est à dire appliquer le théorème de la résultante statique en projection sur y. R 4 4 R y 44 Rfluide 4 y Rressort 4 y R4 y R74 y. p. S k.( L L) af b af. k.( L L) p b S Question 5 : Faire l application numérique. 3.4 1.( 16) 33 p 1,4 N / mm 1,4 MPa 14 bar.3 MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Ingénieur S. Génouël 7/5/1

TD 6 corrigé - PFS Résolution analytique (Loi entrée-sortie statique) Page 3/1 Corrigé Exercice : TABLE ÉLÉVATRICE. (Selon le concours Mines Albi, Alès, Douai et Nantes filière PCSI) Question 1 : En isolant {}, déterminer R5, puis R4 en fonction de m, g, et des données géométriques a et L. 1) Isolons {}. ) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {}. - Action mécanique de 5 sur (cylindre-plan de ligne de contact ( Iz, ) et de normale y ) - Action mécanique de 4 sur (pivot d axe ( Cz, ) ) - Action mécanique de la pesanteur sur 3) Modélisables avec l hypothèse problème plan ( A, x, y ) par : Y 5. y R 4 T 5 4 T T pes P( I, y ) C m. g. y P( G, y ) NB : Avec l'hypothèse problème plan ( A, x, y ), la forme des différents torseurs n est valable uniquement pour des points du plan de symétrie. C est pourquoi le torseur de la pivot n est valable qu au point C et non pas P ( C, z). Pour se débarrasser de AM4 et donc déterminer R5 en fonction du poids, il faut appliquer le théorème du moment statique en C en projection sur z : M C, M z C, MC,5 z MC,4 z MC, pes z MB,5 CB R 5 M G, pes CG Rpes z. acos. x Y5. y ( L. x H. y) ( m. g. y) z. acos. Y5 L. m. g L. m. g Y5. a cos L. m. g donc R5. y. a cos Pour déterminer R4, il faut appliquer le théorème de la résultante statique : R Y. y R m. g. y 5 4 L. m. g R4 m. g. y. a cos MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Ingénieur S. Génouël 7/5/1

TD 6 corrigé - PFS Résolution analytique (Loi entrée-sortie statique) Page 4/1 Question : En isolant {4}, déterminer R6 4 (norme et sens) en utilisant le théorème du moment statique et en calculant les moments par la méthode du bras de levier (on mesurera les dimensions utiles sur le schéma). 1) Isolons {4}. ) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {4}. - Action mécanique de sur 4 (pivot d axe ( Cz, ) ) - Action mécanique de 6 sur 4 (sphérique de centre F ) - Action mécanique de 3 sur 4 (pivot d axe ( Oz, ) ) - Action mécanique de 5 sur 4 (pivot d axe ( Dz, ) ) 3) Modélisables avec l hypothèse problème plan ( A, x, y ) par : R 4 4 R 6 4 T 6 4 R 3 4 T 3 4 R 5' 4 T T 5' 4 C F O D NB : Avec l'hypothèse problème plan ( A, x, y ), la forme des différents torseurs n est valable uniquement pour des points du plan de symétrie. Le bras 4 est soumis à l action de quatre glisseurs R 4, R6 4, R3 4 et R5' 4. Pour se débarrasser de AM3 4 dont on ne connaît rien, il faut appliquer le théorème du moment statique en O : M O,4 4, puis de calculer ces moments avec la méthode du bras de levier : MO, 4 MO,6 4 MO,3 4 MO,5' 4 R4 d1. z R64 d. z R5' 4 d1. z où 5 mm R 64 d 1 et d 95 mm R4 R5' 4 d1 563 N et R6 4 dirigée vers le haut d d 1 d 1 R4 avec R4 3333N Droite d'action (support) de R6 4 = (EF) d R5' 4 avec R5' 4 16666N MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Ingénieur S. Génouël 7/5/1

TD 6 corrigé - PFS Résolution analytique (Loi entrée-sortie statique) Page 5/1 Question 3 : En isolant le piston {6}, exprimer la pression p de l huile à envoyer dans le vérin en fonction 1) Isolons {6}. R6 4 et du diamètre D du piston. ) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {6}. - Action mécanique de 4 sur 6 (sphérique de centre F) - Action mécanique du fluide sur 6 (pression du fluide) - Action mécanique de 7 sur 6 (pivot glissant d axe (EF)) 3) Modélisables avec l hypothèse problème plan ( A, x, y ) par : R 4 6 4 6 T avec R4 6 suivant l axe du piston F R fluide T fluide6 avec Rfluide 6 suivant l axe du piston (car la pression est uniforme) 6 P( EF ) 76 76 T 76 avec R R. EF M ( ) P,7 6 MP,7 6. EF PEF Il faut appliquer le théorème de la résultante statique suivant (EF) : AM7 6 : R. EF R. EF R. EF 46 fluide6 76 R. EF R. EF 46 fluide6 Or R4 6 et Rfluide 6 sont suivant (EF). Donc R46 R fluide 6 avec Rfluide 6 p. S R 6, pour se débarrasser de 6 D où p R46 R46 S D. 4 MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Ingénieur S. Génouël 7/5/1

TD 6 corrigé - PFS Résolution analytique (Loi entrée-sortie statique) Page 6/1 Corrigé Exercice 3 : LANCEUR DE ROULEAUX DE PAPIER D'IMPRIMERIE. (Selon le concours Mines Albi, Alès, Douai et Nantes filière PCSI) Question 1 : On suppose qu au démarrage le rouleau 1 est en équilibre statique, sous l action de 4 sur 1, de 3 sur 1, et du couple résistant C C. z. Donner l expression de la résultante tangentielle 1) Isolons {1}. T4 1 en fonction de r r C r et R. Faire une application numérique. ) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {1}. - Action mécanique de 4 sur 1 - Action mécanique de 3 sur 1 (pivot d axe ( Az, ) ) - Action mécanique de la résistance sur 1 (couple résistant) 3) Modélisables avec l hypothèse problème plan ( E, x, y ) par : T 41. x N4 1. y R 3 1 T 41 3 1 T T r 1 E A C r. z P Pour se débarrasser de AM3 1, il faut appliquer le théorème du moment statique en A : M A,1 1 : MA,41 MA,3 1 MA, r 1 ME,41 AE R41 Cr. z RT.. z C. z 41 r C T r 41 R AN : 176 T41 93 N,6 Question : En déduire l expression de la résultante normale N4 1 en fonction de et T4 1. Faire une application numérique. A la limite d adhérence : T41 a. N41 avec a tan Donc T41 N41 tan AN : N4 1 93 58 donc N41 58 N tan3 Question 3 : En supposant que L est la largeur de la courroie et que la répartition de pression p entre la courroie 4 et le rouleau 1 est uniforme (schéma ci-contre), déterminer l expression de N4 1 en fonction de p,, L et R. L N41 dn41 dn41. n p. ds. n p. R. d. d.(cos. y sin. x) p. R.. sin. y cos. x. p. R. L.sin. y, MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Ingénieur S. Génouël 7/5/1

TD 6 corrigé - PFS Résolution analytique (Loi entrée-sortie statique) Page 7/1 Question 4 : En prenant 3, calculer la largeur L de la courroie, pour que la pression de contact p 1 ne dépasse pas 1 dan. cm. AN : 5 L 16,1 mm 5.1.,6.sin15 Question 5 : Isoler {6, 7} et en déduire une relation entre X6 5, Y6 5 et des données géométriques c et d. 1) Isolons {6, 7}. ) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {6, 7}. - Action mécanique de 5 sur 6 (pivot d axe ( Fz), ) - Action mécanique de sur 7 (pivot d axe ( Hz, ) ) 3) Modélisables avec l hypothèse problème plan ( E, x, y ) par : X 65. x Y65. y R 7 T 56 T 7 F H NB : Avec l'hypothèse problème plan ( E, x, y ), la forme des différents torseurs n est valable uniquement pour des points du plan de symétrie. Pour se débarrasser de AM 7, il faut appliquer le théorème du moment statique en H : M H, S S : MH,56 MH,7 MF,56 HF R56 ( c. x d. y) ( X65. x Y65. y) cy. 65 d. X65 Question 6 : En précisant le système isolé, déterminer une ème relation entre X6 5, Y6 5, T4 1, N4 1 et des données géométriques a, b, et. 1) Isolons {4, 5}. ) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {4, 5}. - Action mécanique de 6 sur 5 (pivot d axe (, ) Fz) - Action mécanique de sur 5 (pivot d axe ( Gz, ) ) - Action mécanique de 1 sur 4 3) Modélisables avec l hypothèse problème plan ( E, x, y ) par : X 65. x Y6 5. y R 5 T 65 5 14 14 T T 1 4 F G T. x N. y E MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Ingénieur S. Génouël 7/5/1

TD 6 corrigé - PFS Résolution analytique (Loi entrée-sortie statique) Page 8/1 Pour se débarrasser de AM 5, il faut appliquer le théorème du moment statique en G : MG,6 5 MG, 5 MG,1 4 MF,65 GF R65 ME,1 4 GE R1 4 ( a. x b. y) ( X65. x Y65. y) (. x. y) ( T1 4. x N1 4. y) ay. 65 b. X65. N1 4. T1 4 M G, S S : Question 7 : En déduire X6 5, Y6 5 et R6 5. Faire une application numérique. Ainsi en reprenant les équations trouvées : ay. 65 b. X65. N1 4. T1 4 cy. 65 d. X65 c.(. T On détermine facilement 14. N14 ) X65 et a. d b. c Y 65 d.(. T1 4. N14 ) a. d b. c AN : X65 963 N et Y65 181N 65 65 65 R X Y AN : R65 98 N Question 8 : Sachant que la pression d huile 1) Isolons {6}. p h est de 6 bars, calculer la section utile ) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {6}. - Action mécanique de 5 sur 6 (pivot d'axe ( Fz), ) - Action mécanique du fluide sur 6 (pression du fluide) - Action mécanique de 7 sur 6 (pivot glissant d axe (HF)) 3) Modélisables avec l hypothèse problème plan ( E, x, y ) par : R 5 6 5 6 S u du vérin. T avec R5 6 suivant l axe du piston F R fluide T fluide6 avec Rfluide 6 suivant l axe du piston (car la pression est uniforme) 6 P( HF ) 76 76 T 76 avec R R. HF M ( ) P,7 6 MP,7 6. HF PHF Il faut appliquer le théorème de la résultante statique suivant (HF) : R. HF R. HF R. HF 56 fluide6 76 R. HF R. HF 56 fluide6 Or R5 6 et Rfluide 6 sont suivant (HF). R 6, pour se débarrasser de AM 6 7 6 : R Donc R56 R fluide 6 avec Rfluide 6 ph. S d où 56 98 S 163mm ph,6 MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Ingénieur S. Génouël 7/5/1

TD 6 corrigé - PFS Résolution analytique (Loi entrée-sortie statique) Page 9/1 Corrigé Exercice 4 : POMPE À PISTONS AXIAUX DU PILOTE HYDRAULIQUE DU LABORATOIRE. Fonctionnement. Question 1 : Quel est le rôle de la butée à billes 9? La butée à bille 9 évite le glissement des pistons sur le plateau incliné : limitation de l usure des pièces en contact, augmentation du rendement car moins de résistance au déplacement. Modélisation. Question : A partir du schéma cinématique de la pompe, et de la modélisation de quelques actions, donner le graphe de structure de la pompe (pour seulement un piston). Attention un couple moteur (qui est une action magnétique) s exerce toujours sur pièces!!! Ressort 8i Fluide Sphère-plan de centre M i et de normale u 7i Pivot glissant d axe ( Mi, x 1) 9 Pivot d axe ( Ou, ) Cmoteur 1 Pivot d axe ( Ox, 1) Détermination du couple moteur en fonction de la pression. Étude du piston 71. Question 3 : Par une étude «statique» sur le piston 71, exprimer l action mécanique du corps 9 sur le piston 71 en fonction de la pression P1 (pression au niveau du piston 1). 1) Isolons {piston 71}. ) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {piston 71}. - Action mécanique de 9 sur 71 (sphère-plan de centre M1 et de normale u ) - Action mécanique de sur 71 (pivot glissant d axe ( M1, x 1) ) - Action mécanique du ressort 81 sur 71 - Action mécanique du fluide sur 71 MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Ingénieur S. Génouël 7/5/1

TD 6 corrigé - PFS Résolution analytique (Loi entrée-sortie statique) Page 1/1 3) Modélisables par : T971 T81 71 X9 71. u P( M1, u) k. 1. x 1 P( M1, x1) T 71 R 71 R71. x1 avec MP,71 MP,71. x1 P( M1, x1) Tfluide71 P1. S. x 1 P( M1, x1) Attention, ici ce n'est pas un problème plan, les pistons tournent autour de l'axe x 1!!!! Pour se débarrasser de AM 71, il faut appliquer le théorème de la résultante statique suivant x 1 : R 71 71 R. x R. x R. x R. x 971 1 71 1 81 71 1 fluide71 1 X971.cos k. 1 P1. S P. S k. X9 71 cos 1 1 Étude de l ensemble {piston 71, barillet, ressort 81, fluide}. Question 4 : Par une étude «statique» sur l ensemble {piston 71, barillet, ressort 81, fluide} les autres pistons n étant pas pris en compte, exprimer le couple Cm1 (couple moteur minimum nécessaire à l entraînement du piston 1) en fonction de P1 et 1. 1) Isolons {piston 71, barillet, ressort 81, fluide}. ) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures sur {piston 71, barillet, ressort 81, fluide}. - Action mécanique de 9 sur 71 (sphère-plan de centre M1 et de normale u ) - Action mécanique du moteur sur - Action mécanique de 1 sur (pivot d axe ( Ox, 1) ) 3) Modélisables par : T971 X9 71. u P( M1, u) moteur 1 T Cm. x1 P R T avec M. x 1 1 P,1 1 M P( O, x,1 1) P Pour se débarrasser de AM1, il faut appliquer le théorème du moment statique en O en projection sur x 1 : M O, S S moteur O,971 1 O,1 1 O,1 1 M. x M. x M. x OM1 X971. u. x1 C m 1 X971. u x1. OM1 C m 1 (voir partie 74 produit mixte dans l'annexe 5 calcul vectoriel) D X971.sin. z1.. y 1. x1 Cm1 D X971..sin.cos 1 Cm1 MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Ingénieur S. Génouël 7/5/1

TD 6 corrigé - PFS Résolution analytique (Loi entrée-sortie statique) Page 11/1 D Cm1 X9 71..sin.sin 1 C P. S k. D cos 1 1 m1..sin.sin 1 D 1 1 avec.tan. 1 cos D D Cm1 P1. S k..tan. 1 cos 1..tan.sin 1 D D D Cm1 P1. S k..tan k..tan.cos 1..tan.sin 1 D D D kd..tan.sin. 1 Cm1 P1. S..tan.sin 1.tan. k..tan.sin 1 8 Relation globale. Question 5 : Calculer la valeur moyenne, Cm1moyen, du couple Cm1(1) sachant que : - P1 = Pmax si le piston est en phase de refoulement ( 1, ), - P1 = si le piston est en phase d admission ( 1, ) 1 C C ( ). d m1 moy m1 moy 1 1 C P S d k d 1 D D D kd..tan.sin. 1 m1 moy max...tan.sin 1. 1.tan...tan.sin 1. 1 8 1 D C P. S..tan.cos m1 moy max 1 C m1 moy P max. S. D.tan. Question 6 : En déduire la valeur moyenne Cmmoyen du couple nécessaire à l entraînement de la pompe à six pistons. On en déduit couple moyen de la pompe à six pistons : C m moy Pmax. S 6.. D.tan. Question 7 : Faire l application numérique puis tracer la fonction Cmmoyen(Pmax) pour : < Pmax < 5 bars (on prendra 11 ). Cm moy 1. 7 P max MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Ingénieur S. Génouël 7/5/1

TD 6 corrigé - PFS Résolution analytique (Loi entrée-sortie statique) Page 1/1 Couple moyen en N.m,5,,15,1,5 5 1 15 5 Pression (bars) MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Ingénieur S. Génouël 7/5/1