NO : Prénom : 4. Les oscillaeurs mécaniques Un sysème mécanique peu occuper une même posiion à inervalles de emps réguliers : sa rajecoire es alors périodique. Exemples : - roaion d une planèe auour du Soleil - oscillaions d un grae-ciel (jusqu à quelques mères d ampliude au somme) ; Ce dernier exemple correspond à un mouvemen de va e vien : c es un oscillaeur mécanique. A- Quelques sysèmes oscillans non amoris. 1. Oscillaions horizonales d un ressor Un ressor (à spires non joinives e de masse négligeable) de consane de raideur k es lâché après avoir éé écaré de X de sa posiion d équilibre au repos. A l exrémié es accrochée une masse qui oscille alors auour d un axe horizonal sans froemen. Représener les forces dans chaque cas : H A vide : posiion d équilibre H Ressor éiré H Ressor comprimé x' O i x Eude dynamique : Le sysème éudié éan {} dans le référeniel erresre supposé Galiléen, on peu appliquer le principe fondamenal de la dynamique : Exprimer la force de rappel du ressor Appliquer le PFD : F pour un allongemen x : k Par projecion selon x x : (1) Par projecion selon y y :
P a g e On obien l équaion (1) : c es une différenielle du second ordre. La soluion générale de cee équaion a pour expression (cf annexe) : x A.cos. Ampliude des oscillaions où A : ampliude maximale des oscillaions : pulsaion propre des oscillaions : phase à = s.,,4,6,8 Rappel :. où T es la période des oscillaions T Ce oscillaeur mécanique es appelé oscillaeur harmonique car les oscillaions son sinusoïdales. dépend des paramères de oscillaeur : dx x... d d²x x... d² En remplaçan x dans l équaion (1), on rouve : E T e f A e dépenden des condiions iniiales : {} es lâché sans viesse iniiale, à parir d une posiion x = X donc :
Eude énergéique P a g e 3 En l absence de froemen, il y a conservaion de l énergie mécanique : E m =... avec E c : énergie cinéique E pp : énergie poenielle de pesaneur E pk : énergie poenielle élasique E m =... Comme il s agi d oscillaions horizonales, E pp es consane au cours du mouvemen. On peu alors la choisir nulle arbirairemen. Il rese : E m =... On peu dériver l expression de l énergie mécanique consane : En simplifian par x : (la viesse x n es pas nulle en permanence, sinon il n y pas de mouvemen) On rerouve alors l équaion différenielle de l oscillaeur harmonique. Energies E m E c L énergie mécanique se conserve : au cours du mouvemen, il y a ransformaion d énergie poenielle en énergie cinéique e vice versa. E pk T T
P a g e 4. Oscillaions vericales d un ressor On reprend le problème précéden, en posiion vericale. Cependan, ici, lorsque le sysème {} es à l équilibre, le ressor exerce une ceraine ension car le ressor es allongé. On ire d une longueur Z sur le sysème par rappor à sa posiion d équilibre puis on le lâche. Représener les forces dans chaque cas. On applique de la même façon le PFD : z' L L éq L z O k A vide A l équilibre Ressor éiré Z z On rerouve une équaion différenielle du second ordre. La soluion es du même ype que pour le ressor horizonal. Avec les condiions iniiales similaires, on rouve : z z.cos m k. Lorsque le ressor es en posiion vericale, il n oscille plus auour de sa posiion au repos L mais auour de sa posiion à l équilibre L éq = (L + L) lorsque la masse es accrochée! Remarque : en choisissan l origine de l axe (z z) en ce poin d équilibre, on simplifie la résoluion de l équaion différenielle.
P a g e 5 3. Oscillaions du pendule EXPERIENCE HISTORIQUE DE GALILEE (DEBUT XVII EE SIECLE) : il consaa que, quelle que soi la masse, la période du pendule es consane e ne dépend que de la racine carrée de la longueur. Supposons un obje poncuel, de masse m, accrochée à un fil idéal (masse négligeable, inexensible) de longueur L. Ce pendule es écaré de sa posiion d équilibre d un angle par rappor à la vericale puis lâché sans viesse iniiale. Afin de repérer s il es vers la droie ou la gauche, on doi donner une valeur algébrique à l angle, e oriener l espace. L O O F u N u ut T P Pour l éude d un sysème {} en roaion, il es commode d uiliser le repère de Frene ( u,u ) L accéléraion peu alors s exprimer en :. N T a... or on a la relaion enre la viesse linéaire v e la viesse angulaire d d :... donc a... soi a N e at Le sysème éudié es {} dans le référeniel erresre considéré galiléen. Les froemens son négligés. On applique la ème loi de Newon : Projecion selon u : (on ne s inéresse pas à cee équaion ici) N Projecion selon u : avec P = m.g T Soi (3)
P a g e 6 On obien une équaion don la résoluion n es pas évidene. Pour conourner le problème, on effecue l approximaion suivane : Pour un angle faible, on peu écrire sin (avec en radian) (Développemen limié à l ordre 1 de la foncion sinus ; on peu en dire de même de an, mais évidemmen pas de cos, qui lui es voisin de 1 lorsque l angle es rès pei) L équaion (3) devien alors : g. L C es une équaion différenielle du second ordre, don la soluion es de la forme : () A.cos. De la même façon, on rouve la pulsaion propre de l oscillaeur : g L (le déphasage dépendan des condiions iniiales : ici = ). Les condiions iniiales (lâché sans viesse iniiale d un angle ) simplifien alors la soluion : cos.. Remarques : On consae que la période propre T L g ne dépend pas de la masse. Par ailleurs, la mesure de la période propre du pendule «idéal» nous donne accès à une mesure de l inensié de la pesaneur! Compe enu de l approximaion faie, si < 3, alors l écar à la réalié es inférieur à 1 %. B- Les phénomènes d amorissemen Nous avons jusque-là considéré des siuaions idéales. En réalié, d aures forces agissen sur le sysème en enravan le mouvemen : c es le phénomène d amorissemen. Il s agi noammen des froemens qui fon que l énergie mécanique du sysème diminue (peres sous forme de chaleur). Si les peres son faibles, alors l ampliude des oscillaions diminue lenemen : le régime es alors pseudopériodique. Si les peres son imporanes, alors le sysème revien à sa posiion d équilibre sans osciller : le régime es apériodique.
1. Le cas du ressor horizonal P a g e 7 Reprenons le problème du paragraphe 4.1.1.. Les froemens cinéiques sysème {} dans un fluide (gaz, liquide) peuven êre représenés par le modèle visqueux : f -f. v -f.xi. où f représene le coefficien de viscosié On applique alors la ème loi de Newon : P R N F f m. a k Projecion selon x x : k.x - f.x m. x x.x m k.x m f Ce qui donne C es une équaion différenielle d ordre.. Le cas du pendule Reprenons le problème du paragraphe 4.1.3.. Les froemens cinéiques du pendule dans l air peuven êre représenés par le modèle visqueux : f -f. v -f.l..u T où f représene le coefficien de viscosié On applique alors la ème loi de Newon : P F f m. a Projecion selon u : P.sin - f.l. T m.l. soi pour pei : mg. - f.l. m.l. g.. m f L Ce qui donne C es une équaion différenielle d ordre. 3. Soluions avec Ces équaions différenielles son de la forme : Q es le faceur de qualié ou Q x.x.x.. Q a éé défini en parie 4.1. Le faceur de qualié Q caracérise l apiude du sysème à osciller ou non. Il dépend des caracérisiques de l oscillaeur.
Donner ainsi l expression du faceur de qualié dans les cas précédens, par analogie : P a g e 8 Pour le pendule : Pour le ressor horizonal : Quelle es la dimension de Q? On peu démonrer que l expression de la soluion de l équaion différenielle dépend de la valeur de Q (cf annexe). On reiendra : Pour un faceur de qualié Q < ½, le régime es apériodique (pas d oscillaions) Pour un faceur de qualié Q = ½, le régime es di criique Pour un faceur de qualié Q > ½, le régime es alors pseudo-périodique. x ou x ou Déerminer l expression du coefficien de froemen visqueux criique dans les cas éudiés : Pour le ressor horizonal : Périodique Q = x ou pseudo-périodique Q >,5 x ou Pour le pendule : Criique Q =,5 Apériodique Q <,5 Pour Q >,5, la soluion physique de ces équaions différenielles (cf. annexe) a pour forme (avec oujours les mêmes condiions iniiales) : avec ou : pseudo-pulsaion (elle diffère légèremen de la pulsaion définie sans amorissemen : voir annexe) Le erme cos(. ) radui la présence d oscillaions e le erme de ces oscillaions..q x() X.e.cos(.).Q e.q ().e.cos(.) radui l amorissemen de l ampliude
P a g e 9 C- Les oscillaions forcées Ceraines forces peuven favoriser des oscillaions (effe du ven sur un grae-ciel, effe d un dos d âne sur une voiure ), ce qui peu parfois conduire à des caasrophes (amplificaion des oscillaions ou résonance). Dans ce cas, l énergie perdue par l oscillaeur amori es resiuée à chaque période par un disposiif exérieur. F ex F Reprenons l exemple du ressor horizonal. Appliquons-lui une force horizonale périodique d expression :.cos. En appliquan le PFD, on a : P R N F f F k ex m. a g m f C es une équaion différenielle d ordre avec second membre L Ce qui donne x.x.x F.cos. L oscillaeur es alors forcé à osciller à la même pulsaion que la force exérieure. Dans ce cas, on ne parle plus de pseudo-période, puisque la pulsaion ne dépend plus du sysème, mais de l exciaeur. La soluion, après un cerain emps de régime ransioire, a la forme : x A.cos(.) Néanmoins, les caracérisiques du sysème fon qu il va répondre plus ou moins bien à l exciaeur, avec une ampliude A plus ou moins marquée en foncion de l exciaion de pulsaion Si le faceur de qualié Q 1, alors il apparaîra un phénomène de résonance dès que la pulsaion de l exciaeur aeindra approximaivemen la pulsaion propre. (en réalié, pour. 1.Q² 1 ) 1 A Amorissemen faible : résonance 8 6 Amorissemen for : pas de résonance 4,5 1 1,5,5 3
Noaions ANNEXE On rappelle les grandeurs usuelles des phénomènes périodiques : P a g e 1 Période T : durée la plus coure au bou de laquelle le phénomène se répèe idenique à lui-même (unié : la seconde s) Pulsaion : grandeur associée à la période : Ṫ (unié : le radian par seconde rad.s -1 ) Fréquence f : nombre de répéiions du phénomène périodique par seconde f T 1 (unié : le Herz Hz) La dérivée d une variable par rappor au emps peu êre noée : dx x (x en mahémaiques) d La dérivée seconde d une variable par rappor au emps peu êre noée : d x d ² x ² (x en mahémaiques) Dérivée de foncions composées Noions mahémaiques D une manière générale, si on considère la foncion composée f (g ()) (encore noée en mahémaiques f g ), alors sa dérivée s exprime (noaions mahémaiques : (f (g () ) = g (). f ( g()) (soi encore : f g = g.(f g) ), Voyons quelques exemples : Soi la foncion cos (a. + b) : c es la composiion de foncions : On peu écrire : cos (a. + b) = f (g ()) f () = cos () e g () = a. + b. Donc, si on dérive cee foncion, cela donne : (cos (a. + b)) = g (). f (g ()) Finalemen, on a : (cos (a. + b)) = -a.sin (a. + b) Soi la foncion (x ())² : c es la composiion de foncions : Avec : f () = - sin () e g () = a f () = ² e g () = x () dérivée de x () Les dérivées son : f () =. e g () = x () : dérivée seconde de x () Finalemen, on a : (x ())² = x ()..x () Applicaion à l éude des oscillaeurs Pour x = X m.cos (. + ), on a la dérivée x = - X m.. sin (. + ). Pour la foncion ( )², on a la dérivée : (( )²) =...
Soluions usuelles d une équaion différenielle en physique P a g e 11 On peu êre amené à déerminer la soluion d une équaion comporan une dérivée, voire une dérivée seconde. Equaion différenielle du premier ordre Il s agi d une équaion du ype : dx x d ( es posiif) Alors la soluion x es une foncion exponenielle de la forme : x A.e avec :emps de relaxaion en secondes. A : consane qui dépend des condiions iniiales. Allure de la courbe : x A Equaion différenielle du second ordre Sans dérivée première du ype dx/d Il s agi d une équaion du ype : d x.x ( es posiif) d La soluion de l équaion différenielle s écri : soi encore x Acos( ) Bsin( ) x Acos( ) avec : pulsaion propre en rad.s -1 Il s agi d oscillaions libres non amories. T où T : période propre où A e son des consanes qui dépenden des condiions iniiales. Avec dérivée première du ype dx/d Il s agi d une équaion du ype : d x. dx.x d Q d (Q e son posiifs) On défini alors ce que l on appelle l équaion caracérisique de cee équaion différenielle : r.r Q L idée consise à rouver les soluions r 1 e r de cee équaion du second degré.
Son déerminan es 4.. On disingue alors rois cas : Q P a g e 1 1) soi Q < ½ : les soluions r 1 e r donnen la soluion de l équaion différenielle : r1 r x Ae Be (A e B consanes) x() es une exponenielle décroissane : le régime es di «apériodique» ) soi Q = ½ : les soluions r 1 e r son ideniques (r 1 = r = c) d où la soluion de l équaion différenielle : le régime es di «criique» c x a b e (a e b consanes) 3) soi Q > ½ : les soluions r 1 e r son complexes, on obien la soluion réelle à l équaion différenielle : x() X m.e..q.cos(. ) où X m e dépenden des condiions iniiales. es la pseudo-pulsaion : 1. 1 4. Q² le régime es «pseudo-périodique» (le sysème se compore donc comme un oscillaeur amori) Equaion différenielle avec second membre Voici une équaion différenielle de la forme : La soluion es éablie en 3 emps : dx x d A ou d x. dx.x A d Q d A quelconque On rouve la soluion x 1() de l équaion sans second membre : dx x ou d x..x d dx d Q d On rouve une soluion pariculière x () de l équaion (c es souven une consane) dx x d La soluion générale du problème es alors x() = x 1() + x () A ou d x. dx.x A d Q d